Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

112 §. Zárt izotrop modell

112 §. Zárt izotrop modell

Az izotrop modell téridőmetrikájának vizsgálatára térve, először is a vonatkoztatási rendszert kell megválasztanunk. A legkényelmesebb az „együttmozgó” rendszert használni, amely az tér minden pontjában együtt mozog az ott levő anyaggal. Más szóval, a vonatkoztatási rendszer maga a teret kitöltő anyag. Az anyag sebessége ebben a rendszerben definíciószerűen mindenütt zérus. Nyilvánvaló, hogy izotrop modell használata esetén a vonatkoztatási rendszer ilyen választása természetes: más választás esetén az anyag sebességeinek irányítottsága a különböző térbeli irányok látszólagos inekvivalenciájára vezetne. Az időkoordinátát az előző szakasz elején említett módon kell megválasztanunk, tehát úgy, hogy a metrika minden időpillanatban az egész térben ugyanaz legyen.

Figyelembe véve az összes irány ekvivalenciáját, a metrikus tenzor g0α, komponensei az általunk választott vonatkoztatási rendszerben zérussal egyenlők. Valóban, a három g0α komponenst úgy tekinthetjük, mint egy háromdimenziós vektor komponenseit; ha ez nem tűnne el, a különböző irányok inekvivalenciáját okozná. Így szükségszerű a ds2=g00(dx0)2–dl2 alak. A g00 komponens itt csak az x0 függvénye. Ezért mindig megválaszthatjuk úgy az időkoordinátát, hogy g00=1 legyen. Ezt az x0-t ct-vel jelölve, a

14.13. egyenlet - (112.1)

d s 2 = c 2 d t 2 d l 2

képletet kapjuk. A t idő a tér minden pontjában sajátidő.

Kezdjük a vizsgálatot a pozitív görbületű terekkel; az alábbiakban a rövidség kedvéért az Einstein-egyenletek megfelelő megoldásáról mint zárt modellről beszélünk. dl-re a (111.8) kifejezést használjuk, amelyben az a „görbületi sugár” általában az idő függvénye. Ezért az ívelemnégyzetet a

14.14. egyenlet - (112.2)

d s 2 = c 2 d t 2 a 2 ( t ) { d χ 2 + sin 2 χ ( d 𝜃 2 + sin 2 𝜃 d φ 2 ) }

alakban írjuk.

Az a(t) függvényt az Einstein-egyenletek határozzák meg. Az egyenletek megoldása szempontjából előnyös, ha az idő helyett a

14.15. egyenlet - (112.3)

c d t = a d η

összefüggéssel definiált η mennyiséget használjuk. Ekkor

14.16. egyenlet - (112.4)

d s 2 = a 2 ( η ) { d η 2 d χ 2 sin 2 χ ( d 𝜃 2 + sin 2 𝜃 d φ 2 ) } .

A téregyenletek felírását az Rik tenzor komponenseinek kiszámításával kell kezdeni (az x0, x1, x2, x3 koordináták most η, χ, 𝜃, φ-vel egyenlők). A metrikus tenzor

g 0 0 = a 2 , g 1 1 = a 2 , g 2 2 = a 2 sin 2 χ , g 3 3 = a 2 sin 2 χ sin 2 𝜃

elemeinek felhasználásával kiszámítjuk a Γkli mennyiségeket:

Γ 0 0 0 = a a , Γ α β 0 = a a 3 g α β , Γ 0 β α = a a δ β α , Γ α 0 0 = Γ 0 0 α = 0 ,

ahol a vessző η szerinti differenciálást jelent (a komponensek explicit alakjára nem lesz szükségünk). A felsorolt értékek segítségével a (92.7) általános képlet szerint azt kapjuk, hogy

R 0 0 = 3 a 4 ( a 2 a a ) .

Ugyanolyan szimmetriamegfontolások alapján, amelyeket g0α esetén alkalmaztunk, itt is előre nyilvánvaló, hogy R0α=0. Az Rαβ komponensek kiszámításával kapcsolatban megjegyezzük, hogy ha azokban leválasztjuk a csak gαβ-t (tehát csak Γβγα-t) tartalmazó tagokat, akkor ezek a tagok szükségképpen a –Pαβ háromdimenziós tenzor komponenseit alkotják. Ennek értékeit (111.3)-ból és (111.6)-ból már ismerjük:

R α β = P α β + = 2 a 2 δ α β + ,

ahol a pontok olyan tagokat jelölnek, amelyek gαβ-n kívül g00-t is tartalmazzák. Az utóbbiakat kiszámítva azt kapjuk, hogy

R α β = 1 a 4 ( 2 a 2 + a 2 + a a ) δ α β ,

majd ebből

R = R 0 0 + R α α = 6 a 3 ( a + a ) .

Mivel a választott vonatkoztatási rendszerben az anyag nyugalomban van, itt uα=0, u0=1∕a, (94.9)-ből pedig az következik, hogy T00=𝜀, ahol 𝜀 az anyag energiasűrűsége. A kapott kifejezéseket az

R 0 0 1 2 R = 8 π k c 4 T 0 0

egyenletbe behelyettesítve az adódik, hogy

14.17. egyenlet - (112.5)

8 π k c 4 𝜀 = 3 a 4 ( a 2 + a 2 ) .

Itt két ismeretlen függvény szerepel: 𝜀 és a, ezért még egy egyenletet kell kapnunk. Erre a célra kényelmesebb az Einstein-egyenletek térkomponensei helyett a belőlük ismert módon származtatható (94.7) egyenletek egyikét, a T0;ii=0 egyenletet választani. Ez az egyenlet közvetlenül, termodinamikai megfontolások segítségével a következőképpen vezethető le.

A téregyenletekben az energia-impulzus-tenzor (94.9) kifejezését használva, az összes disszipációs, entrópianövelő folyamatot elhanyagoljuk. Ilyen közelítés itt természetesen teljes mértékben megengedett, mivel azok a járulékos tagok, amelyeket az energiadisszipáció miatt kellene Tki-hez adni, a nyugalomban levő testek energiáját magába foglaló 𝜀 energiasűrűséghez képest jelentéktelenek.

Ezért a téregyenletek levezetése közben a teljes entrópiát állandónak tekinthetjük. Használjuk ezek után az ismert dℰ=TdS–pdV termodinamikai összefüggést, ahol ℰ a rendszer energiája, S az entrópiája, V a térfogata; p a nyomás és T a hőmérséklet. Állandó entrópia mellett egyszerűen dℰ=–pdV. Bevezetve az 𝜀=ℰ∕V energiasűrűséget, nehézség nélkül azt kapjuk, hogy

d 𝜀 = ( 𝜀 + p ) d V V .

A tér V térfogata (111.9) szerint arányos az a görbületi sugár köbével. Ezért dV∕V=3da∕a=3dlna, így

d 𝜀 𝜀 + p = 3 d ln a ,

vagy integrálva:

14.18. egyenlet - (112.6)

3 ln a = d 𝜀 𝜀 + p + c o n s t

(az integrálban az alsó határ állandó).

Ha az 𝜀 és p összefüggése (az anyag állapotegyenlete) ismert, akkor a (112.6) meghatározza 𝜀-t az a függvényében. Ekkor (112.5)-ből

14.19. egyenlet - (112.7)

η = ± d a a 8 π k 3 c 4 𝜀 a 2 1 .

(112.6)(112.7) egyenletek az izotrop zárt modell metrikájának meghatározására vonatkozó feladatot általános alakban oldják meg.

Ha az anyag a térben különálló makroszkopikus testekbe tömörül, akkor az általa létrehozott gravitációs erőtér meghatározásakor ezeket a testeket adott tömegű anyagi részecskéknek tekinthetjük, egyáltalán nem törődve belső szerkezetükkel. A testek sebességét (c-hez képest) kicsinek feltételezve, egyszerűen 𝜀=μc2-et vehetünk, ahol μ a testek egységnyi térfogatra vonatkoztatott összes tömege. Ugyanezért e testekből álló „gáz” nyomása 𝜀-hoz képest nagyon kicsi, így elhanyagolhatjuk (a testek belső nyomása, a mondottak szerint, a vizsgált kérdés szempontjából teljesen érdektelen). Végül a térben levő sugárzás mennyisége kicsi, ezért energiáját és nyomását elhanyagolhatjuk.

A vizsgált modell keretei között tehát a világegyetem jelenlegi állapotának leírására a „porszerű” anyag

𝜀 = μ c 2 , p = 0

állapotegyenletét kell használni.

(112.6)-ban levő integrál ekkor a μa3=const összefüggést adja. Ezt az egyenletet közvetlenül is felírhattuk volna, minthogy egyszerűen azt fejezi ki, hogy a teljes térben levő testek tömegeinek M összege állandó, ami a porszerű anyag esetében természetes.[215] Mivel zárt modellben a tér térfogata V=2π2a3, így const=M∕2π2. Tehát

14.20. egyenlet - (112.8)

μ a 3 = c o n s t = M 2 π 2 .

(112.8)-at behelyettesítve a (112.7) egyenletbe, és elvégezve az integrálást, azt kap juk, hogy

14.21. egyenlet - (112.9)

a = a 0 ( 1 cos η ) ,

ahol az állandó

a0=2kM3πc2.

Végül a t és η(112.3) kapcsolatából az adódik, hogy

14.22. egyenlet - (112.10)

t = a 0 c ( η sin η ) .

(112.9)(112.10) egyenletek paraméteres alakban határozzák meg az a(t) függést. Az a(t) függvény a t=0 (η=0)-nál levő zérus értékétől kezdve a maximális a=2a0 értékéig nő, amelyet t=πa0∕c (η=π) idő alatt ér el, majd a t=2πa0∕c (η=2π) időpontban ismét zérusra csökken.

η≪1 esetén közelítőleg a=a0η2∕2, t=a0η3∕6c, tehát

14.23. egyenlet - (112.11)

a 9 a 0 c 2 2 1 3 t 2 3 .

Az anyag sűrűsége pedig

14.24. egyenlet - (112.12)

μ = 1 6 π k t 2 = 8 1 0 5 t 2

(az együttható számszerű értékéhez, g cm–3-ban adott sűrűségre és másodpercben adott t időre vonatkozik). Vegyük észre, hogy ebben a határesetben a μ(t) függésnek univerzális jellege van abban az értelemben, hogy független az a0 paramétertől.

a→0 esetén a μ sűrűség végtelenhez tart. μ→∞ esetén azonban a nyomás is végtelen naggyá válik, ezért a metrikának ebben a tartományban való tanulmányozására (adott 𝜀 energiasűrűség mellett) a lehető legnagyobb nyomás ellentétes esetét kell megvizsgálnunk, tehát az anyagot a

p = 𝜀 3

állapotegyenlettel írja le (lásd a  35. §-t). Ekkor a (112.6) képletből azt kapjuk, hogy

14.25. egyenlet - (112.13)

𝜀 a 4 = c o n s t 3 c 4 a 1 2 8 π k

(a1 egy új állandó). Ennek felhasználásával a (112.7) és (112.3) egyenletek az

a=a1 sinη,t=a1c(1 cosη)

összefüggésekre vezetnek. Mivel ez a megoldás csak 𝜀 igen nagy értékei (tehát kis a) esetén értelmes, vegyünk η≪1-et. Ekkor a≈a1η, t≈a1η2∕2c, tehát

14.26. egyenlet - (112.14)

a = 2 a 1 c t .

Így

𝜀c2=332πkt2=4,5105t2

(ez az összefüggés sem tartalmaz paramétert).

t→0 esetén most is a→0, tehát a t=0 érték az izotrop modell téridőmetrikájának valódi szinguláris pontja. (Ugyanez vonatkozik zárt modellben a másik pontra is, amelyben a=0.) (112.14)-ből azt is leolvashatjuk, hogy t előjelének megváltoztatása esetén az a(t) függvény képzetessé, négyzete pedig negatívvá válna. Ekkora (112.2)-ben szereplő gik-nak mind a négy komponense negatívvá, a g determináns pedig pozitívvá válna. Egy ilyen metrika fizikailag értelmetlen. Ez azt jelenti, hogy fizikailag értelmetlen a metrikának analitikus folytatása a szinguláris ponton túl.



[215] A félreértések (amelyek az itt mondottaknak a  111. §-ban említettekkel való összehasonlításakor adódhatnak, mely szerint a zárt világ teljes négyesimpulzusa nulla) elkerülése végett hangsúlyozzuk, hogy M az egyes testek tömegeinek összege, gravitációs kölcsönhatásuk figyelembevétele nélkül.