Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

113 §. Nyílt izotrop modell

113 §. Nyílt izotrop modell

Negatív görbületű izotrop térnek megfelelő megoldást (nyílt modell) az előzőekben tárgyalthoz teljesen hasonlóan lehet megkapni. (108.2) helyett ds2 kifejezése most

14.27. egyenlet - (113.1)

d s 2 = c 2 d t 2 a 2 ( t ) { d χ 2 + sh 2 χ ( d 𝜃 2 + sin 2 𝜃 d φ 2 ) } .

t helyett a cdt=adη összefüggéssel ismét vezessük be az η változót; ekkor azt kapjuk, hogy

14.28. egyenlet - (113.2)

d s 2 = a 2 ( η ) { d η 2 d χ 2 sh 2 χ ( d 𝜃 2 + sin 2 𝜃 d φ 2 ) } .

Ez a kifejezés formálisan (112.4)-ből is származtatható, η, χ, a helyett iη, iχ, ia kifejezéseket írva. Ugyanezzel a helyettesítéssel (112.5)-ből és (112.6)-ból a téregyenleteket is megkaphatjuk. A (112.6) egyenlet változatlan alakú marad:

14.29. egyenlet - (113.3)

3 ln a = d 𝜀 𝜀 + p + c o n s t ,

(112.5) helyett pedig azt kapjuk, hogy

14.30. egyenlet - (113.4)

8 π k c 4 𝜀 = 3 a 4 ( a 2 a 2 ) .

Ennek megfelelően (112.7) helyett az

14.31. egyenlet - (113.5)

η = ± d a a 8 π k 3 c 4 𝜀 a 2 + 1

kifejezés adódik. Ebből porszerű anyagra:[216]

14.32. egyenlet - (113.6)

a = a 0 ( ch η 1 ) , t = a 0 c ( sh η η ) ,

14.33. egyenlet - (113.7)

μ a 3 = 3 c 2 4 π k a 0 .

(113.6) képletek paraméteres alakban határozzák meg az a(t) függést. A zárt modelltől eltérően itt a görbületi sugár monoton változik, t=0 (η=0)-nál levő zérus értéktől a t→∞-ben (η→∞) végtelenig nőve. Az anyagsűrűség ennek megfelelően a t=0-ban levő végtelen értéktől kezdődően monoton csökken. [η≪1 esetén e csökkenés ugyanazzal a (112.12) közelítő képlettel adható meg, minta zárt modellben.]

Nagy sűrűségekre a (113.6)(113.7) megoldás nem alkalmazható, ekkor ismét a p=𝜀∕3 állapotegyenletet kell használni. Újra az adódik, hogy

14.34. egyenlet - (113.8)

𝜀 a 4 = c o n s t 3 c 4 a 1 2 8 π k .

Az a(t) függvényre pedig az

a=a1 shη,t=a1c(chη1)

kifejezéseket kapjuk, vagy η≪1 esetén

14.35. egyenlet - (113.9)

a = 2 a 1 c t

[és 𝜀(t)-re az előbbi (113.8) képlet érvényes]. Így a metrikának nyílt modellben is van szinguláris pontja (de a zárt modellel ellentétben csak egy).

Végül a görbületlen (euklideszi) tér modellje a vizsgált megoldásoknak az a határesete, amely végtelen görbületi sugarú térnek felel meg. A ds2 ívelemnégyzetet ebben a modellben

14.36. egyenlet - (113.10)

d s 2 = c 2 d t 2 b 2 ( t ) ( d x 2 + d y 2 + d z 2 )

alakban írhatjuk (térkoordinátáknak az x, y, z Descartes-koordinátákat választottuk). A térbeli távolságelemben szereplő, időtől függő szorzó nyilvánvalóan nem változtatja meg a térbeli metrika euklideszi jellegét, mivel ez adott t esetén állandó, és egyszerű koordinátatranszformációval 1-gyé tehető. Az előző szakaszban elvégzett ehhez hasonló számítások a következő egyenletekre vezetnek:

8πkc2𝜀=3b2dbdt2,3lnb=d𝜀p+𝜀+const.

Kis nyomás esetén azt kapjuk, hogy

14.37. egyenlet - (113.11)

μ b 3 = c o n s t , b = c o n s t t 2 3 .

Kis t-k esetén a p=𝜀∕3 állapotegyenletet kell használni, amiből

14.38. egyenlet - (113.12)

𝜀 b 4 = c o n s t , b = c o n s t t .

A metrikának tehát ebben az esetben is van szinguláris pontja (t=0).

Megjegyezzük, hogy az itt talált összes izotrop megoldás mindegyikére az anyagsűrűség zérustól különböző; üres tér esetén az Einstein-egyenleteknek ilyen megoldásuk nincs.[217] Azt is megemlítjük, hogy matematikai szempontból az izotrop modellek a megoldásoknak a térkoordináták három, fizikailag különböző, tetszőleges függvényét tartalmazó általánosabb osztályának speciális esetei (lásd a feladatot).

Feladat

Határozzuk meg a szinguláris pont közelében egy olyan metrika általános alakját, amelyben a tér tágulása „kvázihomogén”, azaz valamennyi γαβ=–gαβ komponens azonos törvény szerint tart zérushoz (a szinkronizált vonatkoztatási rendszerben). A teret kitöltő anyag állapotegyenlete p=𝜀∕3. (E. M. Lifsic, I. M. Halatnyikov, 1960).

Megoldás. A szinguláris pont (t=0) közelében keressük a megoldást

14.39. egyenlet - (1)

γ α β = t a α β + t 2 b α β +

alakban, ahol aαβ, bαβ a (tér-) koordináták függvényei;[218] az alábbiakban c=1-et használunk. Az inverz tenzor:

γαβ=1taαβbαβ,

ahol az aαβ az aαβ tenzor inverze, és bαβ=aαγaβδbγδ; az alábbiakban az indexek felhúzásának és a kovariáns differenciálásnak összes műveletét az időtől független aαβ metrika segítségével végezzük.

(97.11) és (97.12) egyenletek bal oldalainak 1∕t szerint a szükséges rendben való kiszámításával azt kapjuk, hogy

3 4 t 2 + 1 2 t b = 8 π k 3 𝜀 ( 4 u 0 2 + 1 ) , 1 2 ( b ; a b α ; β β ) = 3 2 π k 3 𝜀 u α u 0

(ahol b=bαα). Figyelembe véve még az

1 = u i u i u 0 2 1 t u α u β a α β

azonosságot is,

14.40. egyenlet - (2)

8 π k 𝜀 = 3 4 t 2 b 2 t , u α = t 2 2 ( b ; α b α ; β β )

összefüggések adódnak.

A háromdimenziós Christoffel-szimbólumok, velük együtt a Pαβ tenzor 1∕t szerinti első közelítésben az időtől függetlenek; Pαβ megegyezik az aαβ metrikával végzett számításból kapott kifejezésekkel. Ezt figyelembe véve azt kapjuk, hogy a (97.13) egyenletben a t–2 rendű tagok kölcsönösen kiejtik egymást, az ∼1∕t tagok pedig azt adják, hogy

P α β + 3 4 b α β + 5 1 2 δ α β b = 0 ,

amiből

14.41. egyenlet - (3)

b α β = 4 3 P α β + 5 1 8 δ α β P

(itt P=aβγPβγ). Figyelembe véve a

Pα;ββ12P;α=0

azonosságot [lásd (92.13)-at], érvényes a

bα;ββ=79b;α

összefüggés, és ezért uα-t

14.42. egyenlet - (4)

u α = t 2 9 b ; α

alakba írhatjuk.

Így mind a hat aαβ függvény tetszőleges marad, de az (1) sorfejtés következő tagjának bαβ együtthatóit az aαβ-k határozzák meg. Az (1) metrikában az idő megválasztását egyértelműen meghatározza az a feltétel, hogy a szinguláris pontban t=0, ugyanakkor a térkoordináták még három, az időt nem érintő tetszőleges transzformációt engednek meg (e transzformációkat például felhasználhatjuk aαβ diagonizálására). Ezért a kapott megoldás mindössze három „fizikailag különböző”, tetszőleges függvényt tartalmaz.

Megjegyezzük, hogy ebben a megoldásban a térmetrika inhomogén és anizotrop, de az anyagsűrűség eloszlása t→0 esetén homogén eloszláshoz tart. A v háromdimenziós sebesség rotációja [a (4) közelítésben] zérus, nagysága pedig a

v 2 = v α v β γ α β t 3

törvény szerint tart zérushoz.



[216] Megjegyezzük, hogy az r =Aeηshχ, cτ =Aeηchχ, Aeη =√(c2τ2–r2), thχ =(r/cτ) transzformációval a (113.2) kifejezést „konform-Galilei”-alakra lehet redukálni:ds2=f(r,τ)[c2dτ2–dr2–r2(d𝜃2+sin2𝜃dφ2)]. Konkrétan, a (113.6) esetben (A=a0∕2 választással) azt kapjuk, hogy ds2=(1–(a0/2√(c2τ2–r2)))4{c2dτ2–dr2–r2(d𝜃2+sin2𝜃dφ2)} (V. A. Fok, 1955). √(c2τ2–r2) nagy értékeinél (amiknek η≫1 felel meg) ez a metrika Galilei-féle metrikához tart; ezt annak alapján természetes volt elvárni, hogy ilyenkor a görbületi sugár végtelenhez tart. r, 𝜃, φ, τ koordinátákban az anyag nem mozdulatlan, eloszlása sem homogén; ekkor az anyag a térben a τ, 𝜃, φ koordináta-rendszer origójának tetszőlegesen választott pontja körül gömbszimmetrikus mozgást végez, és eloszlása is gömbszimmetrikus.

[217] 𝜀=0 esetén, a (113.5) egyenletből azt kaptuk volna, hogy a=a0eη=ct [a (112.7) egyenlet pedig, minthogy gyöke képzetes, értelmét veszti]. A ds2=c2dt2–c2t2{dχ2+sh2χ(d𝜃2+sin2𝜃dφ2)} metrikát ugyanakkor az r=ctshχ, τ=tchχ transzformáció alkalmazásával a ds2=c2dτ2–dr2–r2(d𝜃2+sin2𝜃dφ2) alakra, tehát egyszerűen a Galilei-féle téridő alakjára lehet hozni.

[218] A Friedmann-féle megoldásnak az aβα függvények olyan speciális választása felel meg, amely állandó görbületi sugarú teret ad.