Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

114 §. Vöröseltolódás

114 §. Vöröseltolódás

Valamennyi tanulmányozott megoldás alapvető jellemvonása, hogy a metrika nem stacionárius: a tér görbületi sugara függ az időtől. A görbületi sugár megváltozása ugyanakkor általában a térbeli testek között az összes távolság megváltozására vezet, amint ez már abból is látható, hogy a dl térbeli távolságelem a-val arányos. Így ilyen térben a növekedtével a testek „szétfutnak” (nyílt modellben a növekedésének η>0, zárt modellben pedig 0<η<π felel meg).

Valamelyik testen levő megfigyelő szempontjából ez azt a látszatot kelti, mintha az összes többi test a megfigyelőtől távolodva sugárirányban mozogna. A „szétfutás” sebessége (az adott t időpillanatban) arányos a testek közötti távolsággal.

Az elméletnek e következménye az alapvető csillagászati megfigyelésnek felel meg, amely szerint a galaxisok spektrumvonalai a vörös irányába eltolódnak. Ezt Doppler-eltolódásként értelmezve, a galaxisok „szétfutására” kell következtetnünk, tehát arra, hogy a világegyetem jelenleg tágul.[219]

Vizsgáljuk a fénysugár terjedését izotrop térben. E célból legegyszerűbb abból kiindulnunk, hogy a fényjel terjedésének világvonala mentén ds=0. A χ, 𝜃, φ koordináták origójának válasszuk azt a pontot, amelyből a fénysugár kiindul. Szimmetria-megfontolásokból nyilvánvaló, hogy a fénysugarak radiálisan terjednek, tehát a 𝜃=const, φ=const vonalak mentén. Ennek megfelelően (112.4)-ben vagy (113.2)-ben d𝜃=dφ=0-t véve, azt kapjuk, hogy ds2=a2(dη2–dχ2). Ezt zérussal téve egyenlővé, dη=±dχ, vagy integrálva:

14.43. egyenlet - (114.1)

χ = ± η + c o n s t .

Az η előtt a plusz előjel az origótól távolodó, a mínusz pedig az origóba befutó sugárnak felel meg. Ebben az alakban a (114.1) egyenlet egyaránt alkalmas nyílt és zárt: modellekben terjedő sugarak leírására. Ebből az előző szakasz képleteinek segítségével ki tudjuk fejezni a fénysugár által megtett utat az idő függvényében.

A fénysugár nyílt modellben a kibocsátási ponttól minden határon túl eltávolodik. Zárt modellben viszont a kiindulási pontból kifutó fénysugár végül eljuthat a tér „ellentétes pólusába” (aminek a χ koordináta 0-tól π-ig való változása felel meg); a további terjedés folyamán pedig a sugár a kiindulási ponthoz kezd közeledni. A „tér körbejárásának” a χ koordináta 0-tól 2π-ig való változása felelne meg. (114.1)-ből azt látjuk, hogy ekkor η-nak is 2π-vel kell megváltoznia, ami azonban lehetetlen (egy esetet kivéve, amikor az η=0 pillanatban lép ki a sugár.) Tehát a fénysugár a tér „körbejárásával” soha sem juthat vissza a kiindulási pontba.

A megfigyelési pontba (az origóba) beérkező fénysugárnak a (114.1) negatív előjeles alakja felel meg. Ha a sugár e pontba érkezésének időpillanata t(η0), akkor η=η0 esetén χ-nek zérusnak kell lennie; ilyen sugarak terjedésének egyenlete tehát

14.44. egyenlet - (114.2)

χ = η 0 η

alakú. Ebből látható, hogy a χ=0 pontban levő megfigyelőhöz a t(η0) időpillanatban csak azok a fénysugarak juthatnak el, amelyek χ=η0-nál kisebb „távolságban” levő pontokból indultak ki.

Ez a nyílt és zárt modellekre egyaránt érvényes eredmény rendkívül lényeges. Egy t(η) időpillanatban a tér adott pontjából nem figyelhető meg az egész tér, hanem csupán a χ≤η-nak megfelelő része. Matematikai szempontból a tér „látható tartománya” a négydimenziós téridőből a fénykúp által kimetszett rész. Ez a metszet nyílt és zárt modellek esetén egyaránt végesnek bizonyul. (A nyílt modellben ugyanakkor végtelen a t=const hiperfelülettel való metszet, ez olyan térnek felel meg, amelynek minden pontjához ugyanaz a t időpillanat tartozik.) Ebben az értelemben a zárt és nyílt tér különbsége nem olyan lényeges, mint az első pillanatban gondoljuk.

Egy adott időpillanatban minél messzebb van a megfigyelőtől a tér általa megfigyelt tartománya, ott annál korábbi időpillanatnak megfelelő állapotot észlel. Képzeljünk el egy olyan gömbfelületet, amely azoknak a pontoknak mértani helye, amelyekből a fény a t(η–χ) időpillanatban lépett ki, és az origóban t(η) időpontban figyelték meg. E felület területe 4πa2(η–χ)sin2χ-vel (zárt modellben) vagy 4πa2(η–χ)sh2χ-vel (nyílt modellben) egyenlő. A megfigyelőtől való távolság szerint a „látható gömbfelület” területe először zérus értéktől (χ=0) nő, azután elér egy maximumot, majd újból csökken, χ=η-nál [ahol a(η–χ)=a(0)=0] zérussá válva. Ez azt jelenti, hogy a fénykúppal való metszet nemcsak véges, de zárt is. Mintegy bezáródik a megfigyelővel „ellentétes” pontban; ez a pont a tér bármely irányában végzett megfigyeléssel látható. Ebben a pontban 𝜀→∞, ezért elvileg az anyagfejlődés minden szakasza megfigyelhető.

A megfigyelhető teljes anyagmennyiség nyílt modellben az

M megf = 4 π 0 η μ a 3 sh 2 χ d χ

integrállal egyenlő. (113.7)-ből behelyettesítve μa3-t, azt kapjuk, hogy

14.45. egyenlet - (114.3)

M megf = 3 c 2 a 0 2 k ( sh η ch η η ) .

Ez a mennyiség minden határon túl nő, ha η→∞. Zárt modellben Mmegf növekedését természetesen az M össztömeg korlátozza; ebben az esetben hasonló módon adódik:

14.46. egyenlet - (114.4)

M megf = M π ( η sin η cos η ) .

η-nak 0-tól π-ig való növekedése mértékében ez a mennyiség 0-tól M-ig nő; Mmegf-nek a kapott képlet szerint való további növekedése azonban fiktív, ami egyszerűen annak felel meg, hogy az „összehúzódó” világban a távoli testeket kétszer figyelnénk meg (a teret két oldalról „körbejáró” fénynek megfelelően).

Vizsgáljuk meg most azt, hogyan változik meg a fény frekvenciája izotrop térben való terjedésekor. E célból előzetesen megjegyezzük a következőt. A tér valamely pontjában dt=a(η) dη∕c időkülönbséggel következzék be két esemény. Ha ezeknek az eseményeknek az időpillanataiban fényjelek indulnak el, amelyeket a tér egy másik pontjában megfigyelnek, ekkor e jelek megfigyeléseinek időpillanatai között az η mennyiség ugyanakkora dη megváltozásának megfelelő időtartam telik el, mint a kibocsátás pontjában. Ez közvetlenül következik a (114.1) egyenletből, amely szerint az η mennyiség megváltozása a fénysugár egyik pontból a másik pontba való terjedésének ideje alatt csak e két pont χ koordinátáinak különbségétől függ. Mivel azonban a jel terjedésének ideje alatt az a görbület megváltozott, a két jel kibocsátásának és megfigyelésének időpillanatai között eltelt t időtartamok különbözőek lesznek; ezeknek az időtartamoknak az aránya egyenlő az a megfelelő értékeinek arányával.

Ebből speciálisan az következik, hogy a fényrezgések t világidőben mért periódusai a sugár mentén a-val arányosan változnak. Nyilvánvaló, hogy a fény frekvenciája a-val fordítottan arányos. Így a fény terjedése közben a sugár mentén állandó az alábbi szorzat:

14.47. egyenlet - (114.5)

ω a = c o n s t .

Tételezzük fel, hogy a t(η) időpillanatban megfigyeljük a χ koordináta határozott értékének megfelelő távolságban levő forrás által kibocsátott fényt. A kibocsátás pillanata (114.1) szerint a t(η–χ) időpont. Ha a fény frekvenciája kibocsátásának pillanatában ω0, akkor az általunk megfigyelt ω frekvencia (114.5) szerint:

14.48. egyenlet - (114.6)

ω = ω 0 a ( η χ ) a ( η ) .

Monoton növekedő a(η) függvény esetén ω<ω0, tehát a fény frekvenciája csökken, vagyis a beérkező fény spektrumát megfigyelve azt tapasztaljuk, hogy összes vonala a vörös irányába eltolódik a közönséges feltételek között levő anyagok azonos vonalaihoz képest. Ez a jelenség a vöröseltolódás, ami lényegében az egymástól távolodó testek Doppler-effektusa.

A vöröseltolódás nagysága, amelyet az eltolt frekvenciának a nem eltolt frekvenciához való ω∕ω0 arányával mérhetünk, függ a megfigyelt fényforrás távolságától (a megfigyelés adott pillanatában), ui. a (114.6) hányadosban szerepel a fényforrás χ koordinátája. Nem túl nagy távolságok esetén az a(η–χ)-t χ szerint sorba fejthetjük. Az első két tagra szorítkozva, azt kapjuk, hogy

ω ω 0 = 1 χ a ( η ) a ( η )

(a vessző η szerinti deriválást jelöl). Megjegyezzük továbbá, hogy a χa(η) szorzat éppen a megfigyelt forrás l távolsága. Valóban, a „sugárirányú” ívelem dl=adχ; ennek az összefüggésnek az integrálásakor felmerül a kérdés: a fizikai megfigyelés mely módszerével határozzuk meg a távolságot, ettől függően a-nak az integrálási út különböző pontjaiban a különböző időpillanatbeli értékeit kell vennünk. (Az η=const mellett vett integrálás az út összes pontja egyidejű figyelembevételének felelne meg.) „Kis” távolságok esetén a változása elhanyagolható az integrálási út mentén, és egyszerűen l=aχ írható, a-nak a megfigyelés pillanatában vett értékével.

Végeredményül a frekvencia megváltozásának relatív nagyságára a következő képletet kapjuk:

14.49. egyenlet - (114.7)

z = ω 0 ω ω 0 = H c l ,

ahol a HHubble-állandó:

14.50. egyenlet - (114.8)

H = c a ( η ) a 2 ( η ) = 1 a d a d t .

Ez a mennyiség a megfigyelés adott pillanatában független l-től. Így a spektrumvonalak relatív eltolódása arányos a fényforrásnak a megfigyelőtől való távolságával.

A vöröseltolódást Doppler-effektus eredményének tekintve, meghatározhatjuk a galaktikák megfigyelőtől való távolodásának v sebességét. z=v∕c-t (114.7)-tel összehasonlítva, azt kapjuk, hogy

14.51. egyenlet - (114.9)

v = H l .

[Ezt a képletet a v=d(aχ)∕dt derivált kiszámításával közvetlenül is meg lehet kapni.]

A csillagászati adatok megerősítik a (114.7) törvényt, de a Hubble-állandó értékének meghatározását megnehezíti a távoli galaxisok kozmikus távolságmeghatározásánál fellépő bizonytalanság. A legújabb mérések a

14.52. egyenlet - (114.10)

H 0 , 8 1 0 1 0 év 1 = 0 , 2 5 1 0 1 7 s 1 , 1 H 4 1 0 1 7 s = 1 3 1 0 9 év

értékekre vezetnek. Ez az érték megaparsec-enként 75 km/s „szétfutási sebességet” ad.[220]

(113.4) egyenletbe 𝜀=μc2 és H=ca′∕a2-et helyettesítve, a nyílt modellre a következő összefüggést kapjuk:

14.53. egyenlet - (114.11)

c 2 a 2 = H 2 8 π k 3 μ .

Ezt az egyenletet összevetve a

H=cshηa0(chη1)2=cacthη2

egyenlőséggel, az adódik, hogy

14.54. egyenlet - (114.12)

ch η 2 = H 3 8 π k μ .

Zárt modellre hasonló módon:

14.55. egyenlet - (114.13)

c 2 a 2 = 8 π k 3 μ H 2 ,

amiből

14.56. egyenlet - (114.14)

cos η 2 = H 3 8 π k μ .

(114.11)-et és (114.13)-at összehasonlítva látjuk, hogy a tér görbülete a (8πkμ/3)–H2 különbség előjelétől függően negatív vagy pozitív. Ez a különbség μ=μk esetén válik zérussá, ahol

14.57. egyenlet - (114.15)

μ k = 3 H 2 8 π k .

(114.10) ismeretében azt kapjuk, hogy μk≈1⋅10–29 g/cm3. A csillagászat mai állásánál a térbeli átlagos anyagsűrűséget csak igen durván lehet megbecsülni. A becslés, amely a galaxisok megszámlálásán és a bennük levő tömeg átlagos értékén alapul, mai ismereteink alapján 3⋅10–31 g/cm3 körüli értéket ad. Ez 30-szor kisebb, mint μk ilyen módon a nyílt modell mellett tanúskodhat. De attól eltekintve, hogy ez az érték maga is bizonytalan, nem szabad azt sem elfelejtenünk, hogy ebben a számban nincs figyelembe véve egy esetleges intergalaktikus gáz létezése, amely lényegesen megnövelhetné az anyag átlagsűrűségét.

Felírunk még egy egyenlőtlenséget, amely a H mennyiség ismert értéke mellett alkalmazható. Nyílt modellre H=cshη∕a0(chη–1)2, amiből

t = a 0 c ( sh η η ) = sh η ( sh η η ) H ( ch η 1 ) 2 .

Mivel 0<η<∞ fennáll a

14.58. egyenlet - (114.16)

2 3 H < t < 1 H

egyenlőtlenség. Zárt modellre ugyanúgy kapjuk, hogy

t=sinη(η sinη)H(chη1)2.

a(η) növekedésének a 0<η<π tartomány felel meg; ezért azt kapjuk, hogy

14.59. egyenlet - (114.17)

0 < t < 2 3 H .

Határozzuk meg a megfigyelőhöz a χ koordináta adott értékének megfelelő távolságú forrásból jutó fény I intenzitását. A fényenergia áramsűrűsége a megfigyelési pontban fordítottan arányos annak a gömbnek a felületével, amelynek középpontja a forrás, és amely átmegy a vizsgált ponton. Negatív görbületű térben a gömb felülete 4πa2sh2χ. A forrás által dt=a(η–χ) dη∕c idő folyamán kibocsátott fény a megfigyelési pontba a(η) dt∕a(η–χ)=a(η) dη∕c idő alatt érkezik. Mivel az intenzitás az időegységre eső energiaáram, I-ben szerepelni fog az a(η–χ)∕a(η) tényező. Végül a hullámcsomag energiája arányos a frekvenciával [lásd (53.9)], mivel a frekvencia a fény terjedése folyamán (114.5) szerint változik, ez I-ben még egy a(η–χ)∕a(η) szorzó megjelenésére vezet. Végeredményben az intenzitást

14.60. egyenlet - (114.18)

I = c o n s t a 2 ( η χ ) a 4 ( η ) sh 2 χ

alakban kapjuk meg. Zárt modellre hasonló módon az adódik, hogy

14.61. egyenlet - (114.19)

I = c o n s t a 2 ( η χ ) a 4 ( η ) sin 2 χ .

Ezek a képletek adják meg az objektum megfigyelt fényességének távolságfüggését (adott abszolút fényesség esetén). Kis χ-re közelítőleg a(η–χ)≈a(η) írható, ekkor I∼1∕a2(η)χ2=1∕l2, ami az intenzitásnak a távolság négyzetével arányos megszokott csökkenése.

Végül vizsgáljuk meg a testek úgynevezett valódi mozgásával kapcsolatos kérdést. Az anyag mozgásáról és sűrűségéről beszélve, mindig átlagolt mozgást és átlagolt sűrűséget értettünk; az eddig használt vonatkoztatási rendszerben a mozgás átlagsebessége zérus. A testek valódi sebességei az átlag körül szórnak. A testek valódi mozgásának sebessége az időben változik. Az időbeli változás meghatározása céljából vizsgáljunk egy szabadon mozgó testet, és helyezzük a koordináta-rendszer kezdőpontját a pálya valamely pontjába. Ekkor a pálya radiális vonal lesz, amelyre 𝜃=const, φ=const. A (87.6) Hamilton–Jacobi-egyenlet gik értékeinek behelyettesítése után az alábbi alakot ölti:

14.62. egyenlet - (114.20)

S χ 2 S η 2 + m 2 c 2 a 2 ( η ) = 0 .

Mivel ez utóbbi egyenlet együtthatóiban χ nem szerepel (tehát χ ciklikus koordináta), fennáll a ∂S∕∂χ=const megmaradási törvény. A mozgó test p impulzusa az általános definíció szerint p=∂S∕∂l=∂S∕a∂χ. Ezért a test mozgása folyamán a pa szorzat állandó marad:

14.63. egyenlet - (114.21)

p a = c o n s t .

A test sajátmozgásának v sebességét a

p=mv1v2c2

képlet szerint bevezetve, azt kapjuk, hogy

14.64. egyenlet - (114.22)

v a 1 v 2 c 2 = c o n s t .

E törvény határozza meg a sebességek időbeli változását. a növekedtével a v sebességek monoton csökkennek.

Feladatok

1. Határozzuk meg a galaxisok látható fényességét vöröseltolódásuk függvényében a sorfejtés második tagjáig bezárólag; a galaxisok abszolút fényessége időben az Iabs=const⋅eαi exponenciális törvény szerint változik (H. Robertson, 1955).

Megoldás. Az η „időpillanatban” megfigyelt köd látható fényességének a χ távolságtól való, függését (zárt modellben) az

I = c o n s t e α [ i ( η χ ) t ( η ) ] a 2 ( η χ ) a 4 ( η ) sin 2 χ

képlet adja. A (114.7) szerint definiált vöröseltolódás:

z = ω 0 ω ω = a ( η ) a ( η χ ) a ( η χ ) .

I-t és z-t χ szerint sorba fejtve [az a(η) és t(η) függvényeket (112.9)-ből és (112.10)-ből vesszük], a kapott kifejezésekből χ-t kiküszöbölve, eredményül adódik, hogy

I = c o n s t 1 z 2 1 1 q 2 + α c h z ,

ahol bevezettük a

q = 2 1 + cos η = μ μ k > 1

jelölést. Nyílt modellre ugyanez a képlet érvényes, de akkor

q = 2 1 + ch η = μ μ k < 1 .

2. Határozzuk meg egy adott sugarú „gömb” belsejében levő galaxisok számát megadó függvény sorfejtésének első tagjait mint e gömb határán észlelhető vöröseltolódás függvényét. (Tegyük fel, hogy a galaxisok térbeli eloszlása homogén.)

Megoldás. A χ-nél kisebb vagy azzal egyenlő „távolságban” levő galaxisok száma (zárt modellben):

N = c o n s t 0 χ sin 2 χ d χ c o n s t χ 3 .

Behelyettesítve ide a χ(z) függvény sorának első két tagját, azt kapjuk, hogy

N = c o n s t z 3 1 3 4 ( 2 + q ) z .

Ez a képlet ilyen alakban nyílt modellre is igaz.



[219] Azt a következtetést, hogy a(t) növekedtével a testek „szétfutnak”, természetesen csak akkor vonhatjuk le, ha teljesül az a feltétel, hogy a testek kölcsönhatási energiája kicsi a „szétfutásuknak” megfelelő mozgás kinetikus energiájához képest; ez mindenesetre teljesül az egymástól elég távol levő galaxisok esetében. Az ellenkező határesetben a testek kölcsönös távolságát elsősorban kölcsönhatásaik határozzák meg; ezért például a vizsgált jelenségnek nem kell fellépnie a galaxisok, még kevésbé bolygórendszerek méreteiben.

[220] Léteznek olyan frissebb becslések, amelyek H-ra kisebb értéket adnak. Ez megaparsec-enként 55 km/s szétfutási sebességnek felel meg; ekkor 1∕H≈18⋅109 év.