Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

116 §. Homogén terek

116 §. Homogén terek

A tér homogén és izotrop voltának feltételezése a metrikát teljesen meghatározza (mindössze a görbület előjelét hagyja szabadon). Lényegesen nagyobb szabadságot engedünk meg, ha csupán annyit tételezünk fel, hogy a tér homogén, mindenféle járulékos szimmetria nélkül. Vizsgáljuk meg homogén terek metrikus tulajdonságait.

Adott t időpillanatban vizsgált tér metrikájáról lesz szó. Emellett feltételezzük, hogy a vonatkoztatási rendszer szinkronizált, tehát t egységes, az egész térre szinkronizált idő.

A homogenitás azt jelenti, hogy a metrikus tulajdonságok a tér minden pontjában ugyanazok. E fogalom pontos meghatározása érdekében meg kell vizsgálnunk az összes olyan koordinátatranszformációt, amely a teret önmagába viszi át, azaz változatlanul hagyja annak metrikáját: ha a transzformáció előtt az ívelemnégyzet

d l 2 = γ α β ( x 1 , x 2 , x 3 ) d x α d x β

volt, akkor a transzformáció után ugyanez az ívelemnégyzet

d l 2 = γ α β ( x 1 , x 2 , x 3 ) d x α d x β

lesz az új koordinátáknak ugyanazokkal a γαβ függvényeivel. A tér akkor homogén, ha megenged minden olyan transzformációt (az úgynevezett mozgáscsoportot), amelynek segítségével a tér egy adott pontját bármelyik pontjával helyettesíthetjük. Mivel a tér háromdimenziós, nyilvánvaló, hogy ez esetben a csoport különböző transzformációit három független paraméter határozza meg.

Euklideszi térben a tér homogenitása abban jut kifejezésre, hogy a metrika invariáns a Descartes-féle koordináta-rendszer párhuzamos eltolásaival (transzlációival) szemben. Mindezek a transzformációk változatlanul hagyják a három független (dx, dy, dz) differenciált, a hosszúságelem pedig belőlük épül fel.

A nemeuklideszi homogén tér általános esetében a megfelelő mozgáscsoport szintén változatlanul hagyja a három független lineáris differenciális formát, amelyek azonban nem alkotják a koordináták bizonyos függvényeinek teljes deriváltjait. Írjuk fel ezeket a formákat

14.86. egyenlet - (116.1)

e a ( a ) d x α

alakban, ahol az (a) latin index a három független (koordinátáktól függő) bázisvektor sorszámát jelöli.

(116.1) formák segítségével az adott mozgáscsoporttal szemben invariáns térmetrikát a

14.87. egyenlet - (116.2)

d l 2 = η a b ( e α ( a ) d x α ) ( e β ( b ) d x β )

képlettel adhatjuk meg, azaz a metrikus tenzor

14.88. egyenlet - (116.3)

γ α β = η a b e α ( a ) e β ( b )

alakú, ahol az a, b indexekben szimmetrikus ηab együtthatók az idő függvényei.

Tehát a három bázisvektor segítségével a térmetrika „háromláb” ábrázolásához jutottunk; erre az ábrázolásra a  98. §-ban kapott összes képlet alkalmazható. Megjegyezzük, hogy a bázisvektorok megválasztásának módját a tér szimmetriatulajdonságai sugallják, azok általában nem ortogonálisak (az ηab mátrix nem diagonális).

Akárcsak a  98. §-ban, az eα(a) vektorhármas mellett itt is bevezetjük az e(a)α reciprok vektorokat, amelyekre

14.89. egyenlet - (116.4)

e ( a ) α e α ( b ) = δ a b , e ( a ) α e β ( a ) = δ β α .

A háromdimenziós esetben a bázisvektorok és reciprokaik kapcsolatát expliciten is megadhatjuk vektorszorzatok segítségével:

14.90. egyenlet - (116.5)

e 1 = 1 v ( e 2 × e 3 ) , e 2 = 1 v ( e 3 × e 1 ) , e 3 = 1 v ( e 1 × e 2 ) ,

ahol

v=|eα(a)|=e(1)(e(2)×e(3)).

Az e(a) és e(a) vektorokat úgy kell értenünk, mint olyan Descartes-féle vektorokat, amelyeknek komponensei e(a)α, illetve eα(a). A (116.3) metrikus tenzor determinánsa:

14.91. egyenlet - (116.6)

γ = η v 2 ,

ahol η az ηab mátrix determinánsa.

(116.1) differenciális formák invarianciája azt jelenti, hogy;

14.92. egyenlet - (116.7)

e α ( a ) ( x ) d x α = e α ( a ) ( x ) d x α ,

ahol eα(a)-k az egyenlet mindkét oldalán a régi és az új koordinátáknak ugyanazok a függvényei. Ezt az egyenlőséget e(a)β(x′)-vel szorozva, a dx′β=(∂x′β∕∂xα) dxα helyettesítés elvégzése és az azonos dxα differenciálok együtthatóinak összehasonlítása után azt kapjuk, hogy

14.93. egyenlet - (116.8)

x β x α = e ( a ) β ( x ) e α ( a ) ( x ) .

Ez egy differenciálegyenlet-rendszer, amelyből az x′β(x) függvényeket meghatározhatjuk az adott bázisvektorok segítségével.[227] Az integrálhatóság szükséges feltétele, hogy a (116.8) egyenletek azonosan eleget tegyenek a

2xβxαxγ=2xβxγxα

feltételeknek. A deriváltak kiszámítása után azt kapjuk, hogy

e(a)β(x)xδe(b)δ(x)e(b)β(x)xδe(a)δ(x)eγ(b)(x)eα(a)(x)=e(a)β(x)eγ(a)(x)xαeα(a)(x)xγ.

Mindkét oldalt e(d)α(x)e(c)γ(x)eβ(f)(x′)-vel szorozva és áthárítva a differenciálást egyes tényezőkről másokra, a bal oldalon (116.4) figyelembevételével azt kapjuk, hogy

eβ(f)(x)e(d)β(x)xδe(c)δ(x)e(c)β(x)xδe(d)δ(x)=e(c)β(x)e(d)δ(x)eβ(f)(x)xδeδ(f)(x)xβ,

a jobb oldalon pedig ugyanilyen kifejezés adódik, csak x függvényként. Mivel x és x′ tetszőlegesek, ez azt jelenti, hogy a két oldal külön-külön állandó:

14.94. egyenlet - (116.9)

e α ( c ) x β e β ( c ) x α e ( a ) α e ( b ) β = C c a b .

A Ccab állandókat a csoport struktúraállandóinak nevezzük. Mindkét oldalt e(c)γ-vel megszorozva, (116.9) az

14.95. egyenlet - (116.10)

e ( a ) α e ( b ) γ x α e ( b ) β e ( a ) γ x β = C c a b e ( c ) γ

alakba írható át.

(116.10) egyenletek a tér homogenitásának keresett feltételeit adják. A (116.9) egyenlet bal oldalán levő kifejezés megegyezik a (98.10) alatt definiált mennyiségekkel, amelyek ezek szerint állandók.

A struktúraállandók alsó indexeikben definíciószerűen antiszimmetrikusak:

14.96. egyenlet - (116.11)

C c a b = C c b a .

C c a b-kre még egy azonosságot kapunk, ha figyelembe vesszük, hogy a (116.10) egyenlet ekvivalens az

14.97. egyenlet - (116.12)

[ X a , X b ] X a X b X b X a = C c a b X c

csereszabállyal, ahol

14.98. egyenlet - (116.13)

X a = e ( a ) α x α

lineáris differenciáloperátor.[228] Ekkor az említett összefüggés az

[[Xa,Xb],Xc]+[[Xb,Xc],Xa]+[[Xc,Xa],Xb]=0

azonosságból (az úgynevezett Jacobi-azonosságból) következik, és

14.99. egyenlet - (116.14)

C f a b C d c f + C f b c C d a f + C f c a C d b f = 0

alakú.

A háromindexes Ccab állandókkal szemben határozott előnnyel rendelkeznek a duális transzformációval adódó

14.100. egyenlet - (116.15)

C c a b = e a b d C d c

kétindexes mennyiségek, ahol eabc=eabc az antiszimmetrikus egységtenzor (e123=+1). Az említett állandók használatával a (116.12) csereszabályok

14.101. egyenlet - (116.16)

e a b c X b X c = C a d X d

alakba írhatók. A (116.11) tulajdonságot már a (116.15) definícióban figyelembe vettük, a (116.14) tulajdonság pedig

14.102. egyenlet - (116.17)

e b c d C c d C b a = 0

alakú. Megjegyezzük azt is, hogy a Cab mennyiségek (116.9) definíciója vektoralakban is felírható:

14.103. egyenlet - (116.18)

C a b = 1 v e ( a ) rot e ( b ) ,

ahol a vektorműveleteket ismét úgy kell elvégeznünk, mintha az xα koordináták Descartes-félék volnának.

(116.1) differenciális formákban szereplő bázisvektorok (és velük együtt az Xa operátorok) megválasztása természetesen nem egyértelmű. Azokat tetszőleges állandó együtthatójú lineáris transzformációknak vethetjük alá:

14.104. egyenlet - (116.19)

e ( a ) = A a b e ( b ) .

Ilyen transzformációkkal szemben ηab és Cab tenzorként viselkednek.

A Cab állandóknak csupán a (116.17) feltételeket kell kielégíteniük. Az állandóknak e feltételek által megengedett sorozatai között azonban ekvivalensek is vannak abban az értelemben, hogy azok a (116.19) transzformációkkal egymásba vihetők. A homogén terek osztályozásának feladata visszavezethető a struktúraállandók összes inekvivalens sorozatainak meghatározására. Ezt a Cab mennyiségek „tenzor-tulajdonságainak” felhasználásával a következő egyszerű módszerrel végezhetjük el (C. G. Behr, 1962).

A Cab nem szimmetrikus „tenzort” szimmetrikus és antiszimmetrikus részekre bontjuk fel. A szimmetrikus részt nab-vel jelöljük, az antiszimmetrikus részt pedig kifejezzük a vele duális ac „vektorral”:

14.105. egyenlet - (116.20)

C a b = n a b + e a b c a c .

Ezt (116.17)-be helyettesítve az

14.106. egyenlet - (116.21)

n a b a b = 0

feltételhez jutunk.

(116.19) transzformációkkal a szimmetrikus nab „tenzor” diagonális alakra hozható: főértékei legyenek n1, n2, n3. A (116.21) egyenlőség azt mutatja, hogy az ab, „vektor” (ha létezik) az nab „tenzor” egyik főirányába mutat, abba, amely zérus főértéknek felel meg. Ezért az általánosság korlátozása nélkül ab=(a,0,0) írható. Ekkor (116.21) az an1=0 egyenlőségre redukálódik, tehát az a vagy n1 közül az egyik zérus. A (116.16) csereszabályok pedig

14.107. egyenlet - (116.22)

[ X 1 , X 2 ] = a X 2 + n 3 X 3 , [ X 2 , X 3 ] = n 1 X 1 , [ X 3 , X 1 ] = n 2 X 2 + a X 3

alakúak lesznek. Ezek után még megváltoztathatjuk az operátorok előjelét, és azokat dilatációs transzformációnak vethetjük alá (megszorozhatjuk egy állandóval). Ez lehetővé teszi, hogy egyidejűleg megváltoztassuk az összes n1, n2, n3 előjelét, a-t pedig pozitívvá tehetjük (ha zérustól különböző). Ha az a, n2, n3 mennyiségek közül legalább az egyik zérus, az összes struktúraállandót is ±1-gyé tehetjük. Ha viszont mind a három különbözik zérustól, akkor a dilatációs transzformációk változatlanul hagyják az a2∕n2n3 hányadost.[229]

Így megkapjuk a homogén terek lehetséges típusainak osztályozását. A táblázat első oszlopában azt a számot tüntetjük fel, amellyel a Bianchi-féle osztályozás (L. Bianchi, 1918)[230] típusait általában jelölni szokták:

      
Típus a n 1 n 2 n 3
      
I 0 0 0 0
II 0 1 0 0
VII 0 1 1 0
VI 0 1 –1 0
IX 0 1 1 1
VIII 0 1 1 –1
V 1 0 0 0
IV 1 0 0 1
VII a 0 1 1
III VI (a=1) (a≠1)} a 0 1 –1
      

Az I jelű típus az euklideszi tér; a térbeli görbületi tenzor minden komponense zérus [lásd alább a (116.24) képletet]. A Galilei-metrika triviális esetén kívül ide tartozik még a következő szakaszban tárgyalandó, időtől függő metrika is.

A IX jelű típus speciális esetként tartalmazza az állandó pozitív görbületű teret. Ezt úgy kaphatjuk meg, hogy a (116.2) ívelemben ηab=δab∕4λ-t helyettesítünk, ahol λ pozitív állandó. Valóban, C11=C22=C33=1 értékekkel számolva (ezek a IX típus struktúraállandói),(116.24) alapján P(a)(b)=(1/2)δab adódik, így

P α β = P ( a ) ( b ) e α ( a ) e β ( b ) = 2 λ γ α β ,

ami pontosan az említett térnek felel meg [lásd (111.3)-at].

Hasonlóan, az állandó negatív görbületű tér az V jelű típus speciális esete. Valóban, ηab=δab∕λ-t helyettesítve, és a C23=–C32=1 értékekkel P(a)(b)-t (116.24) szerint kiszámítva, azt kapjuk, hogy

P ( a ) ( b ) = 2 δ a b , P α β = 2 λ γ α β ,

ami állandó negatív görbületnek felel meg.

Végül megmutatjuk hogyan lehet a homogén terű világ Einstein-egyenleteit olyan közönséges differenciálegyenlet-rendszerre redukálni, amely csak időtől függő függvényeket tartalmaz. E célból a négyesvektorok és négyestenzorok komponenseit fejtsük ki az adott tér bázisvektorainak triplettje szerint:

R ( a ) ( b ) = R α β e ( a ) α e ( b ) β , R 0 ( a ) = R 0 α e ( a ) α , U ( a ) = U α e α ( a ) ,

ahol mindezek a mennyiségek csupán a t idő függvényei; a skalármennyiségek úgyszintén időfüggvények, ilyen az 𝜀 energiasűrűség és a p nyomás.

Szinkronizált vonatkoztatási rendszerben az Einstein-egyenleteket a háromdimenziós ϰαβ és Pαβ tenzorok segítségével (97.11)(97.13) szerint fejezhetjük ki. Az elsőre egyszerűen azt kapjuk, hogy

14.108. egyenlet - (116.23)

ϰ ( a ) ( b ) = η ̇ a b , ϰ ( a ) ( b ) = η ̇ a c η c b

(a pont idő szerinti deriválást jelent). Ugyanakkor a P(a)(b) komponenseket az ηab mennyiségekkel és a csoport struktúraállandóival (98.14) segítségével fejezhetjük ki. A háromindexes λabc=Cabc állandóknak kétindexes Cab állandókra való cserélése és egy sor átalakítás után:[231]

14.109. egyenlet - (116.24)

P ( a ) ( b ) = 1 2 η { 2 C b d C a d + C d b C a d + C b d C d a C d d ( C b a + C a b ) + δ a b [ ( C d d ) 2 2 C d f C d f ] } .

Itt az általános szabállyal összhangban:

Cab=ηacCcb,Cab=ηacηbdCcd.

Azt is megjegyezzük, hogy a háromdimenziós Pαβ tenzorra vonatkozó Bianchi-azonosság homogén térben

14.110. egyenlet - (116.25)

P b c C b c a + P a c C b c b = 0

alakú.

A négydimenziós Ricci-tenzor[232] bázisösszetevőire végeredményül az alábbi kifejezéseket kapjuk:

R00=12ϰ ̇(a)(a)14ϰ(a)(b)ϰ(b)(a),R(a)0=12ϰ(b)(c)(CbcaδabCddc),(116.26)R00=12ηηϰ(a)(b)P(a)(b).

Hangsúlyozzuk, hogy az Einstein-egyenletek felállításához, ilyen módon nincs szükségünk a bázisvektorok explicit koordinátafüggésének ismeretére.



[227] x′β→xβ+ξβ alakú transzformációk esetén, ahol ξβ-k kicsik, (116.8)-ból a (∂ξβ/∂xα)=ξγ(∂e(a)β/∂xγ)eα(a) (116,8a) egyenletek adódnak. Ezeknek az egyenleteknek három lineárisan független ξ(b)β (b=1,2,3) megoldása meghatározza a tér mozgáscsoportjának infinitezimális transzformációit. A ξ(b)β vektorokat Killing-vektoroknak nevezzük (lásd a  94. §  12 számú lábjegyzetét).

[228] Az úgynevezett folytonos csoportok (vagy Lee-csoportok) matematikai elméletében a (116.12) alakú feltételeknek eleget tevő operátorokat a csoport generátorainak nevezik. Más tárgyalásmódokkal való összehasonlítás esetén adódható félreértések elkerülése végett azonban megjegyezzük, hogy a folytonos csoportok szisztematikus elméletét rendszerint az Xa=ξ(a)α∂∕∂xα Killing-vektorok segítségével definiált generátorokból kiindulva építik fel.

[229] Szigorúan véve, a „tenzortulajdonságainak” megtartása érdekében a (116.15) definícióban még egy √η szorzót is be kellett volna írnunk (lásd a  83. §-ban mondottakat arról, hogyan kell tetszőleges koordinátatranszformációk esetén antiszimmetrikus egységtenzort definiálni). Itt nem megyünk bele ilyen részletekbe: a kitűzött cél eléréséhez a struktúraállandók transzformációs törvényét közvetlenül a (116.22) egyenlőségekből is meghatározhatjuk.

[230] Az a paraméter az összes pozitív értéket befutja. A megfelelő típusok ténylegesen különböző csoportok egyparaméteres összességei, azoknak az összevont VI és VII típusokba való egyesítése feltételes jellegű.

[231] Felhasználjuk az ηadηbeηcfedef=ηeabc, eabfecdf=δaδbd–δadδbc képleteket.

[232] Az Rα0-ban szereplő ϰα;γβ kovariáns deriváltakat a  98. §  36 számú lábjegyzetében megadott képlet segítségével alakíthatjuk át.