Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

117 §. Sík anizotrop modell

117 §. Sík anizotrop modell

Az a tény, hogy az izotrop modell a világegyetem fejlődése későbbi szakaszainak megfelelő leírását adja, önmagában még nem ad alapot arra a várakozásra, hogy az izotrop modell ugyanúgy alkalmas a fejlődés időszingularitás közelében levő korábbi szakaszainak leírására is. A kérdést a  119. §-ban részletesen tárgyaljuk majd. Ebben és a következő szakaszokban pedig előzetesen megvizsgáljuk az Einstein-egyenleteknek azokat a megoldásait, amelyeknek szintén van időbeli szingulárisuk, de a Friedmann-féle szingularitástól elvileg különböző típusúak.

Azt a megoldást keressük, amelyben a vonatkoztatási rendszer alkalmas megválasztása esetén a metrikus tenzor összes komponense csupán egyetlen változótól, az x0=t időtől függ.[233] Ilyen kérdést már a  109. §-ban tanulmányoztunk, ahol azonban csak a |gαβ|=0 esetet vizsgáltuk meg. Most feltételezzük, hogy ez a determináns zérustól különbözik. Amint a  109. §-ban megmutattuk, ilyen esetben az összes g0α-t az általánosság korlátozása nélkül zérusnak vehetjük. Ezek után t-nek √(g00) dt→dt transzformációjával g00-t egységnyivé tehetjük, így szinkronizált vonatkoztatási rendszert kapunk, amelyben

14.111. egyenlet - (117.1)

g 0 0 = 1 , g 0 α = 0 , g α β = γ α β ( t ) .

Az Einstein-egyenleteket a (97.11)(97.13) alakban használhatjuk. Mivel a γαβ mennyiségek és velük együtt a ϰαβ=γ̇αβ háromdimenziós tenzor komponensei sem függenek az xα koordinátáktól, R0α≡0. Ugyanezért Pαβ≡0, és végeredményben a gravitációs egyenletek vákuumban a következő egyenletrendszerre vezetnek:

14.112. egyenlet - (117.2)

ϰ ̇ α α + 1 2 ϰ α β ϰ β α = 0 ,

14.113. egyenlet - (117.3)

1 γ γ ϰ α β = 0 .

(117.3)-ból következik, hogy

14.114. egyenlet - (117.4)

γ ϰ α β = 2 λ α β ,

ahol λαβ-k állandó mennyiségek. Az α és β indexek összeejtésével azt kapjuk, hogy

ϰαα=γ̇γ=2γλαα,

amiből látható, hogy γ=const⋅t2. Az általánosság korlátozása nélkül const=1-et vehetünk (ez egyszerűen az xα koordináták egységének megváltoztatásával érhető el); ekkor λαα=1. Ezután (117.4)-et (117.2)-be helyettesítve, a

14.115. egyenlet - (117.5)

λ α β λ β α = 1

összefüggést kapjuk, amely a λαβ állandók között létesít kapcsolatot.

Továbbá (117.4)-ben lehúzva a β indexet, ezeket az egyenlőségeket γαβ-ra vonatkozó közönséges differenciálegyenlet-rendszer alakjába írjuk át:

14.116. egyenlet - (117.6)

γ ̇ α β = 2 t λ α γ γ γ β .

A λαγ együtthatók összességét egy lineáris helyettesítés mátrixának tekinthetjük. Az x1, x2, x3 koordináták (vagy ami ezzel ekvivalens, a g1β, g2β, g3β mennyiségek) megfelelő lineáris transzformációjának segítségével e mátrix általában átlós alakra hozható. Legyenek a mátrix főértékei: p1, p2, p3; tételezzük fel, hogy mindegyikük valós, és különbözőek (az egyéb eseteket lásd később); a megfelelő sajátirányokba mutató egységvektorok legyenek n(1), n(2), n(3). Ekkor a (117.6) egyenlet megoldása

14.117. egyenlet - (117.7)

γ α β = t 2 p 1 n α ( 1 ) n β ( 1 ) + t 2 p 2 n α ( 2 ) n β ( 2 ) + t 2 p 3 n α ( 3 ) n β ( 3 )

alakban írható (a t hatványai előtt álló együtthatók a koordináták egységeinek alkalmas megválasztásával mindig 1-gyé tehetők). Végül az n(1), n(2), n(3) vektorok irányait választva a koordinátatengelyek (jelük legyen: x, y, z) végleges irányaiként, a metrikát az alábbi alakra hozhatjuk (E. Kasner, 1922):

14.118. egyenlet - (117.8)

d s 2 = d t 2 t 2 p 1 d x 2 t 2 p 2 d y 2 t 2 p 3 d z 2 .

Itt p1, p2, p3 tetszőleges három szám, melyek két összefüggésnek tesznek eleget:

14.119. egyenlet - (117.9)

p 1 + p 2 + p 3 = 1 , p 1 2 + p 2 2 + p 3 2 = 1

[az első abból következik, hogy –g=t2, a második pedig ezután (117.5)-ből].

A p1, p2, p3 számok nyilván nem lehetnek egymással egyenlők. Kettő közülük csak akkor lehet egyenlő, ha a három érték vagy (0,0,1), vagy (–(1/3),(2/3),(2/3)). Minden más esetben a p1, p2, p3 számok különbözőek, egyikük negatív, a másik kettő pedig pozitív. Ha p1<p2<p3 módon rendezzük őket, akkor értékeik az alábbi intervallumokban lesznek:

14.120. egyenlet - (117.10)

1 3 p 1 0 , 0 p 2 2 3 , 2 3 p 3 1 .

Ily módon a (117.8) metrika homogén, de anizotrop sík térnek felel meg, amelyben minden térfogat (az idő múlásával) t-vel arányosan nő, a lineáris távolságok pedig két tengely (y, z) mentén növekednek, a harmadik (x) mentén pedig csökkennek. A t=0 időpillanat a megoldás szinguláris pontja; a metrika ebben a pontban olyan szingularitással rendelkezik, amelyet a vonatkoztatási rendszer semmilyen megválasztásával nem lehet eltüntetni, a négydimenziós görbületi tenzor invariánsai végtelenné válnak. Kivételt csak a p1=p2=0, p3=1 eset képez; ekkor egyszerűen Minkowski-féle téridővel van dolgunk: a tshz=ζ, tchz=τ transzformáció segítségével a (117.8) metrika Galilei-alakra hozható.[234]

(117.8) metrika az Einstein-egyenletek egzakt megoldása vákuumban. A szinguláris pont közelében azonban kis t értékekre (az 1∕t szerint haladó sorban a vezető tagokat megtartva) az egyenletek közelítő megoldások maradnak egyenletes térbeli eloszlású anyag jelenléte esetén is. Az anyagsűrűség változásának menetét és sebességét ekkor egyszerűen az adott gravitációs térben való mozgás egyenletei határozzák meg, az anyagnak a térre való visszahatása pedig elhanyagolhatónak bizonyul. Az anyagsűrűség t→0 esetén végtelenhez tart, egyezésben a szingularitás fizikai jellegével (lásd a 3. feladatot).

Feladatok

1. Határozzuk meg a (117.6) egyenletek megoldását abban az esetben, amikor a λαβ mátrixnak egy valós (p3) és két komplex (p1,2=p′±ip″) főértéke van.

Megoldás. Ebben az esetben az x0 változónak, amelytől az összes mennyiség függ, térszerűnek kell lennie, ezért vezessük be az x0=x jelölést. Ennek megfelelően (117.1)-ben most g00=–1. A (117.2) és (117.3) egyenletek változatlanok maradnak.

(117.7)-ben az n(1), n(2) vektorok komplexekké válnak: n(1,2)=(n′+in″)∕√2, ahol n′, n″ egységvektorok. Ha az x1, x2, x3 tengelyeket az n′, n″, n(3) irányokban vesszük fel, a megoldást

g 1 1 = g 2 2 = x 2 p cos 2 p ln x a , g 1 2 = x 2 p sin 2 p ln x a g 3 3 = x 2 p 3 , g = g 0 0 | g α β | = x 2

alakban kapjuk meg, ahol a egy állandó (amelyet már nem lehet kiküszöbölni az x tengely menti mérték megváltoztatásával). A p1, p2, p3 számok, akárcsak az előzőkben, most is eleget tesznek a (117.9) összefüggéseknek, miközben a valós p3 szám vagy kisebb –1∕3-nál, vagy nagyobb 1-nél.

2. Oldjuk meg az előző feladatot megegyező főértékek esetében (p2=p3).

Megoldás. Amint a lineáris differenciálegyenletek általános elméletéből ismeretes, ebben az esetben a (117.6) rendszer a következő kanonikus alakra hozható:

ġ 1 1 = 2 p 1 x g 1 1 , ġ 2 α = 2 p 2 x g 2 α , ġ 3 α = 2 p 2 x g 3 α + λ x g 2 α , α = 2 , 3 ,

ahol λ egy állandó. λ=0 esetén (117.8)-hoz jutunk vissza. Ha λ≠0, akkor λ=1 vehető, és így

g 1 1 = x 2 p 1 , g 2 α = a α x 2 p 2 , g 3 α = a α x 2 p 2 ln x + b α x 2 p 3 .

A g32=g23 feltételből azt kapjuk, hogy a2=0, a3=b2. Az x2, x3 tengelyek mentén megfelelően választva a mértékeket, végül a metrikát a következő alakra hozhatjuk:

d s 2 = d x 2 x 2 p 1 ( d x 1 ) 2 ± 2 x 2 p 2 d x 2 d x 3 ± x 2 p 2 ln x a ( d x 3 ) 2 .

A p1, p2 számok értékei vagy 1, 0, vagy –1∕3, 2∕3 lehetnek.

3. Határozzuk meg a (117.8) metrikájú térben egyenletesen elosztott anyag sűrűségének időbeli változására vonatkozó törvényt a t=0 szinguláris pont közelében.

Megoldás. Az anyagnak a térre való visszahatását elhanyagolva, az alábbi hidrodinamikai mozgásegyenletekből indulunk ki:

14.121. egyenlet - (1)

1 g x i ( g σ u i ) = 0 , ( p + 𝜀 ) u k u i x k 1 2 u l g k l x i = p x i u i u k p x k .

Ezek az egyenletek a Ti;kk=0 egyenletekből következnek (lásd a VIII. kötet 125. §-át). Itt σ az entrópiasűrűség; a szinguláris pont közelében az extrém relativisztikus p=𝜀∕3 állapotegyenletet kell használni, akkor a σ∝𝜀3∕4.

(117.8)-ban levő időfaktorokat jelöljék a=tp1, b=tp2, c=tp3. Mivel az összes mennyiség csak az időtől függ, és mivel √(–g)=abc, az (1) egyenletek azt adják, hogy

d d t ( a b c u 0 𝜀 3 4 ) = 0 , 4 𝜀 d u α d t + u α d 𝜀 d t = 0 .

Ebből

14.122. egyenlet - (2)

a b c u 0 𝜀 3 4 = c o n s t ,

14.123. egyenlet - (3)

u α 𝜀 1 4 = c o n s t .

(3) szerint az összes kovariáns uα összetevő azonos nagyságrendű. A kontravariáns komponensek között (t→0 esetén) u3=u3∕c2 a legnagyobb. Az uiui=1 azonosságban csak a legnagyobb tagokat tartva meg, azt kapjuk, hogy u02≈u3u3=(u3)2∕c2, ezért (2)-ből és (3)-ból az következik, hogy

𝜀1a2b2,uαab,

vagy

14.124. egyenlet - (4)

𝜀 t 2 ( p 1 + p 2 ) = t 2 ( 1 p 3 ) , u α t 1 p 3 2 .

Ahogyan kell, p3 minden értékére t→0 esetén 𝜀 a végtelenhez tart, csak a p3=1 eset képez kivételt, azzal egyezésben, hogy a (0,0,1) kitevőhöz tartozó metrika szingularitása nem fizikai.

A használt közelítések érvényességét a (117.2)(117.3) egyenletek jobb oldalán elhagyott Tik komponensek nagyságrendjének becslésével ellenőrizhetjük. Bennük a vezető tagok:

T 0 0 𝜀 u 0 2 t t ( 1 + p 3 ) , T 1 1 𝜀 t 2 ( 1 p 3 ) , T 2 2 𝜀 u 2 u 2 t ( 1 + 2 p 2 p 3 ) , T 3 3 𝜀 u 3 u 3 t ( 1 + p 3 ) .

Mindegyikük valóban lassabban növekszik t→0 esetén, mint az egyenletek t–2 szerint növekvő bal oldalai.



[233] 117118. §-ban a képletek írásmódjának egyszerűsítése végett c=1-et veszünk.

[234] (117.8) típusú megoldás akkor is létezik, amikor változója tér jellegű; ilyenkor csupán az előjeleket kell megfelelő módon megváltoztatni, például: ds2=x2p1dt2–dx2–t2p2dy2–t2p3dz2. Ebben az esetben azonban más alakú megoldások is léteznek, amelyek akkor lépnek fel, ha a (117.6) egyenletekben szereplő λαβ mátrixnak komplex vagy egybeeső főértékei vannak (lásd az 1. és 2. feladatokat). Idő jellegű t változó esetén ezek a megoldások nem lehetségesek, mert ilyenkor a g determinánsra nem teljesülne a g<0 szükséges feltétel. [Megadjuk a hivatkozást, amelyben a vákuumbeli Einstein-egyenletek több egzakt, rokon típusú és sok változótól függő megoldását is megtalálhatjuk: B. K. Harrison, Phys. Rev. 116, 1285 (1959).]