Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

118 §. A szinguláris ponthoz való közeledés rezgési tartománya

118 §. A szinguláris ponthoz való közeledés rezgési tartománya

A IX típusú homogén terű világ modellje példáján a metrika oszcilláló jellegű időbeli szingularitását tanulmányozzuk (V. A. Belinszkij, E. M. Lifsic, I. M. Halatnyikov). A következő szakaszban látni fogjuk, hogy egy ilyen jelleg rendkívül általános jelentőségű.

Bennünket a modellnek a szinguláris pont közelében mutatott viselkedése érdekel (amelyet az időmérés kezdőpontjának választunk, t=0). Akárcsak a  117. §-ban vizsgált Kasner-féle megoldásban, az anyag jelenléte e viselkedés kvalitatív tulajdonságaiban nem tükröződik, ezért a vizsgálat egyszerűsítése érdekében feltételezzük, hogy az erőtér üres.

Helyettesítsünk a (116.3) mátrixba diagonális ηab(t)-t, diagonális elemei legyenek a2, b2, c2; a három e(1), e(2), e(3) bázisvektor jele legyen l, m, n. Ekkor a térmetrikát

14.125. egyenlet - (118.1)

γ α β = a 2 l α l β + b 2 m α m β + c 2 n α n β

alakban írhatjuk. A IX típusú tér struktúraállandói:[235]

14.126. egyenlet - (118.2)

C 1 1 = C 2 2 = C 3 3 = 1

(ekkor C123=C231=C312=1).

(116.26)-ból láthatjuk, hogy ilyen állandók és diagonális ηab esetén a Ricci-tenzor R(a)0 komponensei szinkronizált vonatkoztatási rendszerben zérussá válnak. (116.26) szerint ugyancsak eltűnnek a P(a)(b) nemdiagonális elemei is. Az Einstein-egyenletek megmaradó komponensei az a(t), b(t), c(t) függvényekre az alábbi egyenletrendszert adják:

( ȧ b c ) a b c = 1 2 a 2 b 2 c 2 [ ( b 2 c 2 ) 2 a 4 ] ,

14.127. egyenlet - (118.3)

( a c ) a b c = 1 2 a 2 b 2 c 2 [ ( a 2 c 2 ) 2 b 4 ] ,

( a b ċ ) a b c = 1 2 a 2 b 2 c 2 [ ( a 2 b 2 ) 2 c 4 ] ,

14.128. egyenlet - (118.4)

ä a + b ̈ b + c ̈ c = 1 .

[(118.3) az R(1)(1)=R(2)(2)=R(3)(3)=0 egyenleteknek, (118.4) az R00=0 egyenletnek felel meg.]

(118.3)(118.4)-ben levő időderiváltak egyszerűbb alakúak lesznek, ha az a, b, c függvények helyett azok α, β, γ logaritmusait használjuk:

14.129. egyenlet - (118.5)

a = e α , b = e β , c = e γ ,

a t helyett pedig a

14.130. egyenlet - (118.6)

d t = a b c d τ

képlettel definiált τ változót. Ekkor

14.131. egyenlet - (118.7)

2 α , τ , τ = ( b 2 c 2 ) 2 a 4 , 2 β , τ , τ = ( a 2 c 2 ) 2 b 4 , 2 γ , τ , τ = ( a 2 b 2 ) 2 c 4 ,

14.132. egyenlet - (118.8)

1 2 ( α + β + γ ) , τ , τ = α , τ β , τ + α , τ γ , τ + β , τ γ , τ ,

ahol a τ index τ szerinti deriválást jelent. A (118.7) egyenleteket tagonként összeadva és a bal oldalon a második deriváltak összegét (118.8) szerint helyettesítve, azt kapjuk, hogy

14.133. egyenlet - (118.9)

α , τ β , τ + α , τ γ , τ + β , τ γ , τ = 1 4 ( a 4 + b 4 + c 4 2 a 2 b 2 2 a 2 c 2 2 b 2 c 2 ) .

Ez az összefüggés csak első deriváltakat tartalmaz, így a (118.7) mozgásegyenletek első integrálját adja.

(118.3) és (118.4) egyenleteket analitikus alakban nem lehet egzaktul megoldani, de a szinguláris pont közelében részletes mennyiségi vizsgálatot tesznek lehetővé.

Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy ha elhagynánk a (118.3) egyenletekben [vagy ami ugyanaz, a (118.7)-ben] a bal oldalakon levő tagokat az egyenletrendszer megoldhatóvá válna, s a megoldás azt adná, hogy

14.134. egyenlet - (118.10)

a t p l , b t p m , c t p n ,

ahol pl, pm, pn számok a

14.135. egyenlet - (118.11)

p l + p m + p n = p l 2 + p m 2 + p n 2 = 1

összefüggésnek tesznek eleget [a homogén görbületlen tér Kasner-féle (117.8) megoldásához hasonlóan]. A hatványkitevőknek növekedési sorrendjük meghatározása nélkül itt a pl, pm, pn jeleket adtuk; a  117. § p1, p2, p3 jelölését pedig arra a p1<p2<p3 sorrendben rendezett olyan számhármasra tartjuk fenn, amelyeknek értéktartományai értelemszerűen a (117.10) intervallumok. Ezek a számok paraméteres előállításban az alábbiak szerint adhatók meg:

14.136. egyenlet - (118.12)

p 1 ( u ) = u 1 + u + u 2 , p 2 ( u ) = 1 + u 1 + u + u 2 , p 3 ( u ) = u ( 1 + u ) 1 + u + u 2 .

p 1, p2, p3 összes különböző értékét (a feltételezett sorrend betartása mellett) akkor kapjuk meg, ha az u paraméter befutja az u≥1 tartomány értékeit. Az u<1 értékek pedig ugyanarra a tartományra vezetnek a

14.137. egyenlet - (118.13)

p 1 1 u = p 1 ( u ) , p 2 1 u = p 3 ( u ) , p 3 1 u = p 2 ( u )

összefüggések szerint.

25. ábra - 25. ábra

25. ábra

25. ábrán a p1, p2, p3 paramétereket 1∕u függvényében ábrázoljuk.

Tételezzük fel, hogy bizonyos időintervallumban a (118.7) egyenletek jobb oldalai ténylegesen kicsik, úgyhogy azokat elhanyagolhatjuk, és a (118.10) Kasner-féle megoldás érvényes. Ez a helyzet azonban nem állhat fenn (t→0 esetén) minden határon túl, mert az említett tagok között mindig vannak növekvőek. Így, ha az a(t) függvény hatványkitevője negatív pl=p1<0, a Kasner-féle megoldás perturbációi az a4 tagok miatt lépnek fel; a többi tag t csökkenésekor csökkenni fog.

(118.7) jobb oldalain csupán ezeket a tagokat tartva meg, az

α , τ , τ = 1 2 e 4 α ,

14.138. egyenlet - (118.14)

β , τ , τ = γ , τ , τ = 1 2 e 4 α

egyenletrendszerhez jutunk. A fenti egyenletek megoldásának kell leírnia a metrika „kezdeti” állapotból való fejlődését; a „kezdeti állapotban” a metrikát a (118.10) képletek írják le,[236] a kitevők határozott értékeire (miközben pl<0); legyen pl=p1, pm=p2, pn=p3, így

a=tp1,b=tp2,c=tp3.

(Ezekben a kifejezésekben az arányossági tényezőket 1-nek vehetjük az alábbi eredmény általánosságának csorbítása nélkül.) Ezenkívül abc=t, τ=lnt+const, ezért a (118.14) egyenletek kezdeti feltételeit

α,τ=p1,β,τ=p2,γ,τ=p3

alakban adhatjuk meg.

(118.14) egyenletek közül az első olyan alakú, mint egy exponenciális potenciálfal terében egyenes vonalú mozgást végző részecske mozgásegyenlete, α a koordináta szerepét játssza. Ennek a hasonlóságnak megfelelően a kezdeti Kasner-féle tartománynak az állandó α,τ=p1 sebességű mozgás felel meg. Miután a részecske a falról visszaverődött, ismét szabadon mozog ellentétes előjelű a α,τ=–p1 sebességgel. Észrevéve azt is, hogy a (118.14) egyenletek szerint

α , τ + β , τ = c o n s t , α , τ + γ , τ = c o n s t ,

azt kapjuk, hogy β,τ és γ,τ a β,τ=p2+2p1, γ,τ=p3+2p1 értékeket futják be. Ebből α, β, γ-t, majd (118.6) szerint t-t is meghatározva, az adódik, hogy

e α e p 1 τ , e β e ( p 2 + 2 p 1 ) τ , e γ e ( p 3 + 2 p 1 ) τ , t e ( 1 + 2 p 1 ) τ ,

azaz a∼tpl′, b∼tpm′, c∼tpn′ ahol

14.139. egyenlet - (118.15)

p l = | p 1 | 1 2 | p 1 | , p m = 2 | p 1 | p 2 1 2 | p 1 | , p n = p 3 2 | p 1 | 1 2 | p 1 | .

Tehát a perturbáció hatására az egyik Kasner-féle „korszak” egy másikkal cserélődik fel, miközben a t negatív hatványa az l irányról az m irányra tevődik át: ha pl′<0 volt, akkor most pm′<0. A felcserélődés folyamatában az a(t) függvénynek maximuma, a b(t)-nek minimuma van: az eredetileg csökkenő a(t) függvény nőni, a növekvő b(t) függvény csökkenni kezd, a c(t) függvény pedig folytatja csökkenését. A perturbáció maga [az a4 tagok a (118.7) egyenletekben], amely eredetileg növekedett, csökkenni kezd és kialszik.

A metrika további fejlődése megint perturbáció kifejlődésére, a Kasner-féle kitevők következő váltására vezet, amelyeket a (118.7) egyenletekben a b4 tagok fejeznek ki stb.

(118.15) kitevők váltásának szabályát előnyös a (118.12) parametrizálás segítségével megadni: ha

p l = p 1 ( u ) , p m = p 2 ( u ) , p n = p 3 ( u ) ,

akkor

14.140. egyenlet - (118.16)

p l = p 2 ( u 1 ) , p m = p 1 ( u 1 ) , p n = p 3 ( u 1 ) .

A két pozitív kitevő közül a nagyobbik marad pozitív.

A Kasner-féle korszakok egymást követő váltásainak e folyamatából érthetjük meg igazán, hogy milyen a metrika fejlődésének jellege a szinguláris ponthoz közeledve.

A negatív (p1) hatványkitevő l és m irányok közötti áttevődésével járó, egymást követő (118.16) váltások mindaddig folytatódnak, amíg az u kezdeti értékének egész része el nem fogy, és u1-nél kisebbé nem válik. Az u<1 értékek az u>1 tartományba (118.13) szerint transzformálódnak át; ebben a pillanatban a pl vagy a pm kitevő negatív, a pn pedig a két pozitív szám közül a kisebbik (pn=p2) lesz. A váltások következő sorozatában a negatív kitevő már az n és l vagy az n és m irányok között fog egyikről a másikra áttevődni. Tetszőleges (irracionális) kezdeti u érték esetén a váltások folyamata soha nem ér véget.

Az egyenletek pontos megoldásában a p1, p2, p3 kitevők természetesen elveszítik betű szerinti jelentésüket. Megjegyezzük, hogy a p1, p2, p3 számok (s velük együtt az u paraméter) definíciójában e körülmény által behozott bizonyos „szétkenődés”, bármilyen kicsi is, értelmetlenné teszi u értékeinek bármiféle megkülönböztetését (például, hogy u racionális). Éppen ezért csupán azoknak a szabályszerűségeknek van reális jelentésük, amelyek az általános esetben, u tetszőleges irracionális értékei mellett is mutatkoznak.

Ezek szerint a modellnek a szinguláris pont felé történő fejlődési folyamata rezgések egymásra következő sorozatából tevődik össze, amelyek mindegyikének időtartama alatt két térbeli tengely mentén a távolságok oszcillálnak, a harmadik tengely mentén pedig monoton csökkennek; a térfogat t→0 esetén ∼t szerint csökken. Egyik sorozatról a következőre való áttérés esetén az az irány, amelynek mentén a távolságok monoton csökkennek, egyik tengelyről egy másikra vált át. Ezeknek az átmeneteknek a sorrendje aszimptotikusan statisztikus jellegűvé válik. Ugyanilyen jellegre tesz szert a rezgések egymás utáni sorozatai hosszúságának (azaz a „Kasner-féle korszakok” minden egyes sorozatán belül a váltakozó számoknak) cserélődési sorrendje is.[237]

A rezgések egymás utáni sorozatai a szinguláris ponthoz való közeledés mértékében besűrűsödnek. A t világidő bármely véges időpontja és a t=0 időpillanat között még végtelen sok rezgési sorozat van. E fejlődés időbeli lefolyásának leírására nem maga a t idő, hanem t logaritmusa, lnt bizonyul természetes változónak, amely szerint a szinguláris ponthoz való közeledés teljes folyamata a –∞-be nyúlik ki.

A levezetett megoldás kiindulási pontjában némiképp leegyszerűsítettük a feladatot, amikor feltételeztük, hogy a (116.13)-ban levő ηab(t) mátrix diagonális. Ha megengedjük, hogy az ηab mátrixnak nemdiagonális komponensei is legyenek, ezzel a metrika fejlődésének leírt rezgési jellegét és a felcserélődő Kasner-féle korszakok pl, pm, pn kitevői váltásainak (118.16) törvényét nem változtatjuk meg. ηab nem diagonális elemei azonban egy további tulajdonság fellépésére vezetnek; a kitevők cseréjét azoknak a tengelyeknek az irányváltozása kíséri, amelyekre e kitevők vonatkoznak.[238]



[235] Ezeknek az állandóknak a következő bázisvektorok felelnek meg: l=(sinx3,–cosx3sinx1,0), m=(cosx3,sinx3sinx1,0), n=(0,cosx1,1). A koordináták a 0≤x1≤π, 0≤x2≤2π, 0≤x3≤4π intervallumokba eső értékeket futják be. A tér zárt, térfogata: V=∫√γdx1dx2dx3=abc∫sinx1dx1dx2dx3=16π2abc.a=b=c esetén ez a tér állandó pozitív görbületű, 2a görbületi sugarú térbe megy át.

[236] Emlékeztetünk arra, hogy a metrika fejlődését t→0 esetén vizsgáljuk; ezért a „kezdeti” feltételek a későbbi, nem pedig a korábbi időpontnak felelnek meg.

[237] Ha az u paraméter „kezdeti” értéke u0=k0+x0 (ahol k0 egész szám, x0 pedig kisebb 1-nél), akkor a rezgések első sorozatának hossza k0, a következő sorozat kezdeti u értéke pedig u1=1∕x0≡k1+x1 stb. Ebből már könnyű levonni azt a következtetést, hogy az egymás utáni sorozatok hosszúságait (irracionális u esetén) az u0=k0+(1/k1+(1/k2+(1/k3+…))) végtelen lánctort k0,k1,k2,… elemeivel adhatjuk meg. Egy ilyen kifejtés távoli elemei értékeinek felcserélése statisztikus törvényszerűségeknek tesz eleget.

[238] Ezt és a vizsgált típusú homogén kozmologikus modell viselkedésének egyéb részleteit illetően lásd V. A. Belinszkij, E. M. Lifsic, I. M. Halatnyikov, Uszpehi Fizicseszkih Nauk 102, 463 (1970); Adv. in Physics 19, 525 (1970); ZSETF 60, 1969 (1971).