Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

119 §. Időbeli szingularitás az Einstein-egyenletek általános kozmologikus megoldásában

119 §. Időbeli szingularitás az Einstein-egyenletek általános kozmologikus megoldásában

Mint már említettük, az a tény, hogy a világegyetem jelenlegi állapotának leírására a Friedmann-modell alkalmas, önmagában még nem jelenti azt, hogy ugyanúgy alkalmasnak kell lennie a világ fejlődése korai szakaszainak leírására is. Ezzel kapcsolatban mindenekelőtt az a kérdés merül fel, hogy a kozmologikus modelleknek milyen mértékben elkerülhetetlen tulajdonsága az időbeli szingularitás létezése, és mi e tulajdonság kapcsolata a modellek kiindulási pontjaiban tett specifikus egyszerűsítő feltevésekkel (elsősorban a szimmetriákkal). Hangsúlyozzuk, hogy szinguláris ponton fizikai szingularitást értünk, amelyben az anyagsűrűség és a négydimenziós görbületi tenzor invariánsai végtelenné válnak.

A specifikus tulajdonságoktól való függetlenség azt jelentené, hogy a szingularitás fellépte nem csupán az Einstein-egyenletek speciális megoldásainak jellegzetes tulajdonsága, hanem az általános megoldásé is. Az általánosság kritériumát a megoldásban megmaradó, „fizikailag tetszőleges” függvények száma adja. Az általános megoldásban az ilyen függvények számának annyinak kell lennie, amennyi elegendő bármely kiválasztott időpontban a kezdeti feltételek tetszőleges megadására (4 az üres térre, 8 az anyaggal betöltött térre, lásd a  95. §-t).[239]

Természetesen lehetetlen megtalálni az egész téridőre az általános megoldást. A feltett kérdés megválaszolásához azonban erre nincs is szükség: elegendő a megoldás alakját a szingularitás közelében tanulmányozni.

A Friedmann-megoldásban levő szingularitásra az jellemző, hogy a térbeli távolságok minden irányban azonos törvény szerint válnak zérussá. Az ilyen típusú szingularitás nem eléggé általános: ilyen szingularitással a megoldásoknak az az osztálya rendelkezik, amely csak három tetszőleges koordinátafüggvényt tartalmaz (lásd a  113. §-hoz tartozó feladatot). Azt is megjegyezzük, hogy ilyen megoldások csak anyaggal kitöltött térre léteznek.

Az előző szakaszban tárgyalt rezgő típusú szingularitás viszont általános jellegű. Az Einstein-egyenleteknek van ilyen szingularitással rendelkező megoldása, amely szükséges számú tetszőleges függvényt tartalmaz. Egy ilyen megoldás megkonstruálásának módszerét itt a részletes számítások nélkül, röviden vázoljuk.[240]

Akárcsak a homogén modellben (118. §), a szingularitáshoz való közeledés rezgési tartománya az egymást váltó „Kasner-féle korszakok” váltakozó sorozatából tevődik össze. Minden egyes ilyen korszakban a térbeli metrikus tenzor (szinkronizált vonatkoztatási rendszernél az 1∕t szerinti kifejezés) vezető tagjai (118.1) alakúak lesznek a (118.10)-ből vett a, b, c időtől függő függvényekkel, de az l, m, n vektorok most a térkoordináták tetszőleges függvényei (nem egyértelműen meghatározottak, mint a homogén modellben). Ugyanilyen függvények lesznek (és nem egyszerű számok) a pl, pm, pn kitevők is, amelyek továbbra is kielégítik a (118.11) feltételeket. Az így megszerkesztett metrika vezető tagjai bizonyos véges időintervallumban a vákuumbeli tér R00=0, Rαβ=0 egyenleteinek tesz eleget. Az Rα0=0 egyenletek pedig három (időt nem tartalmazó) olyan összefüggésre vezetnek, amelyeket a térkoordináták γαβ-ban szereplő tetszőleges függvényeinek ki kell elégíteniük. Ezek az összefüggések 10 különböző függvényt hoznak kapcsolatba egymással: az l, m, n három vektor három-három komponensét és az idő hatványkitevőinek egy függvényét [bármelyiket a három pl, pm, pn függvény közül, amelyeket a (118.11) két feltétel kapcsol össze]. A fizikailag tetszőleges függvények számának meghatározásakor azt is figyelembe kell vennünk, hogy a szinkronizált vonatkoztatási rendszer még a három térkoordináta tetszőleges, időtől azonban független transzformációját engedi meg. Ezért a metrika mindössze 10–3–3=4 tetszőleges függvényt enged meg – pontosan annyit, amennyinek a vákuumbeli tér általános megoldásában szerepelnie kell.

Egyik Kasner-féle korszaknak egy másikra való cseréje (éppúgy, mint a homogén modellben) azért megy végbe, mert a hat Rαβ=0 egyenlet közül háromban olyan tagok vannak jelen, amelyek t csökkenésével gyorsabban nőnek, mint a többiek, s így a Kasner-féle korszakot szétromboló perturbáció szerepét játsszák. Ezek az egyenletek az általános esetben alakilag csupán abban különböznek (118.14)-től, hogy bal oldalukon a térkoordinátáktól függő [lrotl∕l(m×n)]2 szorzó[241] jelenik meg (magától értetődő, hogy a három pl, pm, pn kitevő közül pl a negatív). Mivel azonban a (118.14) egyenletek, az időfüggés szempontjából közönséges differenciálegyenlet-rendszert alkotnak, ez a különbség semmilyen befolyással sincs megoldásukra és a Kasner-féle kitevők váltakozásainak e megoldásból következő (118.16) törvényére, ezzel együtt pedig az összes további, a  118. §-ban kifejtett következményre sem.[242]

A megoldás ugyanilyen általános marad, ha az anyag létezését is megengedjük: az anyagot a metrikába az általa behozott 4 új koordinátafüggvénnyel „írhatjuk be”, amelyek az anyag sűrűségének és három sebességkomponensének kezdeti eloszlását adják meg. Az anyag Tik energia-impulzus-tenzora a téregyenletekbe olyan tagokat hoz be, amelyek 1∕t szerint magasabb rendűek, mint a vezető tagok (ahhoz hasonlóan, ahogyan ezt a  117. §-t követő harmadik feladatban sík homogén modellre megmutattuk).

Tehát az idő szerinti szinguláris pont létezése az Einstein-egyenletek megoldásainak egyik legáltalánosabb tulajdonsága, a szinguláris ponthoz való közeledés tartománya az általános esetben is rezgési jelleggel rendelkezik.[243] Hangsúlyozzuk, hogy ez a jellemző tulajdonság az anyag jelenlététől független (és ezért független az anyag állapotegyenletétől is), és már az üres téridő sajátságának tekinthető. Az anyag részvételétől függő, a Friedmann-féle megoldásnak tulajdonított monoton változó, izotrop típusú szingularitás ugyanakkor csupán részleges jelentőségű.

Amikor kozmológiai szempontból beszélünk szingularitásról, olyan szinguláris pontra gondolunk, amelyet az egész tér elér, nem pedig csupán egy korlátos része, mint a véges test gravitációs kollapszusa esetén. A rezgő megoldás általánossága azonban alapot ad arra, hogy feltételezzük: ugyanilyen jellegű az a szingularitás is, amelybe az eseményhorizont alatt, együttmozgó vonatkoztatási rendszerben, a kollapszust szenvedő véges test kerül.

A szinguláris ponthoz való közeledés irányáról végig úgy beszéltünk, mint az időbeli csökkenés irányáról. Figyelembe véve azonban, hogy az Einstein-egyenletek invariánsok az idő előjelének megváltoztatásával szemben, ugyanolyan joggal beszélhetnénk a szingularitáshoz való közeledés irányáról az idő növekedési irányában is. Ténylegesen azonban a jövő és a múlt fizikai inekvivalenciája miatt e két eset között magának a kérdésfelvetésnek a szempontjából lényeges különbség van. A jövőbeli szingularitásnak csupán akkor lehet fizikai értelme, ha azt valamely korábbi időpillanatban adott tetszőleges kezdeti feltételek mellett el lehet érni. Természetesen semmi ok sincs arra, hogy a világegyetem fejlődési folyamatában valamely időpontban elért térgeometriáról és anyageloszlásról azt tételezzük fel, hogy olyan speciális feltételeknek felelnek meg, amelyek az Einstein-egyenletek ilyen vagy olyan partikuláris megoldásának megvalósulásához szükségesek.

A múltbeli szingularitás típusára vonatkozó kérdést aligha lehet általában egyértelműen megválaszolni, csupán a gravitációs egyenletek vizsgálatával. Természetesen felmerül az az elképzelés, hogy a valódi világnak megfelelő megoldás kiválasztása valamilyen mély fizikai elvvel van kapcsolatban, amelyet kizárólagosan a gravitáció létező elméletének alapjain nem lehet felállítani, és amelyet a fizikai elméletek további szintéziseinek eredményeképpen lehet csak tisztázni. Ebben az értelemben elvileg bebizonyosodhatna, hogy a valódi megoldásnak valamelyik speciális típusú (például izotrop) szingularitás felel meg. De eleve természetesebbnek látszik az a felfogás, hogy a rezgési tartomány jellege miatt éppen ezzel a megoldással kell leírnunk a világ fejlődésének kezdeti szakaszait.

Végül még a következőt kell megjegyeznünk. Maguknak az Einstein-egyenleteknek az alkalmazhatósági tartományát a kicsi távolságok vagy a nagy anyagsűrűségek részéről semmi sem korlátozza abban az értelemben, hogy az egyenletek ebben a határértékben sem vezetnek semmilyen belső ellentmondásra (ellentétben például a klasszikus elektrodinamika egyenleteivel). Ebben az értelemben a téridő-metrika szingularitásainak az Einstein-egyenletek alapján végzett vizsgálata teljesen korrekt. Kétségtelen azonban, hogy az említett határértékben a kvantumos jelenségek lényegessé válnak, de ezekről az elmélet jelenlegi állapotában még semmit sem tudunk mondani. A gravitáció elméletének és a kvantumelméletnek jövőbeli szintézise tisztázhatja csupán azt, hogy a klasszikus elmélet eredményei közül melyeknek marad reális értelmük. Ugyanakkor az is kétségtelen, hogy az Einstein-egyenletek megoldásaiban a szingularitások fellépésének ténye (mind kozmológikus nézőpontból, mind a véges testek gravitációs kollapszusánál) mély fizikai jelentésű. Nem szabad arról sem megfeledkeznünk, hogy a gravitációs kollapszus folyamatában már azoknak a hatalmas sűrűségeknek az elérése is, amelyeknél még semmi okunk sincs kételkedni a gravitáció klasszikus elméletének helyességében, elegendő okot ad arra, hogy fizikailag „szinguláris” jelenségről beszéljünk.



[239] Már most hangsúlyozzuk azonban, hogy nemlineáris differenciálegyenlet-rendszerre, mint amilyenek maguk az Einstein-egyenletek is, az általános megoldás fogalma nem egyértelmű. Elvileg több olyan általános megoldás létezhet, melyek mindegyike az értelmes kezdeti feltételeknek nem teljes halmazát, hanem annak csupán egy véges részét foglalja magában. Éppen ezért az, hogy van szingularitással rendelkező általános megoldás, még nem jelenti, hogy nincsenek egyéb szingularitásmentes általános megoldások. Például semmi okunk sincs kételkedni a nem túl nagy tömegű stabil „izolált testet leíró, szingularitás nélküli általános megoldás létezésében.

[240] A részletes számítások V. A. Belinszkij, E. M. Lifsic, I. M. Halatnyikov ZSETF, 62, 1606 (1972) cikkében található.

[241] Homogén modellben ez a tényező a C11 struktúraállandó négyzetével egyezik meg, és így definíciószerűen állandó.

[242] Ha a megoldás tetszőleges függvényeire kirójuk az lrotl=0 mellékfeltételt, akkor a rezgések eltűnnek, és a Kasner-féle tartomány egészen a t=0 pontig folytatódik.

[243] Az Einstein-egyenletek általános megoldásában a szinguláris pont létezésének tényét elsőként Penrose mutatta meg (R. Penrose, 1965) topológikus módszerekkel, amelyek azonban nem teszik lehetővé a szingularitás konkrét analitikus jellegének megállapítását. Ezeknek a módszereknek és a segítségükkel kapott tételeknek az összefoglaló tárgyalását illetően lásd R. Penrose, A téridő szerkezete, Mir, 1972. könyvét.