Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Elemezzük a térkvantálás imént kapott formuláit.
Mindenekelőtt a tér energiáját adó (2,12) képlet
okoz nehézséget. A legalacsonyabb energiájú állapothoz az számok nulla értéke tartozik (ezt az elektromágneses tér
vákuumállapotának hívják). Ám még ebben az állapotban is
minden oszcillátor
energiával rendelkezik. Ha összegezünk a végtelen számú oszcillátorra,
akkor a vákuum energiája végtelennek adódik. Így a jelenlegi elmélet logikai zártságának
hiányából következő „divergenciák” egyikébe ütközünk.
Míg csak a térenergia sajátértékeivel foglalkozunk, ezt a nehézséget a nullpontrezgések egyszerű levonásával[10] győzhetjük le, azaz a tér energiájára és impulzusára egyszerűen azt írhatjuk, hogy
Ezek a képletek lehetővé teszik, hogy bevezessük az egész elektrodinamika egyik
legalapvetőbb fogalmát: a fénykvantumokét , avagy a fotonokét.[11] Konkrétan, a szabad elektromágneses teret olyan részecskék halmazának
tekinthetjük, amelyek mindegyikének energiája és
impulzusa van. A foton impulzusa és energiája közötti kapcsolat
egyezik azzal, amely a relativisztikus mechanika szerint egy nulla nyugalmi tömegű,
fénysebességgel haladó részre jellemző. Az
betöltési szám az adott
impulzusú és
polarizációjú fotonok számaként interpretálható. A foton
polarizációjának fogalma hasonló a más részekre
bevezetett spin fogalmához (a foton speciális sajátságait ebből a szempontból később,
a 6-ban vizsgáljuk).
Könnyen belátható, hogy az előző szakaszban kifejlesztett egész matematikai
formalizmus – teljes összhangban az elektromágneses térről mint fotonok halmazáról
alkotott elképzeléssel – nem más, mint a fotonok rendszerére alkalmazva a másodkvantálás
módszere.[12] E módszerben (l. III. 64. §) a független változók szerepét az állapotok
betöltési számai játsszák, az operátorok e számok függvényeire hatnak. A „keltő” és az
„eltüntető” operátorok alapvető jelentőségűek: rendre egységgel növelik, ill.
csökkentik a betöltési számokat. A és
operátorok éppen ilyenek: a
operátor „kelt” egy
állapotú fotont, a
, „eltüntet” egyet.
A (2,16) felcserélési szabály a Bose-statisztikát követő részekre érvényes. így a fotonok bozonok, amint ezt a korábbiak alapján várhattuk: a fotonok tetszőleges számban előfordulhatnak tetszőleges állapotban (erre még az 5-ban visszatérünk.)
Az síkhullámok (2,26), melyek az
operátor (2,17) kifejtésében
fordulnak elő a „fotoneltüntető” operátorok előtt, azoknak a fotonoknak a
hullámfüggvényeiként kezelhetők, amelyeknek
impulzusuk és
polarizációjuk van. Ez a tárgyalásmód a
-operátor, a részecske stacioner állapotai szerinti kifejtésének felel
meg a nemrelativisztikus másodkvantálási módszerben [azonban ez utóbbitól eltér annyiban
hogy (2,17) felbontásban az eltüntető operátorok
mellett a részecskekeltők is jelen vannak; e különbség jelentését a továbbiakban a 12-ban világítjuk meg].
A (2,26) hullámfüggvényt az
képlet normálja. Ez a „ térfogatban
foton” előírásnak felel meg. Valójában a bal oldali integrál az adott
hullámfüggvényű foton energiájának kvantummechanikai várhatóértékét adja [ez az
interpretáció nyilvánvaló a Hamilton-függvény (2,23)
első sora szerinti alakjából].[13] A (3,2) egyenlőség jobb oldalán
foton energiája áll.
A „Schrödinger-egyenlet” szerepét a foton
esetében a Maxwell-egyenletek játsszák. Ez esetben [a (2,1) feltételt kielégítő potenciálra] a hullámegyenlet :
A foton tetszőleges stacioner állapotát leíró általános „hullámfüggvények” ennek az
egyenletnek komplex megoldásai, amelyeknek időfüggését az tényező írja le.
Még egyszer aláhúzzuk, hogy a foton hullámfüggvényét nem szabad a foton térbeli lokalizációjának valószínűségi amplitúdójaként értelmezni – ellentétben a nemrelativisztikus kvantummechanikával, ahol ez a hullámfüggvény alapvető jelentése. Ez azzal kapcsolatos, hogy (mint azt az 1-ban megmutattuk) a foton koordinátájának egyszerűen nincs fizikai tartalma. E körülmény matematikai vonatkozásaihoz a következő szakasz végén visszatérünk.
Az függvény koordináták szerinti Fourier-transzformáltjának komponensei a
foton impulzusreprezentációbeli hullámfüggvényeit
adják; ezeket
jelöléssel látjuk el. Így a határozott
impulzusú és
polarizációjú foton hullámfüggvényét impulzusreprezentációban
egyszerűen a (2,26)-beli exponenciális tényező
együtthatója adja:
A szabad rész impulzusa mérhetőségének megfelelően, az impulzusreprezentációbeli
hullámfüggvénynek mélyebb fizikai jelentése van: ennek révén kiszámítható az a
valószínűség, amely adott állapotbeli különböző impulzusok és
polarizációk előfordulására vonatkozik. A kvantummechanika általános szabályainak
megfelelően,
-t megkapjuk, ha tekintjük az
függvény adott
-val és
-val rendelkező állapotok hullámfüggvényei szerinti kifejtésben az
együtthatók abszolút értékeinek négyzetét:
(az arányossági tényezőt a függvény normálása befolyásolja). Ide behelyettesítve (3,3)-at,
adódik. A két polarizációra összegezve, a impulzusú foton jelenlétének valószínűségét kapjuk meg az
állapotban:
[10] Ezt a levonást formai szemszögből ellentmondásmentesen végezhetjük el, ha
megegyezésszerűen a (2,10)-beli operátorok
szorzatát „normál”-szorzatoknak tekintjük, azaz olyanoknak, amelyekben a
operátorok mindig a
operátoroktól balra helyezkednek el. A (2,23) képlet ekkor a
alakot ölti.
[11] A fotonelképzelést elsőként A. Einstein vezette be 1905-ben.
[12] A másodkvantálás módszerét a sugárzási térre elsőként P. A. M. Dirac alkalmazta 1927-ben.