Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Mint ismeretes, a klasszikus elektrodinamikai potenciálok megválasztása nem
egyértelmű: az négyespotenciál komponenseit tetszőleges mérték-
(avagy gradiens-) transzformációnak vethetjük alá, amely
alakú, ahol a koordináták és az idő tetszőleges függvénye (l. II. 18. §).
Síkhullámok esetében a potenciál alakját [azaz az tényezővel való azonosságot] változatlanul hagyó transzformációkra
szorítkozva, a fenti határozatlanság oda vezet, hogy az amplitúdóhoz egy
-vel arányos tetszőleges négyesvektort adhatunk.
A potenciál megválasztásabeli határozatlanság megmarad a kvantumelméletben is –
melyet vagy a téroperátorok, vagy a hullámfüggvények megválasztása tükröz. Ha nem
korlátozzák előre a potenciálok megválasztását, akkor (2,17) helyett az négyespotenciál-operátorra kell
analóg kifejtést felírni:
ahol az hullámfüggvények négyesvektorok, alakjuk:
vagy a rövidebb írásmód kedvéért elhagyva a vektorindexeket:
Itt a négyesimpulzus (és
),
pedig a polarizáció négyes egységvektora .[14]
Ha a (4,3) függvény téridőfüggését változatlanul hagyó mértéktranszformációkra korlátozódunk, akkor ezek a következőben foglalhatók össze:
ahol tetszőleges függvény. A polarizáció transzverzalitása mindig lehetővé
teszi olyan mérték választását, amelyben az
négyesvektor alakja a következő:
(ezt háromdimenziós transzverzális mértéknek nevezzük). Kovariáns alakban ezt
az
négydimenziós transzverzalitási feltétel fejezi ki.
Vegyük észre, hogy ez a feltétel (csakúgy mint az normálási feltétel) invariáns a (4,4) transzformációval szemben, minthogy
. Másrészt az, hogy a részecske négyesimpulzusának négyzete nulla, azt
jelenti, hogy a részecske tömege zérus. Így világos a mértékinvariancia és a foton nulla tömege közötti kapcsolat (e kapcsolat más
vonatkozásaira a 14-ban mutatunk majd rá).
A folyamatban részt vevő fotonok hullámfüggvényének mértéktranszformációja során egyetlen fizikailag mérhető mennyiség értéke sem változhat. A mértékinvariancia e követelménye nagyobb szerepet játszik a kvantumelektrodinamikában, mint a klasszikusban. Nagyszámú példán mutatjuk majd be, hogy ez a követelmény a relativisztikus invarianciával együtt, nagy hatású heurisztikus elvként jelenik meg.
Az elmélet mértékinvarianciája másrészt szorosan kapcsolódik az elektromos töltés megmaradási törvényéhez; ezt a 43-ban taglaljuk.
Már az előző szakaszban emlékeztettünk arra, hogy a foton koordinátatérbeli
hullámfüggvénye nem kezelhető úgy, mint annak térbeli lokalizációját leíró valószínűségi
amplitúdó . Matematikai szemszögből ez úgy
jelentkezik, hogy lehetetlen a hullámfüggvényből olyan mennyiséget alkotni, amely
pusztán formai tulajdonságai alapján valószínűségsűrűségként szerepelhetne. Ilyen mennyiséget -ből és komplex konjugáltjából,
-ból alkotott pozitív definit bilineáris alakban kellene kifejeznünk.
Emellett a Lorentz-transzformációval szemben
meghatározott transzformációs tulajdonságokat kell mutatnia; egy négyesvektor negyedik
komponensének kell lennie (a részecskeszám megmaradását kifejező kontinuitási
egyenlet négydimenziós alakja
ugyanis mint az áram-négyesvektor divergenciamentessége
fejezhető ki; ennek időkomponense a részecske lokalizációjának valószínűségsűrűsége, (l.
II. 29. §)). Másrészt a mértékinvariancia követelménye szerint az áram kifejezésében az
négyesvektor csak az
antiszimmetrikus tenzor formájában fordulhat elő. Tehát az
áram-négyesvektort és
és
bilineáris alakjaként kell előállítani (szerepelhet benne még a
négyesvektor). Ilyen négyesvektor azonban nem létezik, mivel minden, a
fenti követelményeket kielégítő kifejezés (pl.
) a transzverzalitás követelménye alapján azonosan nulla, arról már nem
is beszélve, hogy nem lenne pozitív definit sem, mivel
páratlan hatványait tartalmazná.
[14] A (4,3) kifejezés nem teljesen
relativisztikusan kovariáns, aminek oka az, hogy a véges térfogatra való normálás nem invariáns. E körülménynek
azonban nincs elvi jelentősége, és a vele járó előnyök teljesen ellensúlyozzák ezt
a hátrányát. A továbbiakban látni fogjuk, hogy a mérhető fizikai mennyiségeket
automatikusan és igen egyszerűen a szükséges relativisztikusan invariáns formában
fejezhetjük ki.