Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Az polarizációs vektor a foton esetében
a hullámfüggvény „spinrészének” szerepét játssza (azokkal a megszorításokkal, amelyeket
a foton spinjének bevezetésével kapcsolatban a 6. §-ban tettünk).
A különböző polarizációs fotonállapotok semmiben sem különböznek a klasszikus elektromágneses hullám lehetséges polarizációs típusaitól (l. II. 48. §).
Tetszőleges polarizáció előállítható két meghatározott módon megválasztott,
egymásra merőleges polarizáció,
és
összegeként (
). Az
kifejtésben az , és
együtthatók abszolút érték négyzete adja meg az
, ill. az
polarizációjúállapotban való tartózkodás valószínűségét.
és
vektorokként két, kölcsönösen merőleges lineáris polarizáció
választható. Tetszőleges polarizáció felbontható két ellenkező forgásirányú cirkuláris
polarizáció összegére is. A bal és a jobb
cirkuláris polarizáció vektorait rendre
-gyel és
-gyel jelöljük; a
rendszerben, a foton irányával,
-val párhuzamos
tengely esetén:
A lehetőség, hogy a fotonnak adott impulzus mellett két különböző polarizációja lehet, más szóval azt jelenti, hogy az impulzus minden sajátértéke kétszeresen degenerált . Ez a körülmény szoros kapcsolatban áll a fotontömeg nulla voltával.
A nemzérus tömegű szabad rész nyugalmi rendszere mindig létezik. Nyilvánvaló, hogy a
részecskének mint olyannak, éppen ebben a rendszerben nyilvánulnak meg
szimmetriatulajdonságai. Ezen az origó körüli összes lehetséges forgással szemben (azaz
a teljes forgáscsoporttal szemben) mutatott szimmetriát kell érteni. A részecskének e
csoportra vonatkozó szimmetriatulajdonságait jellemzi spinje, amely a degeneráció fokát
határozza meg (
számú egymásba transzformálódó hullámfüggvény). Konkrétan, a
vektoriális (három komponensű) hullámfüggvénnyel rendelkező részecskének
spin felel meg.
A nulla tömegű résznek nincs nyugalmi rendszere – minden vonatkoztatási rendszerben
fénysebességgel mozog. Ilyen részecske esetében mindig találunk a térben egy kitüntetett
irányt – a impulzus irányát (a
tengelyt). Világos, hogy ez esetben a hullámfüggvény nem lehet
szimmetrikus a teljes háromdimenziós forgáscsoportra nézve, csak a kitüntetett tengely
körüli axiális szimmetriáról beszélhetünk.
Axiális szimmetria esetén csak a részecske helicitása – az impulzusmomentum tengelyre vett vetülete marad
meg; jelöljük -val.[24] Ha megköveteljük a
tengelyt tartalmazó síkokra való tükrözéssel szembeni szimmetriát is,
akkor a
előjelében különböző állapotok kölcsönösen degeneráltak lesznek;
esetén ennek következtében kétszeres degenerációra jutunk.[25] Az adott impulzusú foton állapota is ilyen kétszeresen degenerált állapot
valamelyikének felel meg. Azt egy „spin”-hullámfüggvény, a
síkban elhelyezkedő
vektor írja le; e vektor két komponense önmaguk lineáris
kombinációjába transzformálódik tetszőleges
tengely körüli forgatás esetén és minden tükrözésre, amely
-t tartalmazó síkokra történik.
A fotonpolarizáció különböző esetei egy-egyértelműen megfeleltethetők helicitása
különböző értékeinek. Ezt a megfeleltetést a (III. (57,9)) formulák segítségével
kaphatjuk meg, amelyek a vektorhullámfüggvény komponenseit összekapcsolják a vele
ekvivalens másodrendű spinor komponenseivel.[26] A vagy
vetületű állapotoknak az
vagy az
irányú
vektorok felelnek meg, azaz az
vagy az
vektorok. Más szavakkal, a
és
értékek a jobb és bal cirkuláris polarizációknak felelnek meg (a
16. §-ban ugyanezt az eredményt a
spinvetület-operátor sajátfüggvényeinek közvetlen kiszámításával fogjuk
megkapni).
Ily módon, a foton impulzusmomentumának saját mozgásirányára eső vetülete csak két
értéket vehet fel (); a nulla érték tiltott.
A határozott impulzusú és polarizációjú fotonállapot tiszta állapot (a III. 14. §-ban kifejtett értelemben); azt hullámfüggvény segítségével írhatjuk le, és a részecske (a foton) állapota teljes kvantummechanikai leírásának felel meg. Megvalósulhatnak a foton ún. kevert állapotai , ezek kevésbé teljes leírásnak felelnek meg, melyet nem a hullámfüggvénnyel, hanem a sűrűségmátrixszal realizálhatunk.
Nézzük a fotonnak a polarizációját tekintve kevert, de határozott impulzusú állapotait. Ez esetben (melyet részleges
polarizációnak neveznek) a „koordináta”-hullámfüggvény
létezik.[27]
A polarizációs sűrűségmátrixot a
másodrendű tenzorral adhatjuk meg, az
vektorra merőleges síkban (a
sík; az
indexek két értéket vehetnek fel). Ez a tenzor hermitikus:
feltétellel normáit. (8,3) következtében a
és
diagonális elemek valósak,és (8,4)értelmében csak egyikük választható függetlenül. A
elem komplex,és
. Így a polarizációs sűrűségmátrixot három valós paraméter
jellemzi.
Ha ismerjük a polarizációs sűrűségmátrixot , akkor megadhatjuk annak valószínűségét,
hogy a foton tetszőleges polarizációval rendelkezzék. Ezt a valószínűséget a
tenzornak az
vektor irányára vett „vetülete”, azaz a
mennyiség adja meg. Így a és
mennyiségek adják meg a
és
tengelyek menti lineáris polarizációjúállapotok előfordulási
valószínűségeit. A (8,2) vektorokra vett vetület pedig
a két cirkuláris polarizáció valószínűségét adja:
A tenzor formai és lényegi tulajdonságai egyaránt megegyeznek a
, a részlegesen polarizált fény tulajdonságait a klasszikus elméletben
leíró tenzor tulajdonságaival (II. 50. §). Emlékeztessünk itt e tulajdonságok
némelyikére.
Tiszta állapot (határozott polarizáció) esetében a
tenzor az
vektor komponenseinek szorzatára redukálódik:
Ekkor a determináns értéke nulla. Ellenkező esetben, polarizálatlan
fotonra , az összes polarizációs irány azonos
valószínűségű, azaz
a determináns értéke .
A részleges polarizáció általános esetében kényelmes a sűrűségmátrix megadása a három
valós Stokes-paraméter , segítségével:[28]
Mindhárom paraméter értéke a és
közötti értékeken futhat végig. Polarizálatlan állapotra
; a teljesen polarizált fotonra
.
A paraméter a
és
tengelyek menti lineáris polarizációt jellemzi; az a valószínűség,
amely a foton e tengelyek menti lineáris polarizációjú állapotbeli előfordulását adja
meg:
vagy
. A
, ill.
érték így az e tengely menti teljes polarizációnak felel meg.
A paraméter a
tengellyel a
vagy
szöget bezáró irány menti polarizációt jellemzi. Annak valószínűségét,
hogy a foton ilyen irányú polarizációval rendelkezzék, rendre
, ill.
adja meg; erről könnyen meggyőződhetünk, ha a
tenzort az
irányokra vetítjük.
Végül a paraméter a cirkuláris polározottság fokát adja; (8,6)-tal egyezésben annak valószínűsége, hogy a fotonnak bal vagy jobb
polarizációja legyen,
-vel vagy
-vel egyenlő. Minthogy a két polarizáció a
helicitásnak felel meg, így világos, hogy általában
a foton átlagos helicitása . Megjegyezzük még, hogy tiszta
polarizációjú állapotban
Emlékeztetünk arra (II. 50. §), hogy Lorentz-transzformációkkal szemben és
az invariáns mennyiségek.
A továbbiakban a Stokes-paraméterek időtükrözés -operációja során mutatott viselkedésének kérdése is felmerül. Könnyű belátni, hogy ezek e transzformációval szemben invariánsak. Ez a tulajdonság nyilvánvalóan független a polarizációs állapottól, és így elegendő erről tiszta állapotok esetében meggyőződni. A kvantummechanikában az időtükrözés a hullámfüggvény komplex konjugáltjával történő helyettesítésnek felel meg (III. 18. §). A polarizált síkhullám esetében ez a[29]
cserének felel meg. E transzformáció során a sűrűségmátrix szimmetrikus
része
és ily módon és
változatlanok. A
paraméter invarianciája (8,10)-ből
látható; már nyilvánvalóvá teszi a
-nek mint átlagos helicitásnak a definíciója is. Valóban, a helicitás a
teljes momentum vetülete az
irányra, azaz a
szorzat; az időfordítás mindkét vektor előjelét megváltoztatja.
A további számítások során jobban kezelhető a foton négydimenziós formában írt
sűrűségmátrixa , azaz amely
egy négyestenzor alakját ölti. Polarizált fotonra, melyet az
négyesvektor ír le, ezt a tenzort természetes a
kifejezéssel definiálni. Háromdimenziós transzverzális mérték használata
esetén , és ha a térkoordináta-tengelyek egyikét
mentén választjuk, akkor e négyestenzor nullától különböző
komponensei (8,7)-tel esnek egybe.
Polarizálatlan fotonnak háromdimenziós transzverzális mérték esetén a következő
tenzor felel meg:
[ha a tengelyek egyike egybeesik az tengellyel, akkor ez visszaadja (8,8)-at]. A
-tenzor közvetlen felhasználása háromdimenziós alakjában elég
kényelmetlen. Azonban kihasználhatjuk a mértéktranszformációt ; ez a sűrűségmátrixra a következő
alakú:
ahol tetszőleges függvény. A
definícióval (8,13) helyett egyszerű négydimenziós alakot kapunk:
A részlegesen polarizált foton sűrűségmátrixának négydimenziós
alakját könnyen
megkaphatjuk, ha előzetesen a kétdimenziós (8,9)
tenzort háromdimenziós alakba írjuk:
ahol a
és
tengelyek irányába mutató egységvektorok. A kívánt általánosítás e
háromdimenziós vektorokat a négydimenziós, térszerű
és
valós négyes egységvektorokkal helyettesítve érhető el, amelyek egymásra és a foton négyesimpulzusára merőlegesek:
A speciális vonatkoztatási rendszerben: . Ebből a foton négydimenziós sűrűségmátrixa:
Egyik vagy másik és
négyesvektor előnyös volta a vizsgált feladat konkrét körülményeitől
függ.
Figyelembe kell venni, hogy a (8,16) feltétel nem
rögzíti egyértelműen az és
választását. Ha valamely
négyesvektor kielégíti ezeket a feltéteket, akkor tetszőleges
alakú négyesvektor is kielégíti (minthogy
). Ez a többértelműség a sűrűségmátrix mértékinvarianciájának
következménye.
A (8,17) összefüggés első tagja a polarizálatlan
állapotnak felel meg. Ezért azt (8,15)-nek
megfelelően -vel helyettesíthetjük. Ez a helyettesítés újra csak valamely
mértéktranszformációval ekvivalens.
A (8,17) alakú, két független négyesvektor szerint kifejtett négyestenzorokkal való műveletek során kényelmes a következő formális eljárás alkalmazása. A (8,17) tenzort a
alakban írva, állítsuk elő a együtthatót mint egy kétsoros mátrix komponenseit:
Mint minden hermitikus kétsoros mátrixot, ezt is ki lehet fejteni
négy független kétsoros mátrix – a Pauli-féle mátrixok és az egységmátrix szerint. E felbontás alakja
amelyről könnyen meggyőződhetünk, ha a fenti előállítást (8,17)-telösszehasonlítjuk, és a Pauli-mátrixok
ismert (18,5) előállítását használjuk
(a mennyiségek
vektorban történő egyesítésének természetesen tisztán formális
tartalma van, amely csak az írásmód célszerűségét tartja szem előtt).
Írjuk fel a foton sűrűségmátrixát abban a reprezentációban, melyben a koordinátatengelyek a (8,2) cirkuláris bázisvektorok.
Megoldás. A tenzor komponensei az új bázisban
a (8,9) tenzornak a (8,2) egységvektorokra vett vetítésével adódnak:
[24] Az egy előre megadott tengelyre vett vetülettől eltérően, amelyről az előző szakaszban volt szó.
[25] Emlékeztetünk, hogy így osztályozhatók a kétatomos molekula elektronnívói (l. 111. 78. §).
[26] Emlékeztetünk, hogy a hullámfüggvény komponenseinek mint a részecskekülönböző impulzusmomentum-vetületű állapotai valószínűségi amplitúdóinak (melyekről itt szó van), kontravariáns spinorkomponensek felelnek meg.
[27] Az elektron analóg mátrixát tekintettük a nemrelativisztikus elmélet keretein belül a III. 59. §-ban.
[28] Nem keverendő össze a tengely jelölésével!
[29] Az vektor jelváltása azzal kapcsolatos, hogy az időtükrözési
operáció az elektromágneses tér vektorpotenciáljának előjelét is megváltoztatja. A
skalárpotenciál nem vált előjelet; így az
négyes-vektor időtükrözés során a következőképpen
transzformálódik: