ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

8.§. A foton polarizációja

Az polarizációs vektor a foton esetében a hullámfüggvény „spinrészének” szerepét játssza (azokkal a megszorításokkal, amelyeket a foton spinjének bevezetésével kapcsolatban a 6. §-ban tettünk).

A különböző polarizációs fotonállapotok semmiben sem különböznek a klasszikus elektromágneses hullám lehetséges polarizációs típusaitól (l. II. 48. §).

Tetszőleges polarizáció előállítható két meghatározott módon megválasztott, egymásra merőleges polarizáció, e(1) és e(2) összegeként ( e(1)e(2)∗=0 ). Az

1.59. egyenlet - (8,1)

e = e_{1} e^{(1)} + e_{2} e^{(2)}

kifejtésben az , és együtthatók abszolút érték négyzete adja meg az e(1) , ill. az e(2) polarizációjúállapotban való tartózkodás valószínűségét.

e (1) és e(2) vektorokként két, kölcsönösen merőleges lineáris polarizáció választható. Tetszőleges polarizáció felbontható két ellenkező forgásirányú cirkuláris polarizáció összegére is. A bal és a jobb cirkuláris polarizáció vektorait rendre e(+1) -gyel és e(–1) -gyel jelöljük; a ξηζ rendszerben, a foton irányával, n=k∕ω -val párhuzamos tengely esetén:

1.60. egyenlet - (8,2)

e^{(+ 1)} = - \frac{i}{\sqrt{2}} (e^{(ξ)} + i e^{(η)}), e^{(- 1)} = \frac{i}{\sqrt{2}} (e^{(ξ)} - i e^{(η)})

A lehetőség, hogy a fotonnak adott impulzus mellett két különböző polarizációja lehet, más szóval azt jelenti, hogy az impulzus minden sajátértéke kétszeresen degenerált . Ez a körülmény szoros kapcsolatban áll a fotontömeg nulla voltával.

A nemzérus tömegű szabad rész nyugalmi rendszere mindig létezik. Nyilvánvaló, hogy a részecskének mint olyannak, éppen ebben a rendszerben nyilvánulnak meg szimmetriatulajdonságai. Ezen az origó körüli összes lehetséges forgással szemben (azaz a teljes forgáscsoporttal szemben) mutatott szimmetriát kell érteni. A részecskének e csoportra vonatkozó szimmetriatulajdonságait jellemzi spinje, amely a degeneráció fokát határozza meg ( 2s+1 számú egymásba transzformálódó hullámfüggvény). Konkrétan, a vektoriális (három komponensű) hullámfüggvénnyel rendelkező részecskének spin felel meg.

A nulla tömegű résznek nincs nyugalmi rendszere – minden vonatkoztatási rendszerben fénysebességgel mozog. Ilyen részecske esetében mindig találunk a térben egy kitüntetett irányt – a impulzus irányát (a tengelyt). Világos, hogy ez esetben a hullámfüggvény nem lehet szimmetrikus a teljes háromdimenziós forgáscsoportra nézve, csak a kitüntetett tengely körüli axiális szimmetriáról beszélhetünk.

Axiális szimmetria esetén csak a részecske helicitása – az impulzusmomentum tengelyre vett vetülete marad meg; jelöljük -val.^[24] Ha megköveteljük a tengelyt tartalmazó síkokra való tükrözéssel szembeni szimmetriát is, akkor a előjelében különböző állapotok kölcsönösen degeneráltak lesznek; λ=0 esetén ennek következtében kétszeres degenerációra jutunk.^[25] Az adott impulzusú foton állapota is ilyen kétszeresen degenerált állapot valamelyikének felel meg. Azt egy „spin”-hullámfüggvény, a síkban elhelyezkedő vektor írja le; e vektor két komponense önmaguk lineáris kombinációjába transzformálódik tetszőleges tengely körüli forgatás esetén és minden tükrözésre, amely -t tartalmazó síkokra történik.

A fotonpolarizáció különböző esetei egy-egyértelműen megfeleltethetők helicitása különböző értékeinek. Ezt a megfeleltetést a (III. (57,9)) formulák segítségével kaphatjuk meg, amelyek a vektorhullámfüggvény komponenseit összekapcsolják a vele ekvivalens másodrendű spinor komponenseivel.^[26] A λ=+1 vagy vetületű állapotoknak az eξ–ieη vagy az eξ+ieη irányú vektorok felelnek meg, azaz az e=e(+1) vagy az e=e(–1) vektorok. Más szavakkal, a λ=+1 és λ=–1 értékek a jobb és bal cirkuláris polarizációknak felelnek meg (a 16. §-ban ugyanezt az eredményt a spinvetület-operátor sajátfüggvényeinek közvetlen kiszámításával fogjuk megkapni).

Ily módon, a foton impulzusmomentumának saját mozgásirányára eső vetülete csak két értéket vehet fel (); a nulla érték tiltott.

A határozott impulzusú és polarizációjú fotonállapot tiszta állapot (a III. 14. §-ban kifejtett értelemben); azt hullámfüggvény segítségével írhatjuk le, és a részecske (a foton) állapota teljes kvantummechanikai leírásának felel meg. Megvalósulhatnak a foton ún. kevert állapotai , ezek kevésbé teljes leírásnak felelnek meg, melyet nem a hullámfüggvénnyel, hanem a sűrűségmátrixszal realizálhatunk.

Nézzük a fotonnak a polarizációját tekintve kevert, de határozott impulzusú állapotait. Ez esetben (melyet részleges polarizációnak neveznek) a „koordináta”-hullámfüggvény létezik.^[27]

A polarizációs sűrűségmátrixot a másodrendű tenzorral adhatjuk meg, az vektorra merőleges síkban (a sík; az α,β indexek két értéket vehetnek fel). Ez a tenzor hermitikus:

1.61. egyenlet - (8,3)

ϱ_{α β} = ϱ_{α β}^{*},

és a

1.62. egyenlet - (8,4)

ϱ_{α α} \equiv ϱ_{11} + ϱ_{22} = 1

feltétellel normáit. (8,3) következtében a ϱ11 és ϱ22 diagonális elemek valósak,és (8,4)értelmében csak egyikük választható függetlenül. A ϱ12 elem komplex,és ϱ21=ϱ12∗ . Így a polarizációs sűrűségmátrixot három valós paraméter jellemzi.

Ha ismerjük a polarizációs sűrűségmátrixot , akkor megadhatjuk annak valószínűségét, hogy a foton tetszőleges polarizációval rendelkezzék. Ezt a valószínűséget a ϱαβ tenzornak az vektor irányára vett „vetülete”, azaz a

1.63. egyenlet - (8,5)

ϱ_{α β} e_{α}^{*} e_{β}

mennyiség adja meg. Így a ϱ11 és ϱ22 mennyiségek adják meg a és tengelyek menti lineáris polarizációjúállapotok előfordulási valószínűségeit. A (8,2) vektorokra vett vetület pedig a két cirkuláris polarizáció valószínűségét adja:

1.64. egyenlet - (8,6)

\frac{1}{2} [1 \pm i (ϱ_{12} - ϱ_{21})] .

A ϱαβ tenzor formai és lényegi tulajdonságai egyaránt megegyeznek a Jαβ , a részlegesen polarizált fény tulajdonságait a klasszikus elméletben leíró tenzor tulajdonságaival (II. 50. §). Emlékeztessünk itt e tulajdonságok némelyikére.

Tiszta állapot (határozott polarizáció) esetében a ϱαβ tenzor az vektor komponenseinek szorzatára redukálódik:

1.65. egyenlet - (8,7)

ϱ_{α β} = e_{α} e_{β}^{*} .

Ekkor a |ϱαβ| determináns értéke nulla. Ellenkező esetben, polarizálatlan fotonra , az összes polarizációs irány azonos valószínűségű, azaz

1.66. egyenlet - (8,8)

ϱ_{α β} = \frac{1}{2} δ_{α β},

a determináns értéke |ϱαβ|=1∕4 .

A részleges polarizáció általános esetében kényelmes a sűrűségmátrix megadása a három valós Stokes-paraméter , ξ1,ξ2,ξ3 segítségével:^[28]

1.67. egyenlet - (8,9)

ϱ_{α β} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + ξ_{3} & ξ_{1} - i ξ_{2} \\ ξ_{1} + i ξ_{2} & 1 - ξ_{3} \end{matrix}) .

Mindhárom paraméter értéke a és közötti értékeken futhat végig. Polarizálatlan állapotra ξ1=ξ2=ξ3=0 ; a teljesen polarizált fotonra ξ12+ξ22+ξ32=1 .

A paraméter a és tengelyek menti lineáris polarizációt jellemzi; az a valószínűség, amely a foton e tengelyek menti lineáris polarizációjú állapotbeli előfordulását adja meg: (1+ξ3)∕2 vagy (1–ξ3)∕2 . A ξ3=+1 , ill. ξ3=–1 érték így az e tengely menti teljes polarizációnak felel meg.

A paraméter a tengellyel a φ=π∕4 vagy φ=–π∕4 szöget bezáró irány menti polarizációt jellemzi. Annak valószínűségét, hogy a foton ilyen irányú polarizációval rendelkezzék, rendre (1+ξ1)∕2 , ill. (1–ξi)∕2 adja meg; erről könnyen meggyőződhetünk, ha a ϱαβ tenzort az e=(1,±1)∕√2 irányokra vetítjük.

Végül a paraméter a cirkuláris polározottság fokát adja; (8,6)-tal egyezésben annak valószínűsége, hogy a fotonnak bal vagy jobb polarizációja legyen, (1+ξ2)∕2 -vel vagy (1–ξ2)∕2 -vel egyenlő. Minthogy a két polarizáció a λ=±1 helicitásnak felel meg, így világos, hogy általában a foton átlagos helicitása . Megjegyezzük még, hogy tiszta polarizációjú állapotban

1.68. egyenlet - (8,10)

ξ_{2} = i (e \times e^{*}) n

Emlékeztetünk arra (II. 50. §), hogy Lorentz-transzformációkkal szemben és √(ξ12+ξ32) az invariáns mennyiségek.

A továbbiakban a Stokes-paraméterek időtükrözés -operációja során mutatott viselkedésének kérdése is felmerül. Könnyű belátni, hogy ezek e transzformációval szemben invariánsak. Ez a tulajdonság nyilvánvalóan független a polarizációs állapottól, és így elegendő erről tiszta állapotok esetében meggyőződni. A kvantummechanikában az időtükrözés a hullámfüggvény komplex konjugáltjával történő helyettesítésnek felel meg (III. 18. §). A polarizált síkhullám esetében ez a^[29]

1.69. egyenlet - (8,11)

k \to - k, e \to - e^{*}

cserének felel meg. E transzformáció során a sűrűségmátrix szimmetrikus része

és ily módon és változatlanok. A paraméter invarianciája (8,10)-ből látható; már nyilvánvalóvá teszi a -nek mint átlagos helicitásnak a definíciója is. Valóban, a helicitás a teljes momentum vetülete az irányra, azaz a szorzat; az időfordítás mindkét vektor előjelét megváltoztatja.

A további számítások során jobban kezelhető a foton négydimenziós formában írt sűrűségmátrixa , azaz amely egy ϱμν négyestenzor alakját ölti. Polarizált fotonra, melyet az négyesvektor ír le, ezt a tenzort természetes a

1.70. egyenlet - (8,12)

ϱ_{μ ν} = e_{μ} e_{ν}^{*}

kifejezéssel definiálni. Háromdimenziós transzverzális mérték használata esetén e=(0,e) , és ha a térkoordináta-tengelyek egyikét mentén választjuk, akkor e négyestenzor nullától különböző komponensei (8,7)-tel esnek egybe.

Polarizálatlan fotonnak háromdimenziós transzverzális mérték esetén a következő ϱμν tenzor felel meg:

1.71. egyenlet - (8,13)

ϱ_{i k} = \frac{1}{2} (δ_{i k} - n_{i} n_{k}), ϱ_{0 i} = ϱ_{i 0} = ϱ_{00} = 0

[ha a tengelyek egyike egybeesik az tengellyel, akkor ez visszaadja (8,8)-at]. A ϱμν -tenzor közvetlen felhasználása háromdimenziós alakjában elég kényelmetlen. Azonban kihasználhatjuk a mértéktranszformációt ; ez a sűrűségmátrixra a következő alakú:

1.72. egyenlet - (8,14)

ϱ_{μ ν} \to ϱ_{μ ν} + χ_{μ} k_{ν} + χ_{ν} k_{μ},

ahol tetszőleges függvény. A

definícióval (8,13) helyett egyszerű négydimenziós alakot kapunk:

1.73. egyenlet - (8,15)

ϱ_{μ ν} = - \frac{1}{2} g_{μ ν} .

A részlegesen polarizált foton sűrűségmátrixának négydimenziós alakját könnyen megkaphatjuk, ha előzetesen a kétdimenziós (8,9) tenzort háromdimenziós alakba írjuk:

ϱik =(1/2)(ei(1)ek(1)+ei(2)ek(2))+(ξ1/2)(ei(1)ek(2)+ei(2)ek(1))– –(iξ2/2)(ei(1)ek(2)–ei(2)ek(1))+(ξ3/2)(ei(1)ek(1)–ei(2)ek(2)),

ahol e(1),e(2) a és tengelyek irányába mutató egységvektorok. A kívánt általánosítás e háromdimenziós vektorokat a négydimenziós, térszerű e(1) és e(2) valós négyes egységvektorokkal helyettesítve érhető el, amelyek egymásra és a foton négyesimpulzusára merőlegesek:

1.74. egyenlet - (8,16)

\begin{matrix} \begin{aligned} e^{(1) 2} = e^{(2) 2} & = - 1, \\ e^{(1)} e^{(2)} & = 0, \\ e^{(1)} k = e^{(2)} k & = 0 . \end{aligned} & (8,16) \end{matrix}

A speciális vonatkoztatási rendszerben: e(1)=(0,e(1)); e(2)=(0,e(2)) . Ebből a foton négydimenziós sűrűségmátrixa:

1.75. egyenlet - (8,17)

\begin{matrix} \begin{aligned} ϱ_{μ ν} & = \frac{1}{2} (e_{μ}^{(1)} e_{ν}^{(1)} + e_{μ}^{(2)} e_{ν}^{(2)}) + \frac{ξ_{1}}{2} (e_{μ}^{(1)} e_{ν}^{(2)} + e_{μ}^{(2)} e_{ν}^{(1)}) - \\ - \frac{i ξ_{2}}{2} (e_{μ}^{(1)} e_{ν}^{(2)} - e_{μ}^{(2)} e_{ν}^{(1)}) + \frac{ξ_{3}}{2} (e_{μ}^{(1)} e_{ν}^{(1)} - e_{μ}^{(2)} e_{ν}^{(2)}), \end{aligned} & (8,17) \end{matrix}

Egyik vagy másik e(1) és e(2) négyesvektor előnyös volta a vizsgált feladat konkrét körülményeitől függ.

Figyelembe kell venni, hogy a (8,16) feltétel nem rögzíti egyértelműen az e(1) és e(2) választását. Ha valamely négyesvektor kielégíti ezeket a feltéteket, akkor tetszőleges eμ+χkμ alakú négyesvektor is kielégíti (minthogy k2=0 ). Ez a többértelműség a sűrűségmátrix mértékinvarianciájának következménye.

A (8,17) összefüggés első tagja a polarizálatlan állapotnak felel meg. Ezért azt (8,15)-nek megfelelően –(1/2)gμν -vel helyettesíthetjük. Ez a helyettesítés újra csak valamely mértéktranszformációval ekvivalens.

A (8,17) alakú, két független négyesvektor szerint kifejtett négyestenzorokkal való műveletek során kényelmes a következő formális eljárás alkalmazása. A (8,17) tenzort a

alakban írva, állítsuk elő a ϱ(ab) együtthatót mint egy kétsoros mátrix komponenseit:

Mint minden hermitikus kétsoros mátrixot, ezt is ki lehet fejteni négy független kétsoros mátrix – a Pauli-féle σx,σy,σz mátrixok és az egységmátrix szerint. E felbontás alakja

1.76. egyenlet - (8,18)

ϱ = \frac{1}{2} (1 + ξ σ), ξ = (ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}),

amelyről könnyen meggyőződhetünk, ha a fenti előállítást (8,17)-telösszehasonlítjuk, és a Pauli-mátrixok ismert (18,5) előállítását használjuk (a ξ1,ξ2,ξ3 mennyiségek vektorban történő egyesítésének természetesen tisztán formális tartalma van, amely csak az írásmód célszerűségét tartja szem előtt).

Feladat

Írjuk fel a foton sűrűségmátrixát abban a reprezentációban, melyben a koordinátatengelyek a (8,2) cirkuláris bázisvektorok.

Megoldás. A ϱαβ′ tenzor komponensei az új bázisban (α,β=±1) a (8,9) tenzornak a (8,2) egységvektorokra vett vetítésével adódnak:

ϱ11′=ϱαβeα(+1)∗eβ(+1); ϱ1–1′=ϱαβeα(+1)∗eβ(–1),… ϱ′=(1/2)(1+ξ2 –ξ3+iξ1 / –ξ3–iξ1 1–ξ2).

^[24]Az egy előre megadott tengelyre vett vetülettől eltérően, amelyről az előző szakaszban volt szó.

^[25] Emlékeztetünk, hogy így osztályozhatók a kétatomos molekula elektronnívói (l. 111. 78. §).

^[26] Emlékeztetünk, hogy a hullámfüggvény komponenseinek mint a részecskekülönböző impulzusmomentum-vetületű állapotai valószínűségi amplitúdóinak (melyekről itt szó van), kontravariáns spinorkomponensek felelnek meg.

^[27] Az elektron analóg mátrixát tekintettük a nemrelativisztikus elmélet keretein belül a III. 59. §-ban.

^[28] Nem keverendő össze a tengely jelölésével!

^[29] Az vektor jelváltása azzal kapcsolatos, hogy az időtükrözési operáció az elektromágneses tér vektorpotenciáljának előjelét is megváltoztatja. A skalárpotenciál nem vált előjelet; így az négyes-vektor időtükrözés során a következőképpen transzformálódik: (e0,e)→(e0∗,–e∗). (8,11a)