Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A 6. §-beli megfontolásokhoz hasonló módon a bonyolultabb feladat, a két fotonból álló rendszer lehetséges állapotainak összeszámlálása is elvégezhető (L. Landau, 1948).
Tömegközépponti rendszerükben tekintjük a fotonokat; impulzusaikra a összefüggés érvényes.[30] A kétfotonos rendszer hullámfüggvényét (impulzusreprezentációban) egy
háromdimenziós, másodrendű tenzor alakjában állíthatjuk elő, amely a
két foton vektorhullámfüggvénye komponenseinek bilineáris alakja; az indexek mindegyike
valamelyik fotonhoz rendelhető (
a
irányú egységvektor). A fotonok transzverzalitását az
tenzor és az
vektor merőlegessége fejezi ki:
A fotonok kölcsönös felcserélése az tenzor indexeinek és egyidejűleg
irányának megcserélését jelenti. Minthogy a fotonok
Bose-statisztikát követnek, ezért
Az tenzor indexeiben általában nem szimmetrikus. Bontsuk fel szimmetrikus
(
) és antiszimmetrikus (
) részekre:
. A (9,2) összefüggést [és
egyidejűleg a (9,1) ortogonalitási feltételt]
nyilvánvalóan, mindkét tagnak külön-külön ki kell elégítenie. Ebből adódik, hogy
A koordináta-rendszer tükrözése nem változtatja meg a másodrendű
tenzor komponenseinek előjelét, de megváltoztatja -ét. Ezért (9,3)-ből látható, hogy az
hullámfüggvény tükrözésre szimmetrikus, azaz a fotonok páros paritású
állapotainak felel meg, míg az
hullámfüggvény a páratlanokéinak.
Egy másodrendű antiszimmetrikus tenzor ekvivalens (duális) egy axiális vektorral, melynek komponenseit a tenzoréval az
összefüggés révén fejezhetjük ki, ahol
az antiszimmetrikus egységtenzor (l. II. 6. §). Az
tenzor és az
vektor merőlegessége következtében az
és
vektorok párhuzamosak.[31] Ezért írhatjuk, hogy
, ahol
skalár; (9,4)szerint
, ezért
Ez az egyenlőség arra utal, hogy a skalárt a csak páros,
-edrendű gömbfüggvények lineáris kombinációjaként (ideértve a nulladik
rendet is) állíthatjuk elő.
Látjuk, hogy az antiszimmetrikus tenzor (forgatással szemben mutatott) transzformációs
tulajdonságai szerint egy skalármennyiséggel ekvivalens (l. az I. fejezet9. lábjegyzetét). Ehhez
nulla „spint” rendelve, az állapot impulzusmomentumára
adódik. Tehát az
tenzor páros
impulzusmomentumú és páratlan paritású kétfotonos állapotnak felel
meg.
Vizsgáljuk a szimmetrikus tenzort. Minthogy
előjelváltásaival szemben páros, így páros paritású kétfotonos
állapotnak felel meg. Ebből az is következik, hogy
komponenseit páros rendű (
) gömbfüggvényekkel fejezhetjük ki (
-t beleértve). Tetszőleges szimmetrikus másodrendű tenzor, mint
ismeretes, egy skalárra (
) és egy nulla nyomú
szimmetrikus tenzorra (
) redukálható.
Az skalárhoz
„spint” rendelünk, így a megfelelő állapotok impulzusmomentuma
, azaz páros. Az sík tenzornak
-es „spin” felel meg (l. III. 57. §). Az impulzusmomentum összeadásának
szabályai szerint összerakva ezt a spint és a páros „pályamomentumot”, azt látjuk, hogy
adott páros
esetén három állapot (
), páratlan
esetén két állapot (
) lehetséges.
-nak kivételként egy állapot felel meg (
) csakúgy, mint
-nek (
).
Az összeszámlálásnál azonban nem vettük még figyelembe, hogy merőleges az
vektorra. Így az állapotok eddigi számából le kell vonni az
-nel „párhuzamos” szimmetrikus másodrendű tenzornak megfelelő állapotok
számát. Ezt a tenzort (jelöljük
-vel) a következő alakban írhatjuk:
ahol valamely vektor. (9,3) szerint ez a
vektor ki kell, hogy elégítse a
feltételt. Így a felesleges állapotokért felelős
tenzor egy páratlan vektorral ekvivalens. Ennek következtében a
vektort a páratlan
-edrendű gömbfüggvényekkel kell kifejeznünk. Minthogy a vektornak
-es „spin” felel meg, látjuk, hogy páros
impulzusmomentumhoz két állapot tartozik (
), a páratlan
-khez
állapot (
); különleges esetként kezelendő
, melyhez csak
állapot tartozik (
).
Összeszedve a kapott eredményeket, a következő táblázatot kapjuk, amely a megengedett
páros és páratlan kétfotonos (nulla összimpulzusú) állapotok számát tünteti fel a teljes impulzusmomentum különböző értékeire:
( pozitív egész, nemzérus szám). Látjuk, hogy páratlan
esetén páratlanállapotok nem léteznek, és a
állapot pedig egyáltalán nem létezhet.
A kétfotonos rendszer hullámfüggvénye a fotonok polarizációjának korrelációját is
meghatározza. Annak valószínűsége, hogy a két foton egyidejűleg
, ill.
polarizációval rendelkezzék, arányos az
mennyiséggel. Más szavakkal, ha adott az egyik foton polarizációja, akkor a másik foton polarizációja arányos lesz az
vektorral,
A rendszer páratlan állapotaiban megegyezik az
antiszimmetrikus tenzorral. Ekkor
azaz a két foton polarizációja kölcsönösen merőleges egymásra. Lineáris polarizáció esetén ez irányuk merőlegességét jelenti, cirkuláris polarizáció esetén forgásirányuk ellentétességét.
A páros állapot egy skalárra redukálódó szimmetrikus tenzorral írható
le,
Ezért (9,6)-ból -ra következtethetünk. Ez lineáris polarizáció esetén párhuzamos
irányítottságot jelent, cirkuláris polarizáció esetén viszont újra csak a forgási
irányok ellentétességét. Az utóbbi körülmény előre látható, minthogy
esetén a fotonok impulzusmomentumainak egy adott
irányra vett vetületeit összegezve, az eredmény szükségszerűen nulla
(az ellentétes
és
irányokra vett vetületek, a helicitások, természetesen egyenlőek).
[30] Ilyen vonatkoztatási rendszer mindig létezik, kivéve az egymással
párhuzamosan, azonos irányban haladó fotonok esetét. Ekkor az eredő fotonimpulzus
és energia
közötti kapcsolat ugyanaz, mint egyetlen fotonra, így nem
létezik olyan rendszer, ahol
összefüggés lenne érvényes.
[31] Ui. , és az ortogonalitási feltétel szerint
.