Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A négyestükrözéssel ellentétben a hármas (térbeli) tükrözés
nem ekvivalens a négyes koordináta-rendszer valamilyen elforgatásával: a transzformáció
determinánsa nem , hanem
. A részecskék térbeli tükrözéssel (
) szemben mutatott szimmetriatulajdonságait a relativisztikus
invariancia követelménye nem határozza meg.[42]
A tükrözés operációjának skalár hullámfüggvényre való alkalmazása a következő transzformációt jelenti:
a jobb oldalon vagy
előjel áll aszerint, hogy
skalár vagy pszeudoskalár.
A fentiekből következik, hogy a hullámfüggvény tükrözési tulajdonságainak
vizsgálatakor két dolgot kell megkülönböztetni. Az egyik a hullámfüggvény koordinátáktól
való függésével van kapcsolatban. A nemrelativisztikus kvantummechanikában csak ezt a
szempontot vizsgáltuk – itt vezettük be az állapotok paritásának fogalmát (ezt most
pályaparitásnak fogjuk hívni), amely a részecske mozgásának
szimmetriatulajdonságát jellemzi. Ha az állapot pályaparitása meghatározott
( vagy
), ez azt jelenti, hogy
A másik szempont – a hullámfüggvény viselkedése (a koordinátatengelyek tükrözésekor)
adott pontban (ezt választhatjuk a koordináta-rendszer kezdőpontjának). Ez a részecske
belső paritásának fogalmához vezet. A vagy
belső paritás (a nulla spinű részecskére)
a (13,1) definíció jobb oldalán szereplő
vagy
előjelnek felel meg. Részecskék rendszerének teljes paritása a belső
paritásnak és a relatív mozgás pályaparitásának szorzatával egyenlő.
A különböző részecskék „belső” szimmetriatulajdonságai magától értetődően csak a részecskék egymásba való átalakulása során mutatkoznak. A nemrelativisztikus kvantummechanikai belső paritásnak megfelel a bonyolult rendszerek (pl. atommag) meghatározott, kötött állapotainak paritása. A relativisztikus elméletben, amely nem tesz elvi különbséget elemi és összetett részecske között, az ilyen belső paritás ugyanúgy jelentkezik, mint a nemrelativisztikusan elemi részecskék belső paritása. A nem-relativisztikus tartományban, ahol a részecskék nem változnak, belső paritásuk nem figyelhető meg, ezért vizsgálatuknak nincs fizikai jelentősége.
A másodkvantálás formalizmusában a belső paritást a -operátor tükrözéssel szemben mutatott viselkedése fejezi ki. A skalár
és pszeudoskalár terek transzformációja
A részecskét eltüntetőés keltő operátorok transzformációs tulajdonságaitúgy
kell meghatározni, hogy azok összhangban legyenek (13,2)-vel. Könnyű látni, hogy ezek
(és ugyanezek az adjungált operátorokra). Valóban, ha ezt a
kifejezésbe behelyettesítjük, és a -re valóösszegezést átjelöljük
-re valóösszegezésre, akkor
-et kapjuk. A transzformált operátort
-rel jelölve, a következő egyenlőséget írhatjuk:
Megjegyezzük, hogy a (13,3) transzformáció
jelentése magától értetődő: a tükrözés megváltoztatja a poláris vektor előjelét,
impulzusú részecskéből
impulzusú részecske lesz.
(13,3)-ban a transzformáció során vagy mindkét
operátornál pozitív, vagy mindkettőnél negatív előjel áll. Ez azt fejezi ki, hogy
( spinű) részecske és antirészecske belső paritása azonos. Ez már abból
is következik, hogy a (
spinű) részecskét és antirészecskét ugyanaz a (skalár vagy
pszeudoskalár) hullámfüggvény írja le.
A (13,4)-operátor szimmetriatulajdonságot mutat olyan transzformációval
szemben, amelynek nincs nemrelativisztikus megfelelője; ezt
töltéskonjugációnak hívjuk, és
-vel jelöljük. Ha az
és
operátorokat felcseréljük egymással (azaz a részecskét
antirészecskével):
akkor a
töltéskonjugált operátorba megy át, melyre
Ez az egyenlőség a részecskéket és antirészecskéket leíró elmélet
szimmetriáját mutatja.
Megjegyezzük, hogy a töltéskonjugáció transzformációjának fenti definíciójában lényegtelen formális önkény maradt. A transzformáció jelentése nem változik, ha (13,6)-ban tetszőleges fázisszorzót vezetünk be:
Ekkor
és a transzformáció kétszeri alkalmazása ugyanúgy, mint előbb,
azonossághoz vezet (). A különböző definíciók ekvivalensek. Minthogy egységnyi abszolút
értékű fázisszorzó nem változtatja meg a
-operátor tulajdonságait (vö. 12. §
vége), ezért
helyett
-t is használhatjuk, és így a töltéskonjugáció (13,6)–(13,7)
definícióját kapjuk.
Mivel a töltéskonjugáció a részecskét a vele nem azonos antirészecskére változtatja, így általában nem a részecske vagy részecskerendszer valamilyen új jellegzetességéről ad számot.
Kivételt képeznek azok a rendszerek, amelyekben a részecskék és antirészecskék száma
megegyezik. Az ilyen rendszert a operátor önmagába viszi át, és ezért léteznek
-nek megfelelő sajátállapotok (az utóbbi abból következik, hogy
). Hogy a töltésszimmetriát leírhassuk, a részecskéket és
antirészecskéket ugyanazon részecske különböző „töltésállapotainak” tekinthetjük, melyek csak a
töltéskvantumszámban különböznek. A
rendszer hullámfüggvényét térbeli hullámfüggvény és
„töltés”-hullámfüggvény szorzataként állíthatjuk
elő, s szimmetrikusnak kell lennie bármely részecskepár összes változóinak (koordináták,
töltések) egyidejű felcserélésével szemben. A „töltés”-hullámfüggvény
szimmetriája meghatározza a rendszer
töltésparitását (lásd a feladatot).[43]
Amint azt az 1. §-ban hangsúlyoztuk, a relativisztikus tárgyalásmód nem tesz elvi különbséget „bonyolult” és „elemi” részecskék között. Ezért a „valódi semleges” rendszerekben természetes módon jelentkező töltésparitásról valódi semleges, „elemi” részecskék esetében is beszélhetünk. A másodkvantálási formalizmusban ezt a
egyenlőség írja le, a és
előjel a páros, ill. páratlan töltésparitású részecskének felel
meg.
A 11. §-ban megmutattuk, hogy a relativisztikus invariancia magában foglalja a négyestükrözéssel szemben mutatott invarianciát. A (négyeselforgatások tekintetében) skalár tér operátorára ez a
transzformációs szabályt jelenti, mindig előjellel a jobb oldalon. Az
és
operátorok transzformációját tekintve, a
-nek
-re való cseréje (13,4)-ben
és
együtthatóinak felcseréléséhez, azaz az
helyettesítésre vezet. Az és
operátorok kölcsönös cseréje a részecskék és antirészecskék kölcsönös
cseréjét jelenti. Látjuk, hogy a relativisztikus elméletben természetes módon lép föl az
invariancia követelménye a transzformációval szemben, amely a térbeli tükrözéssel (
) és időbeli tükrözéssel
(
) egyidejűleg a töltéskonjugációt
(
) is tartalmazza; ezt az állítást hívják CPT-tételnek .[44]
Ezen a helyen hangsúlyoznunk kell, hogy bár az itt és a 11. és 12. §-okban elmondottak a
közönséges kvantummechanika és a klasszikus relativitáselmélet fogalmainak természetes
továbbviteleként adódtak, mégis túlmennek ezek keretein mind formailag (-operátorok, amelyek egyidejűleg tartalmazzák a részecskét keltő és
eltüntető operátorokat), mind tartalmilag (részecskék, antirészecskék). Az eredményeket
ezért nem lehet tisztán logikai szükségszerűségnek tekinteni. Új fizikai elveket
hordoznak magukban, melyeknek a helyességét csak a tapasztalat döntheti el.
Ha a (13,4) operátorból a (13,9) transzformációval kapottat -rel jelöljük, akkor írhatjuk, hogy
A négyestükrözés (13,9) transzformációjával együtt az időtükrözés transzformációs képleteit is meghatároztuk: CP-vel kiegészítve (13,9)-et kell megkapnunk.[45](13,3)-at és (13,6)-ot figyelembe véve,
[a előjel jelentése ugyanaz, mint (13,3)-ban]. A transzformációértelme egészen természetes: nemcsak a
impulzust változtatja meg
impulzusra, hanem a mátrixelem kezdeti és végállapotait is felcseréli;
ezért a
impulzusú részecskét eltüntető operátor
impulzusú részecskét keltő operátorba megy át. Ha (13,11)-et beírjuk (13,4)-be, és átjelöljük az összegezést (
), azt kapjuk, hogy[46]
Ez az egyenlőség a kvantummechanikából ismert közönséges időtükrözési szabállyal
analóg: ha valamely állapot hullámfüggvénye , akkor az „időben megfordított” állapoté
; a komplex konjugálásra azért van szükség, hogy az „elrontott”
időfüggést helyreállítsuk (E. P. Wigner , 1932).
A (és vele együtt a CPT) transzformáció tehát felcseréli a kezdeti és
végállapotokat, így ezeknek az operátoroknak nincsenek sajátállapotai és sajátértékei.
Általuk nem ismerkedünk meg a részecskék új tulajdonságával. A szórásfolyamatok
vizsgálatához azonban értékes információkat adnak, erről a 70. §-ban lesz szó.
Megvizsgáljuk, hogyan változik ,
és
transzformáció során a (12,8)
áramsűrűség-vektor . A (13,2) transzformáció a
helyettesítéssel együtt a következőt adja:
valódi négyesvektorokra ezt várjuk is.
A (13,7) transzformáció egyszerűen adná,
hogy
ha a és
operátorok felcserélhetők lennének. Ez viszont nem teljesül, mégpedig
azért, mert
és
(vagy
és
ugyanazon
-vel nem felcserélhetők; azonban a (11,4) szabály szerint ezeknek az operátoroknak a kommutátora a betöltési
számtól, azaz a tér állapotától független. Ezt a tagot [mint (11,5)-ben és (11,6)-ban] elhagyva, kapjuk
a (13,14) szabályt, amelynek természetes jelentése
van: részecske és antirészecske felcserélése, a töltéskonjugáció , a négyes áramsűrűség minden komponensének előjelét
megváltoztatja.
Mivel az időtükrözés a kezdeti és a végállapot felcserélésével függ össze, ezért tetszőleges operátorra való alkalmazáskor megváltoztatja a tényezők sorrendjét. Így
Az adott esetben ez a körülmény nem lényeges: a -operátorok (előbb említett értelemben vett) felcserélhetősége miatt a
tényezők eredeti sorrendjéhez való visszatérés nem változtatja meg az eredményt.
Figyelembe véve, hogy időtükrözéskor
, kapjuk az áram transzformációs szabályát:
A háromdimenziós vektor – klasszikus értelmezésének megfelelően – előjelet vált.
Végül CPT transzformáció során
összhangban azzal, hogy ez az operáció négyestükrözésnek felel meg.
Kiemeljük, hogy mivel a négyestükrözés a négydimenziós koordináta-rendszer elforgatása,
ezért ezzel kapcsolatban nem beszélhetünk kétfajta (valódi és pszeudo) tetszőleges rendű
négyestenzorról.
A részecskéket mindeddig szabadoknak tekintettük. A paritáskvantumszámoknak valódi értelme azonban csak a részecskék kölcsönhatásának vizsgálatánál van, amikor meghatározott kiválasztási szabályok, különböző folyamatok megengedettsége vagy tiltottsága kapcsolódik hozzájuk. Ilyen értelme azonban csak megmaradó mennyiségeknek lehet, tehát olyan operátorok sajátértékeinek, amelyek felcserélhetőek a kölcsönható részecskék Hamilton-operátorával .
A relativisztikus invariancia értelmében legalább a CPT transzformáció operátorának
felcserélhetőnek kell lennie a Hamilton-operátorral. A tapasztalat azt mutatja, hogy az
elektromágneses és erős kölcsönhatás invariáns külön-külön a ,
(és velük együtt a
) transzformációval szemben, a megfelelő paritáskvantumszám e
kölcsönhatások során megmarad. A gyenge kölcsönhatásban ezek a megmaradási törvények
sérülnek.[47]
Kissé előretekintve megemlítjük, hogy töltött részecskék és az elektromágneses tér
kölcsönhatását az és
négyesvektor-operátorok szorzata írja le. Mivel töltéskonjugáció során
előjelet vált, ezért e transzformációval szemben az elektromágneses
kölcsönhatás csak úgy lehet invariáns, ha
is előjelet vált. Más szóval, a fotonok töltésparitása
.
Az operátor említett tulajdonságai összhangban vannak a klasszikus
elmélet négyespotenciáljának tulajdonságaival. Valóban a
transzformációkból következik, hogy
ami megfelel az elektromágneses potenciálok időtükrözéssel szembeni klasszikus transzformációs szabályának.
Határozzuk meg két spinű részecskéből (részecske és antirészecske) álló rendszernek a
térbeli és töltésparitását , ha a részecskék relatív
pálya-impulzusmomentuma
.
Megoldás. A részecskék koordinátáinak felcserélése (a
tömegközéppontra vonatkozó) tükrözéssel ekvivalens, és így a pályafüggvényt
-nel szorozza; a töltésváltozók felcserélése töltéskonjugációval
ekvivalens, ez a hullámfüggvényt a keresett
-vel szorozza. A
feltételből
A rendszer térbeli paritása a pályaparitásnak és a részecskék
belső paritásainak szorzata. Mivel részecske és antirészecske belső paritása azonos,
ezért a jelen esetben a pályaparitással azonos:
.
[42] A térbeli tükrözésekkel kiegészített Lorentz-csoportot hívjuk kibővített
Lorentz-csoportnak (az eredeti, amely -t nem tartalmazza, a valódi Lorentz-csoport ). Ez minden olyan transzformációt
tartalmaz, amely nem viszi ki a
tengelyt a fénykúp megfelelő részéből.
[43] Jelenleg spinű részecskéket vizsgálunk. A leírt módszer közvetlenül
általánosítható más esetekre is – lásd pl. a 27 § feladatát.
[44] A CPT-tételt J. Schwinger (1953), G. Lüders (1954) és W. Pauli (1955) fogalmazták meg.
[45] A CP-transzformációt kombinált tükrözésnek nevezik.
[46] Ha a operációt a többitől függetlenül
definiáljuk, akkor ugyanolyan tetszőleges fázisszorzó lép fel, mint a
töltéskonjugációnál. A CPT-szimmetria megkövetelése
már csak a
és
operációk egyikében hagy tetszőleges fázisszorzót.
[47] ElőszörT. D. Lee és C. N. Yang állapították meg, hogy a paritásmegmaradás gyenge kölcsönhatásban sérülhet (1956).