ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

13.§. C, P, T transzformációk

A négyestükrözéssel ellentétben a hármas (térbeli) tükrözés nem ekvivalens a négyes koordináta-rendszer valamilyen elforgatásával: a transzformáció determinánsa nem , hanem . A részecskék térbeli tükrözéssel () szemben mutatott szimmetriatulajdonságait a relativisztikus invariancia követelménye nem határozza meg.^[42]

A tükrözés operációjának skalár hullámfüggvényre való alkalmazása a következő transzformációt jelenti:

2.40. egyenlet - (13,1)

P ψ (t, r) = \pm ψ (t, - r),

a jobb oldalon vagy előjel áll aszerint, hogy skalár vagy pszeudoskalár.

A fentiekből következik, hogy a hullámfüggvény tükrözési tulajdonságainak vizsgálatakor két dolgot kell megkülönböztetni. Az egyik a hullámfüggvény koordinátáktól való függésével van kapcsolatban. A nemrelativisztikus kvantummechanikában csak ezt a szempontot vizsgáltuk – itt vezettük be az állapotok paritásának fogalmát (ezt most pályaparitásnak fogjuk hívni), amely a részecske mozgásának szimmetriatulajdonságát jellemzi. Ha az állapot pályaparitása meghatározott ( vagy ), ez azt jelenti, hogy

A másik szempont – a hullámfüggvény viselkedése (a koordinátatengelyek tükrözésekor) adott pontban (ezt választhatjuk a koordináta-rendszer kezdőpontjának). Ez a részecske belső paritásának fogalmához vezet. A vagy belső paritás (a nulla spinű részecskére) a (13,1) definíció jobb oldalán szereplő vagy előjelnek felel meg. Részecskék rendszerének teljes paritása a belső paritásnak és a relatív mozgás pályaparitásának szorzatával egyenlő.

A különböző részecskék „belső” szimmetriatulajdonságai magától értetődően csak a részecskék egymásba való átalakulása során mutatkoznak. A nemrelativisztikus kvantummechanikai belső paritásnak megfelel a bonyolult rendszerek (pl. atommag) meghatározott, kötött állapotainak paritása. A relativisztikus elméletben, amely nem tesz elvi különbséget elemi és összetett részecske között, az ilyen belső paritás ugyanúgy jelentkezik, mint a nemrelativisztikusan elemi részecskék belső paritása. A nem-relativisztikus tartományban, ahol a részecskék nem változnak, belső paritásuk nem figyelhető meg, ezért vizsgálatuknak nincs fizikai jelentősége.

A másodkvantálás formalizmusában a belső paritást a -operátor tükrözéssel szemben mutatott viselkedése fejezi ki. A skalár és pszeudoskalár terek transzformációja

2.41. egyenlet - (13,2)

P : Ψ (t, r) \to \pm Ψ (t, - r) .

A részecskét eltüntetőés keltő operátorok transzformációs tulajdonságaitúgy kell meghatározni, hogy azok összhangban legyenek (13,2)-vel. Könnyű látni, hogy ezek

2.42. egyenlet - (13,3)

P : a_{p} \to \pm a_{- p}, b_{p} \to \pm b_{- p}

(és ugyanezek az adjungált operátorokra). Valóban, ha ezt a

2.43. egyenlet - (13,4)

Ψ (t, r) = \sum_{p} \frac{1}{\sqrt{2 𝜀}} (a_{p} e^{- i ω t + i p r} + b_{p}^{+} e^{i ω t - i p r})

kifejezésbe behelyettesítjük, és a -re valóösszegezést átjelöljük -re valóösszegezésre, akkor ±Ψ(t,–r) -et kapjuk. A transzformált operátort ΨP(t,r) -rel jelölve, a következő egyenlőséget írhatjuk:

2.44. egyenlet - (13,5)

Ψ^{P} (t, r) = \pm Ψ (t, - r) .

Megjegyezzük, hogy a (13,3) transzformáció jelentése magától értetődő: a tükrözés megváltoztatja a poláris vektor előjelét, impulzusú részecskéből impulzusú részecske lesz.

(13,3)-ban a transzformáció során vagy mindkét operátornál pozitív, vagy mindkettőnél negatív előjel áll. Ez azt fejezi ki, hogy ( spinű) részecske és antirészecske belső paritása azonos. Ez már abból is következik, hogy a ( spinű) részecskét és antirészecskét ugyanaz a (skalár vagy pszeudoskalár) hullámfüggvény írja le.

A (13,4)-operátor szimmetriatulajdonságot mutat olyan transzformációval szemben, amelynek nincs nemrelativisztikus megfelelője; ezt töltéskonjugációnak hívjuk, és -vel jelöljük. Ha az és operátorokat felcseréljük egymással (azaz a részecskét antirészecskével):

2.45. egyenlet - (13,6)

C : a_{p} \to b_{p}, b_{p} \to a_{p},

akkor a töltéskonjugált operátorba megy át, melyre

2.46. egyenlet - (13,7)

Ψ^{C} (t, r) = Ψ^{+} (t, r) .

Ez az egyenlőség a részecskéket és antirészecskéket leíró elmélet szimmetriáját mutatja.

Megjegyezzük, hogy a töltéskonjugáció transzformációjának fenti definíciójában lényegtelen formális önkény maradt. A transzformáció jelentése nem változik, ha (13,6)-ban tetszőleges fázisszorzót vezetünk be:

Ekkor

és a transzformáció kétszeri alkalmazása ugyanúgy, mint előbb, azonossághoz vezet ( Ψ→Ψ ). A különböző definíciók ekvivalensek. Minthogy egységnyi abszolút értékű fázisszorzó nem változtatja meg a -operátor tulajdonságait (vö. 12. § vége), ezért helyett Ψeiα∕2 -t is használhatjuk, és így a töltéskonjugáció (13,6)–(13,7) definícióját kapjuk.

Mivel a töltéskonjugáció a részecskét a vele nem azonos antirészecskére változtatja, így általában nem a részecske vagy részecskerendszer valamilyen új jellegzetességéről ad számot.

Kivételt képeznek azok a rendszerek, amelyekben a részecskék és antirészecskék száma megegyezik. Az ilyen rendszert a operátor önmagába viszi át, és ezért léteznek C=±1 -nek megfelelő sajátállapotok (az utóbbi abból következik, hogy C2=1 ). Hogy a töltésszimmetriát leírhassuk, a részecskéket és antirészecskéket ugyanazon részecske különböző „töltésállapotainak” tekinthetjük, melyek csak a Q=±1 töltéskvantumszámban különböznek. A rendszer hullámfüggvényét térbeli hullámfüggvény és „töltés”-hullámfüggvény szorzataként állíthatjuk elő, s szimmetrikusnak kell lennie bármely részecskepár összes változóinak (koordináták, töltések) egyidejű felcserélésével szemben. A „töltés”-hullámfüggvény szimmetriája meghatározza a rendszer töltésparitását (lásd a feladatot).^[43]

Amint azt az 1. §-ban hangsúlyoztuk, a relativisztikus tárgyalásmód nem tesz elvi különbséget „bonyolult” és „elemi” részecskék között. Ezért a „valódi semleges” rendszerekben természetes módon jelentkező töltésparitásról valódi semleges, „elemi” részecskék esetében is beszélhetünk. A másodkvantálási formalizmusban ezt a

2.47. egyenlet - (13,8)

Ψ^{C} = \pm Ψ

egyenlőség írja le, a és előjel a páros, ill. páratlan töltésparitású részecskének felel meg.

A 11. §-ban megmutattuk, hogy a relativisztikus invariancia magában foglalja a négyestükrözéssel szemben mutatott invarianciát. A (négyeselforgatások tekintetében) skalár tér operátorára ez a

transzformációs szabályt jelenti, mindig előjellel a jobb oldalon. Az és operátorok transzformációját tekintve, a Ψ(t,r) -nek Ψ(–t,–r) -re való cseréje (13,4)-ben e–ipx és eipx együtthatóinak felcseréléséhez, azaz az

2.48. egyenlet - (13,9)

a_{p} \to b_{p}^{+}, b_{p} \to a_{p}^{+}

helyettesítésre vezet. Az és operátorok kölcsönös cseréje a részecskék és antirészecskék kölcsönös cseréjét jelenti. Látjuk, hogy a relativisztikus elméletben természetes módon lép föl az invariancia követelménye a transzformációval szemben, amely a térbeli tükrözéssel () és időbeli tükrözéssel () egyidejűleg a töltéskonjugációt () is tartalmazza; ezt az állítást hívják CPT-tételnek .^[44]

Ezen a helyen hangsúlyoznunk kell, hogy bár az itt és a 11. és 12. §-okban elmondottak a közönséges kvantummechanika és a klasszikus relativitáselmélet fogalmainak természetes továbbviteleként adódtak, mégis túlmennek ezek keretein mind formailag (-operátorok, amelyek egyidejűleg tartalmazzák a részecskét keltő és eltüntető operátorokat), mind tartalmilag (részecskék, antirészecskék). Az eredményeket ezért nem lehet tisztán logikai szükségszerűségnek tekinteni. Új fizikai elveket hordoznak magukban, melyeknek a helyességét csak a tapasztalat döntheti el.

Ha a (13,4) operátorból a (13,9) transzformációval kapottat ΨCPT(t,r) -rel jelöljük, akkor írhatjuk, hogy

2.49. egyenlet - (13,10)

Ψ^{C P T} (t, r) = Ψ (- t, - r) .

A négyestükrözés (13,9) transzformációjával együtt az időtükrözés transzformációs képleteit is meghatároztuk: CP-vel kiegészítve (13,9)-et kell megkapnunk.^[45](13,3)-at és (13,6)-ot figyelembe véve,

2.50. egyenlet - (13,11)

T : a_{p} \to \pm a_{- p}^{+}, b_{p} \to \pm b_{- p}^{+}

[a előjel jelentése ugyanaz, mint (13,3)-ban]. A transzformációértelme egészen természetes: nemcsak a impulzust változtatja meg impulzusra, hanem a mátrixelem kezdeti és végállapotait is felcseréli; ezért a impulzusú részecskét eltüntető operátor impulzusú részecskét keltő operátorba megy át. Ha (13,11)-et beírjuk (13,4)-be, és átjelöljük az összegezést ( p→–p ), azt kapjuk, hogy^[46]

2.51. egyenlet - (13,12)

Ψ^{T} (t, r) = \pm Ψ^{+} (- t, r) .

Ez az egyenlőség a kvantummechanikából ismert közönséges időtükrözési szabállyal analóg: ha valamely állapot hullámfüggvénye ψ(t,r) , akkor az „időben megfordított” állapoté ψ∗(–t,r) ; a komplex konjugálásra azért van szükség, hogy az „elrontott” időfüggést helyreállítsuk (E. P. Wigner , 1932).

A (és vele együtt a CPT) transzformáció tehát felcseréli a kezdeti és végállapotokat, így ezeknek az operátoroknak nincsenek sajátállapotai és sajátértékei. Általuk nem ismerkedünk meg a részecskék új tulajdonságával. A szórásfolyamatok vizsgálatához azonban értékes információkat adnak, erről a 70. §-ban lesz szó.

Megvizsgáljuk, hogyan változik , és transzformáció során a (12,8) áramsűrűség-vektor . A (13,2) transzformáció a (∂0,∂i)→(∂0,–∂i) helyettesítéssel együtt a következőt adja:

2.52. egyenlet - (13,13)

P : {(j^{0}, j)}_{t, r} \to {(j^{0}, - j)}_{t, - r},

valódi négyesvektorokra ezt várjuk is. A (13,7) transzformáció egyszerűen adná, hogy

2.53. egyenlet - (13,14)

C : {(j^{0}, j)}_{t, r} \to {(- j^{0}, - j)}_{t, r},

ha a és operátorok felcserélhetők lennének. Ez viszont nem teljesül, mégpedig azért, mert és ap+ (vagy és bp+ ugyanazon -vel nem felcserélhetők; azonban a (11,4) szabály szerint ezeknek az operátoroknak a kommutátora a betöltési számtól, azaz a tér állapotától független. Ezt a tagot [mint (11,5)-ben és (11,6)-ban] elhagyva, kapjuk a (13,14) szabályt, amelynek természetes jelentése van: részecske és antirészecske felcserélése, a töltéskonjugáció , a négyes áramsűrűség minden komponensének előjelét megváltoztatja.

Mivel az időtükrözés a kezdeti és a végállapot felcserélésével függ össze, ezért tetszőleges operátorra való alkalmazáskor megváltoztatja a tényezők sorrendjét. Így

Az adott esetben ez a körülmény nem lényeges: a -operátorok (előbb említett értelemben vett) felcserélhetősége miatt a tényezők eredeti sorrendjéhez való visszatérés nem változtatja meg az eredményt. Figyelembe véve, hogy időtükrözéskor (∂0,∂i)→(–∂0,∂i) , kapjuk az áram transzformációs szabályát:

2.54. egyenlet - (13,15)

T : {(a^{0}, j)}_{t, r} \to {(j^{0}, - j)}_{- t, r} .

A háromdimenziós vektor – klasszikus értelmezésének megfelelően – előjelet vált.

Végül CPT transzformáció során

2.55. egyenlet - (13,16)

C P T : {(j^{0}, j)}_{t, r} \to {(- j^{0}, - j)}_{- t, - r},

összhangban azzal, hogy ez az operáció négyestükrözésnek felel meg. Kiemeljük, hogy mivel a négyestükrözés a négydimenziós koordináta-rendszer elforgatása, ezért ezzel kapcsolatban nem beszélhetünk kétfajta (valódi és pszeudo) tetszőleges rendű négyestenzorról.

A részecskéket mindeddig szabadoknak tekintettük. A paritáskvantumszámoknak valódi értelme azonban csak a részecskék kölcsönhatásának vizsgálatánál van, amikor meghatározott kiválasztási szabályok, különböző folyamatok megengedettsége vagy tiltottsága kapcsolódik hozzájuk. Ilyen értelme azonban csak megmaradó mennyiségeknek lehet, tehát olyan operátorok sajátértékeinek, amelyek felcserélhetőek a kölcsönható részecskék Hamilton-operátorával .

A relativisztikus invariancia értelmében legalább a CPT transzformáció operátorának felcserélhetőnek kell lennie a Hamilton-operátorral. A tapasztalat azt mutatja, hogy az elektromágneses és erős kölcsönhatás invariáns külön-külön a , (és velük együtt a ) transzformációval szemben, a megfelelő paritáskvantumszám e kölcsönhatások során megmarad. A gyenge kölcsönhatásban ezek a megmaradási törvények sérülnek.^[47]

Kissé előretekintve megemlítjük, hogy töltött részecskék és az elektromágneses tér kölcsönhatását az és négyesvektor-operátorok szorzata írja le. Mivel töltéskonjugáció során előjelet vált, ezért e transzformációval szemben az elektromágneses kölcsönhatás csak úgy lehet invariáns, ha is előjelet vált. Más szóval, a fotonok töltésparitása.

Az operátor említett tulajdonságai összhangban vannak a klasszikus elmélet négyespotenciáljának tulajdonságaival. Valóban a

C:(A0,A) →(–A0,–A)t,r, P:(A0,A) →(A0,–A)t,–r, CPT:(A0,A) →(–A0,–A)–t,–r

transzformációkból következik, hogy

ami megfelel az elektromágneses potenciálok időtükrözéssel szembeni klasszikus transzformációs szabályának.

Feladat

Határozzuk meg két spinű részecskéből (részecske és antirészecske) álló rendszernek a térbeli és töltésparitását , ha a részecskék relatív pálya-impulzusmomentuma .

Megoldás. A részecskék koordinátáinak felcserélése (a tömegközéppontra vonatkozó) tükrözéssel ekvivalens, és így a pályafüggvényt (–1)l -nel szorozza; a töltésváltozók felcserélése töltéskonjugációval ekvivalens, ez a hullámfüggvényt a keresett -vel szorozza. A C(–1)l=1 feltételből

A rendszer térbeli paritása a pályaparitásnak és a részecskék belső paritásainak szorzata. Mivel részecske és antirészecske belső paritása azonos, ezért a jelen esetben a pályaparitással azonos: P=(–1)l .

^[42] A térbeli tükrözésekkel kiegészített Lorentz-csoportot hívjuk kibővített Lorentz-csoportnak (az eredeti, amely -t nem tartalmazza, a valódi Lorentz-csoport ). Ez minden olyan transzformációt tartalmaz, amely nem viszi ki a tengelyt a fénykúp megfelelő részéből.

^[43] Jelenleg spinű részecskéket vizsgálunk. A leírt módszer közvetlenül általánosítható más esetekre is – lásd pl. a 27 § feladatát.

^[44] A CPT-tételt J. Schwinger (1953), G. Lüders (1954) és W. Pauli (1955) fogalmazták meg.

^[45] A CP-transzformációt kombinált tükrözésnek nevezik.

^[46] Ha a operációt a többitől függetlenül definiáljuk, akkor ugyanolyan tetszőleges fázisszorzó lép fel, mint a töltéskonjugációnál. A CPT-szimmetria megkövetelése már csak a és operációk egyikében hagy tetszőleges fázisszorzót.