ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

16.§. A részecske helicitásállapotai

16.§. A részecske helicitásállapotai^[51]

A relativisztikus elméletben a mozgó részecske pálya-impulzusmomentuma és s spinje nem marad meg külön-külön, megmaradási törvény csupán a teljes j=l+s impulzusmomentumra áll fenn. Nem marad meg ezért a spinnek valamely adott irányra ( tengelyre) való vetülete sem, így ez a mennyiség nem jellemezheti a mozgó részecske polarizációs (spin-) állapotait.

Megmarad azonban a spinnek az impulzus irányára való vetülete: mivel l=r×p , ezért a megmaradó szorzattal egyenlő ( n=p∕|p| ). Ezt a mennyiséget hívjuk helicitásnak (a foton helicitásáról már volt szó a (8-ban). Sajátértékeit -val jelöljük ( λ=–s,…,+s ), a részecskének meghatározott értékéhez tartozó állapotát pedig helicitásállapotnak hívjuk.

Legyen ψpλ meghatározott -vel és -val rendelkező részecskeállapot hullámfüggvénye (síkhullám), u(λ)(p) az amplitúdó; a jelölés rövidségének kedvéért nem írjuk ki a függvénykomponenseket jelölő indexet (egész spinű részecskénél a négyestenzor-indexeket).

Az előző szakaszokban láttuk, hogy zérustól különböző (egész) spinű részecskék relativisztikus leírásához (2s+1) -nél több komponensű hullámfüggvényt kell bevezetni. A független komponensek száma 2s+1 marad; a „feleslegeseket” kiejtik a mellékfeltételek, amelyeknek értelmében ezek a komponensek a nyugalmi rendszerben eltűnnek (a következő fejezetben ezt félegész -re is látni fogjuk).

Az impulzusmomentum transzformációs szabályai szerint (l. II. 14. §) a helicitás invariáns olyan Lorentz-transzformációval szemben, amely irányát, melyre az impulzusmomentumot vetítettük, változatlanul hagyja. Ezért , ilyen transzformációk során megőrzi kvantumszám jellegét, és a helicitásállapotok szimmetriatulajdonságainak vizsgálatához használható az a vonatkoztatási rendszer, amelyben az impulzus |p|≪m (határesetben: a nyugalmi rendszer). Ebben ψpλ a nemrelativisztikus 2s+1 komponensű hullámfüggvény. Amplitúdóját w(λ)(n) -nel jelöljük, n=p∕|p| az impulzusmomentum kvantálási tengelyének irányába mutató egységvektor. w(λ) az operátor sajátfüggvénye:

2.78. egyenlet - (16,1)

(n s) w^{(λ)} (n) = λ w^{(λ)} (n) .

Spinorelőállításban w(λ) -edrendű, szimmetrikus, kontravariáns spinor. Komponenseit a III. kötet (57,2) összefüggése szerint a spin rögzített tengelyre vett vetületeinek értékeivel is indexelhetjük.^[52]

A vizsgált állapotok hullámfüggvényei impulzusreprezentációban lényegében egybeesnek az u(λ)(p) amplitúdókkal. Nevezetesen:

2.79. egyenlet - (16,2)

ψ_{p λ} (k) = u^{(λ)} (k) δ^{(2)} (ν - n) = u^{(λ)} (p) δ^{(2)} (ν - n),

ahol az impulzust mint független változót -val jelöltük, megkülönböztetésül a sajátértéktől, és ν=k∕|k| , megkülönböztetésül n=p∕|p| -től.^[53] Nemrelativisztikus közelítésben

2.80. egyenlet - (16,3)

ψ_{n λ} (ν) = w^{(λ)} (ν) δ^{(2)} (ν - n) = w^{(λ)} (n) δ^{(2)} (ν - n) .

Ezt részletesebben a következő alakban kellett volna írni:

amelyben a független diszkrét változót is feltüntettük.

Az helicitásoperátor felcserélhető a és operátorokkal. Valóban, az impulzusmomentum-operátorf a koordináta-rendszer végtelen kicsiny (infinitezimális) elforgatásaival függ össze, két vektor skalárszorzata pedig tetszőleges elforgatással szemben invariáns. Ezért léteznek olyan stacionárius állapotok, amelyekben a részecske impulzusmomentuma, annak jz=m vetülete és helicitása egyidejűleg jól meghatározott értéket vesznek fel. Az ilyen állapotokat fogjuk gömbi helicitásállapotoknak nevezni.

Meghatározzuk az ilyen állapotok impulzusreprezentációbeli hullámfüggvényét. Ezt azonnal megtehetjük, ha észrevesszük, hogy ilyen állapotokkal e könyvsorozat egy másik kötetében, a szimmetrikus pörgettyű forgásának kvantálásánál már találkoztunk (III. 103. §). Nem ismételjük meg az ott elmondott gondolatmenetet [vö. a III. kötet (103,8) képletének levezetésével], csak felírjuk a keresett függvényeket:^[54]

ahol ψjλ(0) a részecske állapotát a „mozgó” ξηζ koordináta-rendszerben leíró hullámfüggvény; az impulzusmomentum tengelyre eső vetülete meghatározott jζ=λ érték (a tengely irányát a vektor jelöli ki); ez a függvény impulzusreprezentációban nyilvánvalóan megegyezik a korábban bevezetett u(λ) amplitúdóval. A normált (lásd alább) hullámfüggvény :

2.81. egyenlet - (16,4)

ψ_{j m λ} (k) = \sqrt{\frac{2 j + 1}{4 π}} D_{λ m}^{(j)} (ν) u^{(λ)} (k) .

Itt felmerül a fázis megválasztásának kérdése, amely a következők miatt nem egyértelmű. A ξηζ koordináta-rendszernek xyz -hez viszonyított elforgatását a három Euler-szög határozza meg: α,β,γ ; a részecske hullámfüggvénye csak a iránytól függhet, ez viszont csak a két a α≡φ,β≡ polárszögtől. Ezért -t megállapodásszerűen kell választani. Mi γ=0 -t választjuk, azaz a Dλm(j)(ν) függvényt úgy határozzuk meg, hogy

2.82. egyenlet - (16,5)

D_{λ m}^{(j)} (ν) = D_{λ m}^{(j)} (φ, 𝜃, 0) = e^{i m φ} d_{λ m}^{(j)} (𝜃) .

A III. kötet (58,21) összefüggése értelmében a (16,5) függvény ortonormált:

2.83. egyenlet - (16,6)

\int D_{λ_{1} m_{1}}^{(j_{1}) *} (ν) D_{λ_{2} m_{2}}^{(j_{2})} (ν) \frac{d Ω_{ν}}{4 π} = \frac{1}{2 j + 1} δ_{j_{1} j_{2}} δ_{m_{1} m_{2}}

( dΩν=sinddφ ). A ψjmλ függvények , szerinti ortogonalitását az u(λ) tényező biztosítja. Ily módon a ψjmλ függvények mindhárom indexükben ortogonálisak, és a (16,4) normálás szerint

2.84. egyenlet - (16,7)

\int | ψ_{j m λ} |^{2} d Ω_{ν} = 1 .

Itt feltettük, hogy az u(λ) amplitúdók -re normáltak: u(λ)u(λ)∗=1 .

Megvizsgáljuk, hogyan viselkednek a helicitásállapotok hullámfüggvényei a koordináták tükrözésekor. A poláris vektor és axiális vektor szorzata pszeudoskalár. Nyilvánvaló tehát, hogy a helicitású állapot tükrözéskor helicitású állapotba megy át; csupán a transzformáció során fellépő fázisszorzót kell meghatározni.

Tükrözésnél ν→–ν . A vektort két szög, , határozza meg, a transzformáció a φ→φ+π , →π– helyettesítéssel jön létre. Ez az új tengelyt is rögzíti, a és tengelyeket azonban még nem, ezek a harmadik Euler-szögtől, -tól is függnek; pusztán és transzformációja tehát nem teszi lehetővé, hogy a koordináta-rendszer tükrözését megkülönböztessük a tengely elforgatásától. Mindhárom Euler-szöget figyelembe véve, a tükrözés a következő transzformáció:

2.85. egyenlet - (16,8)

α \equiv φ \to φ + π, β \equiv 𝜃 \to π - 𝜃, γ \to π - γ .

Ezért, ha Dλm(j)(ν) (16,5) szerint határozzuk meg (γ=0) , a ν→–ν helyettesítést pedig tükrözésként értjük, akkor

2.86. egyenlet - (16,9)

D_{λ m}^{(j)} (-ν) = D_{λ m}^{(j)} (φ + π, π - 𝜃, π) .

A III. kötet (58,9) (58,16), és (58,18) összefüggéseinek felhasználásával

Dλm(j)(–ν) =eiλπdλm(j)(π–)eim(φ+π) = =(–1)j–λeimφd–λm(j)() =(–1)i–λD–λm(j)(φ,,0),

vagy

2.87. egyenlet - (16,10)

D_{λ m}^{(j)} (- ν) = {(- 1)}^{j - λ} D_{- λ m}^{(j)} (ν)

[ (j–λ) egész szám].

Hasonló összefüggéseket kaphatunk a w(λ) spinorra, ha észrevesszük, hogy komponensei szorzótényező erejéig megegyeznek a -függvényekkel

2.88. egyenlet - (16,11)

w_{σ}^{(λ)} (ν) \sim D_{λ σ}^{(s)} {(ν)}^{*} .

Ténylegesen, ha a III. (58,7) transzformációs képletet a spin-sajátfüggvényekre alkalmazzuk, és feltételezzük, hogy a spin vetülete a tengelyre éppen [azaz a III. (58,7) jobb oldalán ψjm′ -t δm′λ -val helyettesítjük], azt találjuk, hogy Dλσ(s)(ν) éppen a spin-hullámfüggvény , meghatározott vagy komponenssel ( vagy). E függvények összessége ( σ=–s,…,+s ) éppen egy -ed rendű kovariáns spinor [a III. (57,6) megfeleltetési képletek szerint]. A megfelelő kontravariáns spinor komponensei [amelyek a III. (57,2) képlet szerint a wσ(λ) komponenseknek felelnek meg], az ugyanolyan rendű kovariáns spinor komponenseinek komplex konjugáltjai.

A (16,10) és (16,11) képletből

2.89. egyenlet - (16,12)

w^{(λ)} (- ν) = {(- 1)}^{s - λ} w^{(- λ)} (ν)

[ (s–λ) egész szám]. A tükrözés operációjának w(λ) -ra való alkalmazása azonban nemcsak a ν→–ν helyettesítést jelenti, hanem szorozni kell még azáltalános fázistényezővel is (a részecske „belső paritása”) , amit -val jelölünk:

2.90. egyenlet - (16,13)

P w^{(λ)} (ν) = η w^{(λ)} (- ν) = η {(- 1)}^{s - λ} w^{(- λ)} (ν) .

A relativisztikus u(λ)(k) amplitúdóra ez a transzformáció

2.91. egyenlet - (16,14)

P u^{(λ)} (k) = η β u^{(λ)} (- k) = η {(- 1)}^{s - λ} u^{(- λ)} (k),

ahol valamilyen mátrix, u(λ)6 -nak |p|→0 határesetben megmaradó komponenseire nézve egységmátrix. Fontos, hogy az állapot kvantumszámaitól független, így a (16,13)és (16,14) közötti különbség ebben az értelemben nem lényeges.^[55]

(16,14)-et (16,2)-re alkalmazva, kapjuk az |nλ⟩ állapot hullámfüggvényének transzformációs szabályát:

2.92. egyenlet - (16,15)

P ψ_{n λ} (ν) = η {(- 1)}^{s - λ} ψ_{- n - λ} (ν) .

A gömbi (szférikus) helicitásállapotok transzformációs szabályát (16,10) és (16,12) felhasználásával kapjuk:

2.93. egyenlet - (16,16)

P ψ_{j m λ} (ν) = η {(- 1)}^{j - s} ψ_{j m - λ} (ν) .

A ψjm0 állapot (16,16) szerint a paritásoperátor sajátállapota, azaz meghatározott párosságú. Ha λ≠0 , akkor csak az ellentétes helicitású állapotok szuperpozíciója meghatározott párosságú:

2.94. egyenlet - (16,17)

ψ_{j m | λ |}^{(\pm)} = \frac{1}{\sqrt{2}} (ψ_{j m λ} \pm ψ_{j m - λ}) .

Tükrözéskor ezek önmagukba mennek át:

2.95. egyenlet - (16,18)

P ψ_{j m | λ |}^{(\pm)} (ν) = \pm η {(- 1)}^{j - s} ψ_{j m | λ |}^{(\pm)} (ν) .

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ebben a szakaszban az adott impulzusmomentumú szabad részecskeállapotokat pusztán a megmaradó mennyiségek felhasználásával osztályoztuk, és nem használtuk a pálya-impulzusmomentumot (a 6, (7-okban a fotonállapotok osztályozásánál például figyelembe vettük).

Példaként tekintsük az spinű esetet. A nyugalmi rendszerben az u(λ) (négyesvektor) amplitúdókból hármasvektorok lesznek, ezek játsszák most a w(λ) amplitúdók szerepét. Az -es spin operátorának hatása az vektorfüggvényre:

2.96. egyenlet - (16,19)

{(s_{i} e)}_{k} = - i e_{i k l} e_{l}

(III. 57. § 2. feladat). Így a (16,1) egyenlet mosta következő alakú:

2.97. egyenlet - (16,20)

i n \times e^{(λ)} = λ e^{(λ)} .

Megoldásai (a ξηζ koordináta-rendszerben a tengely irányába mutat) éppen a szférikus egységvektorok [l. (7,14)]:^[56]

2.98. egyenlet - (16,21)

e^{(0)} = i (0, 0, 1), e^{(\pm 1)} = \mp \frac{i}{\sqrt{2}} (1, \pm, 0) .

Abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben a részecske impulzusa , a helicitás-állapotok amplitúdói négyesvektorok:

2.99. egyenlet - (16,22)

u^{(0) μ} = (\frac{| p |}{m}, \frac{𝜀}{m} e^{(0)}), u^{(\pm 1) μ} = (0, e^{(\pm 1)}) .

Ha poláris vektor, akkor η=–1 . Ekkor a (16,17) függvények ( s=1 -re háromdimenziós vektorok) paritása:

Ψjm |λ|(+) :P=(–1)j, Ψjm |λ|(–) :P=(–1)j+1, Ψjm0 :P=(–1)j.

A (7,4) gömbi vektorfüggvényekkel összehasonlítva látjuk, hogy ezek a függvények (fázisszorzó erejéig) rendre megegyeznek az Yjm(e) , Yjm(m) , Yjm(l) függvényekkel. A fázisszorzót meghatározva (pl. a -nál felvett értékek összehasonlításával) kapjuk a következő egyenlőségeket:

2.100. egyenlet - (16,23)

\begin{matrix} \begin{aligned} Y_{j m}^{(e)} & = i^{j - 1} \sqrt{\frac{2 j + 1}{8 π}} (e^{(1)} D_{1 m}^{(j)} + e^{(- 1)} D_{- 1 m}^{(j)}), \\ Y_{j m}^{(m)} & = i^{j - 1} \sqrt{\frac{2 j + 1}{8 π}} (e^{{(1)}^{'}} D_{1 m}^{(j)} + e^{{(- 1)}^{'}} D_{- 1 m}^{(j)}), \\ Y_{j m}^{(e)} & = i^{j - 1} \sqrt{\frac{2 j + 1}{8 π}} e^{(0)} D_{0 m}^{(j)} \end{aligned} & (16,23) \end{matrix}

( egész szám!); e(λ)′=n×e(λ) , ξ′η′ζ′ a tengelyeknek megfelelő cirkuláris bázisvektorok , amelyeket ξηζ -ból a -tengely körüli 90∘ -os elforgatással kapunk.

(16,23) utolsó egyenlősége ekvivalens a d0m(j)() -ra felírt III. (58,23) kifejezéssel. Az elsőből (vagy másodikból) kaphatjuk d±1m(j) egyszerű kifejezését. Fennáll, hogy

ij–1√((2j+1/8π))D±1m(j)=Yjm(e)e(±1)∗=(1/√(j(j+1)))e(±1)∗ ∇Yjm.

Az egyenlőség jobb oldalán álló skalárszorzatot a ξηζ rendszerben számoljuk, továbbá

Az Yjm függvény (7,2) definíciójából, valamint (16,5)-ből kapjuk a végeredményt:

2.101. egyenlet - (16,24)

d_{\pm 1 m}^{(j)} (𝜃) = {(- 1)}^{m + 1} \sqrt{\frac{(j - m)!}{(j - m)! j (j + 1)}} (\pm \frac{\partial}{\partial 𝜃} + \frac{m}{sin 𝜃}) P_{j}^{m} (cos 𝜃), m ≧ 0 .

^[51]E szakasz tartalma tetszőleges (egész vagy félegész) spinű részecskére vonatkozik.

^[52] Az elmondottak (ahogyan megengedett értékei is) nemzérus tömegű részecskékre vonatkoznak. Zérus tömegű részecskéknek nyugalmi rendszere nem létezik, a helicitás pedig csak két értéket vehet fel λ=±s . Az utóbbi a 8-ban már említett körülménnyel függ össze: az ilyen részecskék állapotait aszerint osztályozzuk, hogyan viselkednek a tengely körüli forgatások szimmetriacsoportjával szemben, amely csak kétszeresen degenerált szinteket enged meg (a hullámegyenlet szempontjából ez azt jelenti, hogy az spinű részecskére felírt egyenletrendszer m→0 határesetben szétesik független, az s,s–1,… spinű, zérus tömegű részecskéket leíró egyenletekre). Mivel fotonra λ=±1 , ezért w(λ) szerepét a háromdimenziós e(±1) vektorok [l. (8,2)] játsszák.

^[53] A δ(2) -függvény definíciója: ∫δ(2)(ν–n)dΩν=1 . (16,2)-ben [és a későbbi (16,4)-ben] elhagytuk az energia meghatározott értékét beállító -függvényt.

^[54] A 103. §-ban található levezetés a hullámfüggvények véges forgatásra vonatkozó transzformációs képletein alapszik (l. III. 58. §). E képleteket viszont egyedül a forgásokkal szemben mutatott szimmetriatulajdonságok határozzák meg. Ezért minden eredmény egyaránt alkalmazható impulzus- és koordináta-reprezentációbeli függvényekre.

^[55] s=1 -re az u(λ) amplitúdó négyesvektor [l. (16,21)]; ekkor négyesvektor-indexek szerint egységmátrix: βμν=δμν . s=1∕2 -re (amint azt a következő fejezetben látjuk) u(λ) bispinor; ekkor a fázisszorzó η=i , pedig a Dirac-féle mátrix [l. (21,10)].

^[56] A fázisszorzó megválasztását rögzíti az a követelmény, hogy a spinoperátornak a (16,21) sajátfüggvények segítségével számított mátrixelemei megfeleljenek az általános definíciónak (III. 27.§. 107.§).