Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A relativisztikus elméletben a mozgó részecske pálya-impulzusmomentuma és s spinje nem marad meg külön-külön,
megmaradási törvény csupán a teljes
impulzusmomentumra áll fenn. Nem marad meg ezért a spinnek valamely
adott irányra (
tengelyre) való vetülete sem, így ez a mennyiség nem jellemezheti a
mozgó részecske polarizációs (spin-) állapotait.
Megmarad azonban a spinnek az impulzus irányára való vetülete: mivel , ezért
a megmaradó
szorzattal egyenlő (
). Ezt a mennyiséget hívjuk helicitásnak (a foton helicitásáról már volt szó a (8-ban). Sajátértékeit
-val jelöljük (
), a részecskének
meghatározott értékéhez tartozó állapotát pedig helicitásállapotnak
hívjuk.
Legyen meghatározott
-vel és
-val rendelkező részecskeállapot hullámfüggvénye (síkhullám),
az amplitúdó; a jelölés rövidségének kedvéért nem írjuk ki a
függvénykomponenseket jelölő indexet (egész spinű részecskénél a
négyestenzor-indexeket).
Az előző szakaszokban láttuk, hogy zérustól különböző (egész) spinű részecskék
relativisztikus leírásához -nél több komponensű hullámfüggvényt kell bevezetni. A független
komponensek száma
marad; a „feleslegeseket” kiejtik a mellékfeltételek, amelyeknek
értelmében ezek a komponensek a nyugalmi rendszerben eltűnnek (a következő fejezetben
ezt félegész
-re is látni fogjuk).
Az impulzusmomentum transzformációs szabályai szerint (l. II. 14. §) a
helicitás invariáns olyan Lorentz-transzformációval szemben, amely irányát, melyre az impulzusmomentumot vetítettük, változatlanul
hagyja. Ezért
, ilyen transzformációk során megőrzi kvantumszám jellegét, és a
helicitásállapotok szimmetriatulajdonságainak vizsgálatához használható az a
vonatkoztatási rendszer, amelyben az impulzus
(határesetben: a nyugalmi rendszer). Ebben
a nemrelativisztikus
komponensű hullámfüggvény. Amplitúdóját
-nel jelöljük,
az impulzusmomentum kvantálási tengelyének irányába mutató
egységvektor.
az
operátor sajátfüggvénye:
Spinorelőállításban -edrendű, szimmetrikus, kontravariáns spinor. Komponenseit a III. kötet
(57,2) összefüggése szerint a
spin rögzített
tengelyre vett vetületeinek értékeivel is indexelhetjük.[52]
A vizsgált állapotok hullámfüggvényei impulzusreprezentációban lényegében egybeesnek
az amplitúdókkal. Nevezetesen:
ahol az impulzust mint független változót -val jelöltük, megkülönböztetésül a
sajátértéktől, és
, megkülönböztetésül
-től.[53] Nemrelativisztikus közelítésben
Ezt részletesebben a következő alakban kellett volna írni:
amelyben a független diszkrét változót is feltüntettük.
Az helicitásoperátor felcserélhető a
és
operátorokkal. Valóban, az impulzusmomentum-operátorf a koordináta-rendszer végtelen kicsiny
(infinitezimális) elforgatásaival függ össze, két vektor skalárszorzata pedig
tetszőleges elforgatással szemben invariáns. Ezért léteznek olyan stacionárius
állapotok, amelyekben a részecske
impulzusmomentuma, annak
vetülete és
helicitása egyidejűleg jól meghatározott értéket vesznek fel. Az ilyen
állapotokat fogjuk gömbi helicitásállapotoknak nevezni.
Meghatározzuk az ilyen állapotok impulzusreprezentációbeli hullámfüggvényét. Ezt azonnal megtehetjük, ha észrevesszük, hogy ilyen állapotokkal e könyvsorozat egy másik kötetében, a szimmetrikus pörgettyű forgásának kvantálásánál már találkoztunk (III. 103. §). Nem ismételjük meg az ott elmondott gondolatmenetet [vö. a III. kötet (103,8) képletének levezetésével], csak felírjuk a keresett függvényeket:[54]
ahol a részecske állapotát a „mozgó”
koordináta-rendszerben leíró hullámfüggvény; az impulzusmomentum
tengelyre eső vetülete meghatározott
érték (a
tengely irányát a
vektor jelöli ki); ez a függvény impulzusreprezentációban
nyilvánvalóan megegyezik a korábban bevezetett
amplitúdóval. A normált (lásd alább) hullámfüggvény :
Itt felmerül a fázis megválasztásának kérdése, amely a következők miatt nem
egyértelmű. A koordináta-rendszernek
-hez viszonyított elforgatását a három Euler-szög határozza meg:
; a részecske hullámfüggvénye csak a
iránytól függhet, ez viszont csak a két a
polárszögtől. Ezért
-t megállapodásszerűen kell választani. Mi
-t választjuk, azaz a
függvényt úgy határozzuk meg, hogy
A III. kötet (58,21) összefüggése értelmében a (16,5) függvény ortonormált:
(). A
függvények
, szerinti ortogonalitását az
tényező biztosítja. Ily módon a
függvények mindhárom indexükben ortogonálisak, és a (16,4) normálás szerint
Itt feltettük, hogy az amplitúdók
-re normáltak:
.
Megvizsgáljuk, hogyan viselkednek a helicitásállapotok hullámfüggvényei a koordináták tükrözésekor. A
poláris vektor és
axiális vektor szorzata pszeudoskalár. Nyilvánvaló tehát, hogy a
helicitású állapot tükrözéskor
helicitású állapotba megy át; csupán a transzformáció során fellépő
fázisszorzót kell meghatározni.
Tükrözésnél . A
vektort két szög,
,
határozza meg, a
transzformáció a
,
helyettesítéssel jön létre. Ez az új
tengelyt is rögzíti, a
és
tengelyeket azonban még nem, ezek a harmadik Euler-szögtől,
-tól is függnek; pusztán
és
transzformációja tehát nem teszi lehetővé, hogy a koordináta-rendszer
tükrözését megkülönböztessük a
tengely elforgatásától. Mindhárom Euler-szöget figyelembe véve, a
tükrözés a következő transzformáció:
Ezért, ha (16,5) szerint határozzuk meg
, a
helyettesítést pedig tükrözésként értjük, akkor
A III. kötet (58,9) (58,16), és (58,18) összefüggéseinek
felhasználásával
[ egész szám].
Hasonló összefüggéseket kaphatunk a spinorra, ha észrevesszük, hogy komponensei szorzótényező erejéig
megegyeznek a
-függvényekkel
Ténylegesen, ha a III. (58,7) transzformációs képletet a
spin-sajátfüggvényekre alkalmazzuk, és feltételezzük, hogy a spin vetülete a
tengelyre éppen
[azaz a III. (58,7) jobb oldalán
-t
-val helyettesítjük], azt találjuk, hogy
éppen a spin-hullámfüggvény ,
meghatározott
vagy
komponenssel (
vagy
). E függvények összessége (
) éppen egy
-ed rendű kovariáns spinor [a III. (57,6) megfeleltetési képletek
szerint]. A megfelelő kontravariáns spinor komponensei [amelyek a III. (57,2) képlet
szerint a
komponenseknek felelnek meg], az ugyanolyan rendű kovariáns spinor
komponenseinek komplex konjugáltjai.
A (16,10) és (16,11) képletből
[ egész szám]. A tükrözés operációjának
-ra való alkalmazása azonban nemcsak a
helyettesítést jelenti, hanem szorozni kell még azáltalános
fázistényezővel is (a részecske „belső paritása”)
, amit
-val jelölünk:
A relativisztikus amplitúdóra ez a transzformáció
ahol valamilyen mátrix,
-nak
határesetben megmaradó komponenseire nézve egységmátrix. Fontos, hogy
az állapot kvantumszámaitól független, így a (16,13)és (16,14) közötti különbség ebben
az értelemben nem lényeges.[55]
(16,14)-et (16,2)-re alkalmazva, kapjuk az állapot hullámfüggvényének transzformációs szabályát:
A gömbi (szférikus) helicitásállapotok transzformációs szabályát (16,10) és (16,12) felhasználásával kapjuk:
A állapot (16,16) szerint a
paritásoperátor sajátállapota, azaz meghatározott párosságú. Ha
, akkor csak az ellentétes helicitású állapotok szuperpozíciója
meghatározott párosságú:
Tükrözéskor ezek önmagukba mennek át:
Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ebben a szakaszban az adott impulzusmomentumú szabad részecskeállapotokat pusztán a megmaradó mennyiségek felhasználásával osztályoztuk, és nem használtuk a pálya-impulzusmomentumot (a 6, (7-okban a fotonállapotok osztályozásánál például figyelembe vettük).
Példaként tekintsük az spinű esetet. A nyugalmi rendszerben az
(négyesvektor) amplitúdókból hármasvektorok lesznek, ezek játsszák
most a
amplitúdók szerepét. Az
-es spin operátorának hatása az
vektorfüggvényre:
(III. 57. § 2. feladat). Így a (16,1)
egyenlet mosta következő alakú:
Megoldásai (a koordináta-rendszerben a
tengely
irányába mutat) éppen a szférikus egységvektorok [l. (7,14)]:[56]
Abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben a részecske impulzusa
, a helicitás-állapotok amplitúdói négyesvektorok:
Ha poláris vektor, akkor
. Ekkor a (16,17) függvények
(
-re háromdimenziós vektorok) paritása:
A (7,4) gömbi vektorfüggvényekkel
összehasonlítva látjuk, hogy ezek a függvények (fázisszorzó erejéig) rendre megegyeznek
az ,
,
függvényekkel. A fázisszorzót meghatározva (pl. a
-nál felvett értékek összehasonlításával) kapjuk a következő
egyenlőségeket:
( egész szám!);
,
a tengelyeknek megfelelő cirkuláris bázisvektorok , amelyeket
-ból a
-tengely körüli
-os elforgatással kapunk.
(16,23) utolsó egyenlősége ekvivalens a
-ra felírt III. (58,23) kifejezéssel. Az elsőből (vagy másodikból)
kaphatjuk
egyszerű kifejezését. Fennáll, hogy
Az egyenlőség jobb oldalán álló skalárszorzatot a rendszerben számoljuk, továbbá
Az függvény (7,2) definíciójából,
valamint (16,5)-ből kapjuk a végeredményt:
[51] E szakasz tartalma tetszőleges (egész vagy félegész) spinű részecskére vonatkozik.
[52] Az elmondottak (ahogyan megengedett értékei is) nemzérus tömegű részecskékre
vonatkoznak. Zérus tömegű részecskéknek nyugalmi rendszere nem létezik, a
helicitás pedig csak két értéket vehet fel
. Az utóbbi a 8-ban már említett
körülménnyel függ össze: az ilyen részecskék állapotait aszerint osztályozzuk,
hogyan viselkednek a tengely körüli forgatások szimmetriacsoportjával szemben,
amely csak kétszeresen degenerált szinteket enged meg (a hullámegyenlet
szempontjából ez azt jelenti, hogy az
spinű részecskére felírt egyenletrendszer
határesetben szétesik független, az
spinű, zérus tömegű részecskéket leíró egyenletekre). Mivel
fotonra
, ezért
szerepét a háromdimenziós
vektorok [l. (8,2)] játsszák.
[53] A -függvény definíciója:
. (16,2)-ben [és a
későbbi (16,4)-ben] elhagytuk az energia
meghatározott értékét beállító
-függvényt.
[54] A 103. §-ban található levezetés a hullámfüggvények véges forgatásra vonatkozó transzformációs képletein alapszik (l. III. 58. §). E képleteket viszont egyedül a forgásokkal szemben mutatott szimmetriatulajdonságok határozzák meg. Ezért minden eredmény egyaránt alkalmazható impulzus- és koordináta-reprezentációbeli függvényekre.