Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A Dirac-egyenlettel kapcsolatos számítások során gyakran kell használnunk a
mátrixokat anélkül, hogy egyik vagy másik konkrét reprezentációban
felírt alakjukhoz fordulnánk. E mátrixokkal végzett műveletek szabályait teljes
mértékben meghatározzák a
felcserélési relációk.
Ebben a szakaszban felsoroljuk a mátrixok algebrájának néhány olyan képletét és szabályát, amelyek
hasznosak a különböző számításokban.
A mátrixok önmagukkal való „skalárszorzata”:
. A rövidség kedvéért vezessük be a kovariáns komponensekkel analóg
módon a
jelölést. Ekkor
Ha és
mátrixokat egy vagy több
szorzótényező választja el, akkor a tényezőket egyszer vagy többször
felcserélve [a (22,1) szabály szerint],
-t és
-t egymás mellé lehet vinni, és ezután a
szerinti összegezést (22,2) szerint
elvégezhetjük. Így kaphatjuk a következő képleteket:
A szorzótényezők általában különböző négyesvektorokkal együtt
szerepelnek, „skalárszorzat” alakjában. A továbbiakban gyakran fogjuk az
jelölést használni. Ilyen skalárszorzatokra a (22,1) képletek
a (22,3) képletek pedig
alakot nyernek. Igen gyakran előfordul, hogy néhány mátrix szorzatának nyomát kell képeznünk. Tekintsük a
mennyiségeket. A mátrixszorzatok nyomának ismert tulajdonsága szerint ez a
tenzor szimmetrikus a indexek ciklikus cseréjére nézve.
Mivel a mátrixok bármilyen koordináta-rendszerben ugyanolyan alakúak, így
sem függ a koordináta-rendszer kiválasztásától. Ezért
olyan tenzor, amely csak a fenti tulajdonsággal rendelkező
metrikus tenzorból épül fel.
Viszont a másodrendű tenzorból csak páros rendű tenzorok állíthatók össze. Már ebből
következik, hogy páratlan számú
szorzatának nyoma zérus. Így például mindegyik
-mátrix nyoma zérus:[69]
A -es egységmátrix nyoma [ez áll hallgatólagosan a (22,1) csererelációk jobb oldalán] egyenlő
-gyel. Így (22,1)-ből – mindkét oldal
nyomát képezve – következik, hogy
Négy mátrix szorzatának nyoma:
Ezt a képletet megkaphatjuk például úgy, hogy -ban a
szorzótényezőt a (22,1) felcserélési
törvény segítségével a többi mátrixon„átemelve”, jobb oldalra visszük. Minden átemelés
után megjelenik egy a (22,10)-ben szereplő tagok
közül:
stb. A felcserélések elvégzése után a jobb oldalon megjelenik
, és ezt átvisszük a bal oldalra. Hasonlóképpen hat
mátrix szorzatának nyoma visszavezethető négy szorzótényező nyomára
stb. Tehát
Megjegyezzük, hogy a nyomok mind valósak, és csak akkor különböznek nullától, ha a
mátrixok mindegyike párosan fordul elő. Mindkét állítás nyilvánvaló a
fenti képletek alapján. Ezekből viszont következik, hogy a nyom nem változik, ha a
szorzótényezők sorrendjét megfordítjuk:[70]
Mint már említettük, a mátrixok általában különböző négyesvektorokkal való „skalárszorzatok”
alakjában fordulnak elő. Ilyen esetekben például a (22,9) és (22,10) képletek azt jelentik,
hogy
Különleges szerepe van a szorzatnak. Erre külön jelölést vezettek be:
azaz a mátrix az összes
-vel antikommutál. Az
és
mátrixokra igaz, hogy
(az -ra való felcserélhetőség abból következik, hogy
, két
mátrix szorzata).
A mátrix hermitikus. Valóban,
és mivel a sorrend a
sorrendből páros számú felcseréléssel kapható, így
Megadjuk ennek a mátrixnak az alakját két konkrét reprezentációban:
[ez (22,8)-ból közvetlenül is látható].
Úgyszintén nulla a szorzat nyoma is. A
mátrixot négy
mátrixszal szorozva,
Megemlítjük még a következő képletet:
ami esetén érvényes.
Számítsuk ki az kifejezést.
(22,1) felcserélési törvényt és a (22,20) képletet felhasználva, a mátrix keresett nyomát a következő alakra hozhatjuk:
ahol
A nyom ciklikus tulajdonságát és (22,12)-t felhasználva, ; így