ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

22.§. A Dirac-mátrixok algebrája

A Dirac-egyenlettel kapcsolatos számítások során gyakran kell használnunk a mátrixokat anélkül, hogy egyik vagy másik konkrét reprezentációban felírt alakjukhoz fordulnánk. E mátrixokkal végzett műveletek szabályait teljes mértékben meghatározzák a

3.86. egyenlet - (22,1)

γ^{μ} γ^{ν} + γ^{ν} γ^{μ} = 2 g^{μ ν} (μ, ν = 0, 1, 2, 3)

felcserélési relációk.

Ebben a szakaszban felsoroljuk a mátrixok algebrájának néhány olyan képletét és szabályát, amelyek hasznosak a különböző számításokban.

A mátrixok önmagukkal való „skalárszorzata”: gμνγμγν=4 . A rövidség kedvéért vezessük be a kovariáns komponensekkel analóg módon a γμ=gμνγν jelölést. Ekkor

3.87. egyenlet - (22,2)

γ_{μ} γ^{μ} = 4 .

Ha és mátrixokat egy vagy több szorzótényező választja el, akkor a tényezőket egyszer vagy többször felcserélve [a (22,1) szabály szerint], -t és-t egymás mellé lehet vinni, és ezután a szerinti összegezést (22,2) szerint elvégezhetjük. Így kaphatjuk a következő képleteket:

3.88. egyenlet - (22,3)

\begin{matrix} \begin{aligned} γ_{μ} γ^{ν} γ^{ν} & = - 2 γ^{ν}, \\ γ_{μ} γ^{λ} γ^{ν} γ^{μ} & = 4 g^{λ ν}, \\ γ_{μ} γ^{λ} γ^{ν} γ^{ϱ} γ^{μ} & = - 2 γ^{ϱ} γ^{ν} γ^{λ}, \\ γ_{μ} γ^{λ} γ^{ν} γ^{ϱ} γ^{σ} γ^{μ} & = 2 (γ^{σ} γ^{λ} γ^{ν} γ^{ϱ} + γ^{ϱ} γ^{ν} γ^{λ} γ^{σ}) . \end{aligned} & (22,3) \end{matrix}

A γμ,… szorzótényezők általában különböző négyesvektorokkal együtt szerepelnek, „skalárszorzat” alakjában. A továbbiakban gyakran fogjuk az

3.89. egyenlet - (22,4)

â = γ a \equiv γ^{μ} a_{μ}

jelölést használni. Ilyen skalárszorzatokra a (22,1) képletek

3.90. egyenlet - (22,5)

â \hat{b} + \hat{b} â = 2 (a b), â â = a^{2},

a (22,3) képletek pedig

3.91. egyenlet - (22,6)

\begin{matrix} \begin{aligned} γ_{μ} â γ^{μ} & = - 2 â, \\ γ_{μ} â \hat{b} γ^{μ} & = 4 (a b), \\ γ_{μ} â \hat{b} ĉ γ^{μ} & = - 2 ĉ \hat{b} â, \\ γ_{μ} â \hat{b} ĉ \hat{d} γ^{μ} & = 2 (\hat{d} â \hat{b} ĉ + ĉ \hat{b} â \hat{d}) \end{aligned} & (22,6) \end{matrix}

alakot nyernek. Igen gyakran előfordul, hogy néhány mátrix szorzatának nyomát kell képeznünk. Tekintsük a

3.92. egyenlet - (22,7)

T^{μ_{1} μ_{2} \dots μ_{n}} \equiv \frac{1}{4} Sp (γ^{μ_{1}} γ^{μ_{2}} \dots γ^{μ_{n}})

mennyiségeket. A mátrixszorzatok nyomának ismert tulajdonsága szerint ez a tenzor szimmetrikus a μ1μ2…μn indexek ciklikus cseréjére nézve.

Mivel a mátrixok bármilyen koordináta-rendszerben ugyanolyan alakúak, így sem függ a koordináta-rendszer kiválasztásától. Ezért olyan tenzor, amely csak a fenti tulajdonsággal rendelkező gμν metrikus tenzorból épül fel.

Viszont a másodrendű gμν tenzorból csak páros rendű tenzorok állíthatók össze. Már ebből következik, hogy páratlan számú szorzatának nyoma zérus. Így például mindegyik -mátrix nyoma zérus:^[69]

3.93. egyenlet - (22,8)

Sp γ^{μ} = 0 .

A 4×4 -es egységmátrix nyoma [ez áll hallgatólagosan a (22,1) csererelációk jobb oldalán] egyenlő-gyel. Így (22,1)-ből – mindkét oldal nyomát képezve – következik, hogy

3.94. egyenlet - (22,9)

T^{μ ν} = g^{μ ν} .

Négy mátrix szorzatának nyoma:

3.95. egyenlet - (22,10)

T^{λ μ ν ϱ} = g^{λ μ} g^{ν ϱ} - g^{λ ν} g^{μ ϱ} + g^{λ ϱ} g^{μ ν} .

Ezt a képletet megkaphatjuk például úgy, hogy Spγλγμγνγϱ -ban a szorzótényezőt a (22,1) felcserélési törvény segítségével a többi mátrixon„átemelve”, jobb oldalra visszük. Minden átemelés után megjelenik egy a (22,10)-ben szereplő tagok közül:

stb. A felcserélések elvégzése után a jobb oldalon megjelenik –Tμνϱλ=–Tλμνϱ , és ezt átvisszük a bal oldalra. Hasonlóképpen hat mátrix szorzatának nyoma visszavezethető négy szorzótényező nyomára stb. Tehát

3.96. egyenlet - (22,11)

T^{λ μ ν ϱ σ τ} = g^{λ μ} T^{ν ϱ σ τ} - g^{λ ν} T^{μ ϱ σ τ} + g^{λ ϱ} T^{μ ν σ τ} - g^{λ σ} T^{μ ν ϱ τ} + g^{λ τ} T^{μ ν ϱ σ} .

Megjegyezzük, hogy a Tλμ… nyomok mind valósak, és csak akkor különböznek nullától, ha a γ0,γ1,… mátrixok mindegyike párosan fordul elő. Mindkét állítás nyilvánvaló a fenti képletek alapján. Ezekből viszont következik, hogy a nyom nem változik, ha a szorzótényezők sorrendjét megfordítjuk:^[70]

3.97. egyenlet - (22,12)

T^{λ μ \dots ϱ σ} = T^{σ ϱ \dots μ λ} .

Mint már említettük, a mátrixok általában különböző négyesvektorokkal való „skalárszorzatok” alakjában fordulnak elő. Ilyen esetekben például a (22,9) és (22,10) képletek azt jelentik, hogy

3.98. egyenlet - (22,13)

\begin{matrix} \begin{aligned} \frac{1}{4} Sp â \hat{b} = a b, \\ \frac{1}{4} Sp â \hat{b} ĉ \hat{d} & = (a b) (c d) - (a c) (b d) + (a d) (b c) . \end{aligned} & (22,13) \end{matrix}

Különleges szerepe van a γ0γ1γ2γ3 szorzatnak. Erre külön jelölést vezettek be:

3.99. egyenlet - (22,14)

γ^{5} = - i γ^{0} γ^{1} γ^{2} γ^{3} .

Könnyen belátható, hogy

3.100. egyenlet - (22,15)

γ^{5} γ^{μ} + γ^{μ} γ^{5} = 0, {(γ^{5})}^{2} = 1,

azaz a mátrix az összes -vel antikommutál. Az és mátrixokra igaz, hogy

3.101. egyenlet - (22,16)

α γ^{5} - γ^{5} α = 0, β γ^{5} + γ^{5} β = 0

(az -ra való felcserélhetőség abból következik, hogy α=γ0γ , két mátrix szorzata).

A mátrix hermitikus. Valóban,

és mivel a 3210 sorrend a 0123 sorrendből páros számú felcseréléssel kapható, így

3.102. egyenlet - (22,17)

γ^{5 +} = γ^{5} .

Megadjuk ennek a mátrixnak az alakját két konkrét reprezentációban:

3.103. egyenlet - (22,18)

\begin{aligned} s p i n o r r e p r e z e n t á c i ó b a n & γ^{5} & = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}); \\ s t a n d a r d r e p r e z e n t á c i ó b a n & γ^{5} & = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) . \end{aligned}

A mátrix nyoma nulla:

3.104. egyenlet - (22,19)

Sp γ^{5} = 0

[ez (22,8)-ból közvetlenül is látható]. Úgyszintén nulla a γ5γμγν szorzat nyoma is. A mátrixot négy mátrixszal szorozva,

3.105. egyenlet - (22,20)

\frac{1}{4} Sp γ^{5} γ^{λ} γ^{μ} γ^{ν} γ^{ϱ} = i e^{λ μ ν ϱ} .

Megemlítjük még a következő képletet:

3.106. egyenlet - (22,21)

\hat{N} = i γ^{5} â \hat{b} ĉ, N^{λ} = e^{λ μ ν ϱ} a_{μ} b_{ν} c_{ϱ},

ami ab=ac=bc=0 esetén érvényes.

Feladat

Számítsuk ki az (1/4)Spγ5γλγμγνγϱγσϱτ≡Aλμνϱστ kifejezést.

(22,1) felcserélési törvényt és a (22,20) képletet felhasználva, a mátrix keresett nyomát a következő alakra hozhatjuk:

ahol

Bλμνϱστ=eλμνϱgστ–eλμνσgϱτ+eλμντgϱσ–eντσϱgλμ+eμτσϱgλν–eλτσϱgμν.

A nyom ciklikus tulajdonságát és (22,12)-t felhasználva, Aνμλτσϱ=Aλμνϱστ ; így

^[69] A mátrix nyoma invariáns a γ′=UγU–1 transzformációra nézve. Ezért (22,8) nyilvánvaló a mátrixok (21,3) konkrét kifejezéseiből is.

^[70] Mivel tetszőleges mátrixra SpM=SpM̄ , így (azt is felhasználva, hogy a nyom valós): Sp(γλ…γν)=Sp(γλ…γν)+=Sp(γν+…γλ+) , mindegyik mátrix vagy hermitikus, vagy antihermitikus (γμ+=±γμ) , és párosan fordul elő, így (22,12) nyilvánvaló.