Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Adott impulzusú és energiájú szabad részecske állapotát egy síkhullám írja le, amelyet
alakban írhatunk. A index a négyesimpulzust jelöli; a hullám
amplitúdója egy megfelelő módon normált bispinor.
A másodkvantálás elvégzésekor szükségünk lesz a (23,1) hullámfüggvény mellett a „negatív frekvenciás” függvényekre is. Ezek a
relativisztikus elméletben, mint azt a 11. §-ban
megmagyaráztuk, a négyzetgyök kétértelműsége miatt jelennek meg. Akárcsak a 11. §-ban,
-on mindenhol az
pozitív mennyiséget fogjuk érteni, tehát a „negatív frekvencia”:
. Egyidejűleg
előjelét is megváltoztatva új függvényt kapunk, amit természetes módon
-vel jelölünk:
E függvények értelmét a 26. § világítja
majd meg. A továbbiakban párhuzamosan adjuk meg a -re és
-re vonatkozóösszefüggéseket.
Az és
bispinor amplitúdók komponensei kielégítik a
algebrai egyenletrendszert, amelyet a Dirac-egyenletből kapunk, ha (23,1)-etés (23,2)-et
behelyettesítjük (a operátor hatása
szorzótényezőt eredményez).[71] Ahhoz, hogy a fenti egyenletrendszereknek nemtriviális megoldásai legyenek,
teljesülnie kell a
összefüggésnek. A bispinor amplitúdókat mindig az
invariáns feltételek szerint fogjuk normálni (a betű feletti vonás, mint
mindig, a Dirac-konjugáltat jelöli: ). A (23,3) egyenleteket balról
-vel szorozva,
, ahonnan látható, hogy
Megjegyezzük, hogy az -re vonatkozó képletekből az
-re vonatkozó képleteket
előjelének megváltoztatásával kaphatjuk meg.
azaz , ahol
a részecske sebessége. Innen látható, hogy a
függvények az „egy részecske a
térfogatban” konvenció szerint vannak normálva.
A (23,3) egyenletek miatt a hullám amplitúdójának
komponensei bizonyos összefüggéseket elégítenek ki. Ezeknek az alakja természetesen függ
konkrét reprezentációjától. Határozzuk meg őket a standard
reprezentációra.
A (21,19) egyenletekből síkhullámokra azt kapjuk, hogy
Innen kapjuk a és
közötti összefüggést két, egymással ekvivalens alakban:
[a két képlet ekvivalenciája nyilvánvaló: az elsőt balról -mel megszorozva és figyelembe véve, hogy
és
, megkapjuk a másodikat]. A
-ben és
-ben szereplő közös tényezőt úgy választjuk meg, hogy az amplitúdó
kielégítse a (23,4) normálási feltételt. Így
-re (és hasonló módon
-re) a következő kifejezéseket kapjuk:
[a második képletet megkaphatjuk az elsőből, ha előjelét megváltoztatjuk,és a
jelölést bezetjük be]. Itt
a
irányába mutató egységvektor,
pedig tetszőleges, kétkomponensű mennyiség, amely eleget tesz a
normálási feltételnek. -ra [
-t (21,20)-ból véve] azt kapjuk,
hogy
és a szorzást elvégezve, meggyőződhetünk arról, hogy .
A részecske nyugalmi rendszerében, azaz esetén
tehát az a háromdimenziós spinor, amelybe a hullám amplitúdója nemrelativisztikus közelítésben átmegy. Megjegyezzük,
hogy az
bispinorban a nyugalmi rendszerben az első két komponens tűnik el, nem
a második kettő. A„negatív frekvenciás” Dirac-egyenletnek ez a tulajdonsága már eleve
nyilvánvaló: ha (23,7)-be
-t helyettesítünk, és
helyébe
-et írunk, akkor
-t kapunk.[72]
Egy síkhullám amplitúdója egy tetszőleges
kétkomponensű mennyiséget tartalmaz. Más szóval, adott impulzus esetén két független
állapot létezik, a spinvetület két lehetséges értékének megfelelően. Azonban a spin
tetszőleges tengelyre eső vetületének nem lehet határozott értéke. Ez abból
látszik, hogy adott
esetén a részecske Hamilton-operátora (azaz a
mátrix) nem cserélhető fel a
mátrixszal. A 16. §-ban tett
általános megállapításoknak megfelelően viszont megmarad a
helicitás – a spinnek
irányára vett vetülete: a Hamilton-operátor felcserélhető az
mátrixszal.
A helicitás-sajátállapotoknak olyan
síkhullámok felelnek meg, amelyekben a háromdimenziós spinor az
operátor sajátfüggvénye:
ahol és
az
iránynak rögzített
tengelyekre vett polár- és azimutszöge.[73]
A impulzusú szabad részecske két független állapotának egy másik
lehetséges megválasztása (amely egyszerűbb, bár kevésbé szemléletes) a részecske
nyugalmi rendszerében meghatározott,
-tengely irányú spinvetület két értékének felel meg. Jelöljük ezt
-val. A megfelelő spinorok:
A két lineárisan független „negatív frekvenciás” megoldásnak olyan
síkhullámokat választunk, amelyben a háromdimenziós spinorok:
(ennek a választásnak az értelmét a 26. §-ban látjuk majd meg).
1. Vezessük le a (23,9) hullámfüggvényt közvetlenül a nyugalmi rendszerből végzett Lorentz transzformációval.
Megoldás. Egy rendszerhez képest véges
sebességgel mozgó
rendszerre való áttérés transzformációs képletét a 21. § 1. feladatának (21,1f) képletéből ugyanúgy kaphatjuk meg, mint ahogy (18,13)-at kaptuk (18,12)-ből:
ahol a
irányába mutató egységvektor, és
. Ugyanezen képlet szerint transzformálódik az
bispinor amplitúdó. Ha
a részecske nyugalmi rendszere, és a
rendszerben az impulzusa
, akkor
, ahonnan
Az bispinort (23,12)-ből véve és az
mátrixok standard reprezentációját felhasználva,
-re (23,9)-et kapjuk.
2. Szabad részecske nyugalmi rendszerében a spin
megmarad, a részecske hullámfüggvényének pedig (standard reprezentációban) mindössze
két komponense van, amelyek a spin adott, tengely irányú vetülete
értékeinek felelnek meg. Keressünk olyan reprezentációt, amelyben a
hullámfüggvénynek (síkhullámnak) bármely vonatkoztatási rendszerben csak két
komponense van, amelyek ugyanarra az állapotjellemzőre a nyugalmi rendszerben
definiált spinvetület határozott értékeinek felelnek meg (L.
Foldy , S. A. Wouthuysen , 1950).
Megoldás. A standard reprezentációban (23,9)-ben felírt amplitúdóból kiindulva, a megfelelő unitér transzformációt
alakban keressük, ahol
a
irányába mutató egységvektor, és
valós mennyiség (mivel
, ezért automatikusan
). Az exponenst sorba fejtve és figyelembe véve, hogy
,
-ra a következő kifejezést kapjuk:
Abból a feltételből, hogy az transzformált amplitúdó utolsó két komponense eltűnik, azt kapjuk,
hogy
, vagy
Az új reprezentációban:
A részecske Hamilton-operátora az új reprezentációban:
(a mátrixok mind standard reprezentációban szerepelnek). Ez a
Hamilton-operátor kommutál a
mátrixszal, amely az új reprezentációban megmaradó fizikai mennyiség, a nyugalmi rendszerben definiált spin operátora.
[71] Megadjuk a komplex konjugált függvényre vonatkozó (21,9) Dirac-egyenletből kapható analóg egyenleteket:
[72] Spinorreprezentációban ekkor teljesül
helyett, amit a „pozitív frekvenciás” megoldásokra kaptunk a nyugalmi rendszerben.
[73] A (23,13) egyenlet megoldását
megszorozhatjuk egy tetszőleges fázisszorzóval, ami az tengely körüli tetszőleges elforgatásnak felel meg. Ennek a
szabadságnak felel meg az, hogy a III. (58,6) képletben a
szög tetszőleges [a (23,14)
képleteket megkaphatjuk III. (58,6)-ból, ha a spinor vesszős komponenseit
-nak vagy
-nek vesszük – ez a
tengely irányú spinvetület határozott értékeinek felel meg –, és
ha az
szögek helyébe
szögeket írunk].