ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

23.§. Síkhullámok

Adott impulzusú és energiájú szabad részecske állapotát egy síkhullám írja le, amelyet

3.107. egyenlet - (23,1)

ψ_{p} = \frac{1}{\sqrt{2 𝜀}} u_{p} e^{- i p x}

alakban írhatunk. A index a négyesimpulzust jelöli; a hullám amplitúdója egy megfelelő módon normált bispinor.

A másodkvantálás elvégzésekor szükségünk lesz a (23,1) hullámfüggvény mellett a „negatív frekvenciás” függvényekre is. Ezek a relativisztikus elméletben, mint azt a 11. §-ban megmagyaráztuk, a ±√(p2+m2) négyzetgyök kétértelműsége miatt jelennek meg. Akárcsak a 11. §-ban, -on mindenhol az ε=+√(p2+m2) pozitív mennyiséget fogjuk érteni, tehát a „negatív frekvencia”: . Egyidejűleg előjelét is megváltoztatva új függvényt kapunk, amit természetes módon ψ–p -vel jelölünk:

3.108. egyenlet - (23,2)

ψ_{- p} = \frac{1}{\sqrt{2 𝜀}} u_{- p} e^{i p x} .

E függvények értelmét a 26. § világítja majd meg. A továbbiakban párhuzamosan adjuk meg a -re és ψ–p -re vonatkozóösszefüggéseket.

Az és u–p bispinor amplitúdók komponensei kielégítik a

3.109. egyenlet - (23,3)

\begin{matrix} \begin{aligned} (\hat{p} - m) u_{p} & = 0, \\ (\hat{p} + m) u_{- p} & = 0 \end{aligned} & (23,3) \end{matrix}

algebrai egyenletrendszert, amelyet a Dirac-egyenletből kapunk, ha (23,1)-etés (23,2)-et behelyettesítjük (a operátor hatása szorzótényezőt eredményez).^[71] Ahhoz, hogy a fenti egyenletrendszereknek nemtriviális megoldásai legyenek, teljesülnie kell a p2=m2 összefüggésnek. A bispinor amplitúdókat mindig az

3.110. egyenlet - (23,4)

\begin{matrix} \begin{aligned} ū_{p} u_{p} & = 2 m, \\ ū_{- p} u_{- p} & = - 2 m \end{aligned} & (23,4) \end{matrix}

invariáns feltételek szerint fogjuk normálni (a betű feletti vonás, mint mindig, a Dirac-konjugáltat jelöli: ū=u∗γ0 ). A (23,3) egyenleteket balról ū±p -vel szorozva, (ū±pγu±p)p=2m2=2p2 , ahonnan látható, hogy

3.111. egyenlet - (23,5)

ū_{p} γ u_{p} = ū_{- p} γ u_{- p} = 2 p .

Megjegyezzük, hogy az -re vonatkozó képletekből az u–p -re vonatkozó képleteket előjelének megváltoztatásával kaphatjuk meg.

Az áramsűrűség négyesvektora:

3.112. egyenlet - (23,6)

j = {\bar{ψ}}_{\pm p} γ ψ_{\pm p} = \frac{1}{2 𝜀} ū_{\pm p} γ u_{\pm p} = \frac{p}{𝜀},

azaz jμ=(1,v) , ahol v=p∕ε a részecske sebessége. Innen látható, hogy a függvények az „egy részecske a V=1 térfogatban” konvenció szerint vannak normálva.

A (23,3) egyenletek miatt a hullám amplitúdójának komponensei bizonyos összefüggéseket elégítenek ki. Ezeknek az alakja természetesen függ konkrét reprezentációjától. Határozzuk meg őket a standard reprezentációra.

A (21,19) egyenletekből síkhullámokra azt kapjuk, hogy

3.113. egyenlet - (23,7)

\begin{matrix} \begin{aligned} (𝜀 - m) φ - p σ χ & = 0, \\ (𝜀 + m) χ - p σ φ & = 0 . \end{aligned} & (23,7) \end{matrix}

Innen kapjuk a és közötti összefüggést két, egymással ekvivalens alakban:

3.114. egyenlet - (23,8)

φ = \frac{p σ}{𝜀 - m} χ, χ = \frac{p σ}{𝜀 + m} φ

[a két képlet ekvivalenciája nyilvánvaló: az elsőt balról pσ∕(ε+m) -mel megszorozva és figyelembe véve, hogy (pσ)2=p2 és ε2–m2=p2 , megkapjuk a másodikat]. A -ben és -ben szereplő közös tényezőt úgy választjuk meg, hogy az amplitúdó kielégítse a (23,4) normálási feltételt. Így -re (és hasonló módon u–p -re) a következő kifejezéseket kapjuk:

3.115. egyenlet - (23,9)

u_{p} = (\begin{matrix} \sqrt{𝜀 + m} w \\ \sqrt{𝜀 - m} (n σ) w \end{matrix}), u_{- p} = (\begin{matrix} \sqrt{𝜀 - m} (n σ) w^{'} \\ \sqrt{𝜀 + m} w^{'} \end{matrix})

[a második képletet megkaphatjuk az elsőből, ha előjelét megváltoztatjuk,és a w→(nσ)w′ jelölést bezetjük be]. Itt a irányába mutató egységvektor, pedig tetszőleges, kétkomponensű mennyiség, amely eleget tesz a

3.116. egyenlet - (23,10)

w^{*} w = 1

normálási feltételnek. ū=u∗γ0 -ra [ -t (21,20)-ból véve] azt kapjuk, hogy

3.117. egyenlet - (23,11)

\begin{matrix} \begin{aligned} ū_{p} & = (\sqrt{𝜀 + m} w^{*}, - \sqrt{𝜀 - m} w^{*} (n σ)), \\ ū_{- p} & = (\sqrt{𝜀 - m} w^{' *} (n σ), - \sqrt{𝜀 + m} w^{' *}), \end{aligned} & (23,11) \end{matrix}

és a szorzást elvégezve, meggyőződhetünk arról, hogy ū±pu±p=±2m .

A részecske nyugalmi rendszerében, azaz ε=m esetén

3.118. egyenlet - (23,12)

u_{p} = \sqrt{2 m} (\begin{matrix} w \\ 0 \end{matrix}), u_{- p} = \sqrt{2 m} (\begin{matrix} 0 \\ w^{'} \end{matrix}),

tehát az a háromdimenziós spinor, amelybe a hullám amplitúdója nemrelativisztikus közelítésben átmegy. Megjegyezzük, hogy az u–p bispinorban a nyugalmi rendszerben az első két komponens tűnik el, nem a második kettő. A„negatív frekvenciás” Dirac-egyenletnek ez a tulajdonsága már eleve nyilvánvaló: ha (23,7)-be p=0 -t helyettesítünk, és helyébe -et írunk, akkor φ=0 -t kapunk.^[72]

Egy síkhullám amplitúdója egy tetszőleges kétkomponensű mennyiséget tartalmaz. Más szóval, adott impulzus esetén két független állapot létezik, a spinvetület két lehetséges értékének megfelelően. Azonban a spin tetszőleges tengelyre eső vetületének nem lehet határozott értéke. Ez abból látszik, hogy adott esetén a részecske Hamilton-operátora (azaz a H=αp+βm mátrix) nem cserélhető fel a Σz=–iαxαy mátrixszal. A 16. §-ban tett általános megállapításoknak megfelelően viszont megmarad a helicitás – a spinnek irányára vett vetülete: a Hamilton-operátor felcserélhető az mátrixszal.

A helicitás-sajátállapotoknak olyan síkhullámok felelnek meg, amelyekben a háromdimenziós w=w(λ)(n) spinor az operátor sajátfüggvénye:

3.119. egyenlet - (23,13)

\frac{1}{2} (n σ) w^{(λ)} = λ w^{(λ)} .

E spinorok konkrét alakja:

3.120. egyenlet - (23,14)

w^{(λ = 1 ∕ 2)} = (\begin{matrix} e^{- i φ ∕ 2} cos \frac{𝜃}{2} \\ e^{i φ ∕ 2} sin \frac{𝜃}{2} \end{matrix}), w^{(λ = - 1 ∕ 2)} = (\begin{matrix} - e^{- i φ ∕ 2} sin \frac{𝜃}{2} \\ e^{i φ ∕ 2} cos \frac{𝜃}{2} \end{matrix}),

ahol és az iránynak rögzített xyz tengelyekre vett polár- és azimutszöge.^[73]

A impulzusú szabad részecske két független állapotának egy másik lehetséges megválasztása (amely egyszerűbb, bár kevésbé szemléletes) a részecske nyugalmi rendszerében meghatározott, -tengely irányú spinvetület két értékének felel meg. Jelöljük ezt -val. A megfelelő spinorok:

3.121. egyenlet - (23,15)

w^{(σ = \frac{1}{2})} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), w^{(σ = - \frac{1}{2})} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) .

A két lineárisan független „negatív frekvenciás” megoldásnak olyan síkhullámokat választunk, amelyben a háromdimenziós spinorok:

3.122. egyenlet - (23,16)

w^{{(σ)}^{'}} = - σ_{y} w^{(- σ)} = 2 σ i w^{(σ)}

(ennek a választásnak az értelmét a 26. §-ban látjuk majd meg).

Feladatok

1. Vezessük le a (23,9) hullámfüggvényt közvetlenül a nyugalmi rendszerből végzett Lorentz transzformációval.

Megoldás. Egy rendszerhez képest véges sebességgel mozgó rendszerre való áttérés transzformációs képletét a 21. § 1. feladatának (21,1f) képletéből ugyanúgy kaphatjuk meg, mint ahogy (18,13)-at kaptuk (18,12)-ből:

ahol a irányába mutató egységvektor, és thφ=|V| . Ugyanezen képlet szerint transzformálódik az bispinor amplitúdó. Ha a részecske nyugalmi rendszere, és a rendszerben az impulzusa , akkor V=–p∕ε , ahonnan

ch(φ/2)=√((ε+m/2m)), sh(φ/2)=√((ε–m/2m)).

Az bispinort (23,12)-ből véve és az mátrixok standard reprezentációját felhasználva, -re (23,9)-et kapjuk.

2. Szabad részecske nyugalmi rendszerében a spin megmarad, a részecske hullámfüggvényének pedig (standard reprezentációban) mindössze két komponense van, amelyek a spin adott, tengely irányú vetülete ±1∕2 értékeinek felelnek meg. Keressünk olyan reprezentációt, amelyben a hullámfüggvénynek (síkhullámnak) bármely vonatkoztatási rendszerben csak két komponense van, amelyek ugyanarra az állapotjellemzőre a nyugalmi rendszerben definiált spinvetület határozott értékeinek felelnek meg (L. Foldy , S. A. Wouthuysen , 1950).

Megoldás. A standard reprezentációban (23,9)-ben felírt amplitúdóból kiindulva, a megfelelő unitér transzformációt U=eWγn alakban keressük, ahol a irányába mutató egységvektor, és valós mennyiség (mivel γ+=–γ , ezért automatikusan U+=U–1 ). Az exponenst sorba fejtve és figyelembe véve, hogy (γn)2=–1 , -ra a következő kifejezést kapjuk:

Abból a feltételből, hogy az up′=Uup transzformált amplitúdó utolsó két komponense eltűnik, azt kapjuk, hogy tgW=|p|∕(m+ε) , vagy

Az új reprezentációban:

A részecske Hamilton-operátora az új reprezentációban:

(a β,α,γ mátrixok mind standard reprezentációban szerepelnek). Ez a Hamilton-operátor kommutál a

mátrixszal, amely az új reprezentációban megmaradó fizikai mennyiség, a nyugalmi rendszerben definiált spin operátora.

^[71] Megadjuk a komplex konjugált függvényre vonatkozó (21,9) Dirac-egyenletből kapható analóg egyenleteket: ūp(p̂–m)=0 ū–p(p̂+m)=0. (23,3a)

^[72] Spinorreprezentációban ekkor ξ=–η teljesül η=ξ helyett, amit a „pozitív frekvenciás” megoldásokra kaptunk a nyugalmi rendszerben.

^[73] A (23,13) egyenlet megoldását megszorozhatjuk egy tetszőleges fázisszorzóval, ami az tengely körüli tetszőleges elforgatásnak felel meg. Ennek a szabadságnak felel meg az, hogy a III. (58,6) képletben a szög tetszőleges [a (23,14) képleteket megkaphatjuk III. (58,6)-ból, ha a spinor vesszős komponenseit (1 0) -nak vagy (0 1) -nek vesszük – ez a tengely irányú spinvetület határozott értékeinek felel meg –, és ha az α,β,γ szögek helyébe φ,,0 szögeket írunk].