ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

25.§. A spin és a statisztika kapcsolata

Az 1∕2 spinű részecskék terének (a spinortérnek) másodkvantálását ugyanúgy végezhetjük el, mint a 11. §-ban skalártér esetén.

Anélkül, hogy megismételnénk az ottani teljes gondolatmenetet, írjuk fel rögtön a téroperátorok (11,2)-nek megfelelő kifejtését:

3.137. egyenlet - (25,1)

\begin{matrix} \begin{aligned} Ψ & = \sum_{p σ} \frac{1}{\sqrt{2 𝜀}} (a_{p σ} u_{p σ} e^{- i p x} + b_{p σ}^{+} u_{- p - σ} e^{i p x}), \\ Ψ \equiv Ψ^{+} γ^{0} & = \sum_{p σ} \frac{1}{\sqrt{2 𝜀}} (a_{p σ}^{+} ū_{p σ} e^{i p x} + b_{p σ} ū_{- p - σ} e^{- i p x}), \end{aligned} & (25,1) \end{matrix}

ahol a impulzus minden értékére és σ=±1∕2 -re kell összegezni. Az antirészecskék bpσ eltüntető operátorai (és a részecskék apσ eltüntető operátorai) olyan függvények együtthatóiként szerepelnek, amelyek koordinátafüggésük szerint (eipr) adott impulzusúállapotoknak felelnek meg.^[77]

A spinortér Hamilton-operátorának kiszámításához nem szükséges meghatároznunk a tér energia–impulzus-tenzorát (mint azt a skalártér esetében tettük), mivel ebben az esetben létezik a részecske Hamilton-operátora , amelynek segítségével felírható a (21,12) hullámegyenlet (a Dirac-egyenlet ). hullámfüggvénnyel rendelkező állapotban a részecske átlagos energiáját az

3.138. egyenlet - (25,2)

\int ψ^{*} H ψ d^{3} x = i \int ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial t} d^{3} x = i \int \bar{ψ} γ^{0} \frac{\partial ψ}{\partial t} d^{3} x

integrál határozza meg. Felhívjuk az olvasó figyelmét arra, hogy az„energiasűrűség” (az integrál alatti kifejezés) nem pozitív definit.

A (25,2) kifejezésben a és függvényeket -operátorokkal helyettesítve, és figyelembe véve a különböző -hez és -hoz tartozó hullámfüggvények ortogonalitását, valamint a hullámamplitúdókra vonatkozó ū±pσγ0u±pσ=2ε összefüggést, a Hamilton-operátorra a következő kifejezést kapjuk:

3.139. egyenlet - (25,3)

H = \sum_{p σ} 𝜀 (a_{p σ}^{+} a_{p σ} - b_{p σ} b_{p σ}^{+}) .

Innen látszik, hogy az adott esetben a kvantálást a Fermi-statisztika szabálya szerint kell elvégezni:

3.140. egyenlet - (25,4)

{a_{p σ}, a_{p σ}^{+}}_{+} = 1, {b_{p σ}, b_{p σ}^{+}}_{+} = 1,

és az , , , operátorok minden más párosításban antikommutálnak egymással (l. III. 65. §). Valóban, a (25,3) Hamilton-operátor ekkor

alakra hozható, és így az energia-sajátértékek (mint mindig, egy végtelen additív állandó levonása után):

3.141. egyenlet - (25,5)

E = \sum_{p σ} 𝜀 (N_{p σ} - {\bar{N}}_{p σ})

tehát, amint azt el is várjuk, pozitív definitek. Ha a Bose-statisztika szerint kvantáltunk volna, akkor (25,3)-ból értelmetlen, nem pozitív definit

sajátértékeket kaptunk volna.

(25,5)-nek megfelelő kifejezést kapunk a rendszer impulzusára – az ∫Ψ+pΨd3x operátor sajétértékeire:

3.142. egyenlet - (25,6)

P = \sum_{p σ} p (N_{p σ} + {\bar{N}}_{p σ}) .

A négyesáram operátora

3.143. egyenlet - (25,7)

j^{μ} = \bar{Ψ} γ^{μ} Ψ,

és így a tér „töltésoperátorára” a következő kifejezést kapjuk:

3.144. egyenlet - (25,8)

Q = \int \bar{Ψ} γ^{0} Ψ d^{3} x = \sum_{p σ} (a_{p σ}^{+} a_{p σ} + b_{p σ} b_{p σ}^{+}) = \sum_{p σ} (a_{p σ}^{+} a_{p σ} - b_{p σ}^{+} b_{p σ} + 1),

és ennek sajátértékei

3.145. egyenlet - (25,9)

Q = \sum_{p σ} (N_{p σ} - {\bar{N}}_{p σ}) .

Így ismét egy részecskéket és antirészecskéket leíró képhez jutottunk, amelyre igazak a 11. § ide vonatkozóállításai.

A spinű részecskék bozonok, az 1∕2 spinű részecskék viszont fermionok. Ha nyomon követjük ennek a különbségnek a formális eredetét, azt találjuk, hogy ez a skalár- és spinorterek „energiasűrűségét” leíró kifejezések különböző jellegéből származik. Az első esetben ez a kifejezés pozitív definit, ezért a (11,3) Hamilton-operátorban mindkét tag ( a+a és bb+ ) pozitív előjellel szerepel. Hogy az energia-sajátértékek pozitivitását biztosítsuk, a bb+ -ről b+b -re való áttéréskor nem szabad előjelet változtatnunk, tehát ez a Bose-féle felcserélési szabály szerint kell, hogy történjék. Spinortér esetén az „energiasűrűség” nem pozitív definit, ezért a (25,3) Hamilton-operátorban a bb+ tag negatív előjellel szerepel, tehát hogy pozitív sajátértékeket kapjunk, a bb+→b+b cserével egyidejűleg az előjelet is meg kell változtatnunk, azaz a Fermi-féle felcserélési szabályt kell alkalmaznunk. Másrészről viszont az energiasűrűség alakja közvetlen kapcsolatban van a hullámfüggvény transzformációs tulajdonságaival és a relativisztikus invariancia követelményével. Ilyen értelemben azt mondhatjuk, hogy a spin és a statisztika kapcsolata, amelynek a részecskék eleget tesznek, szintén a fenti követelmények egyenes következménye.

Abból a tényből, hogy az 1∕2 spinű részecskék fermionok, következik egy általános állítás: minden félegész spinű részecske fermion, minden egész spinű részecske pedig bozon (az utóbbi állítást spinre a 11. §-ban bizonyítottuk be).^[78]

A fenti tétel nyilvánvalóvá válik, ha észrevesszük, hogy egy spinű részecskét elképzelhetünk úgy, mintha az számú 1∕2 spinű részecskéből lenne összeállítva. A szám félegész esetén páratlan, egész esetén páros. Az olyan „összetett” részecske, amely páros számú fermiont tartalmaz, bozon, amely pedig páratlan számú fermiont tartalmaz, fermion.^[79]

Ha a rendszer különböző fajtájú részecskékből áll, akkor mindegyik fajta részecskére be kell vezetni a keltő és eltüntető operátorokat. Ennek során a különböző bozonokhoz vagy pedig bozonhoz és fermionhoz tartozó operátorok felcserélhetők egymással. Ami a különböző fermionokhoz tartozó operátorokat illeti, a nemrelativisztikus elmélet keretei közt tekinthetjük őket kommutálóknak vagy antikommutálóknak (l. III. 65. §). A relativisztikus elméletben, amely megengedi a récszeskék kölcsönös átalakulását, a különböző fermionokhoz tartozó keltő és eltüntető operátorokat antikommutálóknak kell tekinteni, csakúgy, mint az ugyanazon fermion különböző állapotaihoz tartozó operátorokat.

Feladat

Írjuk fel a spinortér Lagrange-operátorát .

Megoldás. A Dirac-egyenlethez tartozó Lagrange-függvényt az

3.146. egyenlet - (1)

L = \frac{i}{2} (\bar{ψ} γ^{μ} \partial_{μ} ψ - \partial_{μ} \bar{ψ} \cdot γ^{μ} ψ) - m \bar{ψ} ψ

valós skalár kifejezés adja meg. A „általános koordinátákon”és komponenseit értve, könnyen meggyőződhetünk arról, hogy a megfelelő (10,10) Lagrange-egyenletek a -ra és -re vonatkozó Dirac-egyenletet adják. A Lagrange-függvény előjele (akárcsak a benne szereplő közös együttható) az adott esetben önkényesen megválasztható. Mivel lineárisan tartalmazza és deriváltjait, az S=∫Ld4x hatásnak úgysem lehet sem maximuma, sem minimuma. A δS=0 feltétel ebben az esetben nem az integrál szélsőértékét, hanem csak stacionáris pontját határozza meg.

A spinortér Lagrange-operátorát úgy kapjuk meg (25,1f)-ből, hogy benne -t a operátorral helyettesítjük. Erre a Lagrange-operátorra a (12,12) képletet alkalmazva, a (25,7) áramoperátort kapjuk.

^[77] Mindkét eltüntető operátor mellett álló függvény a nyugalmi rendszerben definiált spinvetületnek ugyanahhoz a értékéhez tartozik; a ψ̄–p–σ függvényekre ezt a 26. §-ban fogjuk megmutatni – l. (26,10).

^[78] A részecske spinje és a részecskére vonatkozó statisztika kapcsolatának az eredetét elsőnek Pauli tárta fel 1940-ben.

^[79] Ez a gondolatmenet feltételezi, hogy azonos spinű részecskék azonos statisztikának tesznek eleget (attól függetlenül, hogy hogyan vannak „összetéve”). Hogy ez tényleg így van, az hasonló érvelésből következik. Ha léteznének spinű fermionok, akkor egy spinű és egy 1∕2 spinű fermionból összeállíthatnánk egy 1∕2 spinű részecskét, amely bozonként viselkedne – ez pedig ellentmond az 1∕2 spinű részecskékre általánosan bebizonyított állításnak.