Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Az spinű részecskék terének (a spinortérnek) másodkvantálását ugyanúgy végezhetjük el, mint a 11. §-ban skalártér esetén.
Anélkül, hogy megismételnénk az ottani teljes gondolatmenetet, írjuk fel rögtön a téroperátorok (11,2)-nek megfelelő kifejtését:
ahol a impulzus minden értékére és
-re kell összegezni. Az antirészecskék
eltüntető operátorai (és a részecskék
eltüntető operátorai) olyan függvények együtthatóiként szerepelnek,
amelyek koordinátafüggésük szerint
adott
impulzusúállapotoknak felelnek meg.[77]
A spinortér Hamilton-operátorának kiszámításához nem szükséges meghatároznunk
a tér energia–impulzus-tenzorát (mint azt a skalártér esetében tettük), mivel ebben az
esetben létezik a részecske Hamilton-operátora , amelynek segítségével felírható a (21,12)
hullámegyenlet (a Dirac-egyenlet ). hullámfüggvénnyel rendelkező állapotban a részecske átlagos
energiáját az
integrál határozza meg. Felhívjuk az olvasó figyelmét arra, hogy
az„energiasűrűség” (az integrál alatti kifejezés) nem pozitív definit.
A (25,2) kifejezésben a és
függvényeket
-operátorokkal helyettesítve, és figyelembe véve a különböző
-hez és
-hoz tartozó hullámfüggvények ortogonalitását, valamint a
hullámamplitúdókra vonatkozó
összefüggést, a Hamilton-operátorra a következő kifejezést kapjuk:
Innen látszik, hogy az adott esetben a kvantálást a Fermi-statisztika szabálya szerint kell elvégezni:
és az ,
,
,
operátorok minden más párosításban antikommutálnak egymással (l. III.
65. §). Valóban, a (25,3) Hamilton-operátor ekkor
alakra hozható, és így az energia-sajátértékek (mint mindig, egy végtelen additív állandó levonása után):
tehát, amint azt el is várjuk, pozitív definitek. Ha a
Bose-statisztika szerint kvantáltunk volna,
akkor (25,3)-ból értelmetlen, nem pozitív definit
sajátértékeket kaptunk volna.
(25,5)-nek megfelelő kifejezést kapunk a rendszer
impulzusára – az operátor sajétértékeire:
és így a tér „töltésoperátorára” a következő kifejezést kapjuk:
Így ismét egy részecskéket és antirészecskéket leíró képhez jutottunk,
amelyre igazak a 11. § ide vonatkozóállításai.
A spinű részecskék bozonok, az
spinű részecskék viszont fermionok. Ha nyomon követjük ennek a
különbségnek a formális eredetét, azt találjuk, hogy ez a skalár- és spinorterek
„energiasűrűségét” leíró kifejezések különböző jellegéből származik. Az első esetben ez
a kifejezés pozitív definit, ezért a (11,3)
Hamilton-operátorban mindkét tag (
és
) pozitív előjellel szerepel. Hogy az energia-sajátértékek
pozitivitását biztosítsuk, a
-ről
-re való áttéréskor nem szabad előjelet változtatnunk, tehát ez a
Bose-féle felcserélési szabály szerint kell, hogy történjék. Spinortér
esetén az „energiasűrűség” nem pozitív definit, ezért a (25,3) Hamilton-operátorban a
tag negatív előjellel szerepel, tehát hogy pozitív sajátértékeket
kapjunk, a
cserével egyidejűleg az előjelet is meg kell változtatnunk, azaz a
Fermi-féle felcserélési szabályt kell alkalmaznunk. Másrészről viszont az energiasűrűség
alakja közvetlen kapcsolatban van a hullámfüggvény transzformációs tulajdonságaival és a
relativisztikus invariancia követelményével. Ilyen értelemben azt mondhatjuk, hogy a
spin és a statisztika kapcsolata, amelynek a részecskék eleget tesznek, szintén a fenti
követelmények egyenes következménye.
Abból a tényből, hogy az spinű részecskék fermionok, következik egy általános állítás: minden
félegész spinű részecske fermion, minden egész spinű részecske pedig bozon (az utóbbi
állítást
spinre a 11. §-ban bizonyítottuk
be).[78]
A fenti tétel nyilvánvalóvá válik, ha észrevesszük, hogy egy spinű részecskét elképzelhetünk úgy, mintha az
számú
spinű részecskéből lenne összeállítva. A
szám félegész
esetén páratlan, egész
esetén páros. Az olyan „összetett” részecske, amely páros számú
fermiont tartalmaz, bozon, amely pedig páratlan számú fermiont tartalmaz,
fermion.[79]
Ha a rendszer különböző fajtájú részecskékből áll, akkor mindegyik fajta részecskére be kell vezetni a keltő és eltüntető operátorokat. Ennek során a különböző bozonokhoz vagy pedig bozonhoz és fermionhoz tartozó operátorok felcserélhetők egymással. Ami a különböző fermionokhoz tartozó operátorokat illeti, a nemrelativisztikus elmélet keretei közt tekinthetjük őket kommutálóknak vagy antikommutálóknak (l. III. 65. §). A relativisztikus elméletben, amely megengedi a récszeskék kölcsönös átalakulását, a különböző fermionokhoz tartozó keltő és eltüntető operátorokat antikommutálóknak kell tekinteni, csakúgy, mint az ugyanazon fermion különböző állapotaihoz tartozó operátorokat.
Írjuk fel a spinortér Lagrange-operátorát .
Megoldás. A Dirac-egyenlethez tartozó Lagrange-függvényt az
valós skalár kifejezés adja meg. A
„általános koordinátákon”
és
komponenseit értve, könnyen meggyőződhetünk arról, hogy a
megfelelő (10,10) Lagrange-egyenletek a
-ra és
-re vonatkozó Dirac-egyenletet adják. A Lagrange-függvény előjele
(akárcsak a benne szereplő közös együttható) az adott esetben önkényesen
megválasztható. Mivel
lineárisan tartalmazza
és
deriváltjait, az
hatásnak úgysem lehet sem maximuma, sem minimuma. A
feltétel ebben az esetben nem az integrál szélsőértékét, hanem csak
stacionáris pontját határozza meg.
A spinortér Lagrange-operátorát úgy kapjuk meg (25,1f)-ből, hogy benne -t a
operátorral helyettesítjük. Erre a Lagrange-operátorra a (12,12) képletet alkalmazva, a (25,7) áramoperátort kapjuk.
[77] Mindkét eltüntető operátor mellett álló függvény a nyugalmi rendszerben
definiált spinvetületnek ugyanahhoz a értékéhez tartozik; a
függvényekre ezt a 26. §-ban
fogjuk megmutatni – l. (26,10).
[78] A részecske spinje és a részecskére vonatkozó statisztika kapcsolatának az eredetét elsőnek Pauli tárta fel 1940-ben.
[79] Ez a gondolatmenet feltételezi, hogy azonos spinű részecskék azonos
statisztikának tesznek eleget (attól függetlenül, hogy hogyan vannak „összetéve”).
Hogy ez tényleg így van, az hasonló érvelésből következik. Ha léteznének
spinű fermionok, akkor egy
spinű és egy
spinű fermionból összeállíthatnánk egy
spinű részecskét, amely bozonként viselkedne – ez pedig
ellentmond az
spinű részecskékre általánosan bebizonyított állításnak.