ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

29.§. A polarizációs sűrűségmátrix

Egy impulzusú részecske szabad mozgását leíró hullámfüggvény (síkhullám) koordinátafüggését az eipr szorzótényező tartalmazza, az amplitúdó a spin-hullámfüggvény szerepét játssza. Ilyen (tiszta) állapotban a részecske teljesen polarizált (l. 59. §). A nemrelativisztikus elméletben ez azt jelenti, hogy a részecske spinjének meghatározott iránya van a térben (pontosabban, létezik olyan irány, amelyre vonatkoztatva a spinvetület +1∕2 határozott értéket vesz fel). A relativisztikus elméletben, tetszőleges vonatkoztatási rendszerben nem lehet így jellemezni az állapotokat, mivel (mint azt a 23. §-ban már megjegyeztük) a spin vektora nem marad meg. Az állapot tisztasága csak annyit jelent, hogy a részecske nyugalmi rendszerében a spinnek határozott iránya van.

Részlegesen polarizált állapothoz nem tartozik meghatározott amplitúdó; csak a ϱik (i,k=1,2,3,4) bispinor indexek) polarizációs sűrűségmátrix . Úgy definiáljuk ezt a mátrixot, hogy tiszta állapotban a

3.193. egyenlet - (29,1)

ϱ_{i k} = u_{p i} ū_{p k}

szorzattá egyszerűsödjék. Ennek megfelelően a mátrixot a

3.194. egyenlet - (29,2)

Sp ϱ = 2 m

feltétellel normáljuk [l. (23,4)].

Tiszta állapotban a spin átlagértékét az

3.195. egyenlet - (29,3)

\bar{s} = \frac{1}{2} \int ψ^{*} Σ ψ d^{3} x = \frac{1}{4 𝜀} u_{p}^{*} Σ u_{p} = \frac{1}{4 𝜀} ū_{p} γ^{0} Σ u_{p}

kifejezés határozza meg. Részlegesen polarizált állapotban a megfelelő kifejezés:

3.196. egyenlet - (29,4)

\bar{s} = \frac{1}{4 𝜀} Sp (ϱ γ^{0} Σ) = \frac{1}{4 𝜀} Sp (ϱ γ^{5} γ) .

Az , amplitúdók a (p̂–m)up=0 és ūp(p̂–m)=0 algebrai egyenletrendszereknek tesznek eleget. Ezért a (29,1) mátrix kielégíti a

3.197. egyenlet - (29,5)

(\bar{p} - m) ϱ = ϱ (\hat{p} - m) = 0

egyenleteket. Ugyanezeket a lineáris egyenleteket kell kielégítenie a sűrűségmátrixnakáltalános esetben (spin szerint) kevert állapot esetén is (lásd a hasonló levezetést III. 14. §-ban).

Ha a szabad részecskét nyugalmi rendszerében tekintjük, akkor alkalmazhatjuk rá a nemrelativisztikus elméletet. Viszont ebben az elméletben egy részlegesen polarizált állapot teljesen meghatározható három paraméter, a spinvektor átlagértékének három komponense segítségével (l. III. 59. §). Így nyilvánvaló, hogy ugyanezek a paraméterek határozzák meg a részlegesen polarizált állapotot tetszőleges Lorentz-transzformáció elvégzése után, tehát mozgó részecske esetén is.

Jelöljük a nyugalmi rendszerbeli spinvektor kétszeresét -val (tiszta állapotban |ζ|=1 , kevertben |ζ|<1 ). A polarizációs állapot négydimenziós leírásához célszerű bevezetni az négyesvektort, amely a nyugalmi rendszerben egybeesik a háromdimenziós vektorral; mivel axiális vektor, így négyes pszeudovektor. Ez a négyesvektor a nyugalmi rendszerben merőleges a négyesimpulzusra [itt aμ=(0,ζ) , pμ=(m,0) ], így tetszőleges vonatkoztatási rendszerben

3.198. egyenlet - (29,6)

a^{μ} p_{μ} = 0 .

Ugyancsak tetszőleges rendszerben igaz, hogy

3.199. egyenlet - (29,7)

a_{μ} a^{μ} = - ζ^{2}

Az négyesvektor komponenseit egy olyan vonatkoztatási rendszerben, amelyben a részecske v=p∕ε sebességgel mozog, a nyugalmi rendszerből való Lorentz-transzformációval kaphatjuk meg:

3.200. egyenlet - (29,8)

a^{0} = \frac{| p |}{m} ζ_{∥}, a_{⊥} = ζ_{⊥}, a_{∥} = \frac{𝜀}{m} ζ_{∥},

ahol a és indexek a és vektoroknak a iránnyal párhuzamos és arra merőleges komponenseit jelölik.^[92] A fenti képleteket vektoralakban is felírhatjuk:

3.201. egyenlet - (29,9)

\begin{gathered} a = ζ + \frac{p (ζ p)}{m (𝜀 + m)}, a^{0} = \frac{a p}{𝜀} = \frac{p ζ}{m}, \\ a^{2} = ζ^{2} + \frac{{(p ζ)}^{2}}{m^{2}} . \end{gathered}

Tekintsünk kezdetben egy polarizálatlan állapotot ζ=0 . A sűrűségmátrix ekkor csak a négyesimpulzust tartalmazhatja paraméterként. Egy ilyen mátrix, ha a (29,5) egyenleteket is kielégíti, csak

3.202. egyenlet - (29,10)

ϱ = \frac{1}{2} (\hat{p} + m)

alakú lehet (I. E. Tamm , 1930, H. B. G. Casimir , 1933). Az együtthatót úgy választottuk meg, hogy a (29,2) normálási feltétel is teljesüljön.

Ha az állapot részlegesen polarizált ( ζ≠0 ), a sűrűségmátrixot

3.203. egyenlet - (29,11)

ϱ = \frac{1}{4 m} (\hat{p} + m) ϱ^{'} (\hat{p} + m)

alakban keressük, amely automatikusan kielégíti a (29,5) egyenleteket. esetén a mátrixnak az egységmátrixba kell átmennie; mivel (p̂+m)2=2m(p̂+m) , (29,11) ekkor megegyezik (29,10)-zel. Továbbá a mátrixnak lineárisan kell tartalmaznia az négyesvektort, azaz

3.204. egyenlet - (29,12)

ϱ^{'} = 1 - A γ^{5} â

alakúnak kell lennie (a második tagban az pszeudovektor és a γ5γ „mátrixértékű négyespszeudovektor”„skalárszorzata” szerepel). Az együttható meghatározásához írjuk fel a sűrűségmátrixot a nyugalmi rendszerben:

ϱ=(m/4)(1+γ0)(1+Aγ5γζ)(1+γ0)=(m/2)(1+γ0)(1+Aγ5γζ),

és számítsuk ki (29,4) alapján a spin átlagértékét. A 22. §-ban felsorolt szabályokat felhasználva, könnyen látható, hogy a mátrix keresett nyomában az egyetlen, zérustól különböző tag:

Ezt a kifejezést -val egyenlővé téve, azt kapjuk, hogy A=1 . A végleges alakját úgy kapjuk meg, hogy (29,12)-t (29,11)-be helyettesítjük, majd a és (p̂+m) tényezőket felcseréljük; és merőlegesek, így antikommutál -val:

és emiatt kommutál γ5â -pal.

Tehát a részlegesen polarizált elektron sűrűségmátrixa:

3.205. egyenlet - (29,13)

ϱ = \frac{1}{2} (\hat{p} + m) (1 - γ^{5} â)

(L. Michel , A. S. Wightman , 1955). Ha a sűrűségmátrix ismert, akkor az állapotot jellemző négyesvektort (és vele együtt a vektort) az

3.206. egyenlet - (29,14)

a^{μ} = \frac{1}{2 m} Sp (ϱ γ^{5} γ^{μ})

képlet segítségével határozhatjuk meg.

A pozitron sűrűségmátrixára vonatkozó képletek hasonlóak az elektronra levezetett képletekhez. Ha a pozitront (amelynek négyesimpulzusa ) up(poz) pozitronamplitúdóval írnánk le, és a ϱ(poz) mátrixot ennek megfelelően vezetnénk be, minden ugyanaz lenne, mint az elektron esetében, és a ϱ(poz) mátrixot a (29,13) képlet adná meg. A tényleges számításokban azonban, amikor pozitronok részvételével végbemenő szórási folyamatok hatáskeresztmetszeteit határozzuk meg, nem az up(poz) , hanem (mint azt a későbbiekben látni fogjuk) az u–p(poz) „negatív frekvenciás” amplitúdó jelenik meg. Az ennek megfelelő polarizációs sűrűségmátrixot (jelöljük ϱ(–) -szal) úgy kell meghatározni, hogy tiszta állapot esetén az u–piū–pk kifejezéssel egyezzék meg.

(26,1) szerint a pozitronamplitúdó up(poz)=UCū–p . Fordítva:

u–p=UCup(poz), ū–p=UC+up(poz)=up(poz)UC∗

[l. (28,3)]. Ha

ϱik(–)=u–piū–pk, ϱik(poz)=upi(poz)ūpk(poz),

a fenti képletek segítségével azt kapjuk, hogy

3.207. egyenlet - (29,15)

ϱ^{(-)} = U_{C} {\tilde{ϱ}}^{(p o z)} U_{C}^{*} .

ϱ(poz) helyébe a (29,13) kifejezést írva és [(26,3), (26,21) segítségével] egyszerűátalakításokat végezve, a következő eredmény adódik:

3.208. egyenlet - (29,16)

ϱ^{(-)} = \frac{1}{2} (\hat{p} - m) (1 - γ^{5} â) .

Speciális esetben, polarizálatlan állapotra

3.209. egyenlet - (29,17)

ϱ^{(-)} = \frac{1}{2} (\hat{p} - m) .

A továbbiakban, ha a pozitron sűrűségmátrixáról beszélünk, a ϱ(–) mátrixotértjük majd ezen, és a (–) indexet elhagyjuk a ( ϱ(poz) mátrixra gyakorlatilag nem lesz szükségünk).

A különböző számításokban gyakran kell spinállapotok szerint átlagolni ūFu(≡ūiFikuk) alakú kifejezéseket, ahol valamilyen ( 4×4 -es) mátrix, pedig egy adott négyesimpulzushoz tartozó bispinor amplitúdó. Az ilyen átlagolás ekvivalens azzal, hogy az ukūi szorzatot a részlegesen polarizált állapot ϱki sűrűségmátrixával helyettesítjük.

Speciális esetben, ha teljesen átlagolunk a két független spinállapotra, ez ekvivalens azzal, hogy polarizálatlan állapotot tekintünk; ekkor (29,10) szerint

3.210. egyenlet - (29,18)

\frac{1}{2} \sum_{p o l a r} ū_{p} F u_{p} = \frac{1}{2} Sp (\bar{p} + m) F .

A negatív frekvenciás hullámfüggvényekre ehhez hasonlóan

3.211. egyenlet - (29,19)

\frac{1}{2} \sum_{p o l a r} ū_{- p} F u_{- p} = \frac{1}{2} Sp (\hat{p} - m) F .

Ha nem átlagolnunk, hanem összegeznünk kell a spinállapotok szerint, akkor az eredmény a fentieknek kétszerese lesz.

Kövessük nyomon, hogy határesetben hogyan megy át a (29,13) sűrűségmátrix a megfelelő nemrelativisztikus kifejezésbe. Térjünk át ezért az elektron nyugalmi rendszerére. A hullámfüggvények standard reprezentációja esetén ebben a rendszerben az amplitúdók kétkomponensűekké válnak; velük együtt a sűrűségmátrixnak is egy 2×2 -es mátrixba kell átmennie. Valóban, a nyugalmi rendszerben

és a mátrixokra vonatkozó (21,20) és (22,18) kifejezésekkel azt kapjuk, hogy

3.212. egyenlet - (29,20)

ϱ = (\begin{matrix} ϱ_{n e m r e l} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}), ϱ_{n e m r e l} = m (1 + σ ζ)

(a nullák 2×2 -es nullamátrixokat jelölnek). Ha a nemrelativisztikus elméletben helyett – a szokásos módon – egységre normáljuk a sűrűségmátrixot ( Spϱnemrel=1 ), akkor a fenti kifejezést -mel osztani kell; tehát a nemrelativisztikus sűrűségmátrix

ami megegyezik a III. (59,4), (59,5) képletekkel.

Hasonlóképpen a pozitron sűrűségmátrixának nemrelativisztikus határesete:

Végül nézzük meg, hogyan egyszerűsödik a sűrűségmátrix ultrarelativisztikus esetben . Ha (29,8)-ban |p|≈ε -t írunk [ezzel elhanyagoljuk az (m∕ε)2 relatív nagyságrendű mennyiségeket], majd ezeket a kifejezéseket (29,13)-ba vagy (19,16)-ba helyettesítjük, és az -tengelyt irányában vesszük fel, azt kapjuk, hogy

ϱ=(1/2)[ε(γ0–γ1)±m][1–γ5((ε/m)(γ0–γ1)ζ∥+ζ⊥γ⊥)],

ahol a felső előjel az elektron, az alsó a pozitron esetére vonatkozik. A szorzat felbontása után a vezető tagok kiesnek, a következő nagyságrendű tagok pedig a

kifejezést eredményezik. Ha ε(γ0–γ1) helyett ismét -ot írunk, akkor

3.213. egyenlet - (29,21)

ϱ = \frac{1}{2} \hat{p} [1 - γ^{5} (\pm ζ_{∥} + ζ_{⊥} γ_{⊥})] .

Ez a sűrűségmátrix keresett kifejezése az ultrarelativisztikus esetben. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a képletben a polarizációs vektor mindhárom komponense azonos nagyságrendű. Itt a vektornak azt a komponensét jelenti, amely paralel (ha ζ∥>0 ) vagy antiparalel (ha ζ∥<0 ) a részecske impulzusával. Speciális esetben, ha a részecske helicitás-sajátállapotban van, ζ∥=2λ=±1 ; ekkor a sűrűségmátrix különösen egyszerű alakot kap:^[93]

3.214. egyenlet - (29,22)

ϱ = \frac{1}{2} \hat{p} (1 \pm 2 λ γ^{5}) .

^[92] A spinvektor átlagértékének (mint minden impulzusmomentum jellegű mennyiségnek) a komponensei, transzformációs tulajdonságaikat tekintve, a relativisztikus mechanikában egy antiszimmetrikus Sλμ tenzor térkomponenseiként írhatók fel. Az négyesvektor Sλμ=(1/2m)eλμνϱaνpϱ, aλ=–(2/m)eλμνϱSμνpϱ szerint fejezhető ki ezzel a tenzorral. Aláhúzzuk, hogy az négyesvektor térbeli része egy tetszőleges koordináta-rendszerben egyáltalán nem egyezik meg a 2s̄ vektorral. Könnyű belátni, hogy 2s̄∥=(1/m)(a∥ε–a0 |p|)=ζ∥, 2s̄⊥=(ε/m)a⊥=(ε/m)ζ⊥ .

^[93] Ez megegyezik, amint annak lennie kell, a neutrinó vagy az antineutrinó sűrűségmátrixával – ezek nulla tömegű és adott helicitású részecskék (lásd alább, 30. §).