Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Egy impulzusú részecske szabad mozgását leíró
hullámfüggvény (síkhullám) koordinátafüggését az
szorzótényező tartalmazza, az
amplitúdó a spin-hullámfüggvény szerepét játssza. Ilyen (tiszta)
állapotban a részecske teljesen polarizált (l. 59. §). A nemrelativisztikus elméletben ez azt jelenti, hogy a részecske
spinjének meghatározott iránya van a térben (pontosabban, létezik olyan irány, amelyre
vonatkoztatva a spinvetület
határozott értéket vesz fel). A relativisztikus elméletben,
tetszőleges vonatkoztatási rendszerben nem lehet így jellemezni az állapotokat, mivel
(mint azt a 23. §-ban már megjegyeztük) a spin
vektora nem marad meg. Az állapot tisztasága csak annyit jelent, hogy a részecske
nyugalmi rendszerében a spinnek határozott iránya van.
Részlegesen polarizált állapothoz nem tartozik meghatározott amplitúdó; csak a
bispinor indexek) polarizációs sűrűségmátrix . Úgy definiáljuk ezt a mátrixot, hogy tiszta
állapotban a
szorzattá egyszerűsödjék. Ennek megfelelően a mátrixot a
feltétellel normáljuk [l. (23,4)].
Tiszta állapotban a spin átlagértékét az
kifejezés határozza meg. Részlegesen polarizált állapotban a megfelelő
kifejezés:
Az ,
amplitúdók a
és
algebrai egyenletrendszereknek tesznek eleget. Ezért a (29,1) mátrix kielégíti a
egyenleteket. Ugyanezeket a lineáris egyenleteket kell kielégítenie a
sűrűségmátrixnakáltalános esetben (spin szerint) kevert állapot esetén is (lásd a
hasonló levezetést III. 14. §-ban).
Ha a szabad részecskét nyugalmi rendszerében tekintjük, akkor alkalmazhatjuk rá a
nemrelativisztikus elméletet. Viszont ebben az elméletben egy részlegesen polarizált
állapot teljesen meghatározható három paraméter, a spinvektor átlagértékének három komponense segítségével (l. III. 59. §). Így
nyilvánvaló, hogy ugyanezek a paraméterek határozzák meg a részlegesen polarizált
állapotot tetszőleges Lorentz-transzformáció
elvégzése után, tehát mozgó részecske esetén is.
Jelöljük a nyugalmi rendszerbeli spinvektor kétszeresét -val (tiszta állapotban
, kevertben
). A polarizációs állapot négydimenziós leírásához célszerű bevezetni
az
négyesvektort, amely a nyugalmi rendszerben egybeesik a háromdimenziós
vektorral; mivel
axiális vektor, így
négyes pszeudovektor. Ez a négyesvektor a nyugalmi rendszerben
merőleges a négyesimpulzusra [itt
,
], így tetszőleges vonatkoztatási rendszerben
Ugyancsak tetszőleges rendszerben igaz, hogy
Az négyesvektor komponenseit egy olyan vonatkoztatási rendszerben,
amelyben a részecske
sebességgel mozog, a nyugalmi rendszerből való
Lorentz-transzformációval kaphatjuk meg:
ahol a és
indexek a
és
vektoroknak a
iránnyal párhuzamos és arra merőleges komponenseit jelölik.[92] A fenti képleteket vektoralakban is felírhatjuk:
Tekintsünk kezdetben egy polarizálatlan állapotot . A sűrűségmátrix ekkor csak a
négyesimpulzust tartalmazhatja paraméterként. Egy ilyen mátrix, ha
a (29,5) egyenleteket is kielégíti, csak
alakú lehet (I. E. Tamm , 1930, H. B. G. Casimir , 1933). Az együtthatót úgy választottuk meg, hogy
a (29,2) normálási feltétel is teljesüljön.
Ha az állapot részlegesen polarizált (), a sűrűségmátrixot
alakban keressük, amely automatikusan kielégíti a (29,5) egyenleteket. esetén a
mátrixnak az egységmátrixba kell átmennie; mivel
, (29,11) ekkor megegyezik (29,10)-zel. Továbbá a
mátrixnak lineárisan kell tartalmaznia az
négyesvektort, azaz
alakúnak kell lennie (a második tagban az pszeudovektor és a
„mátrixértékű négyespszeudovektor”„skalárszorzata” szerepel). Az
együttható meghatározásához írjuk fel a sűrűségmátrixot a nyugalmi
rendszerben:
és számítsuk ki (29,4) alapján a spin átlagértékét. A 22. §-ban felsorolt szabályokat felhasználva, könnyen látható, hogy a mátrix keresett nyomában az egyetlen, zérustól különböző tag:
Ezt a kifejezést -val egyenlővé téve, azt kapjuk, hogy
. A
végleges alakját úgy kapjuk meg, hogy (29,12)-t (29,11)-be helyettesítjük, majd
a
és
tényezőket felcseréljük;
és
merőlegesek, így
antikommutál
-val:
és emiatt kommutál
-pal.
Tehát a részlegesen polarizált elektron sűrűségmátrixa:
(L. Michel , A. S. Wightman , 1955). Ha a sűrűségmátrix ismert, akkor az állapotot jellemző
négyesvektort (és vele együtt a
vektort) az
képlet segítségével határozhatjuk meg.
A pozitron sűrűségmátrixára vonatkozó képletek hasonlóak az elektronra
levezetett képletekhez. Ha a pozitront (amelynek négyesimpulzusa )
pozitronamplitúdóval írnánk le, és a
mátrixot ennek megfelelően vezetnénk be, minden ugyanaz lenne, mint az
elektron esetében, és a
mátrixot a (29,13) képlet adná meg.
A tényleges számításokban azonban, amikor pozitronok részvételével végbemenő szórási
folyamatok hatáskeresztmetszeteit határozzuk meg, nem az
, hanem (mint azt a későbbiekben látni fogjuk) az
„negatív frekvenciás” amplitúdó jelenik meg. Az ennek megfelelő polarizációs
sűrűségmátrixot (jelöljük
-szal) úgy kell meghatározni, hogy tiszta állapot esetén az
kifejezéssel egyezzék meg.
(26,1) szerint a pozitronamplitúdó . Fordítva:
[l. (28,3)]. Ha
a fenti képletek segítségével azt kapjuk, hogy
helyébe a (29,13) kifejezést írva
és [(26,3), (26,21)
segítségével] egyszerűátalakításokat végezve, a következő eredmény adódik:
Speciális esetben, polarizálatlan állapotra
A továbbiakban, ha a pozitron sűrűségmátrixáról beszélünk, a mátrixotértjük majd ezen, és a
indexet elhagyjuk a (
mátrixra gyakorlatilag nem lesz szükségünk).
A különböző számításokban gyakran kell spinállapotok szerint átlagolni
alakú kifejezéseket, ahol
valamilyen (
-es) mátrix,
pedig egy adott
négyesimpulzushoz tartozó bispinor amplitúdó. Az ilyen átlagolás
ekvivalens azzal, hogy az
szorzatot a részlegesen polarizált állapot
sűrűségmátrixával helyettesítjük.
Speciális esetben, ha teljesen átlagolunk a két független spinállapotra, ez ekvivalens azzal, hogy polarizálatlan állapotot tekintünk; ekkor (29,10) szerint
A negatív frekvenciás hullámfüggvényekre ehhez hasonlóan
Ha nem átlagolnunk, hanem összegeznünk kell a spinállapotok szerint, akkor
az eredmény a fentieknek kétszerese lesz.
Kövessük nyomon, hogy határesetben hogyan megy át a (29,13) sűrűségmátrix a megfelelő nemrelativisztikus kifejezésbe. Térjünk át
ezért az elektron nyugalmi rendszerére. A hullámfüggvények standard
reprezentációja esetén ebben a
rendszerben az amplitúdók kétkomponensűekké válnak; velük együtt a
sűrűségmátrixnak is egy
-es mátrixba kell átmennie. Valóban, a nyugalmi rendszerben
és a mátrixokra vonatkozó (21,20) és
(22,18) kifejezésekkel azt kapjuk, hogy
(a nullák -es nullamátrixokat jelölnek). Ha a nemrelativisztikus
elméletben
helyett – a szokásos módon – egységre normáljuk a sűrűségmátrixot
(
), akkor a fenti kifejezést
-mel osztani kell; tehát a nemrelativisztikus sűrűségmátrix
ami megegyezik a III. (59,4), (59,5) képletekkel.
Hasonlóképpen a pozitron sűrűségmátrixának nemrelativisztikus határesete:
Végül nézzük meg, hogyan egyszerűsödik a sűrűségmátrix ultrarelativisztikus
esetben . Ha (29,8)-ban -t írunk [ezzel elhanyagoljuk az
relatív nagyságrendű mennyiségeket], majd ezeket a kifejezéseket (29,13)-ba vagy (19,16)-ba helyettesítjük, és az
-tengelyt
irányában vesszük fel, azt kapjuk, hogy
ahol a felső előjel az elektron, az alsó a pozitron esetére vonatkozik. A szorzat felbontása után a vezető tagok kiesnek, a következő nagyságrendű tagok pedig a
kifejezést eredményezik. Ha helyett ismét
-ot írunk, akkor
Ez a sűrűségmátrix keresett kifejezése az ultrarelativisztikus esetben. Felhívjuk a
figyelmet arra, hogy a képletben a polarizációs vektor mindhárom komponense azonos nagyságrendű. Itt
a vektornak azt a komponensét jelenti, amely paralel (ha
) vagy antiparalel (ha
) a részecske impulzusával. Speciális esetben, ha a részecske
helicitás-sajátállapotban van,
; ekkor a sűrűségmátrix különösen egyszerű alakot kap:[93]
[92] A spinvektor átlagértékének (mint minden impulzusmomentum jellegű
mennyiségnek) a komponensei, transzformációs tulajdonságaikat tekintve, a
relativisztikus mechanikában egy antiszimmetrikus
tenzor térkomponenseiként írhatók fel. Az
négyesvektor
szerint fejezhető ki ezzel a tenzorral. Aláhúzzuk, hogy az
négyesvektor
térbeli része egy tetszőleges koordináta-rendszerben egyáltalán
nem egyezik meg a
vektorral. Könnyű belátni, hogy
.