Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Egy spinű részecskét nyugalmi rendszerében egy háromdimenziós, harmadrendű
szimmetrikus spinor (amelynek
független komponense van) ír le. Ennek megfelelően, tetszőleges
vonatkoztatási rendszerben a részecske leírásában a
,
és a
,
négyesspinorok szerepelhetnek, amelyek szimmetrikusak az egyforma
(pontozott vagy pontozatlan) indexeikben; tükrözéskor az első és a második párban levő
spinorok egymásba mennek át.
Ahhoz, hogy a nyugalmi rendszerben a és
négyesspinorok mindhárom indexükben szimmetrikus hármasspinorokba
menjenek át, eleget kell tenniük a
feltételeknek. Valóban, a nyugalmi rendszerben
[amint ez (20,1)-ből látható]. Ezért a (31,1) feltételek a
egyenlőségekhez vezetnek, ahol a vesszős mennyiségek a megfelelő
háromdimenziós spinorokat jelentik; más szóval, ezek a spinorok az indexeket összeejtve nullát adnak, ez pedig azt jelenti, hogy
szimmetrikusak ezekben az indexeikben, tehát mindhárom indexükben is.
A és
spinorok között differenciális kapcsolatot létesítenek a következő
összefüggések:
A fenti egyenletek bal oldalainak szimmetrikus voltát (a ,
vagy az
,
indexekben) a (31,1) feltételek
biztosítják – ezeket az indexeket összeejtve, nullát kapunk. A (31,2) egyenletek miatt a nyugalmi rendszerben a
és
háromdimenziós spinorok, amint az várható is, egybeesnek. A (31,2) egyenletekből
-t vagy
-t kiküszöbölve, azt találjuk, hogy a
és
spinorok mindegyik komponense kielégíti a
másodrendű egyenletet.
A (31,1), (31,2)
egyenletek egy spinű részecske hullámegyenleteinek teljes rendszerét
alkotják.[95] A
és
spinorok hozzávétele semmi újat nem hozna. Ezek a következőképpen
adhatók meg:
A spinű részecskékre vonatkozó egyenleteket olyan alakban is
megfogalmazhatjuk, amely a spinorok vektortulajdonságait használja fel (W.
Rarita , J. Schwinger , 1941; A. Sz. Davidov , I. E. Tamm , 1942).Az
spinorindexeknek egy négydimenziós vektorindex feleltethető meg. Így a
harmadrendű spinor helyettesíthető a
„kevert” mennyiséggel, amelynek egy vektor- és egy spinorindexe van.
Az
spinornak is megfeleltetünk egy
mennyiséget, a két spinor együttesének pedig a
„vektor”-bispinort (a bispinorindexet nem írjuk ki). A hullámegyenlet
ekkor az egyes vektorkomponensekre felírt „Dirac-egyenlet” lesz:
és teljesülnie kell még a következő kiegészítő feltételnek is:
A mátrixok spinorreprezentációban felírt kifejezését, valamint a
spinorok és vektorok komponensei közti kapcsolatot leíró (18,6), (18,7) képleteket felhasználva,
könnyen meggyőződhetünk arról, hogy (31,4) tartalmazza
a (31,2) egyenleteket, és a (31,5) feltétel ekvivalens azzal a követelménnyel, hogy a
és
spinorok szimmetrikusak legyenek a
, ill. a
indexekben. A (31,4) egyenletet
-vel szorozva,(31,5) miatt azt
kapjuk, hogy
vagy a mátrixok felcserélési szabályát felhasználva,
A második tag (31,5) miatt zérus, tehát az
elsőből
Könnyen látható, hogy ez a feltétel, amely automatikusan következik (31,4)-bőlés (31,5)-ből, ekvivalens a (31,1)
feltételekkel.
Végül, a hullámegyenletet úgy is meg lehet fogalmazni, hogy bevezetjük a három
bispinorindexszel rendelkező, mindhárom indexében szimmetrikus mennyiséget (V. Bargmann , E. P. Wigner , 1948). A
komponensek összessége ekvivalens a
,
,
,
spinorok komponenseinek összességével. A hullámegyenlet
„Dirac-egyenletek” rendszereként írható fel:
Könnyű belátni, hogy ezek az egyenletek már a szükséges számú (négy
független) komponenst eredményezik, így nem kell kiegészítő feltételeket kiróni.
Valóban, a nyugalmi rendszerben (31,8) a
egyenlőségekre vezet, amelyek következtében (standard
reprezentációban) az összes komponens eltűnik, azaz
háromdimenziós harmadrendű spinorba megy át.
A fentebb tárgyalt eredmények nyilvánvaló módon általánosíthatók tetszőleges félegész
spinű részecskére. A (31,4) és (31,5) képlethez hasonló leírásban a hullámfüggvény
rendű szimmetrikus négyestenzor lesz, egy bispinorindexszel. A (31,8) alakú egyenletek használata esetén a
hullámfüggvénynek
bispinorindexe van, és ezekben szimmetrikus.
[95] A fenti egyenletek Lagrange-függvényes megfogalmazásáról lásd Fierz és Pauli II. fejezet, 19. lábjegyzetben idézett cikkét.