Egy spinű részecskét nyugalmi rendszerében egy háromdimenziós, harmadrendű szimmetrikus spinor (amelynek független komponense van) ír le. Ennek megfelelően, tetszőleges vonatkoztatási rendszerben a részecske leírásában a , és a , négyesspinorok szerepelhetnek, amelyek szimmetrikusak az egyforma (pontozott vagy pontozatlan) indexeikben; tükrözéskor az első és a második párban levő spinorok egymásba mennek át.

Ahhoz, hogy a nyugalmi rendszerben a és négyesspinorok mindhárom indexükben szimmetrikus hármasspinorokba menjenek át, eleget kell tenniük a

feltételeknek. Valóban, a nyugalmi rendszerben

[amint ez (20,1)-ből látható]. Ezért a (31,1) feltételek a

egyenlőségekhez vezetnek, ahol a vesszős mennyiségek a megfelelő háromdimenziós spinorokat jelentik; más szóval, ezek a spinorok az indexeket összeejtve nullát adnak, ez pedig azt jelenti, hogy szimmetrikusak ezekben az indexeikben, tehát mindhárom indexükben is.

A és spinorok között differenciális kapcsolatot létesítenek a következő összefüggések:

A fenti egyenletek bal oldalainak szimmetrikus voltát (a , vagy az , indexekben) a (31,1) feltételek biztosítják – ezeket az indexeket összeejtve, nullát kapunk. A (31,2) egyenletek miatt a nyugalmi rendszerben a és háromdimenziós spinorok, amint az várható is, egybeesnek. A (31,2) egyenletekből -t vagy -t kiküszöbölve, azt találjuk, hogy a és spinorok mindegyik komponense kielégíti a

másodrendű egyenletet.

A (31,1), (31,2) egyenletek egy spinű részecske hullámegyenleteinek teljes rendszerét alkotják.^[95] A és spinorok hozzávétele semmi újat nem hozna. Ezek a következőképpen adhatók meg:

A spinű részecskékre vonatkozó egyenleteket olyan alakban is megfogalmazhatjuk, amely a spinorok vektortulajdonságait használja fel (W. Rarita , J. Schwinger , 1941; A. Sz. Davidov , I. E. Tamm , 1942).Az spinorindexeknek egy négydimenziós vektorindex feleltethető meg. Így a harmadrendű spinor helyettesíthető a „kevert” mennyiséggel, amelynek egy vektor- és egy spinorindexe van. Az spinornak is megfeleltetünk egy mennyiséget, a két spinor együttesének pedig a „vektor”-bispinort (a bispinorindexet nem írjuk ki). A hullámegyenlet ekkor az egyes vektorkomponensekre felírt „Dirac-egyenlet” lesz:

és teljesülnie kell még a következő kiegészítő feltételnek is:

A mátrixok spinorreprezentációban felírt kifejezését, valamint a spinorok és vektorok komponensei közti kapcsolatot leíró (18,6), (18,7) képleteket felhasználva, könnyen meggyőződhetünk arról, hogy (31,4) tartalmazza a (31,2) egyenleteket, és a (31,5) feltétel ekvivalens azzal a követelménnyel, hogy a és spinorok szimmetrikusak legyenek a , ill. a indexekben. A (31,4) egyenletet -vel szorozva,(31,5) miatt azt kapjuk, hogy

vagy a mátrixok felcserélési szabályát felhasználva,

A második tag (31,5) miatt zérus, tehát az elsőből

Könnyen látható, hogy ez a feltétel, amely automatikusan következik (31,4)-bőlés (31,5)-ből, ekvivalens a (31,1) feltételekkel.

Végül, a hullámegyenletet úgy is meg lehet fogalmazni, hogy bevezetjük a három bispinorindexszel rendelkező, mindhárom indexében szimmetrikus mennyiséget (V. Bargmann , E. P. Wigner , 1948). A komponensek összessége ekvivalens a , , , spinorok komponenseinek összességével. A hullámegyenlet „Dirac-egyenletek” rendszereként írható fel:

Könnyű belátni, hogy ezek az egyenletek már a szükséges számú (négy független) komponenst eredményezik, így nem kell kiegészítő feltételeket kiróni. Valóban, a nyugalmi rendszerben (31,8) a

egyenlőségekre vezet, amelyek következtében (standard reprezentációban) az összes komponens eltűnik, azaz háromdimenziós harmadrendű spinorba megy át.

A fentebb tárgyalt eredmények nyilvánvaló módon általánosíthatók tetszőleges félegész spinű részecskére. A (31,4) és (31,5) képlethez hasonló leírásban a hullámfüggvény rendű szimmetrikus négyestenzor lesz, egy bispinorindexszel. A (31,8) alakú egyenletek használata esetén a hullámfüggvénynek bispinorindexe van, és ezekben szimmetrikus.