Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Tartalom
A szabad részek hullámegyenletei lényegében csak azokat a tulajdonságokat fejezik ki, amelyek a téridőbeli szimmetria általános követelményeivel kapcsolatosak. Az ugyanezen részecskékkel lezajló fizikai folyamatok a kölcsönhatás tulajdonságaitól függenek.
A relativisztikus elméletben az erősen kölcsönható részecskéknek a hullámegyenlet valamely egyszerű általánosításán alapuló leírása nem lehetséges, mivel ez a leírás túllépi a szabad részecskék egyenleteiben tükröződő ismeretek korlátait.
A hullámegyenletek módszerét azonban alkalmazhatjuk a nem erősen kölcsönható részecskék elektromágneses kölcsönhatásainak leírására. Ide tartoznak az elektronok (pozitronok), és így az elmélet leírhatja az elektron kvantumelektrodinamikájának óriási területeit. Az erős kölcsönhatásban nem tudnak részt venni a müonok sem, melyek instabil részecskék; ezek viselkedését az élettartamukhoz (melyet a gyenge kölcsönhatás határoz meg) képest rövid időtartamok során végbemenő kölcsönhatások esetén szintén a kvantumelektrodinamikával írhatjuk le.
E fejezetben a kvantumelektrodinamika azon feladatkörét vizsgáljuk meg, melyet egyetlen részecske elektromágneses kölcsönhatásai alkotnak. Ezek olyan feladatok, melyek során a részecskeszám változatlan marad, a kölcsönhatást pedig a külső elektromágneses tér fogalma segítségével vezethetjük be. A külső terek adottságát megengedő feltételek mellett, az elmélet alkalmazhatóságának határait az ún. sugárzási korrekciók is megszabják (ezeket a könyv második részében fogjuk vizsgálni).
Az adott külső térben mozgó elektron
hullámegyenleteit ugyanúgy kaphatjuk, mint a nemrelativisztikus elméletben (III. 111.
§). Legyen a külső tér négyespotenciálja (
a vektor-,
a skalárpotenciál). A keresett egyenletet úgy kapjuk, hogy a
négyesimpulzus
operátorát a Dirac-egyenletben a
különbséggel helyettesítjük, ahol
a részecske töltése:[96]
Az egyenlethez tartozó Hamilton-függvényt úgy kapjuk, hogy a (21,13) egyenletben azonos cserét végzünk:
A Dirac-egyenletnek az elektromágneses tér
potenciáljainak mértéktranszformációi során mutatott invarianciája abban jut
kifejezésre, hogy alakja az helyettesítéskor (
tetszőleges skalárfüggvény) változatlan marad, ha a hullámfüggvényt
egyidejűleg a
transzformációnak vetjük alá (lásd a Schrödinger-egyenlet analóg transzformációját a III. 111.9-ben).
Az áramsűrűséget a hullámfüggvények segítségével ugyanaz a
(21,11) kifejezés adja meg, mint a külső tér nélküli esetben. Ui. a (21,11) levezetése során alkalmazott lépéseket a (32,1) egyenlettel [és az alábbi (32,4)-gyel] elvégezve, a külső tér kiesik, és a kontinuitási egyenletet az előző alakú áramra vezethetjük le.
Végezzük el a töltéskonjugáció műveletét a (32,1) egyenleten. Komplex konjugálással a
egyenlet adódik csakúgy, mint ahogy annak idején(21,9) (vegyük figyelembe, hogy valós négyesvektor). Ezt az egyenletet átírhatjuk a
alakba, majd balról megszorozva az mátrixszal, és felhasználva a (26,3)
egyenletet, azt kapjuk, hogy
Így a töltéskonjugált hullámfüggvény az eredetitől csak a töltés előjelében
különböző egyenletet elégít ki. Másrészt a töltéskonjugáció művelete viszát a
részecskeállapotból az antirészecskébe. Látjuk, ha a részecskéknek van elektromos
töltése, akkor az elektron és a pozitron töltéseinek nagysága automatikusan
ellentétes.
A (32,1) elsőrendű egyenlet másodrendűvé alakítható, ha rá a
operátort alkalmazzuk:
A szorzatot helyettesítjük:
ahol a (28,2) antiszimmetrikus
„mátrix-négyestenzor”.
-vel szorozva elvégezhetjük az antiszimmetrizálást , azaz
-t az
kifejezéssel helyettesíthetjük ( az elektromágneses tér tenzora ). Végeredményben a következő másodrendű egyenletet kapjuk:
Az szorzatot háromdimenziós jelölésben is írhatjuk, azt a
mennyiségekkel kifejezve. Ekkor
avagy a szokásos egységekben írva:
Az és
tereket tartalmazó tagok megjelenése a részecske spinjével
kapcsolatos, ennek vizsgálatára a következő szakaszban térünk ki.
A másodrendű egyenlet megoldásai között természetesen „feleslegesek” is találhatók,
amelyek a kiindulási egyenletet nem teljesítik (ezek az előtti előjel megváltoztatásával adódó
Dirac-egyenletet elégítik ki). A kellő
megoldások kiválasztása a konkrét esetekben általában nyilvánvaló, és nem okoz gondot. A
kiválasztás következetes módszere abban áll, hogy ha
a másodrendű egyenlet tetszőleges megoldása, akkor az elsőrendű
egyenlet helyes megoldását
adja. Valóban ezt az egyenlőséget balról a kifejezéssel szorozva, látjuk, hogy a jobb oldal nulla lesz, ha
kielégíti a (32,6) egyenletet.
Hangsúlyozzuk, hogy a külső térnek a relativisztikus egyenletbe cserével való bevezetése nem magától értetődő. A bevezetés során mi
valójában arra a kiegészítő elvre támaszkodtunk, amely szerint a fenti csere az
elsőrendű egyenletben hajtandó végre; éppen ennek következtében (32,6)-ban kiegészítő tagok jelentek meg, amelyek nem
lépnek fel, ha a helyettesítést közvetlenül a másodrendű egyenletben végeztük volna
el.[97]
A Dirac-egyenlet külső térbeli stacionárius megoldásai
között a folytonos és a diszkrét spektrumba tartozó
állapotok egyaránt megtalálhatók. Csakúgy, mint a nemrelativisztikus esetben, a
folytonos spektrumbeli megoldások végtelenbe nyúló mozgásnak felelnek meg, amelynek
során a részecske a végtelenben is tartózkodhat, ahol azt szabadnak is tekinthetjük.
Minthogy a szabad részecske Hamilton-operátorának sajátértékei-tel egyenlőek, így világos, hogy a folytonos spektrum az
vagy
intervallumban található. Ha
, akkor a részecske nem tartózkodhat végtelenben, azaz a mozgás véges,
és az állapot diszkrét spektrumhoz tartozik.
Csakúgy, mint szabad részekre, a „pozitív frekvenciás” () és a „negatív frekvenciás” (
) megoldások meghatározott
módon jelennek meg a másodkvantálás sémájában. A külső térbeli részecskére ez a séma
természetes módon általánosítható a (25,1)-beli
síkhullámoknak a Dirac-egyenlet normált sajátfüggvényeivel (
) való helyettesítésével, melyek a pozitív, ill. a negatív
frekvenciákhoz tartoznak:
Ez a kvantálási előírás azonban nehézségekhez vezethet. Ugyanis a potenciálgödör
mélységének növekedésével az energiaszintek átléphetik a határt, azaz a pozitívból negatívvá (vagy ellenkező előjelű potenciál
esetén negatívból pozitívvá) válhatnak. Folytonossági meggondolások alapján azonban
továbbra is elektronnak és nem pozitronnak kell e nívókat tekintenünk. Ezért,
szigorúbban véve, az összes állapotot amelyek a tér végtelen lassú bekapcsolása során
ráhúzódnak a folytonos spektrum pozitív határára (
), az elektron állapothoz kellene viszonyítani. Ekkor azonban az
elektron energiája negatív is lehet, így a vákuum nem lesz a legalacsonyabb energiájú
állapot, ez pedig a tér feltett jellege alapján elektron–pozitron pár
keletkezésére vezethet.[98] A potenciálgödör további mélyítése során az elektronnívó a folytonos
spektrum negatív határát is elérheti. Ekkor a párkeltéshez szükséges küszöbenergia
(amelynek értéke
) éppen nulla lesz, azaz megindul a spontán párképződés – amely semmiképpen sem az egyrészecskés elmélet
keretei közt tárgyalható folyamat.
Mindez azt mutatja, hogy a relativisztikus elméletben a külső tér fogalmának alkalmazhatósága korlátozott. Például tilos túl mély potenciálgödröket vizsgálni. Ezt a kérdést a sokrészecskés elméletben eddig még nem vizsgálták.
Határozzuk meg az elektron energiaszintjeit állandó homogén mágneses térben .
Megoldás. A vektorpotenciál választása: ,
(a
tér párhuzamos a
tengellyel). Az energia mellett az általános impulzus
és
komponensei maradnak meg. Használjuk a segédfüggvényre vonatkozó
másodrendű egyenletet [l. (32,8)], és tegyük fel,
hogy
a
operátor sajátfüggvénye (a
sajátértékekkel), valamint a
és
operátoroké is. Ekkor a
-re vonatkozó egyenlet a következő alakú lesz:
Ez az egyenlet formailag megegyezik a lineáris oszcillátorra vonatkozó Schrödinger-egyenlettel. Sajátértékeit így a következő képlet adja:
(l. III. 112. §). Megjegyezzük, hogy a hullámfüggvény, amelyet
-ből a (32,8) egyenlettel lehet
meghatározni, nem sajátfüggvénye
-nek, annak megfelelően, hogy mozgó részekre a spin nem megmaradó
mennyiség.
[96] A töltéshez előjelét is hozzáértjük, így az elektronra: .
[97] Ezzel az elvvel összhangban kellene bevezetni az egyéb spinű részek
hullámegyenleteibe is a kölcsönhatást, mialatt az egyenletek alakjának azonosnak
kell lennie azzal, ahogy a variációs elvből adódnak, a mellékfeltételek
alkalmazása előtt. Így spin esetén a
cserét a (14,1), (14,2) egyenletekben kell elvégezni. Megjegyezzük,
hogy ez a helyettesítés (az
spin esetére) a (14,4)
másodrendű egyenletben és a (14,3)
mellékfeltételben általában ellentmondásos egyenletrendszerre vezetne
[
spin esetén az ellentmondás már a (31,2) egyenletriek a (31,1)
mellékfeltétellel való egyidejű felhasználása esetén fellépne]. Nulla
spin esetében a
helyettesítés a (10,4)
elsőrendű egyenletekben egyenértékű a (10,5)
másodrendű egyenletekben elvégzett helyettesítéssel. E kérdések
elemzésére nem térünk ki részletesebben, minthogy nincs közvetlen fizikai
jelentésük. Ugyanis az
-től különböző spinű valós részecskék elektromágneses
kölcsönhatása nem tárgyalható hullámegyenletekkel.
[98] Például ez történik két igen mély, ellenkező előjelű potenciálgödör jelenléte esetén.