ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

A szabad részek hullámegyenletei lényegében csak azokat a tulajdonságokat fejezik ki, amelyek a téridőbeli szimmetria általános követelményeivel kapcsolatosak. Az ugyanezen részecskékkel lezajló fizikai folyamatok a kölcsönhatás tulajdonságaitól függenek.

A relativisztikus elméletben az erősen kölcsönható részecskéknek a hullámegyenlet valamely egyszerű általánosításán alapuló leírása nem lehetséges, mivel ez a leírás túllépi a szabad részecskék egyenleteiben tükröződő ismeretek korlátait.

A hullámegyenletek módszerét azonban alkalmazhatjuk a nem erősen kölcsönható részecskék elektromágneses kölcsönhatásainak leírására. Ide tartoznak az elektronok (pozitronok), és így az elmélet leírhatja az elektron kvantumelektrodinamikájának óriási területeit. Az erős kölcsönhatásban nem tudnak részt venni a müonok sem, melyek instabil részecskék; ezek viselkedését az élettartamukhoz (melyet a gyenge kölcsönhatás határoz meg) képest rövid időtartamok során végbemenő kölcsönhatások esetén szintén a kvantumelektrodinamikával írhatjuk le.

E fejezetben a kvantumelektrodinamika azon feladatkörét vizsgáljuk meg, melyet egyetlen részecske elektromágneses kölcsönhatásai alkotnak. Ezek olyan feladatok, melyek során a részecskeszám változatlan marad, a kölcsönhatást pedig a külső elektromágneses tér fogalma segítségével vezethetjük be. A külső terek adottságát megengedő feltételek mellett, az elmélet alkalmazhatóságának határait az ún. sugárzási korrekciók is megszabják (ezeket a könyv második részében fogjuk vizsgálni).

Az adott külső térben mozgó elektron hullámegyenleteit ugyanúgy kaphatjuk, mint a nemrelativisztikus elméletben (III. 111. §). Legyen Aμ=(Φ,A) a külső tér négyespotenciálja ( a vektor-, a skalárpotenciál). A keresett egyenletet úgy kapjuk, hogy a négyesimpulzus operátorát a Dirac-egyenletben a p–eA különbséggel helyettesítjük, ahol a részecske töltése:^[96]

4.1. egyenlet - (32,1)

[γ (p - e A) - m] ψ = 0 .

Az egyenlethez tartozó Hamilton-függvényt úgy kapjuk, hogy a (21,13) egyenletben azonos cserét végzünk:

4.2. egyenlet - (32,2)

H = α (p - e A) + β m + e Φ .

A Dirac-egyenletnek az elektromágneses tér potenciáljainak mértéktranszformációi során mutatott invarianciája abban jut kifejezésre, hogy alakja az A→A+ipχ helyettesítéskor ( tetszőleges skalárfüggvény) változatlan marad, ha a hullámfüggvényt egyidejűleg a

4.3. egyenlet - (32,3)

ψ \to ψ e^{i e χ}

transzformációnak vetjük alá (lásd a Schrödinger-egyenlet analóg transzformációját a III. 111.9-ben).

Az áramsűrűséget a hullámfüggvények segítségével ugyanaz a

(21,11) kifejezés adja meg, mint a külső tér nélküli esetben. Ui. a (21,11) levezetése során alkalmazott lépéseket a (32,1) egyenlettel [és az alábbi (32,4)-gyel] elvégezve, a külső tér kiesik, és a kontinuitási egyenletet az előző alakú áramra vezethetjük le.

Végezzük el a töltéskonjugáció műveletét a (32,1) egyenleten. Komplex konjugálással a

4.4. egyenlet - (32,4)

\bar{ψ} [γ (p + e A) + m] = 0

egyenlet adódik csakúgy, mint ahogy annak idején(21,9) (vegyük figyelembe, hogy valós négyesvektor). Ezt az egyenletet átírhatjuk a

alakba, majd balról megszorozva az mátrixszal, és felhasználva a (26,3) egyenletet, azt kapjuk, hogy

4.5. egyenlet - (32,5)

[γ (p + e A) - m] (C ψ) = 0 .

Így a töltéskonjugált hullámfüggvény az eredetitől csak a töltés előjelében különböző egyenletet elégít ki. Másrészt a töltéskonjugáció művelete viszát a részecskeállapotból az antirészecskébe. Látjuk, ha a részecskéknek van elektromos töltése, akkor az elektron és a pozitron töltéseinek nagysága automatikusan ellentétes.

A (32,1) elsőrendű egyenlet másodrendűvé alakítható, ha rá a γ(p–eA)+m operátort alkalmazzuk:

A γμγν szorzatot helyettesítjük:

γμγν=(1/2)(γμγν+γνγμ)+(1/2)(γμγν–γνγμ)=gμν+σμν,

ahol σμν a (28,2) antiszimmetrikus „mátrix-négyestenzor”. σμν -vel szorozva elvégezhetjük az antiszimmetrizálást , azaz (pμ–eAμ)(pν–eAν) -t az

(1/2){(pμ–eAμ)(pμ–eAν)} =(1/2)e(–Aμpν+pνAμ–pμAν+Aνpμ)= =(1/2)ie(∂νAμ–∂μAν)=–(ie/2)Fμν

kifejezéssel helyettesíthetjük ( Fμν=∂μAν–∂νAμ az elektromágneses tér tenzora ). Végeredményben a következő másodrendű egyenletet kapjuk:

4.6. egyenlet - (32,6)

[{(p - e A)}^{2} - m^{2} - \frac{i}{2} e F_{μ ν} σ^{μ ν}] ψ = 0 .

Az Fμνσμν szorzatot háromdimenziós jelölésben is írhatjuk, azt a

mennyiségekkel kifejezve. Ekkor

4.7. egyenlet - (32,7)

[{(p - e A)}^{2} - m^{2} + e Σ H - i e α E] ψ = 0,

avagy a szokásos egységekben írva:

4.8. egyenlet - (32,7a)

[{(i ℏ \frac{\partial}{\partial t} - \frac{e}{c} Φ)}^{2} - {(i ℏ \nabla + \frac{e}{c} A)}^{2} - m^{2} c^{2} + \frac{e ℏ}{c} Σ H - i \frac{e ℏ}{c} α E] ψ = 0 .

Az és tereket tartalmazó tagok megjelenése a részecske spinjével kapcsolatos, ennek vizsgálatára a következő szakaszban térünk ki.

A másodrendű egyenlet megoldásai között természetesen „feleslegesek” is találhatók, amelyek a kiindulási egyenletet nem teljesítik (ezek az előtti előjel megváltoztatásával adódó [γ(p–eA)+m]ψ=0 Dirac-egyenletet elégítik ki). A kellő megoldások kiválasztása a konkrét esetekben általában nyilvánvaló, és nem okoz gondot. A kiválasztás következetes módszere abban áll, hogy ha a másodrendű egyenlet tetszőleges megoldása, akkor az elsőrendű egyenlet helyes megoldását

4.9. egyenlet - (32,8)

ψ = [γ (p - e A) + m] φ

adja. Valóban ezt az egyenlőséget balról a γ(p–eA)–m kifejezéssel szorozva, látjuk, hogy a jobb oldal nulla lesz, ha kielégíti a (32,6) egyenletet.

Hangsúlyozzuk, hogy a külső térnek a relativisztikus egyenletbe p→p–eA cserével való bevezetése nem magától értetődő. A bevezetés során mi valójában arra a kiegészítő elvre támaszkodtunk, amely szerint a fenti csere az elsőrendű egyenletben hajtandó végre; éppen ennek következtében (32,6)-ban kiegészítő tagok jelentek meg, amelyek nem lépnek fel, ha a helyettesítést közvetlenül a másodrendű egyenletben végeztük volna el.^[97]

A Dirac-egyenlet külső térbeli stacionárius megoldásai között a folytonos és a diszkrét spektrumba tartozó állapotok egyaránt megtalálhatók. Csakúgy, mint a nemrelativisztikus esetben, a folytonos spektrumbeli megoldások végtelenbe nyúló mozgásnak felelnek meg, amelynek során a részecske a végtelenben is tartózkodhat, ahol azt szabadnak is tekinthetjük. Minthogy a szabad részecske Hamilton-operátorának sajátértékei ±√(p2+m2) -tel egyenlőek, így világos, hogy a folytonos spektrum az ε≧m vagy ε≦–m intervallumban található. Ha –m<ε<m , akkor a részecske nem tartózkodhat végtelenben, azaz a mozgás véges, és az állapot diszkrét spektrumhoz tartozik.

Csakúgy, mint szabad részekre, a „pozitív frekvenciás” ( ε>0 ) és a „negatív frekvenciás” ( ε<0 ) megoldások meghatározott módon jelennek meg a másodkvantálás sémájában. A külső térbeli részecskére ez a séma természetes módon általánosítható a (25,1)-beli síkhullámoknak a Dirac-egyenlet normált sajátfüggvényeivel ( ψn(+),ψn(–) ) való helyettesítésével, melyek a pozitív, ill. a negatív frekvenciákhoz tartoznak:

4.10. egyenlet - (32,9)

\begin{matrix} \begin{aligned} Ψ & = \sum_{n} \{a_{n} ψ_{n}^{(+)} e^{- i e_{n}^{(+)} t} + b_{n}^{(+)} ψ_{n}^{(-)} e^{i e_{n}^{(-)} t}\}, \\ \bar{Ψ} & = \sum_{n} \{a_{n}^{(+)} {\bar{ψ}}_{n}^{(+)} e^{i e_{n}^{(+)} t} + b_{n} {\bar{ψ}}_{n}^{(-)} e^{- i e_{n}^{(-)} t}\} . \end{aligned} & (32,9) \end{matrix}

Ez a kvantálási előírás azonban nehézségekhez vezethet. Ugyanis a potenciálgödör mélységének növekedésével az energiaszintek átléphetik a ε=0 határt, azaz a pozitívból negatívvá (vagy ellenkező előjelű potenciál esetén negatívból pozitívvá) válhatnak. Folytonossági meggondolások alapján azonban továbbra is elektronnak és nem pozitronnak kell e nívókat tekintenünk. Ezért, szigorúbban véve, az összes állapotot amelyek a tér végtelen lassú bekapcsolása során ráhúzódnak a folytonos spektrum pozitív határára ( ε=m ), az elektron állapothoz kellene viszonyítani. Ekkor azonban az elektron energiája negatív is lehet, így a vákuum nem lesz a legalacsonyabb energiájú állapot, ez pedig a tér feltett jellege alapján elektron–pozitron pár keletkezésére vezethet.^[98] A potenciálgödör további mélyítése során az elektronnívó a folytonos spektrum negatív határát is elérheti. Ekkor a párkeltéshez szükséges küszöbenergia (amelynek értéke m+εelektron ) éppen nulla lesz, azaz megindul a spontán párképződés – amely semmiképpen sem az egyrészecskés elmélet keretei közt tárgyalható folyamat.

Mindez azt mutatja, hogy a relativisztikus elméletben a külső tér fogalmának alkalmazhatósága korlátozott. Például tilos túl mély potenciálgödröket vizsgálni. Ezt a kérdést a sokrészecskés elméletben eddig még nem vizsgálták.

Feladat

Határozzuk meg az elektron energiaszintjeit állandó homogén mágneses térben .

Megoldás. A vektorpotenciál választása: Ax=Az=0 , Ay=Hx (a tér párhuzamos a tengellyel). Az energia mellett az általános impulzus és komponensei maradnak meg. Használjuk a segédfüggvényre vonatkozó másodrendű egyenletet [l. (32,8)], és tegyük fel, hogy a operátor sajátfüggvénye (a σ=±1 sajátértékekkel), valamint a és operátoroké is. Ekkor a -re vonatkozó egyenlet a következő alakú lesz:

{–(d2/dx2)+(eHx–py)2–eHσ}φ=(ε2–m2–pz2)φ.

Ez az egyenlet formailag megegyezik a lineáris oszcillátorra vonatkozó Schrödinger-egyenlettel. Sajátértékeit így a következő képlet adja:

(l. III. 112. §). Megjegyezzük, hogy a hullámfüggvény, amelyet -ből a (32,8) egyenlettel lehet meghatározni, nem sajátfüggvénye -nek, annak megfelelően, hogy mozgó részekre a spin nem megmaradó mennyiség.

^[96] A töltéshez előjelét is hozzáértjük, így az elektronra: e=–|e| .

^[97] Ezzel az elvvel összhangban kellene bevezetni az egyéb spinű részek hullámegyenleteibe is a kölcsönhatást, mialatt az egyenletek alakjának azonosnak kell lennie azzal, ahogy a variációs elvből adódnak, a mellékfeltételek alkalmazása előtt. Így spin esetén a p→p–eA cserét a (14,1), (14,2) egyenletekben kell elvégezni. Megjegyezzük, hogy ez a helyettesítés (az spin esetére) a (14,4) másodrendű egyenletben és a (14,3) mellékfeltételben általában ellentmondásos egyenletrendszerre vezetne [ 3∕2 spin esetén az ellentmondás már a (31,2) egyenletriek a (31,1) mellékfeltétellel való egyidejű felhasználása esetén fellépne]. Nulla spin esetében a p→p–eA helyettesítés a (10,4) elsőrendű egyenletekben egyenértékű a (10,5) másodrendű egyenletekben elvégzett helyettesítéssel. E kérdések elemzésére nem térünk ki részletesebben, minthogy nincs közvetlen fizikai jelentésük. Ugyanis az 1∕2 -től különböző spinű valós részecskék elektromágneses kölcsönhatása nem tárgyalható hullámegyenletekkel.