Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Mint a 21. §-ban láttuk, nemrelativisztikus
határesetben a
komponensei közül kettő
zérussá válik. Ezért kis elektronsebességek esetén
. Az egyenlőtlenség révén közelítő egyenletre juthatunk, amely csak a
kétkomponensű
mennyiséget tartalmazza, amennyiben a hullámfüggvényt formálisan sorba
fejtjük
hatványai szerint.
Induljunk ki az elektronra külső térben érvényes Dirac-egyenletből
A részecske relativisztikus energiakifejezése annak nyugalmi energiáját is tartalmazza. A nemrelativisztikus határátmenet
előtt ezt a tagot ki kell küszöbölnünk, ezért
helyett bevezetjük a
összefüggéssel definiált hullámfüggvényt. Ekkor
-t a
alakban előállítva, a következő egyenletrendszerre jutunk:
(az alábbiakban
-ről és
-ről a vesszőket elhagyjuk; ez azonban nem vezethet félreértésekre,
mivel ebben a szakaszban csak a transzformált
mennyiséggel dolgozunk).
Az első közelítésben (33,3) bal oldalán csak a
tag marad vissza, és így az adódik, hogy
(megjegyzendő, hogy ). Ezt a kifejezést (33,2)-be
helyettesítve, kapjuk, hogy
A Pauli-mátrixokra a következő összefüggés érvényes:
ahol ,
tetszőleges vektorok [lásd (20,9)].
A vizsgált esetben
, de az
vektorszorzat nem nulla, mivel
és
nem feleserélhetők:
(ahol a mágneses térerősség), és
-re és következő egyenlet adódik:
Ez a Pauli-egyenlet . A nemrelativisztikus Schrödinger-egyenlettől a Hamilton-operátor utolsó tagjában különbözik, amely a
külső mágneses térbe helyezett mágneses dipólus potenciális energiájával egyező alakú
(összehasonlításul l. III. 111. §). Így az hatványai szerinti első közelítésben az elektron olyan részecskeként
viselkedik, melynek töltése mellett
mágneses momentuma van. A giromágneses tényező () kétszerte nagyobb, mint a pályamozgással kapcsolt mágneses momentum
esetén lenne.[100]
A sűrűségben a második tag első közelítésben elhagyható, így
, amint azt a Schrödinger-egyenlet megköveteli.
(33,4)-ből behelyettesíthetjük a
alakokat, egyidejűleg kihasználjuk, hogy a szorzókat tartalmazó tagok a (33,5)
képlet segítségével a következőképpen alakíthatók át:
amely megegyezik a III. (115,4) kifejezéssel, melyet a nemrelativisztikus
elméletből kaptunk.
Adjuk most meg a második közelítést az hatványok szerinti sorfejtést folytatva.[101] Ennek során feltesszük, hogy csak elektromos külső tér van jelen
(
).
Először is vegyük észre, hogy az -es tagok figyelembevételével a
sűrűségre a
alak adódik. Ez a kifejezés eltér a Schrödinger-félétől. Figyelembe
véve, hogy célunk egy, a Schrödinger-egyenlettel
analóg egyenlet megtalálása (második közelítésben), be kell vezetnünk helyett egy másik (kétkomponensű) mennyiséget,
-t, amellyel az időben állandó integrál
alakú lesz, amint azt a Schrödinger-egyenlet megköveteli.
A szükséges transzformáció megvilágítására írjuk fel az előbbi integrált:
és végezzük el a következő parciális integrálást:
(ugyanez adódik és
felcserélésével is). Így
Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy az állapot stacionárius, azaz a
operátor helyére az
energia írható (levonva belőle a nyugalmi energiát). Ekkor a (33,4)-re a következő közelítésben (33,3)-ból
-re a
kifejezést kapjuk. Ezt behelyettesítve (33,2)-be, majd -t
-rel (33,11) szerint kifejezve,
mindvégig elhagyva az
-nél magasabb rendű tagokat, egyszerű számolással
alakú egyenletet vezethetünk le
-re, melynek Hamilton-operátora
A kapcsos zárójelbeli kifejezés a következő egyenletek segítségével átalakítható:
(ahol az elektromos térerősség ). A
Hamilton-operátor végleges alakja:
Az utolsó három tag a keresett rendű korrekciót adja. Közülük az első a mozgási energia
relativisztikus impulzusfüggésének következménye (a
különbség sorfejtése). A második tag, amelyet a
spin–pálya kölcsönhatás energiájának is szokás nevezni – a mozgó
mágneses momentum és az elektromos tér kölcsönhatásának energiája.[102] Az utolsó tag csak azokban a pontokban különbözik nullától, ahol a külső
teret létrehozó töltés található [így
töltésű pontszerű részecske Coulomb-tere esetén:
(C. G. Darwin , 1928)].
Ha az elektromos tér gömbszimmetrikus (centrális), akkor
és a spin–pálya kölcsönhatás operátorát a következő alakban állíthatjuk elő:
Itt a pályamomentum-operátor,
az elektron spinoperátora,
pedig az elektron külső térbeli potenciális energiája .[103]
[99] Ebben a szakaszban a szokásos mértékegységeket használjuk.
[100] Ezt a figyelemreméltó eredményt Dirac vezette le 1928-ban. A (33,7) egyenletet kielégítő kétkomponensű mennyiségeket W. Pauli vezette be 1927-ben, még a Dirac-egyenlet felfedezése előtt.
[101] Az alábbiakban V. B. Bereszteckij és L. D. Landau módszerét követjük (1949).
[102] Bevezetve a (33,8) mágneses momentumot és a
sebességet, ezt az energiát
alakban írhatjuk. Első pillantásra az eredmény
természetellenesnek tűnhet, minthogy a részecskével együtt mozgó rendszerre
áttérve,
mágneses tér lép fel, amelyben a mágneses momentum
energiája
. Ez az okoskodás azonban még nem veszi kellő módon figyelembe a
részecskével együtt mozgó vonatkoztatási rendszer gyorsuló jellegét. Az
szorzó megjelenése (L. Thomas , 1926) a
relativisztikus invariancia általános, az elektronnak mint „spinor” részecskének
specifikus tulajdonságait (így giromágneses faktorát) figyelembe vevő
követelményének következménye. (l. 41. §).