ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

34.§. A hidrogénatom finomszerkezete

Határozzuk meg a hidrogénatom – a mozdulatlan mag Coulomb-terében mozgó elektron – energiaszintjeinek relativisztikus korrekcióit.^[104] A hidrogénatomban az elektron sebességének nagyságrendje v∕c∼α≪1 . Ezért a keresett korrekciókat a perturbációelmélet alkalmazásával – mint a közelítő (33,12) Hamilton-operátor relativisztikus tagjainak a perturbálatlan állapotokon (azaz a nemrelativisztikus hullámfüggvényen) vett várható értékét – adhatjuk meg. A nagyobb általánosság kedvéért a mag töltését -nek vesszük, feltéve eközben, hogy Zα≪1 .

A mag terének erőssége E=Zer∕r3 , amelyhez tartozó potenciál kielégíti a ΔΦ=–4πZeδ(r) egyenletet. Ezt (33,12) utolsó három tagjába helyettesítve és figyelembe véve, hogy az elektron töltése negatív, a következő alakú perturbáló Hamilton-operátort kapjuk:

4.22. egyenlet - (34,1)

V = - \frac{p^{4}}{8 m^{3}} + \frac{Z α}{2 r^{3} m^{2}} l s + \frac{Z α π}{2 m^{2}} δ (r) .

Minthogy a Schrödinger-egyenlet alapján

(ahol ε0=–(mZ2α2/2n2) a perturbálatlan nívó , a főkvantumszám), így a

várható érték adódik az első tagra. Ezt az átlagot, csakúgy, mint (34,1) második tagjáét, a következő képletek segítségével számítjuk ki (l. III. 36. §):

4.23. egyenlet - (34,2)

\bar{r^{- 1}} = \frac{m α Z}{n^{2}}, \bar{r^{- 2}} = \frac{{(m α Z)}^{2}}{n^{3} (l + \frac{1}{2})} \bar{r^{- 3}} = \frac{{(m α Z)}^{3}}{n^{3} l (l + \frac{1}{2}) (l + 1)}

(ez utóbbi nyilván csak l≠0 esetén érvényes); míg az operátor sajátértékei:

ls=(1/2)[j(j+1)–l(l+1)–(3/4)] l≠0esetén,ls=0 l=0esetén.

Végül a harmadik tagot a következő képletek segítségével átlagolhatjuk:

4.24. egyenlet - (34,3)

ψ (0) = \frac{1}{\sqrt{π}} {(\frac{Z α m}{n})}^{3 ∕ 2}, l = 0; ψ = (0), l \neq 0 .

A fenti összefüggések alapján egyszerű számítással a következő képlet adódik és minden értékére:

4.25. egyenlet - (34,4)

Δ 𝜀 = - \frac{m {(Z α)}^{4}}{2 n^{3}} (\frac{1}{j + \frac{1}{2}} - \frac{3}{4 n}) .

A (34,4) egyenlet adja meg a hidrogénnívók relativisztikus korrekcióit – a finomszerkezet energiáit.^[105] Emlékeztetünk arra a körülményre, mely szerint a nemrelativisztikus elméletben a nívók a spinirány és értéke szerint egyaránt elfajultak. A finomszerkezet (a spin–pálya kölcsönhatás ) megszünteti ezt a degenerációt, de nem teljesen: az azonos és értékű, de eltérő l=j±(1/2) értékűállapotok kétszeres elfajulást mutatnak (viszont az adott esetén lehetséges maximális j=jmax=lmax+(1/2)=n–(1/2) kvantumszámmal jellemzett állapot nem elfajult).^[106]Így a hidrogén energiaszintjei a finomszerkezet figyelembevételével a következők lesznek:

1s1∕2; 2s1∕2,2p1∕2︸,2p3∕2; 3s1∕2,3p1∕2︸,3p3∕2,3d3∕2︸,3d5∕2. …………

Az főkvantumszámú szint tehát a finomszerkezet komponensére bomlik fel.

A továbbiakban látni fogjuk, hogy az itt fennmaradt elfajulást az úgynevezett sugárzási korrekciók szüntetik meg (Lamb-eltolódás) , amelyet az egyelektronos feladat Dirac-egyenlete nem vesz figyelembe.

Előretekintve, már itt rámutatunk arra, hogy ezek a korrekciók ∼mZ4α5ln(1∕α) nagyságrendűek. A spin–pálya kölcsönhatásból származó másodrendű korrekció ∼m(Zα)6 nagyságrendű lenne, így a sugárzási korrekciókhoz viszonyított aránya ∼Z2α∕ln(1∕α) . Hidrogén esetén ( Z=1 ) ez a hányados nyilván igen kicsiny, és ezért az egyelektronos Dirac-egyenlet pontos megoldásának nincs értelme. Nagyobb -jű magok esetén azonban ez a feladat értelmessé válik (36. §).

^[104] A mag mozgásának e korrekciók nagyságára gyakorolt hatása kisebb rendű, így ezzel itt nem foglalkozunk.

^[105] Ezt a képletet csakúgy, mint a pontosabb (36,10) egyenletet elsőként A. Sommerfeld vezette le a régi Bohr-elméletből, még a kvantumelmélet felfedezése előtt.

^[106] Ez a degeneráció a Coulomb-tér esetében fennálló speciális megmaradási tétel következménye: a Dirac-egyenlet Hamilton-függvénye H=αp+βm–e2∕r felcserélhető az I=(r/r)Σ+(i/me2)β(Σl+1)γ5(H–mβ) operátorral (M. H. Johnson , B. A. Lipman , 1950).Nemrelativisztikus határátmenetben I→ΣA , ahol A=(r/r)+(1/2me2)(l×p–p×l), ami a Coulomb-térbeli klasszikus mozgás integráljának megfelelő operátor (l. I. 15. §). A Coulomb-térbeli nemrelativisztikus, véletlenszerű degeneráció az mennyiség megmaradásával kapcsolatos.