Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Határozzuk meg a hidrogénatom – a mozdulatlan mag Coulomb-terében mozgó elektron –
energiaszintjeinek relativisztikus korrekcióit.[104] A hidrogénatomban az elektron sebességének nagyságrendje . Ezért a keresett korrekciókat a perturbációelmélet alkalmazásával –
mint a közelítő (33,12) Hamilton-operátor
relativisztikus tagjainak a
perturbálatlan állapotokon (azaz a nemrelativisztikus hullámfüggvényen) vett várható
értékét – adhatjuk meg. A nagyobb általánosság kedvéért a mag töltését
-nek vesszük, feltéve eközben, hogy
.
A mag terének erőssége , amelyhez tartozó potenciál kielégíti a
egyenletet. Ezt (33,12) utolsó
három tagjába helyettesítve és figyelembe véve, hogy az elektron töltése negatív, a
következő alakú perturbáló Hamilton-operátort
kapjuk:
Minthogy a Schrödinger-egyenlet alapján
(ahol a perturbálatlan nívó ,
a főkvantumszám), így a
várható érték adódik az első tagra. Ezt az átlagot, csakúgy, mint (34,1) második tagjáét, a következő képletek segítségével számítjuk ki (l. III. 36. §):
(ez utóbbi nyilván csak esetén érvényes); míg az
operátor sajátértékei:
Végül a harmadik tagot a következő képletek segítségével átlagolhatjuk:
A fenti összefüggések alapján egyszerű számítással a következő képlet adódik
és
minden értékére:
A (34,4) egyenlet adja meg a hidrogénnívók
relativisztikus korrekcióit – a finomszerkezet energiáit.[105] Emlékeztetünk arra a körülményre, mely szerint a nemrelativisztikus
elméletben a nívók a spinirány és értéke szerint egyaránt elfajultak. A finomszerkezet (a spin–pálya
kölcsönhatás ) megszünteti ezt a degenerációt,
de nem teljesen: az azonos
és
értékű, de eltérő
értékűállapotok kétszeres elfajulást mutatnak (viszont az adott
esetén lehetséges maximális
kvantumszámmal jellemzett állapot nem elfajult).[106]Így a hidrogén energiaszintjei a finomszerkezet figyelembevételével a
következők lesznek:
Az főkvantumszámú szint tehát a finomszerkezet
komponensére bomlik fel.
A továbbiakban látni fogjuk, hogy az itt fennmaradt elfajulást az úgynevezett sugárzási korrekciók szüntetik meg (Lamb-eltolódás) , amelyet az egyelektronos feladat Dirac-egyenlete nem vesz figyelembe.
Előretekintve, már itt rámutatunk arra, hogy ezek a korrekciók nagyságrendűek. A spin–pálya kölcsönhatásból származó másodrendű
korrekció
nagyságrendű lenne, így a sugárzási korrekciókhoz viszonyított aránya
. Hidrogén esetén (
) ez a hányados nyilván igen kicsiny, és ezért az egyelektronos
Dirac-egyenlet pontos megoldásának nincs értelme. Nagyobb
-jű magok esetén azonban ez a feladat értelmessé válik (36. §).
[104] A mag mozgásának e korrekciók nagyságára gyakorolt hatása kisebb rendű, így ezzel itt nem foglalkozunk.
[105] Ezt a képletet csakúgy, mint a pontosabb (36,10) egyenletet elsőként A. Sommerfeld vezette le a régi Bohr-elméletből, még a kvantumelmélet felfedezése előtt.
[106] Ez a degeneráció a Coulomb-tér esetében fennálló speciális megmaradási tétel
következménye: a Dirac-egyenlet Hamilton-függvénye felcserélhető az
operátorral (M. H. Johnson , B. A. Lipman , 1950).Nemrelativisztikus határátmenetben
, ahol
ami a Coulomb-térbeli klasszikus mozgás integráljának megfelelő
operátor (l. I. 15. §). A
Coulomb-térbeli nemrelativisztikus, véletlenszerű degeneráció az
mennyiség megmaradásával kapcsolatos.