ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

36.§. Mozgás Coulomb-térben

A legfontosabb speciális eset, a Coulomb-térben való mozgás tanulmányozását a hullámfüggvény kis távolságokon mutatott viselkedésével kezdjük. A határozottság kedvéért vonzó teret választunk: Z=–Zα∕r .^[109]

Kis esetén a (35,5) egyenletekben az (ε±m) -mel arányos tagok elhagyhatók; ekkor

Az és függvények egyenrangúan lépnek be az egyenletrendszerbe. Ezért mindkettőre -nek azonos hatványfüggvényét tételezzük fel: fr=arγ,gr=brγ . Az egyenletekbe való behelyettesítéssel az

egyenletre jutunk, ahonnan

4.36. egyenlet - (36,1)

γ^{2} = ϰ^{2} - {(Z α)}^{2} .

Legyen (Zα)2<ϰ2 . Ekkor valós, és a két érték közül a pozitívat kell választanunk: az ennek megfelelő megoldás vagy nem divergál az r=0 pontban, vagy a másiknál kevésbé gyorsan teszi azt.^[110] Ily módon:

4.37. egyenlet - (36,2)

\begin{matrix} \begin{aligned} f = \frac{Z α}{γ + ϰ} g & = c o n s t \cdot r^{- 1 + γ}, \\ γ = \sqrt{ϰ^{2} - Z^{2} α^{2}} & = \sqrt{{(j + 1 ∕ 2)}^{2} - Z^{2} α^{2}} . \end{aligned} & (36,2) \end{matrix}

Bár a hullámfüggvény r=0 esetén divergálhat (ha γ<1 ), |ψ|2 integrálja konvergens marad.

Ha (Zα)2>ϰ2 , akkor (36,2)-ből vett mindkét értéke képzetes. A megfelelő megoldások r→0 esetén oszcillálnak [ r–1cos(|γ|lnr) szerint], ami megint csak, mint azt korábban már megmutattuk, a relativisztikus elméletben megengedhetetlen vonzócentrumba-esésnek felel meg. Minthogy ϰ2≧1 , eszerint a Dirac-elméletben a tisztán Coulomb-térben való mozgás vizsgálatának csak Zα<1 , azaz Z<137 esetén van értelme.

A valóságos helyzetben természetesen a mag véges mérete miatt kis távolságokon a mag potenciáljának menete eltér a Coulomb-potenciáltól. Ez elvileg a nagyobb -jű magok létezését is lehetővé teszi.^[111]

Meg kell jegyeznünk, hogy a sugárzási korrekciók miatt a potenciál menete kis távolságokra még pontszerű mag esetén is eltér a Coulomb-félétől, ami szintén megváltoztatja a fenti eredményt. -hez közeli -k esetére azonban ezeket a korrekciókat mindeddig nem tanulmányozták.

Fogjunk hozzá a hullámegyenlet pontos megoldásához (G. Darwin , 1928; W. Gordon , 1928).

a) Diszkrét spektrum ( ε<m ). Az és függvényeket az

4.38. egyenlet - (36,3)

\begin{matrix} \begin{aligned} f & = \sqrt{m + 𝜀} e^{- ϱ ∕ 2} ϱ^{γ - 1} (Q_{1} + Q_{2}), \\ g & = - \sqrt{m - 𝜀} e^{- ϱ ∕ 2} ϱ^{γ - 1} (Q_{1} - Q_{2}) \end{aligned} & (36,3) \end{matrix}

alakban keressük, ahol , ismeretlen függvények; bevezettük a

4.39. egyenlet - (36,4)

ϱ = 2 λ r, λ = \sqrt{m^{2} - 𝜀^{2}}, γ = \sqrt{ϰ^{2} - Z^{2} α^{2}}

jelöléseket. Ez az alak természetes választásnak tűnik, minthogy ismerjük a függvény (36,2) ϱ→0 viselkedését és exponenciális csillapodását (∼e–ϱ∕2) a ϱ→∞ esetén. Minthogy esetén az és függvények egyformán viselkednek, ezért -re várhatóan Q1≫Q2 .

(36,3)-at (35,4)-be helyettesítve, a következő egyenletekre jutunk:

ϱ(Q1+Q2)′+(γ+ϰ)(Q1+Q2)–ϱQ2+Zα√((m–ε/m+ε))(Q1–Q2)=0,

(a vessző szerinti deriválást jelent). Összegük és különbségük a következő egyenletekre vezet:

4.40. egyenlet - (36,5)

\begin{matrix} \begin{aligned} ϱ Q_{1}^{'} + (γ - \frac{Z α 𝜀}{λ}) Q_{1} + (ϰ - \frac{Z α m}{λ}) Q_{2} & = 0 \\ ϱ Q_{2}^{'} + (γ + \frac{Z α 𝜀}{λ} - ϱ) Q_{2} + (ϰ + \frac{Z α m}{λ}) Q_{1} & = 0 \end{aligned} & (36,5) \end{matrix}

vagy , illetve kiküszöbölésével

[vegyük figyelembe, hogy γ2–(Zαε∕λ)2=ϰ2–(=αm∕λ)2 ]. Ezeknek az egyenleteknek ϱ=0 esetén véges megoldásai:

4.41. egyenlet - (36,6)

\begin{matrix} \begin{aligned} Q_{1} & = A F (γ - \frac{Z α 𝜀}{λ}, 2 γ + 1, ϱ), \\ Q_{2} & = B F (γ + 1 - \frac{Z α 𝜀}{λ}, 2 γ + 1, ϱ), \end{aligned} & (36,6) \end{matrix}

ahol F(α,β,z) az elfajult hipergeometrikus függvény. A (36,5) egyenletek valamelyikét a ϱ=0 helyen véve, az és állandók között a következőösszefüggés adódik:

4.42. egyenlet - (36,7)

B = - \frac{γ - \frac{Z α 𝜀}{λ}}{ϰ - \frac{Z α m}{λ}} A .

Mindkét (36,6)-beli hipergeometrikus függvénynek polinommá kell redukálódnia (ellenkező esetben ként növekednének, és velük eϱ∕2 -ként növekedne a teljes hullámfüggvény is). Az F(α,β,z) függvény akkor redukálódik polinommá, ha az paraméter negatív egész vagy nulla. Vezessük ezért be a

4.43. egyenlet - (36,8)

γ - \frac{Z α 𝜀}{λ} = - n_{r}

jelölést. Ha nr=1,2,… , akkor mindkét hipergeometrikus függvény polinom. Ha azonban nr=0 , akkor csak egyikük viselkedik polinomként. Az nr=0 eset azonban γ=Zαε∕λ -nak felel meg, és ekkor, mint az könnyen belátható, Zαm∕λ=|ϰ| . Ha ϰ<0 , akkor a együttható nulla, azaz Q2=0 , és az és azonos aszimptotikájára vonatkozó korábbi követelmény teljesül. Ha ϰ>0 , akkor B=–A , és az nr=0 esetben divergenssé válik. Így az kvantumszám következőértékei megengedettek:

4.44. egyenlet - (36,9)

n_{r} = \{\begin{matrix} 0, 1, 2, \dots, & h a & ϰ < 0; \\ 1, 2, 3, \dots, & h a & ϰ > 0 . \end{matrix}

A (36,8) definícióból a diszkrét spektrum megengedett energiaértékeire a következő kifejezés adódik:

4.45. egyenlet - (36,10)

\frac{𝜀}{m} = {[1 + \frac{{(Z α)}^{2}}{{(\sqrt{ϰ^{2} - {(Z α)}^{2} + n_{r}})}^{2}}]}^{- 1 ∕ 2} .

Ha Zα≪1 , a sorfejtés első tagjai a következők:

(ε/m)–1=–((Zα)2/2(|ϰ|+nr)2){1+((Zα)2/|ϰ|+nr)[(1/|ϰ|)–(3/4(|ϰ|+nr))]}

Bevezetve az nr+|ϰ|=n(=1,2,… ) jelölést és figyelembe véve, hogy |ϰ|=j+(1/2) , a (34,4) képletre jutunk, melyet korábban a perturbációszámítás segítségével kaptunk meg. Mint erre már a 34. §-ban rámutattunk, e sorfejtés további tagjai értelmetlenek, minthogy azokat a sugárzási korrekciók mindenképp felülmúlják. A (36,10) képlet Zα∼1 esetén pontos formájában értelmes marad. Megjegyezzük, hogy az energiaszinteknek a (34,4) képletben jelenlevő kétszeres elfajulását a pontos összefüggés is őrzi, minthogy csak |ϰ| jelenik meg benne, így a különböző -ekhez tartozó szintek azonos esetén egybeesnek.

A hullámfüggvényben már csak az normálási állandó meghatározása marad vissza. A diszkrét spektrum hullámfüggvényét, mint mindig, az ∫|ψ|2dV=1 feltétellel normáljuk; az és függvény szempontjából ez az

feltétellel ekvivalens. A megadása legegyszerűbb az r→∞ esetén adódó aszimptotikus alakok révén. Az

F(–nr,2γ+1,ϱ)≡(Γ(2γ+1)/Γ(nr+2γ+1))(–ϱ)nr

aszimptotikus alak [l. III. (d,14)] segítségével adódik, hogy

f≡(–1)nrA√(m+ε)(Γ(2γ+1)/Γ(nr+2γ+1))e–λr(2λr)γ+nr–1.

Ezt a későbbi, (36,22) kifejezéssel összehasonlítva, -ra a következő kifejezést kapjuk:

A=(λ2/Γ(2γ+1))[(2Γ(2γ+1+nr)((Zαm/λ)–ϰ)/Zαm2⋅nr!)]1∕2.

Végül összegyűjtjük a kapott képleteket, és leírjuk a normált hullámfüggvények végleges alakját:

4.46. egyenlet - (36,11)

\begin{matrix} \begin{aligned} \begin{matrix} f \\ g \end{matrix}\} = \frac{\pm {(2 λ)}^{3 ∕ 2}}{Γ (2 λ + 1)} {[\frac{(m \pm 𝜀) Γ (2 γ + n_{r} + 1)}{4 m \frac{Z α m}{λ} (\frac{Z α m}{λ} - ϰ) n_{r}!}]}^{1 ∕ 2} {(2 λ r)}^{γ - 1} e^{- λ r} \times \\ \times \{(\frac{Z α m}{λ} - ϰ) F (- n_{r}, 2 γ + 1, 2 λ r) \mp n_{r} F (1 - n_{r}, 2 γ + 1, 2 λ r)\} \end{aligned} & (36,11) \end{matrix}

(a felső előjelek -re, az alsók -re vonatkoznak).

b) Folytonos spektrum ( ε>m ). Nem szükséges a hullámegyenleteket újból megoldani a folytonos spektrum állapotaira. A diszkrét spektrum hullámfüggvényeiből ez az eset a következő helyettesítéssel adódik:^[112]

4.47. egyenlet - (36,12)

\sqrt{m - 𝜀} \to - i \sqrt{e - m}, λ \to - i p, - n_{r} \to γ - i \frac{Z α 𝜀}{p}

( √(m–e) analitikus folytatása során az előjelválasztásra vonatkozó tudnivalókat l. III. 128. §-ban). A függvények normálását azonban újra el kell végeznünk.

(36,11)-ben elvégezve a fenti helyettesítést, és a következő alakú lesz:

f / g}=√(ε+m) / i√(ε–m)}⋅A′eipr(2pr)γ–1[eiξF(γ–iν,2γ+1,–2ipr)∓ ∓e–iξF(γ+1–iν,2γ+1,–2ipr)],

ahol az új normálási állandó, és bevezettük a következő jelöléseket:

4.48. egyenlet - (36,13)

ν = \frac{Z α 𝜀}{p}, e^{- 2 i ξ} = \frac{γ - i ν}{ϰ - i ν \frac{m}{𝜀}}

[ valós, mivel γ2+((Zαε/p))2=ϰ2+((Zαm/p))2 ].

Az ismert

összefüggés szerint [l. III. (d,10)]:

F(γ+1–iν,2γ+1,2ipr)=e–2iprF(γ+iν,2γ+1,2ipr)=

Ezért írható, hogy

4.49. egyenlet - (36,14)

\begin{matrix} f \\ g \end{matrix}\} = 2 i A^{'} \sqrt{𝜀 \pm m} {(2 p r)}^{γ - 1} \begin{matrix} ℑ \\ ℜ \end{matrix} {e^{i (p r + ξ)} F (γ - i ν, 2 γ + 1, - 2 i p r)} .

E függvények aszimptotikus alakját a III. (d,14) képlet révén adhatjuk meg, amelyből ez esetben csak az első tag marad vissza, mivel a második tag 1∕r magasabb hatványával csökken:^[113]

f / g}=2iA′√(ε±m)Γ(2γ+1)(2pr)γ–1ℑ / ℜ{((2ipr)–γ+iνei(pr+ξ)/Γ(γ+1+iν))}=

4.50. egyenlet - (36,15)

= \frac{i A^{'} \sqrt{𝜀 + m}}{p r} e^{- \frac{π ν}{2}} \frac{Γ (2 γ + 1)}{| Γ (γ + 1 + i ν) |} \begin{matrix} sin \\ cos \end{matrix} (p r + δ_{ϰ} + ν ln 2 p r - \frac{π l}{2}),

ahol

4.51. egyenlet - (36,16)

δ_{ϰ} = ξ - arg Γ (γ + 1 + i v) - \frac{π γ}{2} + \frac{π l}{2},

vagy

4.52. egyenlet - (36,17)

e^{2 i δ_{ϰ}} = \frac{ϰ - i ν m ∕ 𝜀}{γ - i ν} \frac{Γ (γ + 1 - i ν)}{Γ (γ + 1 + i ν)} e^{i π (l - γ)} .

A későbbi utalásokhoz jegyezzük meg a fázis ultrarelativisztikus határesetbeli kifejezését ( ε≫m,ν≈Zα ):

4.53. egyenlet - (36,18)

e^{2 i δ_{ϰ}} = \frac{ϰ}{γ - i Z α} \frac{Γ (γ + 1 - i Z α)}{Γ (γ + 1 + i Z α)} e^{i π (l - γ)} .

(36,15)-öt összehasonlítva a (35,7) általános összefüggéssel, amely a normált gömbhullám kifejezését adja meg [figyelembe véve még és (35,1) definícióját], lehetségessé válik az normáló konstans meghatározása:

(iA′/p)e–(πν/2)(Γ(2γ+1)/|Γ(γ+1+iν)|)=(1/√(πε)).

Ezzel a folytonos spektrum hullámfüggvényeinek végleges alakja:^[114]

4.54. egyenlet - (36,19)

\begin{matrix} f \\ g \end{matrix}\} = 2 \sqrt{\frac{m \pm 𝜀}{π 𝜀}} e^{\frac{π ν}{2}} \frac{| Γ (γ + 1 + i ν) |}{Γ (2 γ + 1)} \frac{{(2 p r)}^{γ}}{r} \begin{matrix} ℑ \\ ℜ \end{matrix} {e^{i (p r + ξ)} F (γ - i ν, 2 γ + 1, - 2 i p r)} .

Analitikusan folytatva az ε<m tartományba, a (36,17) kifejezés a következő alakotölti:

4.55. egyenlet - (36,20)

e^{2 i δ_{ϰ}} = \frac{ϰ - Z α m ∕ λ}{γ - Z α 𝜀 ∕ λ} \frac{Γ (γ + 1 - Z α 𝜀 ∕ λ)}{Γ (γ + 1 + Z α 𝜀 ∕ λ)} e^{i π (l - γ)} .

Ennek a kifejezésnek pólusai vannak a γ+1–Zαε∕λ=1–nr,nr=1,2,… pontokban (a számlálóbeli -függvény pólusai), valamint a γ–Zαε=–nr=0 pontban (amennyiben egyidejűleg ϰ<0 ); amint azt elvárjuk, e pontok egybeesnek a diszkrét energiaértékekkel.

Így valamely pólus közelében ( nr≠0 )

e2iδϰ≈(((Zαm/λ)–ϰ)eiπ(l–γ)/nrΓ(2γ+1+nr))Γ(γ+1–(Zαε/λ)).

A -függvény alakját pólushelye körül a közismert Γ(z)Γ(1–z)=π∕sinπz összefüggés segítségével határozhatjuk meg:

Γ(γ+1–(Zαε/λ))≈(π/Γ(nr)sinπ(γ+1–Zαε∕λ)),

sinπ(γ+1–(Zαε/λ))≈πcosπnr⋅(d/dε)((Zαε/λ))⋅(ε–ε0)=(–1)nr(πZαm2/λ3)(ε–ε0)

( az energiaszint). Ily módon^[115]

4.56. egyenlet - (36,21)

e^{2 i δ_{ϰ}} \approx {(- 1)}^{l + n_{r}} \frac{e^{- i π γ} (\frac{Z α m}{λ} - ϰ)}{n_{r}! Γ (2 γ + 1 + n_{r})} \frac{λ^{3}}{Z α m^{2}} \frac{1}{𝜀 - 𝜀_{0}} .

Az előző szakasz végén olyan összefüggést vezettünk le, amely kapcsolatot teremt az e2iδϰ függvény pólushelyén vett reziduuma és a megfelelő kötött állapot hullámfüggvénye aszimptotikus kifejezésének együtthatója között. Coulomb-tér esetében azonban a (35,10) képlet valamelyest megváltozik, amely változás azzal kapcsolatos, hogy a (35,7)-beli állandó fáziseltolás helyett (36,15)-ben δϰ+νln(2pr) áll. Ezért (35,10) bal oldalán nem e2iδϰ írandó, hanem

A (36,21) összefüggést felhasználva és az együtthatót (35,10)-ből meghatározva (amely hatványfüggvénye lesz ez esetben), adódik a diszkrét spektrumbeli normált hullámfüggvény aszimptotikus alakja:

4.57. egyenlet - (36,22)

f = {[\frac{(Z α m ∕ λ - ϰ) (m + 𝜀) λ^{2}}{2 n_{r}! Z α m^{2} Γ (2 γ + 1 + n_{r})}]}^{1 ∕ 2} {(2 λ r)}^{n_{r} + γ} \frac{e^{- λ r}}{r} .

Ezt a képletet használtuk fel a (36,11)-beli együttható meghatározására.

^[109] A szokásos egységekben U=–Ze2∕r . A relativisztikus egységekre való áttérés során -t dimenziótlan helyettesítjük.

^[110] A kevésbé divergens megoldás választását egy valamely értéknél „levágott” potenciál vizsgálatával és az r0→0 határátmenet későbbi elvégzésével lehet megalapozni, amint azt III. 35. §-ban tettük.

^[111] Ezt a kérdést „levágott” potenciálok esetére V. Sz. Popov tanulmányozta (Jagyernaja Fizika, 12, 429 (1970); ZSETF, 59, 965 (1970)).

^[112] E szakaszban a továbbiak során a |p|=√(ε2–m2) -et jelöli.

^[113] Csakúgy, mint a Schrödinger-egyenlet esetén, a Coulomb-potenciál csökkenésének lassúsága a hullám fázisának deformációjára vezet, a fázis az lassan változó függvényévé válik.