Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A legfontosabb speciális eset, a Coulomb-térben való mozgás tanulmányozását a
hullámfüggvény kis távolságokon mutatott viselkedésével kezdjük. A határozottság
kedvéért vonzó teret választunk: .[109]
Kis esetén a (35,5) egyenletekben az
-mel arányos tagok elhagyhatók; ekkor
Az és
függvények egyenrangúan lépnek be az egyenletrendszerbe. Ezért
mindkettőre
-nek azonos hatványfüggvényét tételezzük fel:
. Az egyenletekbe való behelyettesítéssel az
Legyen . Ekkor
valós, és a két érték közül a pozitívat kell választanunk: az ennek
megfelelő megoldás vagy nem divergál az
pontban, vagy a másiknál kevésbé gyorsan teszi azt.[110] Ily módon:
Bár a hullámfüggvény esetén divergálhat (ha
),
integrálja konvergens marad.
Ha , akkor
(36,2)-ből vett mindkét értéke
képzetes. A megfelelő megoldások
esetén oszcillálnak [
szerint], ami megint csak, mint azt korábban már megmutattuk, a
relativisztikus elméletben megengedhetetlen vonzócentrumba-esésnek felel meg. Minthogy
, eszerint a Dirac-elméletben a tisztán Coulomb-térben való mozgás
vizsgálatának csak
, azaz
esetén van értelme.
A valóságos helyzetben természetesen a mag véges mérete miatt kis távolságokon a mag
potenciáljának menete eltér a
Coulomb-potenciáltól. Ez elvileg a nagyobb -jű magok létezését is lehetővé teszi.[111]
Meg kell jegyeznünk, hogy a sugárzási korrekciók miatt a potenciál menete kis
távolságokra még pontszerű mag esetén is eltér a Coulomb-félétől, ami szintén
megváltoztatja a fenti eredményt. -hez közeli
-k esetére azonban ezeket a korrekciókat mindeddig nem tanulmányozták.
Fogjunk hozzá a hullámegyenlet pontos megoldásához (G. Darwin , 1928; W. Gordon , 1928).
a) Diszkrét spektrum (). Az
és
függvényeket az
alakban keressük, ahol ,
ismeretlen függvények; bevezettük a
jelöléseket. Ez az alak természetes választásnak tűnik, minthogy ismerjük a
függvény (36,2) viselkedését és exponenciális csillapodását
a
esetén. Minthogy
esetén az
és
függvények egyformán viselkednek, ezért
-re várhatóan
.
(36,3)-at (35,4)-be helyettesítve, a következő egyenletekre jutunk:
(a vessző szerinti deriválást jelent). Összegük és különbségük a következő
egyenletekre vezet:
vagy , illetve
kiküszöbölésével
[vegyük figyelembe, hogy ]. Ezeknek az egyenleteknek
esetén véges megoldásai:
ahol az elfajult hipergeometrikus függvény. A (36,5) egyenletek valamelyikét a
helyen véve, az
és
állandók között a következőösszefüggés adódik:
Mindkét (36,6)-beli hipergeometrikus
függvénynek polinommá kell redukálódnia (ellenkező esetben ként növekednének, és velük
-ként növekedne a teljes hullámfüggvény is). Az
függvény akkor redukálódik polinommá, ha az
paraméter negatív egész vagy nulla. Vezessük ezért be a
jelölést. Ha , akkor mindkét hipergeometrikus függvény polinom. Ha azonban
, akkor csak egyikük viselkedik polinomként. Az
eset azonban
-nak felel meg, és ekkor, mint az könnyen belátható,
. Ha
, akkor a
együttható nulla, azaz
, és az
és
azonos aszimptotikájára vonatkozó korábbi követelmény teljesül. Ha
, akkor
, és
az
esetben divergenssé válik. Így az
kvantumszám következőértékei megengedettek:
A (36,8) definícióból a diszkrét
spektrum megengedett energiaértékeire a következő kifejezés
adódik:
Ha , a sorfejtés első tagjai a következők:
Bevezetve az jelölést és figyelembe véve, hogy
, a (34,4) képletre jutunk, melyet
korábban a perturbációszámítás segítségével kaptunk meg. Mint erre már a 34. §-ban rámutattunk, e sorfejtés további tagjai
értelmetlenek, minthogy azokat a sugárzási korrekciók mindenképp felülmúlják. A (36,10) képlet
esetén pontos formájában értelmes marad. Megjegyezzük, hogy az
energiaszinteknek a (34,4) képletben jelenlevő
kétszeres elfajulását a pontos
összefüggés is őrzi, minthogy csak
jelenik meg benne, így a különböző
-ekhez tartozó szintek azonos
esetén egybeesnek.
A hullámfüggvényben már csak az normálási állandó meghatározása marad
vissza. A diszkrét spektrum hullámfüggvényét, mint mindig, az
feltétellel normáljuk; az
és
függvény szempontjából ez az
feltétellel ekvivalens. A megadása legegyszerűbb az esetén adódó aszimptotikus alakok révén. Az
aszimptotikus alak [l. III. (d,14)] segítségével adódik, hogy
Ezt a későbbi, (36,22)
kifejezéssel összehasonlítva, -ra a következő kifejezést kapjuk:
Végül összegyűjtjük a kapott képleteket, és leírjuk a normált hullámfüggvények végleges alakját:
(a felső előjelek -re, az alsók
-re vonatkoznak).
b) Folytonos spektrum (). Nem szükséges a hullámegyenleteket újból megoldani a folytonos
spektrum állapotaira. A diszkrét spektrum hullámfüggvényeiből ez az eset a következő
helyettesítéssel adódik:[112]
( analitikus folytatása során az előjelválasztásra vonatkozó
tudnivalókat l. III. 128. §-ban). A függvények normálását azonban újra el kell
végeznünk.
(36,11)-ben elvégezve a fenti helyettesítést,
és
a következő alakú lesz:
ahol az új normálási állandó, és bevezettük a következő jelöléseket:
[ valós, mivel
].
Az ismert
összefüggés szerint [l. III. (d,10)]:
E függvények aszimptotikus alakját a III. (d,14) képlet révén adhatjuk meg, amelyből
ez esetben csak az első tag marad vissza, mivel a második tag magasabb hatványával csökken:[113]
A későbbi utalásokhoz jegyezzük meg a fázis ultrarelativisztikus
határesetbeli kifejezését ():
(36,15)-öt összehasonlítva a (35,7) általános összefüggéssel, amely a normált
gömbhullám kifejezését adja meg [figyelembe véve még
és
(35,1) definícióját], lehetségessé
válik az
normáló konstans meghatározása:
Ezzel a folytonos spektrum hullámfüggvényeinek végleges alakja:[114]
Analitikusan folytatva az tartományba, a (36,17) kifejezés a
következő alakotölti:
Ennek a kifejezésnek pólusai vannak a pontokban (a számlálóbeli
-függvény pólusai), valamint a
pontban (amennyiben egyidejűleg
); amint azt elvárjuk, e pontok egybeesnek a diszkrét
energiaértékekkel.
Így valamely pólus közelében ()
A -függvény alakját pólushelye körül a közismert
összefüggés segítségével határozhatjuk meg:
( az energiaszint). Ily módon[115]
Az előző szakasz végén olyan összefüggést vezettünk le, amely kapcsolatot teremt az
függvény pólushelyén vett reziduuma és a megfelelő kötött állapot
hullámfüggvénye aszimptotikus kifejezésének együtthatója között. Coulomb-tér esetében
azonban a (35,10) képlet valamelyest megváltozik,
amely változás azzal kapcsolatos, hogy a (35,7)-beli
állandó
fáziseltolás helyett (36,15)-ben
áll. Ezért (35,10) bal oldalán nem
írandó, hanem
A (36,21) összefüggést
felhasználva és az együtthatót (35,10)-ből
meghatározva (amely
hatványfüggvénye lesz ez esetben), adódik a diszkrét spektrumbeli
normált hullámfüggvény aszimptotikus alakja:
Ezt a képletet használtuk fel a (36,11)-beli együttható meghatározására.
[109] A szokásos egységekben . A relativisztikus egységekre való áttérés során
-t dimenziótlan
helyettesítjük.
[110] A kevésbé divergens megoldás választását egy valamely értéknél „levágott”
potenciál vizsgálatával és az határátmenet későbbi elvégzésével lehet megalapozni, amint azt
III. 35. §-ban tettük.
[111] Ezt a kérdést „levágott” potenciálok esetére V. Sz. Popov tanulmányozta (Jagyernaja Fizika, 12, 429 (1970); ZSETF, 59, 965 (1970)).
[112] E szakaszban a továbbiak során a
-et jelöli.
[113] Csakúgy, mint a Schrödinger-egyenlet esetén, a Coulomb-potenciál csökkenésének
lassúsága a hullám fázisának deformációjára vezet, a fázis az lassan változó függvényévé válik.
[114] Taszító tér esetében a hullámfüggvényeket előjelének (és egyúttal
előjelének) megváltoztatásával kapjuk.
[115] Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy ez a képlet esetén is érvényes marad.