Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Külön vizsgáljuk az ultrarelativisztikus szórás esetét (). Első közelítésben teljesen elhanyagoljuk
-et a hullámegyenletben. Ekkor
-t érdemes spinorreprezentációban használni,
esetén a
-re és
-ra vonatkozó egyenletek szeparálódnak
(„neutrino” alakúak lesznek, l. 30. §).
A irányban polarizált elektron helicitásállapotát a
függvény írja le, a
irányúét pedig
. A
-re és
-ra vonatkozó egyenlet szeparálhatósága miatt nyilvánvaló, hogy a
szórás során ez a tulajdonság változatlanul megmarad. Más szavakkal,
ultrarelativisztikus elektronok szórása során a helicitás megmarad .
Szimmetriamegfontolásokból (longitudinális polarizáció ) nyilvánvaló, hogy az azimutális
aszimmetria határozott helicitású részecskék
szórása során eltűnik. Az is világos, hogy a határozott helicitású elektronok szórási
hatáskeresztmetszete független a helicitás előjelétől; ez annak következménye, hogy a
centrális tér invariáns inverzió (középpontos tükrözés) esetén, a helicitás viszont
ekkor előjelet vált.
A (37,3)…(37,5) képletek ultrarelativisztikus esetben jelentősen egyszerűsíthetők (D. R. Yennie , D. G. Ravenhall , R. N. Wilson , 1954).
Legyen a beeső elektron az irányban polarizált. Síkhullámot tekintve, határozott
érték esetén a
[
] spinor ugyanazzal a háromdimenziós
spinorral arányos, amely a standard reprezentációban fordul elő. Ezért
a beeső és szórt hullámok amplitúdói közötti összefüggést az új reprezentációban is
ugyanaz az
operátor adja meg.
A szórás eredményeként a polarizáció az impulzussal együtt az irányba fordul. Az
operátornak az elektron spin-hullámfüggvényére való hatása így a
spinnek a
tengely körüli
szögű elforgatására (
az
és
közötti szög) redukálódik. Ezt az elforgatást a koordináta-rendszer
azonos tengely körüli
szöggel, tehát ellentétes irányú elforgatásával helyettesíthetjük.
Ebből következik, hogy az
operátornak meg kell egyeznie a hullámfüggvényt az említett
koordinátatranszformáció során a megfelelő módon transzformáló, azaz a (18,17) operátorral a
helyettesítés elvégzése után. (37,3)-at (18,17)-tel összehasonlítva, a
következő kapcsolatot találjuk
és
között:
Így ultrarelativisztikus határesetben
(37,4) kifejezését szintén egyszerűbb alakra
hozhatjuk, felhasználva a és
fázisok között ebben a határesetben fellépő összefüggést.
Levezetéséhez vegyük észre, hogy a (35,4) egyenlet az
-mel arányos tagok elhagyása után invariáns a következő
helyettesítésre:
amely nem érinti a részecskének vagy a térnek egyetlen paraméterét
sem. Ezért az összefüggésnek fenn kell állnia, amelyből az aszimptotikus kifejezések
behelyettesítése után
adódik, amiből következik, hogy
Ezt az összefüggést felhasználva [és az (37,4)-beli összeg első tagjában az összegező indexet -ről
-re változtatva] kapjuk, hogy[119]
(38,2)-ből következik. Ez azt jelenti, hogy a vizsgált közelítésben a
hatáskeresztmetszet független a kezdeti polarizációs állapottól, és a polarizálatlan
nyaláb polarizálatlan marad a szórás után is [l. a III. (140,8)…(140,10)
összefüggéseket]. Megjegyezzük még, hogy
esetén
(38,5)-beli kifejezése
-ként tart nullához [vegyük figyelembe, hogy
]. Ezzel együtt nullához tart a hatáskeresztmetszet is,
A felsorolt tulajdonságok természetesen nem maradnak érvényben az
szerinti közelítés során. Az elemzés többek között megmutatja, hogy
esetén a hatáskeresztmetszet
-tel arányos határértékhez tart.
Coulomb-tér esetén ultrarelativisztikus határesetben a fázisok energiafüggetlenek, amint
az (36,18)-ból látható.[120] Ezért a tisztán Coulomb-térben a hatáskeresztmetszet esetén
alakú, ahol csak
függvénye.