ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Az elektronok és az elektromágneses tér kölcsönhatását a perturbációszámítás segítségével vizsgálhatjuk. Ez azzal függ össze, hogy az elektromágneses kölcsönhatás viszonylag gyenge, amit a megfelelő, dimenzió nélküli „csatolási állandó” – az α=(e2/ℏc)=(1/137) finomstruktúra állandó kicsinysége fejez ki. Az utóbbi tény alapvető szerepet játszik a kvantumelektrodinamikában.

A klasszikus elektrodinamikában (l. II. 28. §) a kölcsönhatást a „tér + töltések” rendszer Lagrange-függvényében fellépő

5.1. egyenlet - (43,1)

- e j^{μ} A_{μ}

tag írja le ( a tér négyespotenciálja, a részecskék négyesáramsűrűség-vektora). Az áramsűrűség-vektor emellett eleget tesz a

5.2. egyenlet - (43,2)

\partial_{μ} j^{μ} = 0

kontinuitási egyenletnek, mely a töltésmegmaradás törvényét fejezi ki. Emlékeztetünk (l. II. 29. §), hogy az elmélet mértékinvarianciája éppen e törvénnyel függ szorosan össze. Valóban, a (4,1)-beli Aμ→Aμ+∂μχ helyettesítéskor (43,1) a –ejμ∂μχ taggal bővül, amely (43,2)értelmében négyesdivergenciaként írható:

és ezért az S=∫Ld4x hatás már nem tartalmazza, az integrálás során eltűnik.

A kvantumelektrodinamikában a és négyesvektorokat a megfelelő másodkvantált operátorok helyettesítik. Az áramsűrűség-vektort a -operátorokkal fejezhetjük ki, j=Ψ̄γΨ . A , és játsszák a általános „koordináták” szerepét az

Lagrange-operátorban. Mivel csak a „koordinátáktól” függ (ezek szerinti deriváltjaitól nem), ezért (10,11) szerint a Hamilton-operátor sűrűsége a Lagrange-operátor sűrűségének -szerese.^[135] Ily módon az elektromágneses kölcsönhatás operátora (a kölcsönhatási Hamilton-operátor sűrűségének tér szerinti integrálja)

5.3. egyenlet - (43,3)

V = e \int (j A) d^{3} x .

A szabad elektromágneses tér operátora ,

5.4. egyenlet - (43,4)

A = \sum_{n} [c_{n} A_{n} (x) + c_{n}^{+} A_{n}^{*} (x)],

a különbözőállapotú ( indexszel jelölt) fotonok keltőés eltüntető operátorait tartalmazza. Ezeknek csak olyan mátrixelemei különböznek nullától, ahol a kezdeti állapotban az betöltési szám eggyel kisebb, ill. nagyobb, mint a végállapotban (a többi betöltési szám nem változhat). Ezért az operátornak is csak olyan el nem tűnő mátrixelemei lehetnek, amikor is az átmenet során a fotonok száma eggyel változik. Más szavakkal kifejezve, a perturbációszámítás első közelítésében csak egyetlen foton emisszióját vagy abszorpcióját vizsgálhatjuk.

(2,15) szerint

5.5. egyenlet - (43,5)

⟨ N_{n} - 1 ∣ c_{n} ∣ N_{n} ⟩ = ⟨ N_{n} ∣ c_{n}^{+} ∣ N_{n} - 1 ⟩ = \sqrt{N_{n}} .

Előfordulhat, hogy a kezdeti állapotban nincs ( típusú) foton, ekkor az előző mátrixelem ⟨1∣cn+∣0⟩ . A (43,3) operátor mátrixeleme fotonemissziós folyamatra

5.6. egyenlet - (43,6)

V_{f i} (t) = e \int (j_{f i} A_{n}^{*}) d^{3} x,

ahol An(x) a kisugárzott foton hullámfüggvénye, jfi a operátor mátrixeleme a fotont kisugárzó rendszer kezdeti és végállapota között.^[136] A jfiμ=(ϱfi,jfi) négyesvektor neve átmeneti áram .

Hasonlóan kapjuk a fotonabszorpciós folyamat mátrixelemét

5.7. egyenlet - (43,7)

V_{f i} (t) = e \int (j_{f i} A_{n}) d^{3} x .

Ez (43,6)-tól csupán annyiban különbözik, hogy An∗(x) helyett An(x) jelenik meg.

A Vfi mátrixelemek a idő függvényei. A hullámfüggvények időtől függő tényezőjét kiemelve, a szokásos módon áttérhetünk az időfüggetlen mátrixelemre:

5.8. egyenlet - (43,8)

V_{f i} (t) = V_{f i} e^{- i (E_{i} - E_{f} \mp ω) t}

(, a sugárzó rendszer kezdeti és végállapotbeli energiája; a kitevőbenáll aszerint, hogy a rendszer kisugárzott vagy elnyelt egy energiájú fotont).

Adott impulzusú és adott polarizációjú foton hullámfüggvénye

5.9. egyenlet - (43,9)

A^{μ} = \sqrt{4 π} \frac{e^{μ}}{\sqrt{2 ω}} e^{i k r}

[lásd (4,3); az időfüggő tényezőt elhagytuk]. Ezt (43,6)-ba helyettesítve, kapjuk a fotonemisszió mátrixelemét

5.10. egyenlet - (43,10)

V_{f i} = e \sqrt{4 π} \frac{1}{\sqrt{2 ω}} e_{μ}^{*} j_{f i}^{μ} (k),

ahol jfi(k) az átmeneti áram impulzusreprezentációban

5.11. egyenlet - (43,11)

j_{f i} (k) = \int j_{f i} (r) e^{- i k r} d^{3} x .

Hasonlóan kapjuk a fotonabszorpció mátrixelemét

5.12. egyenlet - (43,12)

V_{f i} = e \sqrt{4 π} \frac{1}{\sqrt{1 ω}} e_{μ} j_{f i}^{μ} (- k) .

Az árammegmaradást impulzusreprezentációban az átmeneti áram és a négyes impulzus ortogonalitása fejezi ki:

5.13. egyenlet - (43,13)

k_{μ} j_{f i}^{μ} = ω ϱ_{f i} (k) - {k j}_{f i} (k) = 0 .

Az ebben a szakaszban felírt összefüggések, melyekben az áramsűrűség-operátor explicit alakja nem szerepelt, általános érvényűek, és tetszőleges töltött részecskék elektromágneses kölcsönhatásaira fennállnak. A jelenleg ismert elmélet csak elektronra képes az áram operátoralakját megadni (és mátrixelemét elvileg meghatározni). Erősen kölcsönható részecskék rendszerére (az atommagot is beleértve) való alkalmazás során csak félfenomenologikus elméletre támaszkodhatunk, melyben az átmeneti áramok a tapasztalatból vett, a téridő szimmetria általános követelményeit és a kontinuitási egyenletet kielégítő mennyiségek.

^[135] A fenti megfontolástól függetlenül utalunk rá, hogy minden, a Lagrange-operátort módosító, elsőrendűen kicsi korrekció a Hamilton-operátorban ellentétes előjellel lép fel (l. I. 40. §).

^[136] A (43,6) jelölés kissé következetlen: Vfi indexei a teljes „sugárzó + tér” rendszerre vonatkoznak, jfi indexei pedig csak a fotont kisugárzó objektum kezdeti és végállapotát jelölik.