Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Tartalom
Az elektronok és az elektromágneses tér kölcsönhatását a perturbációszámítás
segítségével vizsgálhatjuk. Ez azzal függ össze, hogy az elektromágneses kölcsönhatás
viszonylag gyenge, amit a megfelelő, dimenzió nélküli „csatolási állandó” – az
finomstruktúra állandó kicsinysége fejez ki. Az utóbbi tény alapvető
szerepet játszik a kvantumelektrodinamikában.
A klasszikus elektrodinamikában (l. II. 28. §) a kölcsönhatást a „tér + töltések” rendszer Lagrange-függvényében fellépő
tag írja le ( a tér négyespotenciálja,
a részecskék négyesáramsűrűség-vektora). Az áramsűrűség-vektor
emellett eleget tesz a
kontinuitási egyenletnek, mely a töltésmegmaradás törvényét fejezi ki.
Emlékeztetünk (l. II. 29. §), hogy az elmélet mértékinvarianciája éppen e törvénnyel
függ szorosan össze. Valóban, a (4,1)-beli
helyettesítéskor (43,1) a
taggal bővül, amely (43,2)értelmében
négyesdivergenciaként írható:
és ezért az hatás már nem tartalmazza, az integrálás során eltűnik.
A kvantumelektrodinamikában a és
négyesvektorokat a megfelelő másodkvantált operátorok helyettesítik.
Az áramsűrűség-vektort a
-operátorokkal fejezhetjük ki,
. A
,
és
játsszák a
általános „koordináták” szerepét az
Lagrange-operátorban. Mivel csak a
„koordinátáktól” függ (ezek
szerinti deriváltjaitól nem), ezért (10,11) szerint a Hamilton-operátor sűrűsége a Lagrange-operátor sűrűségének
-szerese.[135] Ily módon az elektromágneses kölcsönhatás operátora (a kölcsönhatási
Hamilton-operátor sűrűségének tér szerinti integrálja)
A szabad elektromágneses tér operátora ,
a különbözőállapotú ( indexszel jelölt) fotonok keltőés eltüntető operátorait tartalmazza.
Ezeknek csak olyan mátrixelemei különböznek nullától, ahol a kezdeti állapotban az
betöltési szám eggyel kisebb, ill. nagyobb, mint a végállapotban (a
többi betöltési szám nem változhat). Ezért az
operátornak is csak olyan el nem tűnő mátrixelemei lehetnek, amikor is
az átmenet során a fotonok száma eggyel változik. Más szavakkal kifejezve, a
perturbációszámítás első közelítésében csak egyetlen foton emisszióját vagy
abszorpcióját vizsgálhatjuk.
(2,15) szerint
Előfordulhat, hogy a kezdeti állapotban nincs ( típusú) foton, ekkor az előző mátrixelem
. A (43,3) operátor mátrixeleme
fotonemissziós folyamatra
ahol a kisugárzott foton hullámfüggvénye,
a
operátor mátrixeleme a fotont kisugárzó rendszer
kezdeti és
végállapota között.[136] A
négyesvektor neve átmeneti áram .
Hasonlóan kapjuk a fotonabszorpciós folyamat mátrixelemét
Ez (43,6)-tól csupán annyiban különbözik,
hogy helyett
jelenik meg.
A mátrixelemek a
idő függvényei. A hullámfüggvények időtől függő tényezőjét kiemelve, a
szokásos módon áttérhetünk az időfüggetlen mátrixelemre:
(,
a sugárzó rendszer kezdeti és végállapotbeli energiája; a
kitevőben
áll aszerint, hogy a rendszer kisugárzott vagy elnyelt egy
energiájú fotont).
Adott impulzusú és adott polarizációjú foton hullámfüggvénye
[lásd (4,3); az időfüggő tényezőt
elhagytuk]. Ezt (43,6)-ba helyettesítve, kapjuk a
fotonemisszió mátrixelemét
ahol az átmeneti áram impulzusreprezentációban
Hasonlóan kapjuk a fotonabszorpció mátrixelemét
Az árammegmaradást impulzusreprezentációban az átmeneti áram és a négyes impulzus ortogonalitása fejezi ki:
Az ebben a szakaszban felírt összefüggések, melyekben az áramsűrűség-operátor explicit alakja nem szerepelt, általános érvényűek, és tetszőleges töltött részecskék elektromágneses kölcsönhatásaira fennállnak. A jelenleg ismert elmélet csak elektronra képes az áram operátoralakját megadni (és mátrixelemét elvileg meghatározni). Erősen kölcsönható részecskék rendszerére (az atommagot is beleértve) való alkalmazás során csak félfenomenologikus elméletre támaszkodhatunk, melyben az átmeneti áramok a tapasztalatból vett, a téridő szimmetria általános követelményeit és a kontinuitási egyenletet kielégítő mennyiségek.
[135] A fenti megfontolástól függetlenül utalunk rá, hogy minden, a Lagrange-operátort módosító, elsőrendűen kicsi korrekció a Hamilton-operátorban ellentétes előjellel lép fel (l. I. 40. §).