ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

45.§. A dipólussugárzás

A kapott képleteket alkalmazzuk arra az esetre, amikor a fotont adott külső térben (általában relativisztikusan) mozgó elektron sugározza ki. Az átmeneti áram ez esetben a

operátor mátrixeleme, amelyben a -operátorokat az adott térben mozgó elektron stacionárius állapotainak hullámfüggvényei szerint fejtettük ki 32(32. §). Az elektron állapotból állapotba való átmenetét a ⟨0i1f∣j∣1i0f⟩ mátrixelem írja le. A betöltési szám ilyen változását az af+ai operátor valósítja meg, az átmeneti áramra a

5.25. egyenlet - (45,1)

j_{f i}^{μ} = {\bar{ψ}}_{f} γ^{μ} ψ_{i} = (ψ_{f}^{*} ψ_{i}, ψ_{f}^{*} α ψ_{i})

kifejezést kapjuk, ahol és az elektron kezdeti és végállapotának hullámfüggvényei.

A foton hullámfüggvényét (háromdimenziós transzverzális mértékben) Coulomb-mértékben adjuk meg [a polarizációs négyesvektor e=(0,e) ]. Ekkor (43,10)-ben jfie∗=–jfie∗ . Vfi -t (44,4)-be helyettesítve kapjuk az polarizációjú foton , térszögbe való kisugárzásának ( alatti) valószínűségére, hogy

5.26. egyenlet - (45,2)

d w_{e n} = e^{2} \frac{ω}{2 π} | e^{*} j_{f i} (k) |^{2} d Ω,

ahol

5.27. egyenlet - (45,3)

j_{f i} (k) = \int ψ_{f}^{*} α ψ_{i} \cdot e^{- i k r} d^{3} x .

A foton polarizációjára úgy összegzünk, hogy először irányaira (az adott n=k∕ω vektorra merőleges síkban) átlagolunk, majd az eredményt -vel szorozzuk, a foton két lehetséges transzverzális polarizációjának megfelelően.^[141] Így kapjuk, hogy

5.28. egyenlet - (45,4)

d w_{n} = e^{2} \frac{ω}{2 π} | n \times j_{f i} (k) |^{2} d Ω .

Fontos az az eset, amikor a foton hullámhossza nagy a sugárzó rendszer méretéhez képest. Ez általában azzal függ össze, hogy a részecske sebessége kicsi a fénysebességhez képest. a∕λ -ban első rendig számolva (a dipólussugárzásnak megfelelően – vö. II. 67. §), a (45,3) átmeneti áramban az e–ikr tényező, mely csak keveset változik abban a tartományban, ahol vagy lényegesen különbözik nullától, -nek vehető. Más szavakkal kifejezve ez azt jelenti, hogy a foton impulzusát a rendszerbeli részecskék impulzusához képest elhanyagoljuk.

Ebben a közelítésben jfi(0) nemrelativisztikus alakjával helyettesíthető, ami azt jelenti, hogy az elektron sebességének vfi mátrixelemét kell kiszámítani Schrödinger-képbeli hullámfüggvények között. Ez a mátrixelem, vfi=–iωrfi , és erfi=dfi , ahol az elektron (pályamozgásból származó) dipólusmomentuma. Így kapjuk a dipólussugárzás valószínűségére a következő képletet:

5.29. egyenlet - (45,5)

d w_{e n} = \frac{ω^{3}}{2 π} | e^{*} d_{f i} |^{2} d Ω

(az irány implicit módon fordul elő: az vektornak merőlegesnek kell lennie-re). A polarizációra összegezve kapjuk, hogy

5.30. egyenlet - (45,6)

d w_{n} = \frac{ω^{3}}{2 π} | n \times d_{f i} |^{2} d Ω .

Tekintve, hogy a fenti összefüggés nemrelativisztikus (az elektronra nézve), könnyű általánosítani tetszőleges, elektronokból álló rendszerre: dfi -n a rendszer teljes dipólusmomentumának mátrixelemét kell érteni.

Ha (45,6)-ot az irány szerint kiintegráljuk, megkapjuk a sugárzás teljes valószínűségét:

5.31. egyenlet - (45,7)

w = \frac{4 ω^{3}}{3} | d_{f i} |^{2},

vagy a szokásos egységekben:

5.32. egyenlet - (45,7a)

w = \frac{4 ω^{3}}{3 ℏ c^{3}} | d_{f i} |^{2} .

A sugárzás intenzitását úgy kapjuk, hogy a valószínűséget -val szorozzuk:

5.33. egyenlet - (45,8)

I = \frac{4 ω^{4}}{3 c^{3}} | d_{f i} |^{2} .

Ez a képlet közvetlen analógiát mutat a periodikusan mozgó részecskékből álló rendszer dipólussugárzásának intenzitását megadó klasszikus képlettel [lásd II. (67,11)]: az ωs=sω ( a mozgó részecskék frekvenciája, egész szám) frekvenciájú sugárzás intenzitása

5.34. egyenlet - (45,9)

I_{s} = \frac{4 ω_{s}^{4}}{3 c^{3}} | d_{s} |^{2},

ahol a dipólusmomentum megfelelő Fourier-komponense , azaz

5.35. egyenlet - (45,10)

d (t) = \sum_{s = - \infty}^{\infty} d_{s} e^{- i s ω t} .

A (45,8) kvantumelméleti összefüggést (45,9)-ből úgy kapjuk, hogy a Fourier-komponenst a megfelelőátmeneti mátrixelemmel helyettesítjük. E szabály (amely a Bohr-féle korrespondencia-elv megnyilvánulása) speciális esete a klasszikus mennyiségek Fourier-komponensei és a kvantumelméleti mátrixelemek között kváziklasszikus közelítésben fennállóáltalános megfeleltetésnek (lásd III. 48. §). Magas kvantumszámúállapotok közötti átmenet esetén a sugárzás kváziklasszikus. Ekkor az átmeneti frekvencia, ℏω=Ei–Ef kicsi a sugárzóés energiaszintjeihez képest. Ez a körülmény azonban nem okoz semmiféle változást a (45,8) összefüggésben, amely tetszőleges átmenetre érvényes. Ezzel magyarázható az a (bizonyos értelemben véletlen) tény, hogy a korrespondencia-elv a sugárzás intenzitására vonatkozóan nem csak a kváziklasszikus esetben, hanemáltalánosan is érvényes.

^[141] Az átlagoláshoz az eiek∗¯=(1/2)(δik–nink) (45,4a) (ae)(be∗)¯=(1/2){ab–(an)(bn)}=(1/2)(a×n)(b×n)(45,4b) összefüggés használható, ahol , állandó vektorok [l. II. (78,6)].