Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A kapott képleteket alkalmazzuk arra az esetre, amikor a fotont adott külső térben (általában relativisztikusan) mozgó elektron sugározza ki. Az átmeneti áram ez esetben a
operátor mátrixeleme, amelyben a -operátorokat az adott térben mozgó elektron stacionárius állapotainak
hullámfüggvényei szerint fejtettük ki 32(32. §). Az
elektron
állapotból
állapotba való átmenetét a
mátrixelem írja le. A betöltési szám ilyen változását az
operátor valósítja meg, az átmeneti áramra a
kifejezést kapjuk, ahol és
az elektron kezdeti és végállapotának hullámfüggvényei.
A foton hullámfüggvényét (háromdimenziós transzverzális mértékben) Coulomb-mértékben
adjuk meg [a polarizációs négyesvektor ]. Ekkor (43,10)-ben
.
-t (44,4)-be helyettesítve kapjuk az
polarizációjú foton
, térszögbe való kisugárzásának (
alatti) valószínűségére, hogy
A foton polarizációjára úgy összegzünk, hogy először irányaira (az adott
vektorra merőleges síkban) átlagolunk, majd az eredményt
-vel szorozzuk, a foton két lehetséges transzverzális polarizációjának
megfelelően.[141] Így kapjuk, hogy
Fontos az az eset, amikor a foton hullámhossza nagy a sugárzó rendszer
méretéhez képest. Ez általában azzal függ össze, hogy a részecske
sebessége kicsi a fénysebességhez képest.
-ban első rendig számolva (a dipólussugárzásnak megfelelően –
vö. II. 67. §), a (45,3) átmeneti áramban az
tényező, mely csak keveset változik abban a tartományban, ahol
vagy
lényegesen különbözik nullától,
-nek vehető. Más szavakkal kifejezve ez azt jelenti, hogy a foton
impulzusát a rendszerbeli részecskék impulzusához képest elhanyagoljuk.
Ebben a közelítésben nemrelativisztikus alakjával helyettesíthető, ami azt jelenti, hogy az
elektron sebességének
mátrixelemét kell
kiszámítani Schrödinger-képbeli hullámfüggvények között. Ez a mátrixelem,
, és
, ahol
az elektron (pályamozgásból származó) dipólusmomentuma. Így kapjuk a
dipólussugárzás valószínűségére a következő képletet:
(az irány implicit módon fordul elő: az
vektornak merőlegesnek kell lennie
-re). A polarizációra összegezve kapjuk, hogy
Tekintve, hogy a fenti összefüggés nemrelativisztikus (az elektronra nézve), könnyű
általánosítani tetszőleges, elektronokból álló rendszerre: -n a rendszer teljes dipólusmomentumának mátrixelemét kell érteni.
Ha (45,6)-ot az irány szerint kiintegráljuk, megkapjuk a sugárzás teljes valószínűségét:
A sugárzás intenzitásátúgy kapjuk, hogy a valószínűséget
-val szorozzuk:
Ez a képlet közvetlen analógiát mutat a periodikusan mozgó részecskékből álló
rendszer dipólussugárzásának intenzitását megadó klasszikus képlettel
[lásd II. (67,11)]: az (
a mozgó részecskék frekvenciája,
egész szám) frekvenciájú sugárzás intenzitása
ahol a dipólusmomentum megfelelő Fourier-komponense , azaz
A (45,8) kvantumelméleti
összefüggést (45,9)-ből úgy kapjuk, hogy a
Fourier-komponenst a megfelelőátmeneti mátrixelemmel helyettesítjük. E szabály (amely a
Bohr-féle korrespondencia-elv megnyilvánulása) speciális esete a
klasszikus mennyiségek Fourier-komponensei és a kvantumelméleti mátrixelemek között
kváziklasszikus közelítésben fennállóáltalános megfeleltetésnek (lásd III. 48. §). Magas
kvantumszámúállapotok közötti átmenet esetén a sugárzás kváziklasszikus. Ekkor az
átmeneti frekvencia, kicsi a sugárzó
és
energiaszintjeihez képest. Ez a körülmény azonban nem okoz semmiféle
változást a (45,8) összefüggésben, amely tetszőleges
átmenetre érvényes. Ezzel magyarázható az a (bizonyos értelemben véletlen) tény, hogy a
korrespondencia-elv a sugárzás intenzitására vonatkozóan nem csak a kváziklasszikus
esetben, hanemáltalánosan is érvényes.