ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

46.. Az elektromos multipólus-sugárzás

A továbbiakban adott irányú (tehát adott impulzusú) foton kisugárzása helyett azt az esetet vizsgáljuk, amikor a kisugárzott foton impulzusmomentuma és annak valamilyen kiválasztott tengelyre való vetülete vesz fel meghatározott értéket. A 6. §-ban láttuk, hogy az ilyen fotonok elektromos vagy mágneses típusúak lehetnek; először az elektromos típusúakkal foglalkozunk. A sugárzó rendszer méreteit ismét kicsinek tekintjük a hullámhosszhoz képest.

A számítás során előnyös, ha a foton hullámfüggvényének impulzusreprezentáció-beli alakját használjuk, tehát az Aμ(r) négyesvektort Fourier-integrálként állítjuk elő. A mátrixelem ekkor

5.36. egyenlet - (46,1)

V_{f i} = e \int j_{f i}^{μ} (r) A_{μ}^{*} (r) d^{3} x = e \int d^{3} x \cdot j_{f i}^{μ} (r) \int \frac{d^{3} k}{{(2 π)}^{3}} A_{μ}^{*} (k) e^{- i k r}

(az írásmód egyszerűsítése érdekében a foton hullámfüggvényéből elhagytuk az ωjm indexeket).

Az -foton hullámfüggvényét (7,10)-ből vesszük, a tetszőleges állandót a következőképpen választjuk:

Ennek az a célja, hogy a hullámfüggvény térszerű komponenseiben a (j–1) -edrendű gömbfüggvényeket tartalmazó tagok eltűnjenek [ez (7,16)-ból látszik]. Így -ban csak (j+1) -edrendű gömbfüggvények maradnak, ezek járuléka Vfi -hez (amint az a továbbiakból látható) egy nagyságrenddel kisebb ( a∕λ magasabb hatványát tartalmazza), mint az A0≡Φ komponensből adódó járulék, mivel alacsonyabb, -edrendű gömbfüggvényeket tartalmaz. Tehát feltesszük, hogy

Aμ=(Φ,0), Φ=–√((j+1/j))(4π2/ω3∕2)δ(|k|–ω)Yjm(n)

( n=k∕ω ). Ezt (46,1)-be helyettesítve és a d|k| szerinti integrálást elvégezve kapjuk,

5.37. egyenlet - (46,2)

V_{f i} = - e \sqrt{\frac{j + 1}{j}} \frac{\sqrt{ω}}{2 π} \int d^{3} x \cdot ϱ_{f i} (r) \int d Ω_{n} e^{- i k r} Y_{j m}^{*} (n) .

A belső integrál kiszámításához (24,12)-t használjuk a következő alakban:

5.38. egyenlet - (46,3)

e^{i k r} = 4 π \sum_{l = 0}^{\infty} \sum_{m = - l}^{l} i^{l} g_{l} (k r) Y_{l m}^{*} (\frac{k}{k}) Y_{l m} (\frac{r}{r}),

ahol^[142]

5.39. egyenlet - (46,4)

g_{l} (k r) = \sqrt{\frac{π}{2 k r}} J_{l + \frac{1}{2}} (k r) .

(46,2)-be helyettesítve azt kapjuk, hogy

(a többi tag a gömbfüggvények ortogonalitása miatt eltűnik). Az a∕λ≪1 feltevés, következtében a d3x integrálban csak az a tartomány jelentős, amelyre ke≪1 . Ezért a gj(kr) függvényt szerinti sorának első tagjával lehet helyettesíteni:^[143]

5.40. egyenlet - (46,5)

g_{j} (k r) \approx \frac{{(k r)}^{j}}{(2 j + 1)!!} .

A végeredmény:

5.41. egyenlet - (46,6)

V_{f i} = {(- 1)}^{m + 1} i^{j} \sqrt{\frac{(2 j + 1) (j + 1)}{π j}} \frac{ω^{j + \frac{1}{2}}}{(2 j + 1)!!} e {(Q_{j, - m}^{(e)})}_{f i},

ahol

5.42. egyenlet - (46,7)

{(Q_{j m}^{(e)})}_{f i = \sqrt{\frac{4 π}{2 j + 1}}} \int ϱ_{f i} (r) r^{j} Y_{j m} (\frac{r}{r}) d^{3} x

[ Yj,–m=(–1)j–mYjm∗ ]. Ezt a megfelelő klasszikus mennyiség analógiájára (l. II. 41. §) a rendszer átmeneti elektromos multipólus-momentumának hívják.^[144]

Külső térben mozgó elektronra ϱfi=ψf∗ψi , és ekkor (46,7) a

klasszikus mennyiség mátrixelemeként számítható.

Ha a részecskék sebessége nemrelativisztikus, az átmeneti momentum elvileg hasonló módon számítható egymással kölcsönható részecske tetszőleges rendszerére. Az átmeneti sűrűség a hullámfüggvény segítségével a

5.43. egyenlet - (46,8)

ϱ_{f i} (r) = \int ψ_{j}^{*} (r_{1}, \dots, r_{N}) ψ_{i} (r_{1}, \dots, r_{N}) \sum_{n = 1}^{N} δ (r - r_{n}) \cdot d^{3} x_{1} \dots d^{3} x_{N}

alakban írható, ahol az integrálás a teljes konfigurációs térre kiterjed.^[145]

A foton hullámfüggvénye az -skálán (-függvényre normált (koordinátareprezentációban), ahogy azt (44,2) levezetésekor feltételeztük. Behelyettesítve az utóbbiba (46,6)-ot, megkapjuk az -sugárzás valószínűségét ^[146]

5.44. egyenlet - (46,9)

w_{j m}^{(e)} = \frac{2 (2 j + 1) (j + 1)}{j {[(2 j + 1)!!]}^{2}} ω^{2 j + 1} e^{2} | {(Q_{j, - m}^{(e)})}_{f i} |^{2} .

A j=1 esetben

5.45. egyenlet - (46,10)

w_{1 m}^{(e)} = \frac{4 ω^{3}}{3} e^{2} | {(Q_{1, - m}^{(e)})}_{f i} |^{2} .

Q1m(e) az elektromos dipólusmomentum vektorkomponenseivel a következőképpen függ rössze:

5.46. egyenlet - (46,11)

e Q_{10}^{(e)} = i d_{z}, e Q_{1, \pm 1}^{(e)} = \mp \frac{i}{\sqrt{2}} (d_{x} \pm i d_{y}) .

Ha (46,10)-ben lehetséges értékeire összegzünk, a már ismert (45,7) képlethez jutunk, amely megadja a dipólussugárzás teljes valószínűségét.

A multipólus-sugárzás összegeloszlását (7,11) határozza meg. Ha ezt a sugárzás teljes valószínűségére, wjm -re normáljuk, akkor azt kapjuk, hogy

5.47. egyenlet - (46,12)

d w_{j m} = | Y_{j m}^{(e)} (n) |^{2} w_{j m} d Ω = \frac{w_{j m}}{j (j + 1)} | \nabla_{n} Y_{j m} |^{2} d Ω .

A j=1 esetben

Y10=i√((3/4π))cos, Y1,±1=∓i√((3/8π))sin⋅e±iφ,

ahol és az iránynak a tengelyhez viszonyított polár- és azimutszöge. A gradienst kiszámítva, a dipólussugárzás szögeloszlására adott mellett a következő képleteket kapjuk:

5.48. egyenlet - (46,13)

d w_{10} = w_{10} \frac{3}{8 π} {sin}^{2} 𝜃 d Ω, s w_{1 \pm 1} = w_{1, \pm 1} \frac{3}{8 π} \frac{1 + {cos}^{2} 𝜃}{2} d Ω .

Ezeket természetesen (45,6)-ból is megkaphattuk volna, abba egyszer ( m=0 esetben): dx=dy=0 , dz=d értékeket, másszor ( m=±1 esetben): dy=∓idx=d∕√2 , dz=0 értékeket helyettesítve.

Ha a rendszer (atom vagy atommag) méretének nagyságrendje , akkor az elektromos multipólusmomentum nagyságrendje általában Qjm(e)∼aj . A multipólussugárzás valószínűsége

5.49. egyenlet - (46,14)

w_{j m}^{(e)} \sim α k {(k a)}^{2 j} .

Látható, hogy ha 1-gyel nő, akkor a sugárzás valószínűsége ∼(ka)2 szorzótényezővel csökken.

Az impulzusmomentum és a paritás megmaradása kiválasztási szabályokhoz vezet, ezek korlátozzák a sugárzó rendszer állapotának lehetséges változásait. Ha a rendszer impulzusmomentuma kezdetben , akkor impulzusmomentumú foton kisugárzása után csak olyan impulzusmomentuma lehet, amit az összeadási szabály ( Ji–Jf=j ) megenged:

5.50. egyenlet - (46,15)

| J_{i} - J_{f} | ≦ j ≦ J_{i} + J_{f} .

Ha és adottak, akkor a fenti szabály meghatározza a foton lehetséges impulzusmomentumát. Mivel azonban a sugárzás valószínűsége növekedésével gyorsan csökken, általában a lehetséges legkisebb rendű multipólus-sugárzás megy végbe.

A és impulzusmomentumok és vetülete, valamint a foton impulzusmomentumának vetületei nyilvánvalóan kielégítik az (impulzusrnoinentum összeadási szabályából következő)

5.51. egyenlet - (46,16)

M_{i} - M_{f} = m

összefüggést.

A sugárzó rendszer kezdeti és végállapota és paritásainak teljesíteniük kell a PfPΦ=Pi feltételt, ahol a kisugárzott foton paritása; mivel a paritás csupán a értéket veheti fel, ezért a feltételt a

5.52. egyenlet - (46,17)

P_{i} P_{f} = P_{Φ}

alakban is felírhatjuk. Elektromos típusú fotonra PΦ=(–1)j , ezért a kiválasztási szabály elektromos multipólus-sugárzásra:

5.53. egyenlet - (46,18)

P_{i} P_{f} = {(- 1)}^{j} .

A teljes impulzusmomentum és a paritás megmaradásából adódó kiválasztási szabályok teljesen általánosak, tetszőleges rendszer sugárzására teljesülnek. Ezek mellett más, erősebb megszorításokat követelő, a konkrét sugárzó rendszer tulajdonságaival összefüggő szabályok lehetnek érvényesek. Ezek elkerülhetetlenül többé vagy kevésbé közelítő jellegűek: a fejezet további szakaszaiban foglalkozunk velük.

Hogy az emisszió valószínűsége hogyan függ az , , kvantumszámoktól, azt a multipólus-momentum tenzorjellege teljesen meghatározza. Adott mellett a Qjm mennyiségek -edrendű tenzort alkotnak. Mátrixelemeiknek az említett kvantumszámoktól való függését a következő összefüggés adja meg:

5.54. egyenlet - (46,19)

| ⟨ n_{f} J_{f} M_{f} ∣ Q_{j, - m} ∣ n_{i} J_{i} M_{i} ⟩ |^{2} {(\begin{matrix} J_{f} & j & J_{i} \\ M_{f} & m & - M_{i} \end{matrix})}^{2} | ⟨ n_{f} J_{f} ∥ Q_{j} ∥ n_{i} J_{i} ⟩ |^{2}

[l. III. (107,6)], ahol jelenti a rendszer állapotának többi kvantumszámait együttesen. A (46,19) egyenlőség jobb oldalán álló redukált mátrixelem nem függ az , , számoktól. (46,9)-be helyettesítve látható, hogy az átmeneti valószínűség a

tényezőn keresztül függ az említett kvantumszámoktól (természetesen hallgatólagosan feltettük, hogy nincs külső tér; ekkor az, átmeneti frekvencia nem függ -től és -től).

Adott frekvenciájú foton emissziójának teljes valószínűségét úgy kapjuk, hogy (adott mellett) összes értékére összegezünk. A tér izotropiája miatt eleve nyilvánvaló, hogy ez a mennyiség az kezdeti értékétől sem függ. Az összegezés a

5.55. egyenlet - (46,20)

\sum_{M_{f}} | ⟨ n_{f} J_{f} M_{f} ∣ Q_{j, - m} ∣ n_{i} J_{i} M_{i} ⟩ |^{2} = \frac{1}{2 J_{i} + 1} | ⟨ n_{f} J_{f} ∥ Q_{j} ∥ n_{i} J_{i} ⟩ |^{2}

összefüggés segítségével végezhető el [l. III. (107,11)].

^[142] A gl(kr) függvény csak a szorzattól függ, így azonnal látható, hogy (46,3) a és vektorokban szimmetrikus. Ezért mindegy, hogy a két gömbfüggvény közül melyiknek vesszük a konjugáltját. A függvényt ügy normálják, hogy kr→∞ esetben aszimptotikus alakja a következő: gl(kr)≈(sin(kr–(πl/2))/kr). (46,4a)

^[143] kitevője éppen az Yjm gömbfüggvény rendje. Jogos volt tehát térkomponenseinek elhagyása, mivel ezek magasabb rendű gömbfüggvényeket tartalmaznak.

^[144] A multipólus-momentumot az szorzótényező nélkül definiáltuk ugyanúgy, ahogyan az áramokat.

^[145] A feltevésnek, mely szerint a részecskék sebessége kicsi, nincs elvi jelentősége; haszna abban áll, hogy a rendszer hullámfüggvénnyel leírható. Előfordulhat, hogy az átmeneti valószínűség csak közelítő kiválasztási szabály szerint tűnik el, ami csak akkor érvényes, ha az elektronok spin–pálya kölcsönhatását elhanyagoljuk. Ilyen esetben akkor kapunk nullától különböző eredményt, ha figyelembe vesszük a hullámfüggvények relativisztikus korrekcióit, melyek éppen erről a kölcsönhatásról adnak számot.

^[146] Első pillantásra úgy tűnik, hogy a tér izotropiája következtében a fotonkibocsátás teljes valószínűsége nem függhet értékétől. Hogy ez nincs így, megérthetjük, ha észrevesszük, hogy különböző impulzusmomentum-vetületű fotonok kisugárzása után a rendszer különböző végállapotokban marad vissza (adott kezdeti állapot mellett); lásd a (46,16) szabályt.