Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A továbbiakban adott irányú (tehát adott impulzusú) foton kisugárzása helyett azt az
esetet vizsgáljuk, amikor a kisugárzott foton impulzusmomentuma és annak valamilyen kiválasztott
tengelyre való
vetülete vesz fel meghatározott értéket. A 6. §-ban láttuk, hogy az ilyen fotonok elektromos vagy mágneses típusúak lehetnek; először az elektromos típusúakkal
foglalkozunk. A sugárzó rendszer méreteit ismét kicsinek tekintjük a hullámhosszhoz
képest.
A számítás során előnyös, ha a foton hullámfüggvényének impulzusreprezentáció-beli
alakját használjuk, tehát az négyesvektort Fourier-integrálként állítjuk elő. A mátrixelem ekkor
(az írásmód egyszerűsítése érdekében a foton hullámfüggvényéből elhagytuk az
indexeket).
Az -foton hullámfüggvényét (7,10)-ből
vesszük, a
tetszőleges állandót a következőképpen választjuk:
Ennek az a célja, hogy a hullámfüggvény térszerű komponenseiben a
-edrendű gömbfüggvényeket tartalmazó tagok eltűnjenek [ez (7,16)-ból látszik]. Így
-ban csak
-edrendű gömbfüggvények maradnak, ezek járuléka
-hez (amint az a továbbiakból látható) egy nagyságrenddel kisebb
(
magasabb hatványát tartalmazza), mint az
komponensből adódó járulék, mivel
alacsonyabb,
-edrendű gömbfüggvényeket tartalmaz. Tehát feltesszük, hogy
(). Ezt (46,1)-be helyettesítve és a
szerinti integrálást elvégezve kapjuk,
A belső integrál kiszámításához (24,12)-t használjuk a következő alakban:
ahol[142]
(46,2)-be helyettesítve azt kapjuk, hogy
(a többi tag a gömbfüggvények ortogonalitása miatt eltűnik). Az
feltevés, következtében a
integrálban csak az a tartomány jelentős, amelyre
. Ezért a
függvényt
szerinti sorának első tagjával lehet helyettesíteni:[143]
[]. Ezt a megfelelő klasszikus mennyiség analógiájára (l. II. 41. §) a
rendszer átmeneti elektromos multipólus-momentumának hívják.[144]
Külső térben mozgó elektronra , és ekkor (46,7) a
klasszikus mennyiség mátrixelemeként számítható.
Ha a részecskék sebessége nemrelativisztikus, az átmeneti momentum elvileg hasonló
módon számítható egymással kölcsönható részecske tetszőleges rendszerére. Az átmeneti
sűrűség a hullámfüggvény segítségével a
alakban írható, ahol az integrálás a teljes konfigurációs térre
kiterjed.[145]
A foton hullámfüggvénye az -skálán (
-függvényre normált (koordinátareprezentációban), ahogy azt (44,2) levezetésekor feltételeztük. Behelyettesítve az
utóbbiba (46,6)-ot, megkapjuk az
-sugárzás valószínűségét[146]
az elektromos dipólusmomentum vektorkomponenseivel a következőképpen
függ rössze:
Ha (46,10)-ben lehetséges értékeire összegzünk, a már ismert (45,7) képlethez jutunk, amely megadja a dipólussugárzás
teljes valószínűségét.
A multipólus-sugárzás összegeloszlását (7,11)
határozza meg. Ha ezt a sugárzás teljes valószínűségére, -re normáljuk, akkor azt kapjuk, hogy
A esetben
ahol és
az
iránynak a
tengelyhez viszonyított polár- és azimutszöge. A gradienst kiszámítva,
a dipólussugárzás szögeloszlására adott
mellett a következő képleteket kapjuk:
Ezeket természetesen (45,6)-ból is
megkaphattuk volna, abba egyszer ( esetben):
,
értékeket, másszor (
esetben):
,
értékeket helyettesítve.
Ha a rendszer (atom vagy atommag) méretének nagyságrendje , akkor az elektromos multipólusmomentum nagyságrendje általában
. A multipólussugárzás valószínűsége
Látható, hogy ha 1-gyel nő, akkor a sugárzás valószínűsége
szorzótényezővel csökken.
Az impulzusmomentum és a paritás megmaradása kiválasztási szabályokhoz vezet, ezek korlátozzák a sugárzó rendszer állapotának
lehetséges változásait. Ha a rendszer impulzusmomentuma kezdetben , akkor
impulzusmomentumú foton kisugárzása után csak olyan
impulzusmomentuma lehet, amit az összeadási szabály (
) megenged:
Ha és
adottak, akkor a fenti szabály meghatározza a foton lehetséges
impulzusmomentumát. Mivel azonban a sugárzás valószínűsége
növekedésével gyorsan csökken, általában a lehetséges legkisebb rendű
multipólus-sugárzás megy végbe.
A és
impulzusmomentumok
és
vetülete, valamint a foton impulzusmomentumának
vetületei nyilvánvalóan kielégítik az (impulzusrnoinentum összeadási
szabályából következő)
összefüggést.
A sugárzó rendszer kezdeti és végállapota és
paritásainak teljesíteniük kell a
feltételt, ahol
a kisugárzott foton paritása; mivel a paritás csupán a
értéket veheti fel, ezért a feltételt a
alakban is felírhatjuk. Elektromos típusú fotonra , ezért a kiválasztási szabály elektromos multipólus-sugárzásra:
A teljes impulzusmomentum és a paritás megmaradásából adódó kiválasztási szabályok teljesen általánosak, tetszőleges rendszer sugárzására teljesülnek. Ezek mellett más, erősebb megszorításokat követelő, a konkrét sugárzó rendszer tulajdonságaival összefüggő szabályok lehetnek érvényesek. Ezek elkerülhetetlenül többé vagy kevésbé közelítő jellegűek: a fejezet további szakaszaiban foglalkozunk velük.
Hogy az emisszió valószínűsége hogyan függ az ,
,
kvantumszámoktól, azt a multipólus-momentum tenzorjellege teljesen
meghatározza. Adott
mellett a
mennyiségek
-edrendű tenzort alkotnak. Mátrixelemeiknek az említett
kvantumszámoktól való függését a következő összefüggés adja meg:
[l. III. (107,6)], ahol jelenti a rendszer állapotának többi kvantumszámait együttesen.
A (46,19) egyenlőség jobb oldalán álló redukált
mátrixelem nem függ az
,
,
számoktól. (46,9)-be helyettesítve
látható, hogy az átmeneti valószínűség a
tényezőn keresztül függ az említett kvantumszámoktól (természetesen
hallgatólagosan feltettük, hogy nincs külső tér; ekkor az, átmeneti frekvencia nem függ
-től és
-től).
Adott frekvenciájú foton emissziójának teljes valószínűségét úgy kapjuk, hogy (adott
mellett)
összes értékére összegezünk. A tér izotropiája miatt eleve
nyilvánvaló, hogy ez a mennyiség az
kezdeti értékétől sem függ. Az összegezés a
összefüggés segítségével végezhető el [l. III. (107,11)].
[142] A függvény csak a
szorzattól függ, így azonnal látható, hogy (46,3) a
és
vektorokban szimmetrikus. Ezért mindegy, hogy a két gömbfüggvény
közül melyiknek vesszük a konjugáltját. A
függvényt ügy normálják, hogy
esetben aszimptotikus alakja a következő:
[143] kitevője éppen az
gömbfüggvény rendje. Jogos volt tehát
térkomponenseinek elhagyása, mivel ezek magasabb rendű
gömbfüggvényeket tartalmaznak.
[144] A multipólus-momentumot az szorzótényező nélkül definiáltuk ugyanúgy, ahogyan az áramokat.
[145] A feltevésnek, mely szerint a részecskék sebessége kicsi, nincs elvi jelentősége; haszna abban áll, hogy a rendszer hullámfüggvénnyel leírható. Előfordulhat, hogy az átmeneti valószínűség csak közelítő kiválasztási szabály szerint tűnik el, ami csak akkor érvényes, ha az elektronok spin–pálya kölcsönhatását elhanyagoljuk. Ilyen esetben akkor kapunk nullától különböző eredményt, ha figyelembe vesszük a hullámfüggvények relativisztikus korrekcióit, melyek éppen erről a kölcsönhatásról adnak számot.
[146] Első pillantásra úgy tűnik, hogy a tér izotropiája következtében a
fotonkibocsátás teljes valószínűsége nem függhet értékétől. Hogy ez nincs így, megérthetjük, ha észrevesszük,
hogy különböző
impulzusmomentum-vetületű fotonok kisugárzása után a rendszer
különböző végállapotokban marad vissza (adott kezdeti állapot mellett); lásd
a (46,16) szabályt.