ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

47.§. A mágneses multipólus-sugárzás

A mágneses típusú foton hullámfüggvénye Aμ=(0,A) , ahol -t a (7,6) képlet adja meg. Ezt (46,1)-be helyettesítve, kapjuk az átmeneti mátrixelemet:

5.56. egyenlet - (47,1)

V_{f i} = - e \frac{\sqrt{ω}}{2 π} \int d^{3} x \cdot j_{f i} (r) \int d Ω_{n} \cdot e^{- i k r} Y_{j m}^{(m) *} (n) .

Az Yjm(m) vektor komponensei (7,16) szerint a -edrendű gömbfüggvényekkel fejezhetők ki. Ismét felhasználjuk a (46,3) kifejtést; ezzel a belső integrál:

∫e–ikrYjm(m)∗(n)dΩn=4πi–jgj(kr)Yjm(m)∗((r/r)),

majd -t (46,5)-ből behelyettesítve azt kapjuk, hogy^[147]

Vfi=ei–j(2ωj+(1/2)/(2j+1)!!)∫jfi(r)rjYjm(m)∗((r/r))d3x.

(7,4) szerint

Az integrandust átalakítjuk:

ezzel

5.57. egyenlet - (47,2)

V_{f i} = {(- 1)}^{m} i^{j} \sqrt{\frac{(2 j + 1) (j + 1)}{π j}} \frac{ω^{j + \frac{1}{2}}}{(2 j + 1)!!} e {(Q_{j, - m}^{(m)})}_{f i} .

ahol

5.58. egyenlet - (47,3)

{(Q_{j m}^{(m)})}_{f i} = \frac{1}{j + 1} \sqrt{\frac{4 π}{2 j + 1}} \int (r \times j_{f i}) \nabla (r^{j} Y_{j m}) d^{3} x .

Az utóbbit hívjuk a rendszer átmeneti mágneses multipólus-momentumának .

Tekintettel a (47,2) és (46,6) összefüggések hasonlóságára, a sugárzási valószínűség (46,10)-től csupán annyiban különbözik, hogy az elektromos multipólus-momentumot mágnesessel kell helyettesíteni. A szögeloszlást (46,12) adja meg [ez már (7,11)-ből is látható].

Vizsgáljuk a (47,3) kifejezés szerkezetét j=1 -re. Ez esetben:

√((4π/3))rY10=iz, √((4π/3))rY1,±1=∓(i/√2)(x±iy),

gradienseik pedig a (7,14)-beli e(0) , e(±1) gömbi bázisvektorok . Ezért az e(Q1m(m))fi mennyiségek éppen a

5.59. egyenlet - (47,4)

μ_{f i} = \frac{e}{2} \int r \times j_{f i} d^{3} x

vektor szférikus komponensei. μfi szerkezetileg a klasszikus mágneses momentummal analóg (l. II. 44.§). A következőkben megvizsgáljuk (47,4)-nek és a mágneses momentum operátora ismert nemrelativisztikus alakjának kapcsolatát.

Az átmeneti áram nemrelativisztikus alakja (l. III. 115. §):

5.60. egyenlet - (47,5)

j_{f i} = - \frac{i}{2 m} (ψ_{f}^{*} \nabla ψ_{i} - ψ_{i} \nabla ψ_{f}^{*}) + \frac{μ}{e s} rot (ψ_{f}^{*} s ψ_{i}),

ahol és a részecske mágneses momentuma és spinje. Így

5.61. egyenlet - (47,6)

+ \frac{i e}{4 m} \int ψ_{i} (r \times \nabla) ψ_{f}^{*} d^{3} x + \frac{μ}{2 s} \int r \times rot (ψ_{f}^{*} s ψ_{i}) d^{3} x .

A második tagban

∫ψi(r×∇)ψf∗d3x=–∫ψf∗(r×∇)ψid3x+∫rot(rψf∗ψi) d3x.

Az utóbbi integrál végtelen távoli felületen vett felületi integrállá alakítható át, és eltűnik. Ezért (47,6) első két tagja azonos. A harmadik tagban szereplő integrált átalakítjuk (átmenetileg az F=ψf∗sψi jelölést vezetjük be):

A felületi integrál eltűnik, a második tagban az integrandus (F×∇)×r=–Fdivr+F=–2F . Így

Ezzel a végeredmény:

5.62. egyenlet - (47,7)

μ_{f i} = \int ψ_{f}^{*} (\frac{e}{2 m} L + \frac{μ}{s} s) ψ_{i} d^{3} x,

ahol L=–i(r×∇) a részecske pálya-impulzusmomentumának operátora. Látható, hogy μfi a

5.63. egyenlet - (47,8)

μ = \frac{e}{2 m} L + \frac{μ}{s} s

operátor mátrixeleme.

A mágneses multipólus-sugárzás kiválasztási szabályai hasonlóak, mint az elektromos esetben: a teljes impulzusmomentumra a (46,15), (46,16) feltételek érvényesek, a paritásra pedig

5.64. egyenlet - (47,9)