ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

49.§. Atomok sugárzása. Az elektromos típus

49.§. Atomok sugárzása. Az elektromos típus^[152]

Az atomok külső (az optikai sugárzási átmenetekben részt vevő) elektronjainak energiája hozzávetőleges becslés szerint E∼me4∕ℏ2 nagyságrendű, így a kisugárzott hullámhossz λ∼ℏc∕E∼ℏ2∕(αme2) . Az atom mérete a a∼ℏ2∕(me2) . Az atomok optikai spektrumában tehát fennáll az a∕λ∼α≪1 egyenlőtlenség. A v∕c hányados is nagyságrendű, ahol az optikai elektronok sebessége.

Így az atomok optikai spektrumában érvényes a feltétel, mely szerint az elektromos dipólussugárzás valószínűsége (a kiválasztási szabály teljesülése esetén) lényegesen felülmúlja a multipólus-átmenetek valószínűségét.^[153] Így érthető, hogy az atomspektroszkópiában a legfontosabb szerepet az elektromos dipólusátmenetek játsszák.

Mint már láttuk, ezek az átmenetek teljesítik az atom teljes impulzusmomentumára és a paritásra szigorúan érvényes kiválasztási szabályokat^[154]

A |J′–J|≦1 egyenlőtlenség szerint a impulzusmomentum változása 0,±1 lehet: a J+J′≧1 egyenlőtlenség megtiltja a 0→0 átmenetet. A kezdeti és végállapot paritása ellentétes kell, hogy legyen.^[155]

Az nJM→n′J′M′ átmenet közben létrejövő sugárzás valószínűségét az atom dipólusmomentumának mátrixeleme határozza meg:

5.84. egyenlet - (49,3)

w (n J M \to n^{'} J^{'} M^{'}) = \frac{4 ω^{3}}{3 ℏ c^{3}} | ⟨ n^{'} J^{'} M^{'} ∣ d_{- m} ∣ n J M ⟩ |^{2},

Ha (49,3)-ban (adott mellett) M′=M–m egész értékeire összegezünk, megkapjuk az atomi szint adott frekvenciájú sugárzásának teljes valószínűségét. Az összegezést (46,20) segítségével végezhetjük el:^[156]

5.85. egyenlet - (49,4)

w (n J \to n^{'} J^{'}) = \frac{4 ω^{3}}{3 ℏ c^{3}} \frac{1}{2 J + 1} | ⟨ n^{'} J^{'} ∥ d ∥ n J ⟩ |^{2} .

Az itt fellépő redukált, mátrixelem abszolút értékének négyzetét néha az átmenet vonalerősségének hívják; ez a mennyiség a kezdeti és a végállapotra nézve szimmetrikus.

Az atomspektrum átmeneteinek valószínűségeiről további kijelentéseket csak úgy tehetünk, ha megadjuk az atom állapotának egyik vagy másik jellemzőjét. Nem foglalkozunk itt a mátrixelemek kiszámításának módszereivel, az alkalmazott közelítések elméletileg nem mindig megalapozottak. Csupán néhány összefüggést vezetünk le, melyek az állapotok elég széles osztályában érvényesek (különösen könnyű atomokban), ahol is a csatolás típusú (l. III. 72. §). Ezekben az állapotokban a teljes impulzusmomentum mellett az pálya-impulzusmomentum és az spin is meghatározott megmaradó értéket vesz fel.

Mivel a dipólusmomentum operátora tisztán pályamennyiség, ezért felcserélhető a spin operátorával, azaz mátrixa szerint diagonális. Az szerinti kiválasztási szabályok ugyanazok, mint amik tetszőleges spintől független vektorra érvényesek (l. III. 29. §). Így -csatolás esetén a következő kiegészítő kiválasztási szabályok is, érvényesek [(49,1), (49,2) mellett]:

Még egyszer hangsúlyozzuk, hogy ezek a szabályok közelítő jellegűek, és nem teljesülnek, ha a spin–pálya kölcsönhatást is figyelembe vesszük.

Megjegyezzük, hogy a (49,5) szabály (amely különböző multiplicitású állapotok között tiltja meg az átmenetet) nemcsak dipólusátmenetre, hanem minden elektromos típusú átmenetre igaz: minden rendű elektromos multipólus-momentum spintől független tenzor, mátrixa a spin szerint diagonális. Így elektromos kvadrupólusátmenetre az általános

5.86. egyenlet - (49,7)

| J^{'} - J | ≦ 2 ≦ J + J^{'}, P P^{'} = 1

szabályok mellett, -csatolás esetén az

5.87. egyenlet - (49,8)

S^{'} - S = 0, | L^{'} - L | ≦ 2 ≦ L + L^{'}

kiválasztási szabályok is fennállnak.

A sugárzási valószínűség , , függése egyszerűen meghatározható. Használhatjuk a szférikus tenzorok mátrixelemeire vonatkozó általános képleteket. III. (109,3) szerint:^[157]

5.88. egyenlet - (49,9)

| ⟨ n^{'} L S J^{'} ∥ d ∥ n L S J ⟩ |^{2} = (2 J + 1) (2 J^{'} + 1) \{\begin{matrix} L^{'} & J^{'} & S^{2} \\ J & L & 1 \end{matrix}\} | ⟨ n^{'} L^{'} ∥ d ∥ n L ⟩ |^{2} .

Ezt (49,4)-be helyettesítve kapjuk, hogy

5.89. egyenlet - (49,10)

w (n L S J \to n^{'} L^{'} S J^{'}) = \frac{4 ω^{3}}{2 ℏ c^{3}} (2 J^{'} + 1) {\{\begin{matrix} L^{'} & J^{'} & S \\ J & L & 1 \end{matrix}\}}^{2} | ⟨ n^{'} L^{'} ∥ d ∥ n L ⟩ |^{2},

ahol ω=ω(nLS→N′L′S) .^[158]

A valószínűségekre összegszabályokat írhatunk fel. A -szimbólumok négyzetösszegére fennáll, hogy (l. III. (108,7)]

5.90. egyenlet - (49,11)

\sum_{J^{'}} (2 J^{'} + 1) {\{\begin{matrix} L^{'} & J^{'} & S \\ J^{'} & L & 1 \end{matrix}\}}^{2} = \frac{1}{2 L + 1} .

Ennek felhasználásával (49,10)-ből következik, hogy

5.91. egyenlet - (49,12)

\sum_{J^{'}} w (n L S J \to n^{'} L^{'} S J^{'}) = \frac{4 ω^{3}}{2 ℏ c^{3}} \frac{1}{2 L + 1} | ⟨ n^{'} L^{'} ∥ d ∥ n L ⟩ |^{2} .

Megjegyezzük, hogy e mennyiség értéke -től független.

Olyan gázban, amelynek hőmérséklete jóval nagyobb, mint az atomi nSL szintek finomszerkezetében levő nívókülönbségek, a különböző értékű állapotok populációja egyenletes, azaz minden egyformán valószínű. Ebben az esetben annak valószínűsége, hogy az atom valamelyik meghatározott értékű szinten van,

5.92. egyenlet - (49,13)

\frac{2 J + 1}{(2 L + 1) (2 S + 1)},

azaz a szint statisztikus súlyának és az nSL term teljes statisztikus súlyának hányadosa. Ha a (49,10) vagy (49,12) kifejezést átlagolni akarjuk, akkor (49,13)-mal kell szorozni; az átlagolást felülvonással jelöljük. Egy spektrális multiplett összes vonalai kisugárzásának teljes valószínűsége (az nSL , n′SL′ termek finomszerkezeteinek komponensei között lehetséges összes átmenet) a következőösszeg:

5.93. egyenlet - (49,14)

\bar{w} (n L S \to n^{'} L^{'} S) = \sum_{J} \sum_{J^{'}} \bar{w} (n L S J \to n^{'} L^{'} S J^{'}) .

Mivel ∑J(2J+1)=(2S+1)(2L+1) , ezért a teljes valószínűségre éppen a (49,12) kifejezést kapjuk. Így az egyes vonalak relatív valószínűsége (vagy ami ugyanaz, a relatív intenzitás)

5.94. egyenlet - (49,15)

\frac{\bar{w} (n L S J \to n^{'} L^{'} S J^{'})}{\bar{w} (n L S \to n^{'} L^{'} S)} = \frac{(2 J + 1) (2 J^{'} + 1)}{(2 S + 1)} {\{\begin{matrix} L^{'} & J^{'} & S \\ J & L & 1 \end{matrix}\}}^{2} .

Az összefüggést numerikusan vizsgálva megállapíthatjuk, hogy egy multipletten belül azoknak a vonalaknak az intenzitása a legnagyobb, amelyekre ΔJ=ΔL (ezeket hívják fő vonalaknak , a multiplett többi tagját szatelliteknek ). A fő vonalak intenzitása annál nagyobb, minél nagyobb kezdeti értéke.

Ha (49,15)-öt vagy szerint összegezzük, kapjuk hogy

5.95. egyenlet - (49,16)

\begin{matrix} \begin{aligned} \frac{\sum_{J^{'}} \bar{w} (n L S J \to n^{'} L^{'} S J^{'})}{\bar{w} (n L S \to n^{'} L^{'} S)} & = \frac{2 J + 1}{(2 L + 1) (2 S + 1)}, \\ \frac{\sum_{J} \bar{w} (n L S J \to n^{'} L^{'} S J^{'})}{\bar{w} (n L S \to n^{'} L^{'} S)} & = \frac{2 J^{'} + 1}{(2 L + 1) (2 S + 1)} . \end{aligned} & (49,16) \end{matrix}

Ily módon egy spektrális multiplett olyan vonalainak összintenzitása, amelyekre a kezdeti (vagy a végső) szint ugyanaz, arányos a kezdeti (vagy végső) szint statisztikus súlyával.

Vizsgáljuk meg még az atom spektrális vonalainak hiperfinom szerkezetét . Emlékezzünk vissza, hogy az atomi szintek hiperfinom felhasadása az elektron és a mag–spin kölcsönhatásának következménye (l. III. 122. §). Az atom teljes impulzusmomentuma (a magot is beleértve) az elektronok és a mag impulzusmomentumából tevődik össze. Az szint hiperfinom szerkezetének komponenseit az kvantumszám értéke jellemzi.

Az impulzusmomentum megmaradás szerint az teljes impulzusmomentumra a következő szigorú kiválasztási szabály érvényes: elektromos dipólussugárzás esetén

5.96. egyenlet - (49,17)

| F^{'} - F | ≦ 1 ≦ F + F^{'} .

Mivel az elektronnak a magspinnel való kölcsönhatása rendkívül gyenge, ez a megkötés az elektronhéj elektromos (és mágneses) momentumai mátrixelemeinek számításakor teljesen elhanyagolható. Ezért a impulzusmomentumra és az elektronhéj paritására vonatkozó kiválasztási szabályok is érvényben maradnak. Nevezetesen, az utóbbi szerint egy term hiperfinom szerkezetéhez tartozó komponensek között elektromos dipólusátmenet nem lehetséges: e szintek paritása azonos, és mint láttuk, átmenet csak különböző paritásúállapotok között jöhet létre.

Mivel a dipólusmomentum operátora a magspinnel felcserélhető, a mátrixelemek -től és -től való függése explicit alakban írható; a levezetések csak jelölésben különböznek az -csatolásra korábban elvégzettektől. A sugárzási valószínűség , az teljes impulzusmomentum vetületének végállapotbeli értékeire összegezve:

5.97. egyenlet - (49,18)

w (n J I F \to n^{'} J^{'} I F^{'}) = \frac{4 ω^{3}}{3 ℏ c^{3}} \frac{1}{2 F + 1} | ⟨ n^{'} J^{'} I F^{'} ∥ d ∥ n J I F ⟩ |^{2},

ahol a redukált mátrixelem négyzete:

5.98. egyenlet - (49,19)

| ⟨ n^{'} J^{'} I F^{'} ∥ d ∥ n J I F ⟩ |^{2} = (2 F + 1) (2 F^{'} + 1) {\{\begin{matrix} J^{'} & F^{'} & I \\ F & J & 1 \end{matrix}\}}^{2} | ⟨ n^{'} J^{'} ∥ d ∥ n J ⟩ |^{2} .

Feladat

Az alkálifémek spektrumának legtöbb vonala leírható egy külső (optikai) elektron átmenetével a zárt konfigurációt alkotó atomi maradék önkonzisztens terében; a csatolás típusú. E feltevésekkel határozzuk meg a spektrumvonalak finomszerkezeti komponenseinek relatív intenzitását.

Megoldás. Az atom teljes impulzusmomentuma és S=1∕2 spinje megegyezik az optikai elektron pálya-impulzusmomentumával és spinjével. Az állapot paritása ezért (–1)L (az atomi maradék zárt konfigurációjának paritása pozitív). A paritásra vonatkozó kiválasztási szabály tiltja az L′=L dipólusátmenetet, ezért csak L′–L=±1 átmenet lehetséges. Az és n′,L–1 dublettek komponensei közötti átmenetek a -re vonatkozó kiválasztási szabály szerint három vonalat adnak (1. ábra).

1. ábra.

Relatív intenzitásuk (jelöljük , , betűvel) egyszerűen meghatározható [(49,15)-öt nem használjuk közvetlenül] a (49,16) szabályból. Két egyenlőséget kapunk, ha a különböző kezdeti (vagy végső) állapotokra felírjuk az összegezett intenzitások hányadosát:

innen

Ha L=1 , az alsó szint nem hasad fel, vonal nincs és a∕b=2 .

^[152]A 49. §–51. §, 53. §–55. §-okban a szokásos egységeket használjuk.

^[153] A dipólusátmenetek valószínűsége a spektrum optikai tartományában 108s–1 nagyságrendű.

^[154] A kezdeti és végállapot kvantumszámait most vesszőtlen és vesszős betűkkel jelöljük. és fogja jelenteni a maradék kvantumszámok összességét (az expliciten kiírtakon kívül) a rendszer meghatározott állapotában.

^[155] A paritásra érvényes kiválasztási szabályokat először O. Laporte állapította meg 1924-ben.

^[156] A sugárzás megfigyelt intenzitását úgy kapjuk, hogy -t megszorozzuk -val, és a forrás adott gerjesztett szinten levő atomjainak számával ( NnJ ). hőmérsékletű gázban NnJ∝(2J+1)exp(–EnJ∕T) ; a (2J+1) szorzótényező a impulzusmomentumú szint statisztikus súlya.

^[157] A III. 109. § képleteiben az „ és alrendszerek impulzusmomentumai” helyébe az atom pálya-impulzusmomentumát és spinjét kell helyettesíteni; a kettő közötti kölcsönhatást elhanyagoljuk. Az f1q(1) mennyiség szerepét a vektor játssza.

^[158] A mátrixelemek kiszámítása során elhanyagolva a spin–pálya kölcsönhatást, egyúttal elhanyagoljuk a frekvencia függését -től és -től, azaz a kezdeti és a végső atomi szintek finomszerkezetétől.