ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

50.§. Atomok sugárzása. A mágneses típus

Az atom mágneses momentuma Bohr-magneton nagyságrendű: μ∼eℏ∕(mc) . Ez a szorzótényezővel különbözik az elektromos dipólusmomentum nagyságrendjétől: d∼ea∼ℏ2∕(me) (mivel v∕c∼α , így μ∼dv∕c , amint az várható). Ebből következik, hogy az atom mágneses dipólussugárzásának () valószínűsége körülbelül -szer kisebb az (azonos frekvenciájú) elektromos dipólussugárzás valószínűségénél. Igy a mágneses sugárzás ténylegesen csak olyan átmeneteknél játszik szerepet, amelyekre a kiválasztási szabályok az elektromos átmenetet tiltják.

Az elektromos kvadrupólussugárzás ( E2– ) és az -sugárzás valószínűségeinek aránya nagyságrendileg:

5.99. egyenlet - (50,1)

\frac{E 2}{M 1} \sim \frac{{(e a^{2})}^{2} ω^{2} ∕ c^{2}}{μ^{2}} \sim \frac{a^{4} m^{2} ω^{2}}{ℏ^{2}} \sim {(\frac{Δ E}{E})}^{2}

(a kvadrupólusmomentum ∼ea2,E∼ℏ2∕(ma2) az atomi energia, az energiaváltozás az átmenet során). Látjuk, hogy átlagos atomi frekvenciákra (azaz, ha ΔE∼E ) az - és -sugárzás valószínűsége azonos nagyságrendű (feltéve természetesen, hogy a kiválasztási szabályok egyiket sem tiltják). Ha ΔE≪E (például egy term finomszerkezetének komponensei közöttiátmeneteknél), az -sugárzás valószínűbb, mint az -sugárzás.

A mágneses dipólusátmenetekre vonatkozó szigorú kiválasztási szabályok a következők:

5.100. egyenlet - (50,2)

| J^{'} - J | ≦ 1 ≦ J + J^{'},

5.101. egyenlet - (50,3)

P P^{'} = 1 .

L S -csatolás esetén további kiválasztási szabályok lépnek fel, melyek korlátozóbbak, mint az elektromos esetben. Ez az atom mágneses momentumának specifikus túlajdonságával kapcsolatos, ami onnan ered, hogy a rendszer részecskéi (elektronok) azonosak. Nevezetesen, a mágneses momentum operátora a teljes pálya-impulzusmomentum és a spin operátorával a

5.102. egyenlet - (50,4)

μ = - μ_{0} (L + 2 S) = - μ_{0} (J + S)

alakban fejezhető ki, ahol μ0=|e|ℏ∕(2mc) a Bohr-magneton (l. III. 113. §). Tekintve, hogy a teljes impulzusmomentum megmarad, a operátornak egyáltalán nincs az energia szerint nemdiagonális mátrixeleme; így a sugárzási átmenetek vizsgálatánál írhatjuk, hogy μ=–μ0S .^[159]

Ha a spin–pálya kölcsönhatást elhanyagoljuk, akkor és külön-külön megmarad. Ezért az operátor diagonális az nSL kvantumszámok szerint. Átmenet csak úgy lehetséges, ha változik. A kiválasztási szabályok:

5.103. egyenlet - (50,5)

n^{'} = m S^{'} = S, L^{'} = L, J^{'} - J = \pm 1,

azaz átmenet csak ugyanazon term finomszerkezetének komponensei között lehetséges.

A sugárzás valószínűsége explicit alakban megadható. A (49,10) képletnek megfelelően

w(nLSJ→nLSJ′)=(4ω3μ02/3ℏc3)(2J′+1){SJ′L / JS 1}2|⟨S∥S∥S⟩|2.

A redukált mátrixelem kifejezhető a csupán spint tartalmazó következő képlettel [III. (29,13)]:

5.104. egyenlet - (50,6)

⟨ S ∥ S ∥ S ⟩ = \sqrt{S (S + 1) (2 S + 1)} .

A szükséges -szimbólum értéke a következő:

5.105. egyenlet - (50,7)

{\{\begin{matrix} S & J - 1 & L \\ J & S & 1 \end{matrix}\}}^{2} = \frac{(L + S + J + 1) (L + S - J + 1) (L - S + J) (S - L + J)}{S (2 S + 1) (2 S + 2) (2 J - 1) 2 J (2 J + 1)}

(l. a III. 108. §-ban levő táblázatot). A végeredmény:

w(nLSJ→nLS,J–1)=(2J+1/2J–1)w(nLS,J–1→nLSJ)=

5.106. egyenlet - (50,8)

= \frac{ω^{3} μ_{0}^{2}}{3 ℏ c^{3} (2 J + 1) J} (L + S + J + 1) (L + S - J + 1) (J + S - L) (J + L - S) .

Egy szint hiperfinom szerkezetének komponensei közötti átmenetek (frekvenciájuk a rádióhullám tartományba esik) nem lehetnek elektromos dipólusátmenetek, mivel az egyes komponensek paritása azonos: Paritásváltozás nélkül az és átmenetek mennek végbe.Azonban a hiperfinom szerkezetben levő energiakülönbségek igen kicsinyek, így az -sugárzás valószínűsége kisebb, mint az -sugárzásé [vö. (50,1)], tehát az átmenetek mágneses dipólusátmenetek.

Feladatok

1. Határozzuk meg egy szint hiperfinom szerkezetének komponensei közötti átmenet valószinűségét.

(49,18), (49,19) képletek adják; ezekben most a mágneses momentum diagonális redukált mátrixeleme, ⟨nJ∥μ∥nJ⟩ szerepel. Ennek értékét rögtön megmondhatjuk, ha észrevesszük, hogy a teljes (nem redukált) ⟨nJM∣μz∣nJM⟩ mátrixelem határozza meg a Zeeman-effektusban egy adott szint felhasadását (l. III. 113. §), és értéke –μ0gM , ahol a Landé-faktor . A redukált mátrixelem [l. III. (29,7) ]:

⟨nJ∥μ∥nJ⟩=(1/M)√(J(J+1)(2J+1))⟨nJM∣μz∣nJM⟩=–μ0g√(J(J+1)(2J+1)).

A keresett valószínűség:^[160]

w(nJIF→nJI,F–1)=(2F+1/2F–1)w(nJI,F–1→nJIF)=

=(ω3μ02g2/3ℏc3(2F+1)F)(J+I+F+1)(J+I–F+1)(F+J–I)(F–J+I).

Ez (50,8)-tól csak a tényezőben és a nyilvánvaló L→J,S→I,J→F változócserében különbözik.

2. Határozzuk meg egy atomi szint Zeeman-komponensei közötti átmenet valószínűségét.

Megoldás. Az M→M–1 átmenetről van szó, változatlan; az átmenet frekvenciája [lásd alább (51,3)]: ℏω=μ0gH ( a Landé-faktor). A vektor μ–1 szférikus komponensének mátrixeleme:

|⟨nJ,M–1∣μ–1∣nJM⟩|=√(((J–M+1)(J+M)/2J(J+1)(2J+1)))|⟨nJ∥μ∥nJ⟩|=

[l. 111. (27,12)-t és a megelőző feladatot]. Az átmeneti valószínűség

w=(4ω3/3ℏc3)|⟨NJ,M–1∣μ–1∣nJM⟩|2=(2μ05H3/3ℏ4c3)(J–M+1)(J+M).

^[159] Kivételt képeznek azok az esetek, mikor az elektronok impulzusmomentuma nem marad meg: a hiperfinom szerkezet számításakor, külső tér jelenlétekor stb. (Lásd a feladatokat.)

^[160] Érdekes példa a hidrogénatom 1s1∕2 alapállapota hiperfinom szerkezetének komponensei közötti átmenet, az és átmenet is szigorúan tiltott (az utóbbi kvadrupólusátmenet J+J′=1 mellett tiltott). Az átmenet frekvenciája ω=2π⋅1,42⋅109s–1 (a hullámhossz λ=21 cm ). Behelyettesítve a g=2,I=1∕2,J=1∕2,F=1,F′=0 értékeket, azt kapjuk, hogy w=(4ω3μ02/3ℏc3)=2,85⋅10–15s–1 .