Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A 49. §… 52. §-okban a diszkrét spektrumhoz tartozó atomi szintek közötti sugárzási átmeneteket (foton emisszióját vagy abszorpcióját) tárgyaltuk. A fotoeffektus csupán annyiban különbözik az ilyen abszorpciós folyamatoktól, hogy ott a végállapot a folytonos spektrumhoz tartozik.
A fotoeffektus hatáskeresztmetszete hidrogénatomra vagy hidrogénatomszerű
ionra magtöltéssel) végig analitikus formában kiszámítható.
A kezdeti állapotban az elektron a diszkrét (
az atom ionizációs energiája) energiaszinten van, a foton impulzusa
. A végállapotban az elektron impulzusa
(energiája
). Mivel
értékkészlete folytonos, a fotoeffektus hatáskeresztmetszetét a
összefüggés adja meg [vö. (44,3)], az
elektron végállapotbeli hullámfüggvényét az „egységnyi térfogatban egy részecske”
szabály szerint normáltuk. Legyen ugyanilyen a foton hullámfüggvényének normálása is; a
hatáskeresztmetszetre valóáttéréskor a
valószínűséget a fotonok áramsűrűségével (
) osztani kell, de relativisztikus egységekben ez az (56,1) képletre nem jelent változást.
A fotonra a Coulomb-mértéket használjuk [ugyanúgy, mint (45,2)-ben]. Ekkor
(,
rendre az elektron kezdeti és végállapotának hullámfüggvényei).
Elvégezve (56,1)-ben a
helyettesítést és a
-függvény segítségével az
szerinti integrálást, azt kapjuk, hogy
A foton energiájának nagysága szerint két esetet különböztethetünk meg:
, vagy
. Mivel
, ez a két eset részben átfedi egymást (ha
), úgyhogy vizsgálatukkal a fotoeffektus teljes leírását
adhatjuk.
Ilyenkor az elektron sebessége mind a kezdeti, mind a végállapotban
kicsi,úgyhogy az elektront illetően a feladat nemrelativisztikus. (56,2)-ben ezért helyébe a
nemrelativisztikus sebességoperátort helyettesíthetjük (vö. 45. §). Ezenkívül dipólusközelitést használhatunk
–írhatjuk, hogy
, azaz a foton impulzusát elhanyagolhatjuk az elektronéhoz képest.
Ekkor
A fotoeffektust arra az esetre vizsgáljuk, mikor a hidrogénatom vagy hidrogénszerű ion kezdetben alapállapotban van. Ekkor
(a szokásos egységekben , ahol
az első Bohr-sugár ).
A hullámfüggvény aszimptotikus alakjának egy síkhullámot
(
) és ezzel együtt egy befutó gömbhullámot kell tartalmaznia
(l. III. 136. §, ott ezt a függvényt
-vel jelöltük). Az
szerinti kiválasztási szabály értelmében
állapotból csak
állapotba történhet átmenet (dipólus eset). Ezért elegendő a
() sor[184]
tagját néznünk.[185] A lényegtelen fázistényezőket elhagyva,
és
(56,6)és (56,8) alakjait használva,
III. (36,18) és III. (36,24) szerint a radiális függvény (az itt használt egységekkel)
Az integrált az
képlet [l. III. (f,3)] segítségével számíthatjuk ki. Felhasználva még, hogy
kapjuk, hogy
A hidrogénatom (vagy hidrogénszerű ion) alapállapotában az ionizációs energia. Ezért
Ezt is figyelembe véve, a hatáskeresztmetszet végső alakja, ha az elektron a
térszögbe lökődik ki:
ahol (itt és a továbbiakban a szokásos egységeket használjuk).
Megjegyezzük, hogy a fotoelektronok szögeloszlását az
tényező határozza meg. Ez a bejövő foton polarizációjának irányával
párhuzamos irányban maximális, az
-re merőleges irányokban, beleértve a beesés irányát, pedig eltűnik. Ha
a foton polarizálatlan, akkor az (56,11) képletet
iránya szerint átlagolni kell, ez az
helyettesítésnek felel meg, ahol [l. (45,4b)].
Az (56,11) képlet térszög szerinti integrálja adja a fotoeffektus teljes hatáskeresztmetszetét
(a nevezőben !). Mint ahogy annak lennie kell, az olyan reakciókban, amelyekben
töltött részecskék keletkeznek (l. III. 147. §), a fotoeffektus hatáskeresztmetszete is
konstans határértékhez tart a küszöbnél.
A eset (miközben
) a Born-közelítésnek felel meg
. Az (56,12)-nek megfelelő
összefüggés most
( a hidrogénatom ionizációs energiája ).
A fotoeffektus inverz folyamata az elektronnak mozdulatlan ionnal való sugárzási
rekombinációja. E folyamat hatáskeresztmetszete () kifejezhető a fotoeffektus hatáskeresztmetszetével (
) a részletes egyensúly elve alapján (l. III. 144. §). Az utóbbi
szerint az
és
folyamatok (mind az
, mind az
állapotban két-két részecskével) hatáskeresztmetszetei között a
összefüggés áll fenn, ahol ,
a részecskék relatív impulzusai,
,
az
és
állapotok (spinnel kapcsolatos) statisztikus súlyai. Mivel fotonra
(két polarizációs irány van), ezért
( a beeső elektron,
a kisugárzott foton impulzusa).
Határozzuk meg gyors, nemrelativisztikus elektron ()atommaggal (
) való, sugárzási rekombinációjának teljes
hatáskeresztmetszetét.
Megoldás. A -befogás (a főkvantumszám
) hatáskeresztmetszetét megkapjuk, ha (56,14)-et (56,15)-be helyettesítjük:
( a beeső elektron energiája;
). A keletkező atom többi állapotai közül csak az
állapotok lényegesek: ha a mátrixelemet Born-közelítésben
számoljuk, a kötött állapot hullámfüggvényének kis
-eknél felvett értékei lényegesek (amint ezt az 57. §-ban látni fogjuk), és
esetén ezek kicsinyek az
hullámfüggvényhez képest; emellett elegendő
-nek
szerinti hatványsorában az első két tagot figyelembe venni.
Tetszőleges
mellett,
-nál e két tag:
azaz csupán a közös
szorzótényezőben fordul elő [a felírt kifejezés a III. (36,13)
függvény sorba fejtett alakjából kapható]. Így a rekombináció teljes
hatáskeresztmetszete
(a függvény értéke:
).