ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

56.§. Fotoeffektus. A nemrelativisztikus eset

A 49. §… 52. §-okban a diszkrét spektrumhoz tartozó atomi szintek közötti sugárzási átmeneteket (foton emisszióját vagy abszorpcióját) tárgyaltuk. A fotoeffektus csupán annyiban különbözik az ilyen abszorpciós folyamatoktól, hogy ott a végállapot a folytonos spektrumhoz tartozik.

A fotoeffektus hatáskeresztmetszete hidrogénatomra vagy hidrogénatomszerű ionra Z≪137 magtöltéssel) végig analitikus formában kiszámítható.

A kezdeti állapotban az elektron a diszkrét εi≡–I ( az atom ionizációs energiája) energiaszinten van, a foton impulzusa . A végállapotban az elektron impulzusa (energiája εf≡ε ). Mivel értékkészlete folytonos, a fotoeffektus hatáskeresztmetszetét a

5.149. egyenlet - (56,1)

d σ = 2 π | V_{f i} |^{2} δ (- I + ω - 𝜀) \frac{d^{3} p}{{(2 π)}^{3}}

összefüggés adja meg [vö. (44,3)], az elektron végállapotbeli hullámfüggvényét az „egységnyi térfogatban egy részecske” szabály szerint normáltuk. Legyen ugyanilyen a foton hullámfüggvényének normálása is; a hatáskeresztmetszetre valóáttéréskor a valószínűséget a fotonok áramsűrűségével ( c∕V=c ) osztani kell, de relativisztikus egységekben ez az (56,1) képletre nem jelent változást.

A fotonra a Coulomb-mértéket használjuk [ugyanúgy, mint (45,2)-ben]. Ekkor

ahol

5.150. egyenlet - (56,2)

M_{f i} = \int ψ^{' *} (α e) e^{i k r} ψ d^{3} x

( ψ≡ψi , ψ′≡ψf rendre az elektron kezdeti és végállapotának hullámfüggvényei). Elvégezve (56,1)-ben a d3p→p2d|p| dΩ=ε|pdεdΩ| helyettesítést és a-függvény segítségével az szerinti integrálást, azt kapjuk, hogy

5.151. egyenlet - (56,3)

d σ = e^{2} \frac{𝜀 | p |}{2 π ω} | M_{f i} |^{2} d Ω .

A foton energiájának nagysága szerint két esetet különböztethetünk meg: ω≫I , vagy ω≪m . Mivel I∼me4Z2≪m , ez a két eset részben átfedi egymást (ha I≪ω≪m ), úgyhogy vizsgálatukkal a fotoeffektus teljes leírását adhatjuk.

Legyen először

5.152. egyenlet - (56,4)

ω ≪ m .

Ilyenkor az elektron sebessége mind a kezdeti, mind a végállapotban kicsi,úgyhogy az elektront illetően a feladat nemrelativisztikus. (56,2)-ben ezért helyébe a v=–i∇∕m nemrelativisztikus sebességoperátort helyettesíthetjük (vö. 45. §). Ezenkívül dipólusközelitést használhatunk –írhatjuk, hogy eikr≈1 , azaz a foton impulzusát elhanyagolhatjuk az elektronéhoz képest. Ekkor

5.153. egyenlet - (56,5)

d σ = e^{2} \frac{m | p |}{2 π ω} | {e v}_{f i} |^{2} d Ω, v_{f i} = - \frac{i}{m} \int ψ^{' *} \nabla ψ d^{3} x .

A fotoeffektust arra az esetre vizsgáljuk, mikor a hidrogénatom vagy hidrogénszerű ion kezdetben alapállapotban van. Ekkor

5.154. egyenlet - (56,6)

ψ = \frac{{(Z e^{2} m)}^{3 ∕ 2}}{\sqrt{π}} e^{- Z e^{2} m r}

(a szokásos egységekben me2→1∕a0 , ahol a0=(ℏ2/me2) az első Bohr-sugár ).

A hullámfüggvény aszimptotikus alakjának egy síkhullámot ( eipr ) és ezzel együtt egy befutó gömbhullámot kell tartalmaznia (l. III. 136. §, ott ezt a függvényt ψp– -vel jelöltük). Az szerinti kiválasztási szabály értelmében állapotból csak állapotba történhet átmenet (dipólus eset). Ezért elegendő a

5.155. egyenlet - (56,7)

ψ_{p}^{-} = \frac{1}{p} \sqrt{\frac{π}{2}} \sum_{l = 0}^{\infty} i^{l} (2 l + 1) e^{- i δ_{l}} R_{p l} (r) P_{l} ({n n}_{1})

( n=p∕p,n1=r∕r ) sor^[184] l=1 tagját néznünk.^[185] A lényegtelen fázistényezőket elhagyva,

5.156. egyenlet - (56,8)

ψ^{'} = \frac{3}{p} \sqrt{\frac{π}{2}} ({n n}_{1}) R_{p 1} (r) .

és (56,6)és (56,8) alakjait használva,

evfi=(3(Ze2m)5∕2/√2mp)∬(nn1)(n1e)e–Ze2mrRp1(r) dΩ1⋅r2dr=

=(23∕2π(Ze2m)5∕2/pm)(ne)∫0∞r2e–Ze2mrRp1(r) dr.

III. (36,18) és III. (36,24) szerint a radiális függvény (az itt használt egységekkel)

Rp1=(2Ze2m/3)√((1+ν2/ν(1–e–2πν)))pre–iprF(2+iν,4,2ipr),

ahol

5.157. egyenlet - (56,9)

ν = \frac{Z e^{2} m}{p} (= \frac{Z e^{2}}{ℏ v}) .

Az integrált az

képlet [l. III. (f,3)] segítségével számíthatjuk ki. Felhasználva még, hogy

kapjuk, hogy

evfi=(27∕2πν3(ne)/√pm(1+ν2)3∕2)(e–2νarcctgν/√(1–e–2πν)).

A hidrogénatom (vagy hidrogénszerű ion) alapállapotában az ionizációs energia I=Z2e4m∕2 . Ezért

5.158. egyenlet - (56,10)

ω = \frac{p^{2}}{2 m} + I = \frac{p^{2}}{2 m} (1 + ν^{2}) .

Ezt is figyelembe véve, a hatáskeresztmetszet végső alakja, ha az elektron a térszögbe lökődik ki:

5.159. egyenlet - (56,11)

d σ = 2^{7} π α a^{2} {(\frac{I}{ℏ ω})}^{4} \frac{e^{- 4 ν arc ctg ν}}{1 - e^{- 2 π ν}} {(n e)}^{2} d Ω,

ahol a=(ℏ2/mZe2)=(a0/Z) (itt és a továbbiakban a szokásos egységeket használjuk). Megjegyezzük, hogy a fotoelektronok szögeloszlását az (ne)2 tényező határozza meg. Ez a bejövő foton polarizációjának irányával párhuzamos irányban maximális, az -re merőleges irányokban, beleértve a beesés irányát, pedig eltűnik. Ha a foton polarizálatlan, akkor az (56,11) képletet iránya szerint átlagolni kell, ez az

helyettesítésnek felel meg, ahol n0k∕k [l. (45,4b)].

Az (56,11) képlet térszög szerinti integrálja adja a fotoeffektus teljes hatáskeresztmetszetét

5.160. egyenlet - (56,12)

σ = \frac{2^{9} π^{2}}{3} α a^{2} {(\frac{I}{ℏ ω})}^{4} \frac{e^{- 4 ν arc ctg ν}}{1 - e^{- 2 π ν}}

(M. Stobbe , 1930).

határértéke ℏ→I (azaz ν→∞ ) esetén:

5.161. egyenlet - (56,13)

σ = \frac{2^{9} π^{2}}{3 e^{4}} α a^{2} = \frac{2^{9} π^{2}}{3 e^{4}} \frac{α a_{0}^{2}}{Z^{2}} .

(a nevezőben 2=2,71… !). Mint ahogy annak lennie kell, az olyan reakciókban, amelyekben töltött részecskék keletkeznek (l. III. 147. §), a fotoeffektus hatáskeresztmetszete is konstans határértékhez tart a küszöbnél.

A ℏω≫I eset (miközben ℏω≪mc2 ) a Born-közelítésnek felel meg (ν=(Ze2/ℏv)≪1) . Az (56,12)-nek megfelelő összefüggés most

5.162. egyenlet - (56,14)

σ = \frac{2^{8} π}{3} α a_{0}^{2} Z^{5} {(\frac{I_{0}}{ℏ ω})}^{7 ∕ 2}

( I0=(e4m/2ℏ2) a hidrogénatom ionizációs energiája ).

A fotoeffektus inverz folyamata az elektronnak mozdulatlan ionnal való sugárzási rekombinációja. E folyamat hatáskeresztmetszete ( σrekomb ) kifejezhető a fotoeffektus hatáskeresztmetszetével () a részletes egyensúly elve alapján (l. III. 144. §). Az utóbbi szerint az i→f és folyamatok (mind az , mind az állapotban két-két részecskével) hatáskeresztmetszetei között a

összefüggés áll fenn, ahol , a részecskék relatív impulzusai, , az és állapotok (spinnel kapcsolatos) statisztikus súlyai. Mivel fotonra g=2 (két polarizációs irány van), ezért

5.163. egyenlet - (56,15)

σ_{r e k o m b} = σ_{f} \frac{2 k^{2}}{p^{2}}

( p=mv a beeső elektron, a kisugárzott foton impulzusa).

Feladat

Határozzuk meg gyors, nemrelativisztikus elektron ( I≪mv2≪mc2 )atommaggal ( Z≪137 ) való, sugárzási rekombinációjának teljes hatáskeresztmetszetét.

Megoldás. A -befogás (a főkvantumszám n=1 ) hatáskeresztmetszetét megkapjuk, ha (56,14)-et (56,15)-be helyettesítjük:

( ε=mv2∕2 a beeső elektron energiája; ℏω≈ε ). A keletkező atom többi állapotai közül csak az állapotok lényegesek: ha a mátrixelemet Born-közelítésben számoljuk, a kötött állapot hullámfüggvényének kis -eknél felvett értékei lényegesek (amint ezt az 57. §-ban látni fogjuk), és l>0 esetén ezek kicsinyek az l=0 hullámfüggvényhez képest; emellett elegendő -nek szerinti hatványsorában az első két tagot figyelembe venni. Tetszőleges mellett, l=0 -nál e két tag:

azaz csupán a közös n–3∕2 szorzótényezőben fordul elő [a felírt kifejezés a III. (36,13) függvény sorba fejtett alakjából kapható]. Így a rekombináció teljes hatáskeresztmetszete