ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

59.§. Fékezési sugárzás Mágneses térben

59.§. Fékezési sugárzás Mágneses térben^[192]

A klasszikus elmélet szerint (l. II. 74. §) az állandó mágneses térben mozgó ultrarelativisztikus elektron kvázifolytonos színképet sugároz ki, melynek maximuma az

5.184. egyenlet - (59,1)

ω \sim ω_{0} {(\frac{𝜀}{m})}^{3}

frekvenciánál van, ahol

5.185. egyenlet - (59,2)

ω_{0} = \frac{v e H}{| p |} \approx \frac{e H}{𝜀}

az energiájú (a térre merőleges síkban) körpályán mozgó elektron körfrekvenciája.^[193]

A mágneses térben való fékezési sugárzás kvantumos effektusai kettős eredetűek: az egyik az elektron kvantummechanikai mozgása, a másik a foton emissziójával együttjáró kvantummechanikai visszalökődés . Az utóbbit a ℏω∕ε arány határozza meg, és a klasszikus elmélet alkalmazhatóságának feltétele az, hogy ez kicsi legyen. Ezzel kapcsolatban a

5.186. egyenlet - (59,3)

χ = \frac{H}{H_{0}} \frac{| p |}{m} \approx \frac{H 𝜀}{H_{0} m} \approx \frac{ℏ ω_{0}}{𝜀} {(\frac{𝜀}{m})}^{3}

paramétert célszerű bevezetni, ahol H0=(m2/eℏ)(=(m2c3/eℏ))=4,4⋅1013gauss=4,4⋅109T . A klasszikus tartományban χ∼ℏω∕ε≪1 . Az ellenkező esetben ( χ≫1 ) a kisugárzott foton energiája ℏω∼ε , és (mint később látni fogjuk) a spektrum lényeges része egészen addig a frekvenciáig terjed, amelynél az elektron energiája sugárzás után

5.187. egyenlet - (59,4)

𝜀^{'} \sim m \frac{H_{0}}{H} .

Hogy az elektron ultrarelativisztikus maradjon, ahhoz a külső térnek a

5.188. egyenlet - (59,5)

\frac{H}{H_{0}} ≪ 1

feltételt kell kielégítenie.

Az elektron mozgásának kvantáltságára a ℏω0∕ε arány jellemző; ℏω0 a szomszédos energianívók közötti távolság mágneses térben való mozgás esetében. Mivel

ezért (59,5)-re való tekintettel ℏω0≪ε , azaz értékétől függetlenül az elektron mozgása kváziklasszikus. Más szavakkal, eltekinthetünk attól, hogy az elektron dinamikai változóinak operátorai nem cserélhetők fel egymással ( ∼ℏω0∕ε nagyságrendű mennyiségek), viszont figyelembe kell vennünk, hogy azok nem cserélhetők fel a fotontér operátoraival ( ∼ℏω∕ε nagyságrendű mennyiségek).^[194]

Külső térben mozgó elektron stacionárius állapotának kváziklasszikus hullámfüggvénye szimbolikusan a

5.189. egyenlet - (59,6)

ψ = \frac{1}{\sqrt{2 H}} u (p) e^{- \frac{i}{ℏ} H t} φ (r)

alakba írható, ahol φ(r)∼exp(iS∕ℏ) a nulla spinű részecske kváziklasszikus hullámfüggvénye [ S(r) a megfelelő klasszikus hatásfüggvény]; u(p) egy bispinor operátor:

amelyet az u(p) síkhullám bispinor amplitúdójából úgy kapunk, hogy és helyébe a nekik megfelelő operátorokat írjuk:^[195]

az A(r) vektorpotenciállal megadott térben mozgó részecske általánosított impulzusa; az operátorok sorrendje a hullámfüggvényben nem lényeges, mivel azt, hogy nem felcserélhetőek, elhanyagoltuk; az elektron spinállapotait a háromdimenziós spinor határozza meg.

A fotonemisszió valószínűségének kváziklasszikus számításakor nem a perturbációszámítás (44,3) végképletéből, hanem abból az alakból célszerű kiindulni, amely az idő szerinti integrálást még tartalmazza. A (teljes időtartamra vett) differenciális hatáskeresztmetszet:

5.190. egyenlet - (59,7)

d w = \sum_{f} | a_{f i} |^{2} \frac{d^{3} k}{{(2 π)}^{3}}, a_{f i} = \int_{- \infty}^{\infty} V_{f i} (t) d t

[vö. III. (41,2)]; az elektron lehetséges végállapotaira kell összegezni.

(59,6)-ot felhasználva egy ω,k négyesimpulzusú foton emissziójának Vfi(t) mátrixelemét a következő alakban írhatjuk:

Vfi(t)=–(e√(4π)/√(2ℏω))∫d3x⋅[φf∗e(i/ℏ)Ht(u+(p)/√(2H))]eiωt–ikr(e∗α)(u(p)/√(2H))e–(i/ℏ)Htφi(t),

ahol a [… ] zárójelben álló operátorok a φf∗ hullámfüggvényre hatnak; a fotonteret Coulomb-mértékben írtuk fel. Az exp(±iHt∕ℏ) szorzótényezők a köztük álló Schrödinger-operátorokat az időtől explicit módon függő Heisenberg-képbeli operátorokká alakítják. Vfi -t a

alakban írhatjuk, ahol Q(t) a következő Heisenberg-operátor :

5.191. egyenlet - (59,8)

Q (t) = \frac{u_{f}^{+} (p)}{\sqrt{2 H}} (α e) e^{- i k r (t)} \frac{u_{i} (p)}{\sqrt{2 H}},

az ⟨f∣…∣i⟩ mátrixelemet pedig a , függvények segítségével kell képezni. (59,7)-ben a végállapot hullámfüggvényeire összegezni kell; ez a rendszer teljességét kifejező

egyenlőség segítségével végezhető el.^[196] Végeredményként kapjuk, hogy

5.192. egyenlet - (59,9)

d w = \frac{e^{2}}{ℏ ω} \frac{d^{3} k}{4 π^{2}} \int d t_{1} \int d t_{2} \cdot e^{i ω (t_{1} - t_{2})} ⟨ i ∣ Q^{+} (t_{2}) Q (t_{1}) ∣ i ⟩ .

Ha elegendően nagy időtartományra integrálunk, akkor , helyett a

új változókat vezethetjük be, és a szerinti integrálban az integrandust az időegységre jutó sugárzási valószínűségként értelmezhetjük. -val szorozva kapjuk az intenzitást:

5.193. egyenlet - (59,10)

d I = \frac{e^{2}}{4 π^{2}} d^{3} k \int e^{- i ω τ} ⟨ i ∣ Q^{+} (t + \frac{τ}{2}) Q (t - \frac{τ}{2}) ∣ i ⟩ d τ .

Az ultrarelativisztikus elektron a sebessége körüli szűk, ∼m∕ε nyílásszögű kúpba sugároz. Ezért adott n=k∕ω irányba a pályának arról a részéről érkezik sugárzás, melyen a sebesség szöggel fordul el. Ezt a részt az elektron akkora idő alatt futja keresztül, melyre τ|v̇|∼τω0∼m∕ε≪1 . Éppen ez a tartomány ad lényeges járulékot a szerinti integrálban. Ezért a továbbiakban minden mennyiséget sorba fejtünk ω0τ hatványai szerint. Néhol azonban nem elegendő a sorfejtés első tagjánál megállni, mivel az egyes tagok egymást kiejthetik, ugyanis 1–nv∼2∼(m∕ε)2 .

Ha a Q+Q operátort egymással (a megkövetelt pontossággal) felcserélhető operátorok szorzataként írjuk fel, akkor az ⟨i∣…∣i⟩ diagonális mátrixelemek kiszámításánál az operátorokat a megfelelő klasszikus értékükkel (időfüggvények) helyettesíthetjük. A számítás menete a következő.

A korábban elmondottak szerint Q(t) kifejezésében csak arra kell tekintettel lennünk, hogy az elektronra vonatkozó operátorok nem cserélhetők fel a fotontérrel kapcsolatos exp(–ikr(t)) operátorral. Így

pe–ikr =e–ikr(p–ℏk), (59,11) H(p)e–ikr =e–ikrH(p–ℏk). (59,12)

Ezek az összefüggések annak következményei, hogy e–ikr az eltolás operátora impulzustérben. (59,11) és (59,12) segítségével (59,8)-ban az e–ikr operátor balra vihető, és írhatjuk, hogy

5.194. egyenlet - (59,13)

Q (t) = e^{- i k r (t)} R (t), R (t) = \frac{u_{f}^{+} (p^{'})}{\sqrt{2 H^{'}}} (α e^{*}) \frac{u_{i} (p)}{\sqrt{2 H}}

ahol H′=H–ℏω , p′=p–ℏk . Most

5.195. egyenlet - (59,14)

Q_{2}^{+} Q_{1} = R_{2} e^{i k r_{2}} e^{- i k r_{1}} R_{1}

(itt és a következőkben az és indexek a különböző mennyiségek t1=t–τ∕2 és t2=t+τ∕2 időpillanatokban felvett értékeit jelölik). Ki kell még számítanunk, az eikr2 és eikr1 egymással nem felcserélhető operátorok szorzatát. E szorzat a többi tényezővel már felcserélhető.

Vezessük be az

5.196. egyenlet - (59,15)

L (ξ) = e^{- i ω τ (ξ) - 1} e^{i ξ k r_{2}} e^{- i ξ k r_{1}}

jelölést, ahol csupán segédváltozó; minket az L(1) operátorérdekel. Az (59,15) definíciós egyenletet szerint differenciálva, a

5.197. egyenlet - (59,16)

\frac{d L}{d ξ} = L (ξ) e^{i ξ k r_{2}} b e^{- i ξ k r_{1}}

differenciálegyenlethez jutunk. A rövidség kedvéért a

jelölést vezettük be. Ez kifejezhető p1=p(t1) -gyel, ha felhasználjuk a -ra merőleges síkban való klasszikus mozgásra vonatkozó egyenletet:^[197]

r2–r1=(p1/eH)sin(eHτ/ε)+(p1×H/eH2)(1–cos(eHτ/ε))

(l. II. 21. §). hatványai szerint sorba fejtve,

5.198. egyenlet - (59,17)

b (p_{1}) \approx i ω τ \{(v_{1} n - 1) + τ \frac{e n (p_{1} \times H)}{2 𝜀^{2}} - \times^{2} \frac{e^{2} H^{2}}{6 𝜀^{2}}\}

(az utolsó tagban az nv1≈1 helyettesítést végeztük el). Ismét felhasználjuk, hogy e–ikr1 a térben az eltolás operátoraként viselkedik:

a mínusz index itt és a továbbiakban azt jelenti, hogy a mennyiség a p1–ξℏk argumentum függvénye. (59,17) segítségével meghatározható. Az első tagban

v–n–1≈(1/2)[(v–n)2–1]=(1/2ε–2){(p1n–ξℏω)2–(p1–ξℏk)2–m2}=

A további tagok csak annyiban változnak, hogy a nevezőben helyébe kell írni. Így b–=(ε∕ε–)2b . Figyelembe véve, hogy és egymással bezárt szöge kicsi, és ε≈p , a szükséges pontossággal írhatjuk, hogy ε–≈ε–ξℏω .

Az (59,16) egyenlet végső alakja:

Itt a tényezők nagyságrendje már lényegtelen, és minden mennyiség klasszikusként kezelhető. Az egyenletnek az L(0)=eiωτ feltételt kielégítő megoldása:

tehát

5.199. egyenlet - (59,18)

L (1) = exp \{i ω τ + i \frac{𝜀}{𝜀^{'}} ({k r}_{2} - {k r}_{1} - ω τ)\},

ahol ε′=ε–ℏω .

Átalakítjuk (59,14) többi tényezőjét. Az R(t) -ben levő szorzást [a (21,20)-beli mátrixok segítségével] elvégezve, azt kapjuk, hogy

5.200. egyenlet - (59,19)

\begin{gathered} R (t) = w_{f}^{*} e^{*} [A + i (B \times σ)] w_{i}, \\ A = \frac{p}{2} (\frac{1}{𝜀} + \frac{1}{𝜀^{'}}) = \frac{𝜀 + 𝜀^{'}}{2 𝜀^{'}} v, \\ B = \frac{1}{2} (\frac{p}{𝜀 + m} - \frac{p^{'}}{𝜀^{'} + m}) \approx \frac{ℏ ω}{2 𝜀^{'}} (n - v + v \frac{m}{𝜀}), \end{gathered}

ahol ε′=ε–ℏω , p′(t)=p(t)–ℏk , n=k∕ω ; az m∕ε -ban magasabb rendű tagokat elhagytuk. Végső soron

5.201. egyenlet - (59,20)

\begin{gathered} ⟨ i ∣ Q_{2}^{+} Q_{1} ∣ i ⟩ = R_{2}^{*} R_{1} exp \{i ω τ + i \frac{𝜀}{𝜀^{'}} ({k r}_{2} - {k r}_{1} - ω τ)\}, \\ R_{2}^{*} R_{1} = Sp \frac{1 + ζ_{i} σ}{2} [(A_{2} - i B_{2} \times σ) e] \frac{1 + ζ_{f} σ}{2} [(A_{1} + i B_{1} \times σ) e^{*}] . \end{gathered}

Az (1+ζσ/2) tényezők a kezdeti és végállapotbeli elektron kétsoros polarizációs sűrűségmátrixai.

A sugárzás intenzitását vizsgáljuk, a foton és a végállapotbeli elektron polarizációjára összegezünk, a kezdeti elektronéra átlagolunk. Egyszerű számítás után kapjuk, hogy^[198]

(1/2)∑polarR2∗R1=(ε2+ε′2/2ε′2)(v1v2–1)+(1/2)((ℏω/ε′))2((m/ε))2.

A megkövetelt pontossággal

v1v2=v2–(τ2/4)v̇2+(τ2/4)vv̈=1–(m2/ε2)–(1/2)ω02τ2.

E kifejezést (59,20)-ba, majd (59,10)-be helyettesítve (59,17) figyelembevételével azt kapjuk, hogy

5.202. egyenlet - (59,21)

d I = - \frac{e^{2}}{4 π^{2}} ω^{2} d ω d Ω_{n} \int_{- \infty}^{\infty} (\frac{m^{2}}{𝜀 𝜀^{'}} + \frac{𝜀^{2} + 𝜀^{' 2}}{4 𝜀^{' 2}} ω_{0}^{2} τ^{2}) exp \{- \frac{i ω τ 𝜀}{𝜀^{'}} (1 - n v + \frac{τ^{2}}{24} ω_{0}^{2})\} d τ .

Ez a képlet adja meg a sugárzás intenzitásának spektrálisés szögeloszlását .

Jelöljük és az elektron pályájának síkja által bezárt szöget -val, az vektor e síkra való vetületének és a vektornak egymással bezárt szögét -vel. Tekintetbe véve, hogy az integrálban a lényeges járulékot a kis szögek adják, írható, hogy

Az (59,21) integrál kiszámításához érdemes bevezetni és helyett az , változókat:

ω0τ=((1ω0ε′/εω))1∕3(x+y), ψ=((2ω0ε′/εω))1∕3(x–y/2).

Az exponenciális tényező kitevője ekkor (59,21)-ben a következő:

ahol bevezettük az

5.203. egyenlet - (59,22)

η = {(\frac{u}{2 χ})}^{2 ∕ 3} (1 + δ^{2}), u = \frac{ℏ ω}{𝜀^{'}} = \frac{ℏ ω}{𝜀 - ℏ ω}, δ = \frac{𝜗 𝜀}{m}

jelölést. A szerinti integrál az Airy-függvénnyelés deriváltjával fejezhető ki.^[199] A spektrális eloszlásra a következő alakot kapjuk:

5.204. egyenlet - (59,23)

\times \int_{- \infty}^{\infty} \{- Φ^{2} (η) + (1 + δ^{2}) (1 + \frac{u^{2}}{2 (1 + u)}) [Φ^{2} (η) + \frac{1}{η} Φ^{' 2} (η)]\} d δ .

A lényeges járulékot a ϑ∼m∕ε (δ∼1) szögtartomány adja. Az eloszlás maximuma olyan frekvenciáknál van, amelyekre η∼((ℏω/ε′χ))2∕3 . Ebből χ≪1 esetén (59,1), χ≫1 esetén (59,4) következik.

5. ábra.

Az 5. ábra a különböző értékekhez tartozó spektrális eloszlásokat mutatja.^[200] Az

mennyiséget ábrázoltuk az ω∕ωc hányados függvényeként, ahol

ℏωc=(εχ/(2/3)+χ), Ikl=(2e2m2χ2/3ℏ2)=(2e4H2ε2/3m4).

Az Ikl mennyiség a sugárzás teljes klasszikus intenzitása [vö. II. (74,2)].

Felhasználva a

összefüggést, valamint bevezetve az ((u/2χ))2∕3δ2=t változót, (59,23) a

(dI/dω)=(2e2m2/πℏε)(u/1+u){–1+(2/x)(1+(u2/2(1+u)))(d2/dx2)}∫0∞(dt/√t)Φ2(2–2∕3x+t)

alakban írható, ahol x=(u∕χ)–2∕3 . Felhasználva továbbá az

összefüggést,^[201] a spektrális eloszlásra a

5.205. egyenlet - (59,24)

\frac{d I}{d ω} = - \frac{e^{2} m^{2}}{\sqrt{π} ℏ 𝜀} \frac{u}{1 + u} \{\int_{x}^{\infty} Φ (x) d x + \frac{2}{x} (1 + \frac{u^{2}}{2 (1 + u)}) Φ^{'} (x)\}

alakot kapjuk. Klasszikus határesetben ℏω≪ε , így u≈ℏω∕ε , x≈(ω∕ω0)2∕3(m∕ε)2 ,és (59,24) a II. (74,13) klasszikus képletbe megy át.

kifejezést szerint -tól -ig integrálva [(59,24) első tagjában kétszer integrálunk] kapjuk, hogy

5.206. egyenlet - (59,25)

I = - \frac{e^{2} m^{2} χ^{2}}{2 \sqrt{π} ℏ^{2}} \int_{0}^{\infty} \frac{4 + 5 χ x^{3 ∕ 2} + 4 χ^{2} x^{3}}{{(1 + χ x^{3 ∕ 2})}^{4}} Φ^{'} (x) x d x .

A 6. ábrán az I(χ)∕Ikl függvényt ábrázoltuk. Ha χ≪1 , az integrálban a jelentős járulékot az x∼1 tartomány adja. Az integrandust szerint sorba fejtve és az integrálást az

inf0∞xyΦ′(x) dx=–(1/2√π)3(4ν–1)∕6Γ((ν/3)+1)Γ((ν/3)+(1/3))

képlet szerint elvégezve,

5.207. egyenlet - (59,26)

I = I_{k l} (1 - \frac{55 \sqrt{3}}{16} χ + 48 χ^{2} - \dots)

adódik.

6. ábra.

Ha χ≫1 , a lényeges tartomány az, amelyre χx3∕2∼1 , azaz x≪1 . Φ′(x) ezért első közelítésben Φ′(0)=–31∕6Γ(2∕3)∕2√π -vel helyettesíthető, és ezzel az eredmény integrálás után a következő alakot ölti:

5.208. egyenlet - (59,27)

I \approx \frac{32 Γ (2 ∕ 3) e^{2} m^{2}}{243 ℏ^{2}} {(2 χ)}^{2 ∕ 3} = 0, 82 \frac{e^{2} m^{2}}{ℏ^{2}} {(\frac{H 𝜀}{H_{0} m})}^{2 ∕ 3} .

A mágneses fékezési sugárzás során az elektronok polarizálódnak (A. A. Szokolov , L. M. Ternov , 1963). Ennek vizsgálatához meg kell határozni az olyan sugárzási átmenet valószínűségét, amelynek során a spin iránya megfordul.

(59,20)-ba a ζi=–ζf≡ζ és |ζ|=1 összefüggéseket helyettesítve, azt kapjuk, hogy

R2∗R1=(B1B2)–(e∗B1)(eB2)–[e∗(B1×ζ)][e(B2×ζ)]–i(ζe∗)[e(B1×B2)].

A foton polarizációjára való összegezés egyszerű átalakítások után azt adja, hogy

5.209. egyenlet - (59,28)

+ (ζ n) ({n B}_{1}) ({ζ B}_{2}) + (ζ n) ({n B}_{2}) ({ζ B}_{1}) - i [ζ - n (n ζ)] (B_{1} \times B_{2}) .

Feltesszük, hogy x≪1 , és csak a valószínűség szerinti sorának vezető tagját keressük. Mivel (59,28)-ban [-n keresztül, l. (59,19)] már fordul elő, ezért minden további mennyiségben [az (59,20)-ban szereplő exponenciális kifejezés kitevőjében is]-nal helyettesíthető.

Írjuk fel és kifejtésére, hogy

és helyettesítsük (59,28)-at (59,20)-ba, majd (59,10)-be; így megkapjuk az egységnyi időre jutó differenciális átmeneti valószínűséget (dw=(dI/ℏω)) . Ennek d3k szerinti integrálját az

5.210. egyenlet - (59,29)

\int f (k_{μ}) e^{- i k x} \frac{d^{3} k}{ω} = - f (i \partial_{μ}) \frac{4 π}{{(x_{0} - i 0)}^{2} - x^{2}}

összefüggés segítségével számíthatjuk ki, az adott esetben:

x0=τ, x=r2–r1, x2=x02–x2=τ2((m2/ε2)+(τ2ω02/12)).

Az eredmény

w=(α/π)(ℏ2/m2)((ε/m))ω03∮(dz/(1+z2∕12)3)[(3/z4)–(5/12z2)+((1/z4)+(5/12z2))(ζv)2–(2i/z2ω0)ζ(v̇×v)],

ahol z=τω0ε∕m , a szerinti integrációs út a valós tengely alatt halad, és az alsó félsíkban záródik. Elvégezve ez utolsó integrálást, megkapjuk a spin irányának megfordulásával járó sugárzási átmenet teljes valószínűségét:

5.211. egyenlet - (59,30)

w = \frac{5 \sqrt{3} α}{16} \frac{ℏ^{2}}{m^{2}} (\frac{𝜀}{m}) ω_{0}^{3} (1 - \frac{2}{9} ζ_{∥}^{2} - \frac{8 \sqrt{3}}{15} \frac{e}{| e |} ζ_{⊥}),

ahol ζ∥=ζv , ζ⊥=ζH∕H . E képlet egyaránt érvényes elektronra ( e<0 ) és pozitronra ( e>0 ).

Az (59,30) valószínűség nem függ a longitudinális polarizáció előjelétől, de függ előjelétől. Ezért a sugárzás során létrejövő polarizáció is transzverzális.^[202] Elektronoknál a „térrel párhuzamos” (ζ⊥) spinű állapotból a „térrel ellentétes” spinű állapotba való átmenet valószínűsége nagyobb, mint a fordított átmeneté. Ezért az elektronok sugárzási polarizációja a térrel ellentétes irányú, és stacionárius állapotban a polarizáció foka ( ζ∥0 mellett)

(w(ζ⊥=–1)–w(ζ⊥=1)/w(ζ⊥=–1)+w(ζ⊥=1))=(8√3/15)=0,93.

A pozitronok polarizációja a térrel párhuzamos (nagysága az előzővel azonos).

^[192] E szakasz társszerzője V. N. Bajer.

^[193] E szakaszban c=1 , -t azonban kiírjuk.

^[194] A mágneses fékezési sugárzás teljes kvantumos leírását először N. P. Klepikov (1954), a klasszikus eredményekhez járuló első kvantummechanikai korrekciót A. A. Szokolov , N. P. Klepikov és I. M. Ternov adták meg (1952). Az (59,23) és (59,30) képletek e szakaszban bemutatott levezetése, amely lényegesen kihasználja a mozgás kváziklasszikus jellegét, V. N. Bajertől és V. M. Katkov tól származik (1967). Hasonló módszert használt korábban J. Schwinger (1954) a sugárzás intenzitásához adódó első kvantummechanikai korrekció kiszámítására.

^[195] Ebben a szakaszban (a IV. fejezettől eltérően) -vel jelöljük az általánosított impulzust; a közönséges (kinetikus) impulzust jelöli.

^[196] Emlékeztetünk rá, hogy (59,7)-ben az idő szerinti integrálást még nem végeztük el, az energia-megmaradás nem korlátozza a szerinti összegezést.

^[197] Ez megtehető, mivel az, hogy a mágneses térbeli sebességkomponensek nem cserélhetők fel, ℏω0∕ε relatív nagyságrendű tagokhoz vezet, így ezek elhanyagolhatók.

^[198] Felhasználtuk, hogy az szerinti összegezésnél ∑e(v1e)(v2e∗)=v1v2–(v1n)(v2n) . (59,20)-nek (59,9)-be való helyettesítésekor parciálisan lehet integrálni, észrevéve, hogy (v1n)exp(–(iε/ε′)kr1)=(iε′/εω)(d/dt1)exp(–(iε/ε′)kr1) , ugyanúgy v2n -re. Az eredmény az, hogy az egész további integrálás során v1n és v2n -gyel helyettesíthető.

^[199] Az Airy-függvény definíciójára, valamint a Macdonald-függvényekkel való kapcsolatára lásd a III. b. §-t.

^[200] Az 5. és 6. ábra grafikonjai N. P. Klepikov számításai alapján készültek.

^[201] E képlet levezetése a következő cikkben található: D. E. Aspnes , Phys. Rev. 147, 554 (1966)

^[202] Ez a tény egyébként előre látható: a polarizáció vektora axiális vektor, ez csak a feladatban szereplő egyetlen axiális vektor, irányába mutathat.