Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A klasszikus elmélet szerint (l. II. 74. §) az állandó mágneses térben mozgó ultrarelativisztikus elektron kvázifolytonos színképet sugároz ki, melynek maximuma az
az energiájú (a térre merőleges síkban) körpályán mozgó elektron
körfrekvenciája.[193]
A mágneses térben való fékezési sugárzás kvantumos effektusai kettős eredetűek: az
egyik az elektron kvantummechanikai mozgása, a másik a foton emissziójával együttjáró
kvantummechanikai visszalökődés . Az
utóbbit a arány határozza meg, és a klasszikus elmélet alkalmazhatóságának
feltétele az, hogy ez kicsi legyen. Ezzel kapcsolatban a
paramétert célszerű bevezetni, ahol . A klasszikus tartományban
. Az ellenkező esetben (
) a kisugárzott foton energiája
, és (mint később látni fogjuk) a spektrum lényeges része egészen addig
a frekvenciáig terjed, amelynél az elektron energiája sugárzás után
Hogy az elektron ultrarelativisztikus maradjon, ahhoz a külső térnek
a
feltételt kell kielégítenie.
Az elektron mozgásának kvantáltságára a arány jellemző;
a szomszédos energianívók közötti távolság mágneses térben való mozgás
esetében. Mivel
ezért (59,5)-re való tekintettel
, azaz
értékétől függetlenül az elektron mozgása kváziklasszikus. Más
szavakkal, eltekinthetünk attól, hogy az elektron dinamikai változóinak operátorai nem
cserélhetők fel egymással (
nagyságrendű mennyiségek), viszont figyelembe kell vennünk, hogy azok
nem cserélhetők fel a fotontér operátoraival (
nagyságrendű mennyiségek).[194]
Külső térben mozgó elektron stacionárius állapotának kváziklasszikus hullámfüggvénye szimbolikusan a
alakba írható, ahol a nulla spinű részecske kváziklasszikus hullámfüggvénye
[
a megfelelő klasszikus hatásfüggvény];
egy bispinor operátor:
amelyet az síkhullám bispinor amplitúdójából úgy kapunk, hogy
és
helyébe a nekik megfelelő operátorokat írjuk:[195]
az
vektorpotenciállal megadott térben mozgó részecske általánosított
impulzusa; az operátorok sorrendje a
hullámfüggvényben nem lényeges, mivel azt, hogy nem felcserélhetőek,
elhanyagoltuk; az elektron spinállapotait a
háromdimenziós spinor határozza meg.
A fotonemisszió valószínűségének kváziklasszikus számításakor nem a perturbációszámítás (44,3) végképletéből, hanem abból az alakból célszerű kiindulni, amely az idő szerinti integrálást még tartalmazza. A (teljes időtartamra vett) differenciális hatáskeresztmetszet:
[vö. III. (41,2)]; az elektron lehetséges végállapotaira kell összegezni.
(59,6)-ot felhasználva egy négyesimpulzusú foton emissziójának
mátrixelemét a következő alakban írhatjuk:
ahol a zárójelben álló operátorok a
hullámfüggvényre hatnak; a fotonteret Coulomb-mértékben írtuk fel. Az
szorzótényezők a köztük álló Schrödinger-operátorokat az időtől explicit módon függő Heisenberg-képbeli operátorokká alakítják.
-t a
alakban írhatjuk, ahol a következő Heisenberg-operátor :
az mátrixelemet pedig a
,
függvények segítségével kell képezni. (59,7)-ben a végállapot
hullámfüggvényeire összegezni kell; ez a
rendszer teljességét kifejező
egyenlőség segítségével végezhető el.[196] Végeredményként kapjuk, hogy
Ha elegendően nagy időtartományra integrálunk, akkor ,
helyett a
új változókat vezethetjük be, és a szerinti integrálban az integrandust az időegységre jutó sugárzási
valószínűségként értelmezhetjük.
-val szorozva kapjuk az intenzitást:
Az ultrarelativisztikus elektron a sebessége körüli szűk,
nyílásszögű kúpba sugároz. Ezért adott
irányba a pályának arról a részéről érkezik sugárzás, melyen a
sebesség
szöggel fordul el. Ezt a részt az elektron akkora
idő alatt futja keresztül, melyre
. Éppen ez a tartomány ad lényeges járulékot a
szerinti integrálban. Ezért a továbbiakban minden mennyiséget sorba
fejtünk
hatványai szerint. Néhol azonban nem elegendő a sorfejtés első
tagjánál megállni, mivel az egyes tagok egymást kiejthetik, ugyanis
.
Ha a operátort egymással (a megkövetelt pontossággal) felcserélhető
operátorok szorzataként írjuk fel, akkor az
diagonális mátrixelemek kiszámításánál az operátorokat a megfelelő
klasszikus értékükkel (időfüggvények) helyettesíthetjük. A számítás menete a
következő.
A korábban elmondottak szerint kifejezésében csak arra kell tekintettel lennünk, hogy az elektronra
vonatkozó operátorok nem cserélhetők fel a fotontérrel kapcsolatos
operátorral. Így
Ezek az
összefüggések annak következményei, hogy az eltolás operátora impulzustérben. (59,11) és (59,12) segítségével (59,8)-ban az
operátor balra vihető, és írhatjuk, hogy
(itt és a következőkben az és
indexek a különböző mennyiségek
és
időpillanatokban felvett értékeit jelölik). Ki kell még számítanunk,
az
és
egymással nem felcserélhető operátorok szorzatát. E szorzat a többi
tényezővel már felcserélhető.
jelölést, ahol csupán segédváltozó; minket az
operátorérdekel. Az (59,15) definíciós egyenletet
szerint differenciálva, a
differenciálegyenlethez jutunk. A rövidség kedvéért a
jelölést vezettük be. Ez kifejezhető -gyel, ha felhasználjuk a
-ra merőleges síkban való klasszikus mozgásra vonatkozó
egyenletet:[197]
(l. II. 21. §). hatványai szerint sorba fejtve,
(az utolsó tagban az helyettesítést végeztük el). Ismét felhasználjuk, hogy
a
térben az eltolás operátoraként viselkedik:
a mínusz index itt és a továbbiakban azt jelenti, hogy a mennyiség a
argumentum függvénye.
(59,17) segítségével
meghatározható. Az első tagban
A további tagok csak annyiban változnak, hogy a nevezőben
helyébe
kell írni. Így
. Figyelembe véve, hogy
és
egymással bezárt szöge kicsi, és
, a szükséges pontossággal írhatjuk, hogy
.
Az (59,16) egyenlet végső alakja:
Itt a tényezők nagyságrendje már lényegtelen, és minden mennyiség
klasszikusként kezelhető. Az egyenletnek az feltételt kielégítő megoldása:
ahol .
Átalakítjuk (59,14) többi tényezőjét. Az
-ben levő szorzást [a (21,20)-beli
mátrixok segítségével] elvégezve, azt kapjuk, hogy
ahol ,
,
; az
-ban magasabb rendű tagokat elhagytuk. Végső soron
Az tényezők a kezdeti és végállapotbeli elektron kétsoros polarizációs
sűrűségmátrixai.
A sugárzás intenzitását vizsgáljuk, a foton és a végállapotbeli elektron polarizációjára összegezünk, a kezdeti elektronéra átlagolunk. Egyszerű számítás után kapjuk, hogy[198]
A megkövetelt pontossággal
E kifejezést (59,20)-ba, majd (59,10)-be helyettesítve (59,17) figyelembevételével azt kapjuk, hogy
Ez a képlet adja meg a sugárzás intenzitásának spektrálisés szögeloszlását .
Jelöljük és az elektron pályájának síkja által bezárt szöget
-val, az
vektor e síkra való vetületének és a
vektornak egymással bezárt szögét
-vel. Tekintetbe véve, hogy az integrálban a lényeges járulékot a kis
szögek adják, írható, hogy
Az (59,21) integrál
kiszámításához érdemes bevezetni és
helyett az
,
változókat:
Az exponenciális tényező kitevője ekkor (59,21)-ben a következő:
jelölést. A szerinti integrál az Airy-függvénnyelés
deriváltjával fejezhető ki.[199] A spektrális eloszlásra a következő
alakot kapjuk:
A lényeges járulékot a szögtartomány adja. Az eloszlás maximuma olyan frekvenciáknál van,
amelyekre
. Ebből
esetén (59,1),
esetén (59,4) következik.
Az 5. ábra a különböző értékekhez tartozó spektrális eloszlásokat mutatja.[200] Az
mennyiséget ábrázoltuk az hányados függvényeként, ahol
Az mennyiség a sugárzás teljes klasszikus intenzitása [vö. II. (74,2)].
Felhasználva a
összefüggést, valamint bevezetve az változót, (59,23) a
alakban írható, ahol . Felhasználva továbbá az
összefüggést,[201] a spektrális eloszlásra a
alakot kapjuk. Klasszikus határesetben , így
,
,és (59,24) a II. (74,13) klasszikus
képletbe megy át.
A
kifejezést szerint
-tól
-ig integrálva [(59,24) első
tagjában kétszer integrálunk] kapjuk, hogy
A 6. ábrán az függvényt ábrázoltuk. Ha
, az integrálban a jelentős járulékot az
tartomány adja. Az integrandust
szerint sorba fejtve és az integrálást az
adódik.
Ha , a lényeges tartomány az, amelyre
, azaz
.
ezért első közelítésben
-vel helyettesíthető, és ezzel az eredmény integrálás után a következő
alakot ölti:
A mágneses fékezési sugárzás során az elektronok polarizálódnak
(A. A. Szokolov , L. M. Ternov , 1963). Ennek vizsgálatához meg kell határozni az olyan
sugárzási átmenet valószínűségét, amelynek során a spin iránya megfordul.
(59,20)-ba a és
összefüggéseket helyettesítve, azt kapjuk, hogy
A foton polarizációjára való összegezés egyszerű átalakítások után azt adja, hogy
Feltesszük, hogy , és csak a valószínűség
szerinti sorának vezető tagját keressük. Mivel (59,28)-ban [
-n keresztül, l. (59,19)] már
fordul elő, ezért minden további mennyiségben [az (59,20)-ban szereplő exponenciális kifejezés kitevőjében
is]
-nal helyettesíthető.
Írjuk fel és
kifejtésére, hogy
és helyettesítsük (59,28)-at (59,20)-ba, majd (59,10)-be; így megkapjuk az egységnyi időre jutó
differenciális átmeneti valószínűséget . Ennek
szerinti integrálját az
összefüggés segítségével számíthatjuk ki, az adott esetben:
Az eredmény
ahol , a
szerinti integrációs út a valós tengely alatt halad, és az alsó
félsíkban záródik. Elvégezve ez utolsó integrálást, megkapjuk a spin irányának
megfordulásával járó sugárzási átmenet teljes valószínűségét:
ahol ,
. E képlet egyaránt érvényes elektronra (
) és pozitronra (
).
Az (59,30) valószínűség nem függ a longitudinális polarizáció előjelétől, de függ
előjelétől. Ezért a sugárzás során létrejövő polarizáció is
transzverzális.[202] Elektronoknál a „térrel párhuzamos”
spinű állapotból a „térrel ellentétes” spinű állapotba való átmenet
valószínűsége nagyobb, mint a fordított átmeneté. Ezért az elektronok sugárzási
polarizációja a térrel ellentétes irányú, és stacionárius állapotban a polarizáció foka
(
mellett)
A pozitronok polarizációja a térrel párhuzamos (nagysága az előzővel azonos).
[192] E szakasz társszerzője V. N. Bajer.
[193] E szakaszban ,
-t azonban kiírjuk.
[194] A mágneses fékezési sugárzás teljes kvantumos leírását először N. P. Klepikov (1954), a klasszikus eredményekhez járuló első kvantummechanikai korrekciót A. A. Szokolov , N. P. Klepikov és I. M. Ternov adták meg (1952). Az (59,23) és (59,30) képletek e szakaszban bemutatott levezetése, amely lényegesen kihasználja a mozgás kváziklasszikus jellegét, V. N. Bajertől és V. M. Katkov tól származik (1967). Hasonló módszert használt korábban J. Schwinger (1954) a sugárzás intenzitásához adódó első kvantummechanikai korrekció kiszámítására.
[195] Ebben a szakaszban (a IV. fejezettől eltérően)
-vel jelöljük az általánosított impulzust;
a közönséges (kinetikus) impulzust jelöli.
[196] Emlékeztetünk rá, hogy (59,7)-ben az idő
szerinti integrálást még nem végeztük el, az energia-megmaradás nem korlátozza a
szerinti összegezést.
[197] Ez megtehető, mivel az, hogy a mágneses térbeli sebességkomponensek nem
cserélhetők fel, relatív nagyságrendű tagokhoz vezet, így ezek elhanyagolhatók.
[198] Felhasználtuk, hogy az szerinti összegezésnél
. (59,20)-nek (59,9)-be való
helyettesítésekor parciálisan lehet integrálni, észrevéve, hogy
, ugyanúgy
-re. Az eredmény az, hogy az egész további integrálás során
és
-gyel helyettesíthető.
[199] Az Airy-függvény definíciójára, valamint a Macdonald-függvényekkel való kapcsolatára lásd a III. b. §-t.
[201] E képlet levezetése a következő cikkben található: D. E. Aspnes , Phys. Rev. 147, 554 (1966)
[202] Ez a tény egyébként előre látható: a polarizáció vektora axiális vektor, ez
csak a feladatban szereplő egyetlen axiális vektor, irányába mutathat.