ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

6. fejezet - VI. FEJEZET FÉNYSZÓRÁS

Tartalom

60.§. A szórástenzor

Feladatok

61.§. Szórás szabad irányítású rendszereken

Feladatok

62.§. Szóródás molekulákon

63.§. A színképvonalak természetes kiszélesedése

64.§. Rezonancia-fluoreszcencia

Feladat

60.§. A szórástenzor

A foton elektronrendszer által történő szórása (az egyszerűség kedvéért atomról beszélünk a továbbiakban) a kezdeti impulzusú foton elnyelését és egyidejűleg egy impulzusú foton kibocsátását jelenti. Ennek következtében az atom vagy eredeti állapotában maradhat, vagy egy másik diszkrét energiaszintre kerül. Az első esetben a foton frekvenciája változatlan (Rayleigh-szórás) , a másodikban

6.1. egyenlet - (60,1)

ω^{'} - ω = E_{1} - E_{2}

mennyiséggel változik, ahol és az atom kezdeti, ill. végállapotának energiája (kombinált vagy eltolási szórás).^[203]

Minthogy az elektromágneses perturbáció operátorának a fotonszámot kettővel változtató átmenetekre vonatkozó mátrixelemei eltűnnek, így a szórási folyamat csak a perturbációszámítás második közelítésében jelenhet meg. Ezt meghatározott közbenső állapotokon keresztül lezajló folyamatként tekintjük; ezek az állapotok kétfélék lehetnek:

I. A foton elnyelődik, az atom átmegy egyik energiával jellemzett lehetséges állapotába; majd a foton kibocsátásával kerül végállapotába.

II. a foton kibocsátásával kerül az állapotba az atom; majd a végállapotba való átmenet során nyeli el a fotont.

A vizsgált folyamat mátrixeleme a következő összeg lesz [l. III. (43,7)]

6.2. egyenlet - (60,2)

V_{21} = \sum_{n}^{'} (\frac{V_{2 n}^{'} V_{n 1}}{ℰ_{1} - ℰ_{n}^{I I}} + \frac{V_{2 n} V_{n 1}^{'}}{ℰ_{1} - ℰ_{n}^{I I}}),

ahol ℰ1=E1+ω a kezdeti „atom + foton” rendszer energiája, míg

a közbenső állapotbeli rendszer energiái. V.. a foton elnyelésének mátrixeleme, V.. a foton kibocsátásáé; a kezdeti állapotot a lehetséges közbenső atomállapotok közül kizárjuk (ezt jelöli az összegező jel vesszője). A szórási hatáskeresztmetszet

6.3. egyenlet - (60,3)

d σ = 2 π | V_{21} |^{2} \frac{ω^{' 2} d Ω^{'}}{{(2 π)}^{3}},

ahol dΩ′ a irányú térszögelem.^[204]

Feltesszük, hogy a kezdeti és végső fotonok hullámhosszai egyaránt nagyok a szóró rendszer a méreteihez képest. Ennek megfelelően az összes átmenetet dipólusközelítésben vizsgáljuk. Ha a fotonokat síkhullámokkal írjuk le, akkor ennek a közelítésnek az eikr szorzók -gyel való helyettesítése felel meg. Ekkor a fotonok hullámfüggvényei (háromdimenziós transzverzális mérték alkalmazásával):

Aeω=√(4π)(e/√(2ω))e–iωt, Ae′ω=√(4π)(e′/√(2ω′))e–iωt.

A vizsgált körülmények között az elektromágneses kölcsönhatás operátora

6.4. egyenlet - (60,4)

V = - d E

alakban írható, ahol E=–Ȧ az elektromos térerősség, az atom dipólusmomentumának operátora (a kifejezés analóg a kisméretű rendszerek elektromos térbeli energiájának kifejezésével – l. II. 42. §). Mátrixelemei a következők:

Vn1=–i√(2πω)(edn1), V2n′=i√(2πω′)(e′∗d2n).

Ezeket a kifejezéseket (60,2)-be és (60,3)-ba helyettesítve, a hatáskeresztmetszet következő kifejezésére jutunk (a szokásos egységekben írjuk ki):^[205]

6.5. egyenlet - (60,5)

\begin{gathered} d σ = {|\sum_{n} \{\frac{(d_{2 n} e^{' *}) (d_{n 1} e)}{ω_{n 1} - ω} + \frac{(d_{2 n} e) (d_{n 1} e^{' *})}{ω_{n 2} + ω}\}|}^{2} \frac{ω ω^{' 3}}{ℏ^{2} c^{4}} d Ω^{'}, \\ ℏ ω_{n 1} = E_{n} - E_{1}, ℏ ω_{n 2} = E_{n} - E_{2} . \end{gathered}

Az összegezést az atom összes lehetséges állapotaira el kell végezni, beleértve a folytonos spektrumhoz tartozóállapotokat is (ennek során azés állapotok automatikusan kiesnek az összegezésből, minthogy a d11 , d22=0 diagonális elemek eltűnnek.)

Vezessük be a következő jelölést:^[206]

6.6. egyenlet - (60,6)

{(c_{i k})}_{21} = \sum_{n} [\frac{{(d_{i})}_{2 n} {(d_{k})}_{n 1}}{ω_{n 1} - ω} + \frac{{(d_{k})}_{2 n} {(d_{i})}_{n 1}}{ω_{n 2} + ω}]

( i,k=x,y,z háromdimenziós vektorindexek). Ennek segítségével a (60,5) képlet a következő alakot ölti:

6.7. egyenlet - (60,7)

d σ = ω {(ω + ω_{12})}^{3} | {(c_{i k})}_{21} e_{i}^{' *} e_{k} |^{2} d Ω^{'} .

A (60,6) jelölést az igazolja, hogy az összeget valóban egy tenzor mátrixelemeként állíthatjuk elő. Erről a legegyszerűbben a következő egyenletet kielégítő vektoroperátort bevezetve győződhetünk meg:

Ennek mátrixelemei a következők:

úgyhogy

6.8. egyenlet - (60,8)

{(c_{i k})}_{21} = {(b_{k} d_{i} - d_{i} b_{k})}_{21} .

A (cik)21 mátrixelemeket a fény szórástenzorának nevezzük.

A mondottakból következik, hogy a szórás kiválasztási szabályai egybeesnek egy tetszőleges másodrendű tenzor mátrixelemeinek kiválasztási szabályaival. Rögtön megjegyezzük, hogy ha a rendszernek szimmetriacentruma van (azaz állapotait paritásuk szerint osztályozhatjuk), akkor csak az azonos paritású állapotok közötti átmenetek jöhetnek létre (pl. többek között az állapot változása nélkül). Ez a szabály ellentétes az (elektromos dipólus-)sugárzás során fennálló, a paritásra vonatkozó kiválasztási szabállyal, tehát alternatív formában a következő mondható ki: a szórásban megengedett átmenetek tiltottak sugárzás során – a sugárzásban megengedettek tiltottak szórás esetén.

Tekintsük a cik felbontását irreducibilis tenzorokra:

6.9. egyenlet - (60,9)

c_{i k} = c^{0} δ_{i k} + c_{i k}^{s} + c_{i k}^{a},

(60,10) ahol

6.10. egyenlet - (60,10)

\begin{matrix} \begin{aligned} c^{0} & = \frac{1}{3} c_{i i}, \\ c_{i k}^{s} & = \frac{1}{2} (c_{i k} + c_{k i}) - c^{0} δ_{i k}, \\ c_{i k}^{a} & = \frac{1}{2} (c_{i k} - c_{k i}) \end{aligned} & (60,10) \end{matrix}

rendre skalár, szimmetrikus tenzor (zérus nyommal) és antiszimmetrikus tenzor. Mátrixelemeik:

(c0)21 =(1/3)∑n(ωn1+ωn2/(ωn1–ω)(ωn2+ω))(di)2n(di)n1, (60,11) (ciks)21 =(1/2)∑n(ωn1+ωn2/(ωn1–ω)(ωn2+ω))[(di)2n(dk)n1+(dk)2n(di)n1]–(c0)21δik, (60,12) (cika)21 =(2ω+ω12/2)∑n((di)2n(dk)n1–(dk)2n(di)n1/(ωn1–ω)(ωn2+ω)). (60,13)

Vizsgáljuk a szórástenzor néhány tulajdonságát a kicsiny és a nagy fotonfrekvenciák határesetében.^[207]

Rugalmas szórás esetén ( ω12=0 ) a tenzor antiszimmetrikus része ω→0 határesetben nullához tart, míg a szimmetrikus rész határértéke véges. Ennek megfelelően kis frekvenciáknál a hatáskeresztmetszet -nel arányos.

Az ellenkező esetben, mikor a frekvencia nagy a (60,6)-beli összes lényeges ωn1 , ωn2 frekvenciákhoz képest (de természetesen a hullámhossz feltétel továbbra is teljesül), a klasszikus elmélet formuláit kell visszakapnunk. A szórástenzor 1∕ω hatványai szerinti kifejtésének első tagja

(1/ω)∑n[(dk)2n(di)n1–(di)2n(dk)n1]=(1/ω)(dkdi–didk)21,

ami eltűnik, a és operátorok felcserélhetősége következtében. A sorfejtés következő tagja:

(cik)21=(1/ω2)∑n[ω2n(dk)2n(di)n1–(di)2nωn1(dk)n1]=(1/iω2)(ḋkdi–diḋk)21.

A d=∑er definíciót (az összegezés az atom összes elektronjára vonatkozik) és az impulzus és a koordináta komponensei közti felcserélési szabályt kihasználva, azt kapjuk, hogy

6.11. egyenlet - (60,14)

{(c_{i k})}_{11} = - \frac{Z e^{2}}{m ω^{2}} δ_{i k}, {(c_{i k})}_{21} = 0,

ahol a rendszer elektronjainak száma. Így a nagyfrekvenciás határesetben, a szórástenzorban csak a skalár rész marad meg, míg a szórás a rendszerállapotváltozása nélkül zajlik le (azaz a szórás teljesen koherens – l. alább).A hatáskeresztmetszet ebben az esetben:

6.12. egyenlet - (60,15)

d σ = r_{e}^{2} Z^{2} | e^{' *} e |^{2} d Ω^{'},

ahol re=e2∕m . A végállapotbeli foton polarizációjára összegezve,

6.13. egyenlet - (60,16)

d σ = r_{e}^{2} Z^{2} [1 - {({e n}^{'})}^{2}] d Ω^{'} = r_{e}^{2} Z^{2} {sin}^{2} 𝜃 \cdot d Ω^{'}

adódik, amely valóban egyezik a klasszikus Thomson-egyenlettel [II. (80,7)] ( a szórási irány és a beeső foton polarizációvektora által bezárt szög).

Vizsgáljuk a fény szóródását egyforma, a fény hullámhosszához képest kis méretű térfogatban elhelyezkedő atomon. E rendszer szórástenzora az egyes atomokénak összege lesz. Az összegezés során azonban figyelembe kell venni, hogy azonos atomok hullámfüggvényei (amelyek segítségével a mátrixelemeket számolhatjuk) nem feltétlenül azonosak. Ezek ugyanis csak egy fázisfaktor erejéig meghatározottak, amelyek az egyes atomra mások és mások lehetnek. A hatáskeresztmetszetet átlagolni kell, egymástól függetlenül, az egyes atomok fázisszorzói szerint is.

Minden atom (cik)21 szórástenzora tartalmaz egy ei(φ1–φ2) szorzótényezőt, ahol és a kezdeti és a végső állapot hullámfüggvényének fázisszögei. A rugalmatlan szórás során az és állapot különböző, tehát a szorzó nem . Az

kifejezésben (az összegezést az atomra kell elvégezni) a különböző atomokhoz tartozó mátrixelemek szorzatai a fázisszögre való független átlagoláskor eltűnnek, csak az egyes tagok abszolút értéke négyzeteinek összege marad vissza. Tehát az atomon történő szórás teljes hatáskeresztmetszete az atomon bekövetkező szórás hatáskeresztmetszetének -szereseként adódik (inkoherens szórás ).

Ha az atom kezdeti és végállapota azonos, akkor ei(φ1–φ2)=1 . Ekkor maga a szórási amplitúdó lesz -szerese, tehát a hatáskeresztmetszet -szerese (koherens szórás ) az atomon való szórásénak. Ha az atom energiaszintje nem elfajult, akkos a rugalmas szórás teljesen koherens. Ha az energiaszint elfajult, akkor inkoherens rugalmas szórás is fellép, amely a különböző, de kölcsönösen elfajult nívók között zajlik le. Megjegyezük, hogy ez utóbbi tisztán kvantumos effektust jelent: a klasszikus elméletben a frekvenciaváltozás nélküli szórás mindig koherens.

A koherens szórás mátrixelemét a (cik)11 diagonális elemek adják; jelöljük ezeket αik -val (a nehézkesség elkerülése céljából az atom állapotát jelző indexet elhagyjuk). A (60,6) összefüggés szerint:

6.14. egyenlet - (60,17)

α_{i k} (ω) \equiv {(c_{i k})}_{11} = \sum_{n} [\frac{{(d_{i})}_{1 n} {(d_{k})}_{n 1}}{ω_{n 1} - ω} + \frac{{(d_{k})}_{1 n} {(d_{i})}_{n 1}}{ω_{n 1} + ω}] .

Figyelembe véve, hogy (di)1n=(di)n1∗ , azonnal látjuk, hogy a tenzor hermitikus:^[208]

6.15. egyenlet - (60,18)

α_{i k} = α_{i k}^{*} .

Eszerint a tenzor skalár és szimmetrikus részei valósak, antiszimmetrikus része képzetes. Megjegyezzük, hogy az antiszimmetrikus rész nyilvánvalóan eltűnik, ha az atom nemdegenerált állapotban van; az ilyen állapot hullámfüggvénye valós,^[209]és így a diagonális mátrixelemek is azok lesznek.

Az αik tenzor az atom külső elektromos térbeli polarizálhatóságát jellemzi. Hogy a kapcsolatot láthassuk, számoljuk ki az

6.16. egyenlet - (60,19)

\frac{1}{2} (E e^{- i ω t} + E^{*} e^{i ω t})

külső elektromágneses térbe helyezett rendszer átlagos dipólusmomentumának korrekcióját. Ezt a perturbációszámítás jól ismert összefüggését felhasználva (l. III. 40. §) tehetjük meg: ha a rendszerre

perturbáció hat, akkor valamely mennyiség diagonális mátrixelemeihez az elsőrendű járulékot az

f11(1)(t)=–∑n{[(f1n(0)Fn1/ωn1–ω)+(fn1(0)F1nF1n/ωn1+ω)]e–iωt+[(f1n(0)F1n∗/ωn1+ω)+(fn1(0)Fn1∗/ωn1–ω)]eiωt}

képlet adja.

Esetünkben

így a dipólusmomentum diagonális mátrixelemeinek korrekciója

6.17. egyenlet - (60,20)

d_{11}^{(1)} = \frac{1}{2} (\bar{d} e^{- i ω t} + {\bar{d}}^{*} e^{i ω t}),

ahol a vektor komponensei a következők:

6.18. egyenlet - (60,21)

{\bar{d}}_{i} = α_{i k} E_{k} .

Az utolsó képletből kitűnik, hogy a rugalmas koherens szórás αik(ω) tenzora egyidejűleg a frekvenciájú térbe helyezett atom polarizációs tenzora is. A (60,21) képlet ω=0 esetén átmegy a III. (76,5) összefüggésbe, amelyben az αik(0) sztatikus polarizálhatóság szerepel abban a formában, ahogyanállandó térben a szokásos perturbációszámítással kiszámítható.

Feladatok^[210]

1. Számítsuk ki két foton egy atom által történő egyidejű kibocsátásának valószínűségét (M. Göppert–Mayer, 1931).^[211]

Megoldás. A két kvantum kibocsátása, csakúgy, mint a szórás, a perturbációszámítás másodrendjében megjelenő folyamat. A keresett valószínűség (60,5)-től csak: 1. az ω→–ω , e→e∗ cserében ( frekvenciájú foton kibocsátása elnyelés helyett), 2. a

új tényezőben tér el. Így a kisugárzás valószínűsége az (időegység alatt),

6.19. egyenlet - (1)

d w = {|\sum_{n} [\frac{(d_{2 n} e^{' *}) (d_{n 1} e^{*})}{ω_{1 n} - ω} + \frac{(d_{2 n} e^{*}) (d_{n 1} e^{' *})}{ω_{1 n} - ω^{'}}]|}^{2} \frac{ω^{3} ω^{' 3}}{{(2 π)}^{3} c^{6} ℏ^{2}} d Ω d Ω^{'} d ω

(a frekvenciák összege ω12=ω+ω′ ). A fotonok polarizációjára az összegezéstés a kirepülés térszögére az integrálást elvégezve,

dω=(8/9π)|∑n[((di)2n(dk)n1/ω1n–ω)+((di)2n(dk)n1/ω1n–ω′)]|2(ω3ω′3/ℏ2c6) dω

adódik.

2. Számítsuk ki az „indukált szórás” hatáskeresztmetszetét a beeső foton nem változik, de hatására az atom két fotont bocsát ki – még egy ugyanolyan fotont és egy „szórt” fotont.

Megoldás. A vizsgált folyamat valószínűsége két kvantum egyidejű kibocsátásának az 1. feladatban megkapott () valószínűségétől Nke szórzótényezőben különbözik, ahol Nke a beeső fény adott és vektorokkal jellemzett fotonjainak száma. A bejövő fotonok áramsűrűsége:

Ebből Nke -t -vel kifejezve és a folyamat valószínűségét -vel osztva, kapjuk a hatáskeresztmetszetet:

dσ=|∑n[((d2ne′∗)(dn1e∗)/ω1n–ω)+((d2ne∗)(dn1e′∗)/ω1n–ω′)]|2(ωω′3/ℏ2c4) dΩ′.

Itt a beeső és az „indukált” foton, a szórt foton frekvenciája ( ω+ω′=ω12 ).

3. Számítsuk ki (nemrelativisztikus) elektron majdnem monokromatikus álló fényhullámon való rugalmas szórásának valószínűségét (P. L. Kapica , P. A. M. Dirac , 1933).

Megoldás. Az állóhullámot és impulzusú (azonos polarizációjú) fotonok összességének tekinthetjük. Az elektron szóródása impulzusú foton elnyeléséből és impulzusú foton indukált kisugárzásából álló folyamat, melynek során az elektron impulzusa 2ℏk -val változik (nagysága állandó), szöggel elfordul: |p|sin(/2)=(ℏω/c) . A folyamat valószínűsége a Thomson-szórás (60,15).

hatáskeresztmetszetéből kapható, ezt meg kell szorozni a impulzusú fotonok áramsűrűségével és a impulzusú fotonok számával.

A frekvenciatartományba eső fotonok áramsűrűsége:

ahol Uωdω az állóhullám energiasűrűsége a frekvenciatartományban (az 1∕2 szorzóval azt vettük figyelembe, hogy a hullám energiája egyenlően oszlik meg az ellentétes irányú fotonok között). Az állóhullámot alkotó összes fotonok impulzusai meghatározott iránnyal (az állóhullám „irányával”) párhuzamosak. Más szavakkal, az energiasűrűség mint a fotonok frekvenciájának és irányának függvénye: Uωn′=Uωδ(2)(n′–n) . Ennek megfelelően a impulzusú fotonok száma:

[vö. (44,8)]. Az elektronszórás ( 1 s -ra jutó) valószínűsége:

Az ω–4 szorzótényezőt kihoztuk az integrálás alól, mivel a diszperziót kicsinek tekintettük. Az integrál értéke (adott teljes impulzus mellett) -val fordítva arányos.

^[203] Ebben a fejezetben a kezdeti, ill. végállapotbeli mennyiségeket , ill indexszel jelöljük.

^[204] Az ( 1 s alatt) a dΩ′ szögbe szórt fény dI′ energiája az beesési intenzitás (energiaáram-sűrűség) segítségével a dI′=I(ω′/ω)dσ összefüggéssel fejezhető ki.

^[205] Ezt a képletet elsőként H. A. Kramers és W. Heisenberg vezették le 1925-ben.

^[206] A további eredmények, melyeket a 60. §… 62. §-okban sorolunk fel, főként G. Placzek nevéhez fűződnek (1932–1933).

^[207] A rezonancia esetét, amikor valamely ωn1 vagy ωn2 frekvenciákhoz van közel, a 64. §-ban fogjuk vizsgálni.

^[208] Ez az eredmény a természetes vonalszélesség, valamint a beeső foton elnyelési lehetősége elhanyagolásának következménye – l. 64. §.

^[209] Emlékeztetünk, hogy ez a körülmény az időtükrözési szimmetriával kapcsolatos (feltéve, hogy külső mágneses tér nincs jelen). Ha ugyanis -t -re változtatjuk, a stacionárius állapothullámfüggvény -ra változik, tehát és azonos energiájú állapotokat írnak le. Ebből következik, hogy ha a nívó nemelfajult, és meg kell, hogy egyezzék (egy lényegtelen fázisszorzó erejéig), azaz -t mindig definiálhatjuk valós függvényként. Ha a szint elfajult, az adott szinthez tartozó hullámfüggvények komplex konjugáláskor egymás között transzformálódnak, így nem feltétlenül valósak.

^[210] A feladatokban a szokásos egységeket használjuk.

^[211] Két, és frekvenciájú foton kibocsátási valószínűsége általában igen kicsiny az egy, ω+ω′ frekvenciájú kibocsátási valószínűségéhez képest. Kivételt képeznek azok az esetek, amikor a kiválasztási szabályok megtiltják az utóbbi reakciót, de megengedik az elsőt. Ilyenek például a két J=0 állapot közötti átmenetek, amelyeknél egy foton kibocsátása szigorúan tiltott. Másik példa a -atom (2s1∕2) gerjesztett állapotából az (1s1∕2) alapállapotba való átmenet. Az -sugárzást a paritás szigorúan megtiltja. De tiltott (az igen kis spin–pálya kölcsönhatást elhanyagolva) az -sugárzás is; ez esetben a mágneses momentum ( l=0 ) tisztán spin eredetű, és mátrixeleme a különböző főkvantumszámú nívók hullámfüggvényeinek ortogonalitása miatt nulla. Így a (2s1∕2) nívó élettartama, amelyet a kétfotonos sugárzás határoz meg ≈1∕7 s .