Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Tartalom
A foton elektronrendszer által történő szórása (az egyszerűség kedvéért atomról
beszélünk a továbbiakban) a kezdeti impulzusú foton elnyelését és egyidejűleg egy
impulzusú foton kibocsátását jelenti. Ennek következtében az atom vagy
eredeti állapotában maradhat, vagy egy másik diszkrét energiaszintre kerül. Az első
esetben a foton frekvenciája változatlan (Rayleigh-szórás) , a másodikban
mennyiséggel változik, ahol és
az atom kezdeti, ill. végállapotának energiája (kombinált vagy
eltolási szórás).[203]
Minthogy az elektromágneses perturbáció operátorának a fotonszámot kettővel változtató átmenetekre vonatkozó mátrixelemei eltűnnek, így a szórási folyamat csak a perturbációszámítás második közelítésében jelenhet meg. Ezt meghatározott közbenső állapotokon keresztül lezajló folyamatként tekintjük; ezek az állapotok kétfélék lehetnek:
I. A foton elnyelődik, az atom átmegy egyik
energiával jellemzett lehetséges állapotába; majd a
foton kibocsátásával kerül végállapotába.
II. a foton kibocsátásával kerül az
állapotba az atom; majd a végállapotba való átmenet során nyeli el a
fotont.
A vizsgált folyamat mátrixeleme a következő összeg lesz [l. III. (43,7)]
ahol a kezdeti „atom + foton” rendszer energiája, míg
a közbenső állapotbeli rendszer energiái. a
foton elnyelésének mátrixeleme,
a
foton kibocsátásáé; a kezdeti állapotot a lehetséges közbenső
atomállapotok közül kizárjuk (ezt jelöli az összegező jel vesszője). A szórási
hatáskeresztmetszet
ahol a
irányú térszögelem.[204]
Feltesszük, hogy a kezdeti és végső fotonok hullámhosszai egyaránt nagyok a szóró
rendszer a méreteihez képest. Ennek megfelelően az összes átmenetet dipólusközelítésben
vizsgáljuk. Ha a fotonokat síkhullámokkal írjuk le, akkor ennek a közelítésnek az
szorzók
-gyel való helyettesítése felel meg. Ekkor a fotonok hullámfüggvényei
(háromdimenziós transzverzális mérték alkalmazásával):
A vizsgált körülmények között az elektromágneses kölcsönhatás operátora
alakban írható, ahol az elektromos térerősség,
az atom dipólusmomentumának operátora (a kifejezés analóg a kisméretű
rendszerek elektromos térbeli energiájának kifejezésével – l. II. 42. §). Mátrixelemei a
következők:
Ezeket a kifejezéseket (60,2)-be és (60,3)-ba helyettesítve, a hatáskeresztmetszet következő kifejezésére jutunk (a szokásos egységekben írjuk ki):[205]
Az összegezést az atom összes lehetséges állapotaira el kell végezni,
beleértve a folytonos spektrumhoz tartozóállapotokat is (ennek során azés
állapotok automatikusan kiesnek az összegezésből, minthogy a
,
diagonális elemek eltűnnek.)
Vezessük be a következő jelölést:[206]
( háromdimenziós vektorindexek). Ennek segítségével a (60,5) képlet a következő alakot ölti:
A (60,6) jelölést az igazolja, hogy az összeget
valóban egy tenzor mátrixelemeként állíthatjuk elő. Erről a legegyszerűbben a következő
egyenletet kielégítő vektoroperátort bevezetve győződhetünk meg:
Ennek mátrixelemei a következők:
A mátrixelemeket a fény szórástenzorának nevezzük.
A mondottakból következik, hogy a szórás kiválasztási szabályai egybeesnek egy tetszőleges másodrendű tenzor mátrixelemeinek kiválasztási szabályaival. Rögtön megjegyezzük, hogy ha a rendszernek szimmetriacentruma van (azaz állapotait paritásuk szerint osztályozhatjuk), akkor csak az azonos paritású állapotok közötti átmenetek jöhetnek létre (pl. többek között az állapot változása nélkül). Ez a szabály ellentétes az (elektromos dipólus-)sugárzás során fennálló, a paritásra vonatkozó kiválasztási szabállyal, tehát alternatív formában a következő mondható ki: a szórásban megengedett átmenetek tiltottak sugárzás során – a sugárzásban megengedettek tiltottak szórás esetén.
Tekintsük a felbontását irreducibilis tenzorokra:
rendre skalár, szimmetrikus tenzor (zérus nyommal) és antiszimmetrikus
tenzor. Mátrixelemeik:
Vizsgáljuk a szórástenzor néhány tulajdonságát a kicsiny és a nagy fotonfrekvenciák határesetében.[207]
Rugalmas szórás esetén () a tenzor antiszimmetrikus része
határesetben nullához tart, míg a szimmetrikus rész határértéke véges.
Ennek megfelelően kis frekvenciáknál a hatáskeresztmetszet
-nel arányos.
Az ellenkező esetben, mikor a frekvencia nagy a (60,6)-beli összes lényeges ,
frekvenciákhoz képest (de természetesen a hullámhossz
feltétel továbbra is teljesül), a klasszikus elmélet formuláit kell
visszakapnunk. A szórástenzor
hatványai szerinti kifejtésének első tagja
ami eltűnik, a és
operátorok felcserélhetősége következtében. A sorfejtés következő
tagja:
A definíciót (az összegezés az atom összes elektronjára vonatkozik) és
az impulzus és a koordináta komponensei közti felcserélési szabályt kihasználva, azt
kapjuk, hogy
ahol a rendszer elektronjainak száma. Így a nagyfrekvenciás határesetben, a
szórástenzorban csak a skalár rész marad meg, míg a szórás a rendszerállapotváltozása
nélkül zajlik le (azaz a szórás teljesen koherens– l. alább).A hatáskeresztmetszet ebben az
esetben:
ahol . A végállapotbeli foton polarizációjára összegezve,
adódik, amely valóban egyezik a klasszikus Thomson-egyenlettel [II. (80,7)] ( a szórási irány és a beeső foton polarizációvektora által bezárt
szög).
Vizsgáljuk a fény szóródását egyforma, a fény hullámhosszához képest kis méretű térfogatban
elhelyezkedő atomon. E rendszer szórástenzora az egyes atomokénak összege lesz. Az
összegezés során azonban figyelembe kell venni, hogy azonos atomok hullámfüggvényei
(amelyek segítségével a mátrixelemeket számolhatjuk) nem feltétlenül azonosak. Ezek
ugyanis csak egy fázisfaktor erejéig meghatározottak, amelyek az egyes atomra mások és
mások lehetnek. A hatáskeresztmetszetet átlagolni kell, egymástól függetlenül, az egyes
atomok fázisszorzói szerint is.
Minden atom szórástenzora tartalmaz egy
szorzótényezőt, ahol
és
a kezdeti és a végső állapot hullámfüggvényének fázisszögei. A
rugalmatlan szórás során az
és
állapot különböző, tehát a szorzó nem
. Az
kifejezésben (az összegezést az atomra kell elvégezni) a különböző atomokhoz tartozó mátrixelemek
szorzatai a fázisszögre való független átlagoláskor eltűnnek, csak az egyes tagok
abszolút értéke négyzeteinek összege marad vissza. Tehát az
atomon történő szórás teljes hatáskeresztmetszete az
atomon bekövetkező szórás hatáskeresztmetszetének
-szereseként adódik (inkoherens szórás ).
Ha az atom kezdeti és végállapota azonos, akkor . Ekkor maga a szórási amplitúdó lesz
-szerese, tehát a hatáskeresztmetszet
-szerese (koherens szórás ) az
atomon való szórásénak. Ha az atom energiaszintje nem elfajult, akkos
a rugalmas szórás teljesen koherens. Ha az energiaszint elfajult, akkor inkoherens
rugalmas szórás is fellép, amely a különböző, de kölcsönösen elfajult nívók között
zajlik le. Megjegyezük, hogy ez utóbbi tisztán kvantumos effektust jelent: a klasszikus
elméletben a frekvenciaváltozás nélküli szórás mindig koherens.
A koherens szórás mátrixelemét a diagonális elemek adják; jelöljük ezeket
-val (a nehézkesség elkerülése céljából az atom állapotát jelző indexet
elhagyjuk). A (60,6) összefüggés szerint:
Figyelembe véve, hogy , azonnal látjuk, hogy a tenzor hermitikus:[208]
Eszerint a tenzor skalár és szimmetrikus részei valósak, antiszimmetrikus
része képzetes. Megjegyezzük, hogy az antiszimmetrikus rész nyilvánvalóan eltűnik, ha az
atom nemdegenerált állapotban van; az ilyen állapot hullámfüggvénye valós,[209]és így a diagonális mátrixelemek is azok lesznek.
Az tenzor az atom külső elektromos térbeli polarizálhatóságát jellemzi.
Hogy a kapcsolatot láthassuk, számoljuk ki az
külső elektromágneses térbe helyezett rendszer átlagos dipólusmomentumának
korrekcióját. Ezt a perturbációszámítás jól ismert összefüggését felhasználva
(l. III. 40. §) tehetjük meg: ha a rendszerre
perturbáció hat, akkor valamely mennyiség diagonális mátrixelemeihez az elsőrendű járulékot az
képlet adja.
Esetünkben
így a dipólusmomentum diagonális mátrixelemeinek korrekciója
ahol a vektor komponensei a következők:
Az utolsó képletből kitűnik, hogy a rugalmas koherens szórás tenzora egyidejűleg a
frekvenciájú térbe helyezett atom polarizációs tenzora is. A (60,21) képlet
esetén átmegy a III. (76,5) összefüggésbe, amelyben az
sztatikus polarizálhatóság szerepel abban a formában, ahogyanállandó
térben a szokásos perturbációszámítással kiszámítható.
1. Számítsuk ki két foton egy atom által történő egyidejű kibocsátásának valószínűségét (M. Göppert–Mayer, 1931).[211]
Megoldás. A két kvantum kibocsátása, csakúgy, mint a szórás,
a perturbációszámítás másodrendjében megjelenő folyamat. A keresett
valószínűség (60,5)-től csak: 1. az
,
cserében (
frekvenciájú foton kibocsátása elnyelés helyett), 2. a
új tényezőben tér el. Így a kisugárzás valószínűsége az (időegység alatt),
(a frekvenciák összege ). A fotonok polarizációjára az összegezéstés a kirepülés térszögére
az integrálást elvégezve,
adódik.
2. Számítsuk ki az „indukált szórás” hatáskeresztmetszetét a beeső foton nem változik, de hatására az atom két fotont bocsát ki
– még egy ugyanolyan
fotont és egy
„szórt” fotont.
Megoldás. A vizsgált folyamat valószínűsége két kvantum
egyidejű kibocsátásának az 1. feladatban megkapott () valószínűségétől
szórzótényezőben különbözik, ahol
a beeső fény adott
és
vektorokkal jellemzett fotonjainak száma. A bejövő fotonok
áramsűrűsége:
Ebből -t
-vel kifejezve és a folyamat valószínűségét
-vel osztva, kapjuk a hatáskeresztmetszetet:
Itt a beeső és az „indukált” foton,
a szórt foton frekvenciája (
).
3. Számítsuk ki (nemrelativisztikus) elektron majdnem monokromatikus álló fényhullámon való rugalmas szórásának valószínűségét (P. L. Kapica , P. A. M. Dirac , 1933).
Megoldás. Az állóhullámot és
impulzusú (azonos polarizációjú) fotonok összességének
tekinthetjük. Az elektron szóródása
impulzusú foton elnyeléséből és
impulzusú foton indukált kisugárzásából álló folyamat, melynek
során az elektron
impulzusa
-val változik (nagysága állandó),
szöggel elfordul:
. A folyamat valószínűsége a Thomson-szórás (60,15).
hatáskeresztmetszetéből kapható, ezt meg kell szorozni a
impulzusú fotonok áramsűrűségével és a
impulzusú fotonok számával.
A frekvenciatartományba eső fotonok áramsűrűsége:
ahol az állóhullám energiasűrűsége a
frekvenciatartományban (az
szorzóval azt vettük figyelembe, hogy a hullám energiája egyenlően
oszlik meg az ellentétes irányú fotonok között). Az állóhullámot alkotó összes
fotonok
impulzusai meghatározott
iránnyal (az állóhullám „irányával”) párhuzamosak. Más szavakkal,
az energiasűrűség mint a fotonok frekvenciájának és
irányának függvénye:
. Ennek megfelelően a
impulzusú fotonok száma:
[vö. (44,8)]. Az elektronszórás
(-ra jutó) valószínűsége:
Az szorzótényezőt kihoztuk az integrálás alól, mivel a
diszperziót kicsinek tekintettük. Az integrál értéke (adott teljes
impulzus mellett)
-val fordítva arányos.
[203] Ebben a fejezetben a kezdeti, ill. végállapotbeli mennyiségeket
, ill
indexszel jelöljük.
[204] Az ( alatt) a
szögbe szórt fény
energiája az
beesési intenzitás (energiaáram-sűrűség) segítségével a
összefüggéssel fejezhető ki.
[205] Ezt a képletet elsőként H. A. Kramers és W. Heisenberg vezették le 1925-ben.
[206] A további eredmények, melyeket a 60. §… 62. §-okban sorolunk fel, főként G. Placzek nevéhez fűződnek (1932–1933).
[207] A rezonancia esetét, amikor valamely
vagy
frekvenciákhoz van közel, a 64. §-ban fogjuk vizsgálni.
[208] Ez az eredmény a természetes vonalszélesség, valamint a beeső foton elnyelési lehetősége elhanyagolásának következménye – l. 64. §.
[209] Emlékeztetünk, hogy ez a körülmény az időtükrözési szimmetriával kapcsolatos
(feltéve, hogy külső mágneses tér nincs jelen). Ha ugyanis -t
-re változtatjuk, a stacionárius állapothullámfüggvény
-ra változik, tehát
és
azonos energiájú állapotokat írnak le. Ebből következik, hogy ha
a nívó nemelfajult,
és
meg kell, hogy egyezzék (egy lényegtelen fázisszorzó erejéig),
azaz
-t mindig definiálhatjuk valós függvényként. Ha a szint elfajult,
az adott szinthez tartozó hullámfüggvények komplex konjugáláskor egymás között
transzformálódnak, így nem feltétlenül valósak.
[210] A feladatokban a szokásos egységeket használjuk.
[211] Két, és
frekvenciájú foton kibocsátási valószínűsége általában igen
kicsiny az egy,
frekvenciájú kibocsátási valószínűségéhez képest. Kivételt
képeznek azok az esetek, amikor a kiválasztási szabályok megtiltják az utóbbi
reakciót, de megengedik az elsőt. Ilyenek például a két
állapot közötti átmenetek, amelyeknél egy foton kibocsátása
szigorúan tiltott. Másik példa a
-atom
gerjesztett állapotából az
alapállapotba való átmenet. Az
-sugárzást a paritás szigorúan
megtiltja. De tiltott (az igen kis spin–pálya kölcsönhatást elhanyagolva) az
-sugárzás is; ez esetben a mágneses
momentum (
) tisztán spin eredetű, és mátrixeleme a különböző
főkvantumszámú nívók hullámfüggvényeinek ortogonalitása miatt nulla. Így a
nívó élettartama, amelyet a kétfotonos sugárzás határoz meg
.