Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Ha az atom energiaszintjei nem elfajultak, akkora polarizálhatóságot és a koherens
szórás intenzitását ugyanaz az tenzor határozza meg. Ha azonban a szintek elfajultak, akkor a fenti
mennyiségek megfigyelhető értékei az adott szinthez tartozó összes állapotra való
átlagolással adódnak:[212]
A megfigyelt intenzitást a
szorzat értékei határozzák meg. Ezért a polarizálhatóság és a szórási intenzitás kapcsolata kevésbé közvetlen.
Szabad (külső tér hatásától mentes) atomok vagy molekulák energiaszintjeinek
degeneráltsága általában a térben szabadon orientálódó impulzusmomentummal kapcsolatos.
Legyen a kezdeti állapot impulzusmomentuma , a végállapoté
. Mint szokásos, a hatáskeresztmetszetet az
momentumvetület értékeire átlagolva,
-re összegezve kapjuk meg. Az első átlagolás után a hatáskeresztmetszet
-től függetlenné válik, tehát a további összegezés csak a
tényező megjelenésére vezet. Így az átlagolt szórási
hatáskeresztmetszet:
és az indexű felső vonás
szerinti átlagolást jelent.
Rugalmas szórásnál az és
állapotok azonos energiájú állapotokat jelölnek (
). Ha csak koherens szórást vizsgálunk, akkor
és
teljesen meg kell, hogy egyezzék, azaz
. Így az
-re való összegezés és vele a (61,2)-beli
szorzó elesik,
Az átlagolás eredményét különösebb számítások nélkül is megadhatjuk, ha
figyelembe vesszük, hogy az szerinti átlagolás a rendszer összes iránya szerinti átlagolást
jelent, és így az átlagot a
egységtenzor segítségével fejezhetjük ki. Ekkor csak a szórástenzor
skalár , szimmetrikus és antiszimmetrikus
részeinek külön-külön vett szorzatai adhatnak nullától
különbözőátlagot; világos ugyanis, hogy az egységtenzor segítségével nem lehet olyan
mennyiségeket előállítani, amelynek szimmetriatulajdonságai a keresztszorzatokéival
egyeznének. Tehát
Más szavakkal, a szórás hatáskeresztmetszete (és ezzel intenzitása is)
szabad orientációjú rendszer esetén három független rész összegére esik szét, melyeket
skalár , szimmetrikusés antiszimmetrikus szórásként fogunk emlegetni.
(61,4) mindhárom tagja egyetlen független
mennyiséggel jellemezhető. A skalár szórás -lal fejezhető ki, a szimmetrikus és antiszimmetrikus szórásra pedig a következő összefüggések érvényesek:
(az egységtenzor-kombinációkat a megfelelő szimmetriatulajdonságok
alapjánállítjuk össze, majd az együtthatókat az és
indexek páronkéntiösszeejtésével állapítjuk meg).
A (61,4)…(61,6) képleteket (61,1)-be helyettesítve, a hatáskeresztmetszet következő kifejezését kapjuk:
Ebben a kifejezésben explicit módon találjuk meg a szórás szögfüggését és
polarizációs tulajdonságait.
A szórás teljes hatáskeresztmetszetét, összegezve a végső foton polarizációjára és irányára, átlagolva a kezdeti fotonéra, (61,1)-ből könnyű közvetlenül megkapni. Ehhez megjegyezzük, hogy
ha az átlagolást egyidejűleg a beeső foton polarizációjára és
irányára is elvégezzük (az eszerinti összegezés -szer nagyobb eredményt ad). Így végeredményben
adódik.
Fentebb már említettük, hogy a szórás kiválasztási szabályai azonosak egy tetszőleges másodrendű tenzor mátrixelemeinek kiválasztási szabályaival. Minthogy az intenzitást három független tag összegére bontottuk fel, célszerű ezeket a szabályokat külön-külön megfogalmazni az egyes tagokra.
A szimmetrikus szórás kiválasztási szabályai azonosak az elektromos kvadrupólussugárzáséval, mivel ez utóbbit szintén egy szimmetrikus, irreducibilis tenzor határozza meg (a kvadrupólusmomentum-tenzor ). Az antiszimmetrikus szórásra a mágneses dipólussugárzás kiválasztási szabályai érvényesek, minthogy mindkettőt egy axiális vektor határozza meg [emlékeztetünk arra, hogy egy axiális vektor ekvivalens (duális) egy antiszimmetrikus tenzorral].[213] Eltérést azonban találunk abban, hogy a sugárzási esetben a diagonális elemek az elektromos, ill. mágneses dipólusmomentum átlagértékét adják (nem tartoznak semmiféle sugárzási átmenethez), a szórás esetén viszont ezek lényegesek – a koherens szórást írják le.
A skalár szórásra a skalármennyiségek mátrixelemeire
érvényes kiválasztási szabályok adódnak.
Eszerint csak azonos szimmetriájú állapotok között lehetséges átmenet. Például a teljes
impulzusmomentum és vetületének
értéke is meg kell, hogy egyezzék [a diagonális elemek
-től függetlenek – l. III. (29,3)]. Így a rugalmas szórásra az
és
állapotoknak teljesen meg kell egyezniük (nemcsak energiában, de
szerint is), azaz a rugalmas skalár szórás teljesen koherens lesz.
Fordítva, minthogy a skalár szórásban az állapotok mindig önmagukkal kombinálódnak, így
a koherens szórásnak mindig van skalár része
.
Szabad irányítású rendszerekre a polarizálhatóság tenzorát irányai szerint is átlagolni kell, a hatáskeresztmetszet fenti
átlagolásának megfelelő módon. Az átlagolás elvégzése egyszerű: nyilvánvaló ugyanis,
hogy
A szórástenzor szimmetrikus és antiszimmetrikus részének átlaga nullát ad, ugyanis az egyetlen izotrop másodrendű tenzor.
Fentebb megjegyeztük, hogy a tenzor skalár részének diagonális mátrixelemei
-től függetlenek, így a
feletti átlagolási jelet elhagyhatjuk (és azt tetszőleges
-re számolhatjuk), így a polarizálhatóság
Azonos ok miatt hagyhatjuk el az átlagolási jelet fölül is, amely a koherens szórás skalár részét határozza meg:
[a szorzót (61,3)-nak megfelelően
hagytuk el]. Így egyszerű kapcsolatot találhatunk az átlagos polarizálhatóság és a
koherens szórás skalár része között. Mindkettőt a
mennyiség határozza meg.
1. Adjuk meg a szögeloszlást és a depolarizáció fokát lineárisan polározott fény szórása esetén.
Megoldás. Legyen az
szórásirány és a beeső fény
polarizációs iránya által bezárt szög. A szórt fénynek két
független komponense van: az
síkban polarizált (intenzitása
) és az erre merőlegesen polarizált (intenzitása
); a depolarizáció fokát az
hányados adja meg. Az
és
intenzitásokat a (61,7) képlet
adja, a megfelelő módon irányított
vektorokat behelyettesítve.
Skalár szórás esetén a fény teljesen polarizált marad ugyanabban a síkban
(), a szögeloszlást pedig az
kifejezés adja meg. (Itt és alább az kifejezéseket úgy normáltuk, hogy az irányokra való átlagolás után
-et adjanak.) Szimmetrikus szórás esetén
Antiszimmetrikus szórásra pedig
2. Ugyanez, természetes fény szórására. (61,7) képletet természetes (polarizálatlan) fényre az
helyettesítéssel lehet átírni, amely az polarizáció átlagolásának felel meg adott
beesési irány esetén. A szórt fény részlegesen polarizált, és
szimmetriamegfontolásokból nyilvánvaló, hogy két független komponense lineárisan
polarizált az
szórási síkban (
intenzitással), illetve arra merőlegesen (
intenzitással). A szórási szöget (melyet
és
zár be)
-val jelöljük.
Skalár szórásra
Szimmetrikus szórásra
Antiszimmetrikus szórásra
3. Határozzuk meg a „fordítási hányadost” (az ellenkező irányban cirkulárisan polározott szórt fény intenzitásának az eredeti irányban polározott szórt fény intenzitásával képzett hányadosát) cirkulárisan polározott beeső fény esetére.
Megoldás. Cirkuláris beeső fény esetén a szögeloszlás és a
depolarizációs hányados () azonos a természetes fény esetére számítottal.
Legyen a beeső fény vektora
(abban a koordináta-rendszerben, ahol az
sík a szórási síkkal esik egybe, és a
tengely
irányába mutat). Ekkor a fordított és az eredeti irányban
cirkulárisan polározott szórt fény komponensek polarizációs vektorai a következők:
(61,7) segítségével kiszámítva az intenzitásokat, a következő fordítási együtthatót kapjuk a három szórási típusra:
( a szórás szöge).
4. Számítsuk ki a -sugarak deuteronon való rugalmas szórásának hatáskeresztmetszetét.
(H. A. Bethe és R. Peierls , 1935).
Megoldás. A deuteron alapállapotának és folytonos spektrumbeli állapotainak (disszociált deuteron) hullámfüggvényei a következők:
[l. (58,2), (58,3)]. Dipólusmomentuma (töltése csak a protonnak van, melynek helyvektora
). Mátrixeleme:
[az integrált (57,6a) segítségével számíthatjuk ki].
A polarizációs tenzor:
Az első tag a deuteron belső szabadsági fokainak virtuális
gerjesztéséből származik; a (61,11) alakban
írtuk, . A második tag a hullámtérnek a deuteron mint egész, haladó
mozgására kifejtett hatásából ered. Mivel a mozgás kváziklasszikus, így a
szórástenzor megfelelő részét a (60,14)
összefüggés adja, az
tömeg helyére a deuteron
tömegét írva.
kiszámítása a következő integráléra vezethető vissza:
Erre a következő előállítás igaz:
Ha , akkor a komplex
sík felső félsíkjában az integrandusnak pólusai vannak az
,
,
pontokban; a
, integrál a reziduumtétel segítségével kiszámítható. Az eredmény:
A teljes hatáskeresztmetszet -val (61,8) révén fejezhető ki,
és (a szokásos egységekben) a következő:
Ha (a deuteron disszociációs küszöbe felett), a szórásamplitúdó a
eset amplitúdójából analitikus folytatással adódik, ennek során
pozitív képzetes része jelenik meg:
Ha , akkor
, amely a szabad protonon történő (nemrelativisztikus) szórásnak
felel meg.
ahol a szórási szög. A szórásamplitúdót a
összefüggéssel definiálva,
adódik. Az optikai tételnek megfelelően ennek -vel kell megegyeznie, ahol
a teljes, rugalmatlan és rugalmas szórási hatáskeresztmetszet
jelöli. Ez esetben azonban a rugalmas szórás hatáskeresztmetszete magasabb rendű
járulékból ered (
), mint a disszociációé [
, l. (58,4)], így
. Ez az oka annak, hogy a vizsgált közelítésben
esetén (azaz a disszociáció küszöbe alatt) a szórási amplitúdó
valósnak bizonyult.
[212] Bármelyik komplex is lehet ugyan, átlagértékük azonban (ha a rendszer
nincs mágneses térben) valós. Valóban, az átlagolás során a független
hullámfüggvények (adott elfajult szinthez tartozók) tetszőlegesen választhatók, és
mindig elérhető, hogy az összes valós legyen.
[213] Természetesen azokról a kiválasztási szabályokról van szó, amelyek a szimmetriatulajdonságokhoz és nem az axiális vektor konkrét alakjához kapcsolódnak: pl. a mágneses momentumnak van spinjáruléka is, a szórás esetén viszont tisztán pálya jellegű koordinátamennyiség mátrixelemeiről van szó.