ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

61.§. Szórás szabad irányítású rendszereken

Ha az atom energiaszintjei nem elfajultak, akkora polarizálhatóságot és a koherens szórás intenzitását ugyanaz az αik≡(cik)11 tenzor határozza meg. Ha azonban a szintek elfajultak, akkor a fenti mennyiségek megfigyelhető értékei az adott szinthez tartozó összes állapotra való átlagolással adódnak:^[212]

A megfigyelt intenzitást a

szorzat értékei határozzák meg. Ezért a polarizálhatóság és a szórási intenzitás kapcsolata kevésbé közvetlen.

Szabad (külső tér hatásától mentes) atomok vagy molekulák energiaszintjeinek degeneráltsága általában a térben szabadon orientálódó impulzusmomentummal kapcsolatos. Legyen a kezdeti állapot impulzusmomentuma , a végállapoté . Mint szokásos, a hatáskeresztmetszetet az momentumvetület értékeire átlagolva, -re összegezve kapjuk meg. Az első átlagolás után a hatáskeresztmetszet -től függetlenné válik, tehát a további összegezés csak a 2J2+1 tényező megjelenésére vezet. Így az átlagolt szórási hatáskeresztmetszet:

6.20. egyenlet - (61,1)

d \bar{σ} = ω ω^{' 3} c_{i k l m}^{(21)} e_{i}^{' *} e_{k} e_{l}^{'} e_{m}^{*} d Ω^{'},

ahol

6.21. egyenlet - (61,2)

c_{i k l m}^{(21)} = \frac{1}{2 J_{1} + 1} \sum_{M_{1} M_{2}} {(c_{i k})}_{21} {(c_{l m})}_{21}^{*} = (2 J_{2} + 1) {\bar{{(c_{i k})}_{21} {(c_{l m})}_{21}^{*}}}^{1},

és az indexű felső vonás szerinti átlagolást jelent.

Rugalmas szórásnál az és állapotok azonos energiájú állapotokat jelölnek ( ω12=0 ). Ha csak koherens szórást vizsgálunk, akkor és teljesen meg kell, hogy egyezzék, azaz M1=M2 . Így az -re való összegezés és vele a (61,2)-beli 2J2+1 szorzó elesik,

6.22. egyenlet - (61,3)

c_{i k l m}^{k o h} = {\bar{{(c_{i k})}_{11} {(c_{l m})}_{11}^{*}}}^{1} .

Az átlagolás eredményét különösebb számítások nélkül is megadhatjuk, ha figyelembe vesszük, hogy az szerinti átlagolás a rendszer összes iránya szerinti átlagolást jelent, és így az átlagot a δik egységtenzor segítségével fejezhetjük ki. Ekkor csak a szórástenzor skalár , szimmetrikus és antiszimmetrikus részeinek külön-külön vett szorzatai adhatnak nullától különbözőátlagot; világos ugyanis, hogy az egységtenzor segítségével nem lehet olyan mennyiségeket előállítani, amelynek szimmetriatulajdonságai a keresztszorzatokéival egyeznének. Tehát

6.23. egyenlet - (61,4)

c_{i k l m}^{(21)} = G_{21}^{0} δ_{i k} δ_{l m} + c_{i k l m}^{(21) s} + c_{i k l m}^{(21) a},

ahol

6.24. egyenlet - (61,5)

\begin{matrix} \begin{aligned} D_{21}^{0} & = (2 J_{2} + 1) {\bar{| {(c^{0})}_{21} |^{2}}}^{1}, \\ c_{i k l m}^{(21) s} & = (2 J_{2} + 1) {\bar{{(c_{i k}^{s})}_{21} {(c_{l m}^{s})}_{21}^{*}}}^{1}, \\ c_{i k l m}^{(21) a} & = (2 J_{2} + 1) {\bar{{(c_{i k}^{a})}_{21} {(c_{l m}^{a})}_{l m}^{*}}}^{1} . \end{aligned} & (61,5) \end{matrix}

Más szavakkal, a szórás hatáskeresztmetszete (és ezzel intenzitása is) szabad orientációjú rendszer esetén három független rész összegére esik szét, melyeket skalár , szimmetrikusés antiszimmetrikus szórásként fogunk emlegetni.

(61,4) mindhárom tagja egyetlen független mennyiséggel jellemezhető. A skalár szórás G210 -lal fejezhető ki, a szimmetrikus és antiszimmetrikus szórásra pedig a következő összefüggések érvényesek:

6.25. egyenlet - (61,6)

\begin{matrix} \begin{aligned} c_{i k l m}^{(21) s} & = \frac{1}{10} G_{21}^{s} (δ_{i l} δ_{k m} + δ_{i m} δ_{k l} - \frac{2}{3} δ_{i k} δ_{l m}), \\ G_{21}^{s} & = (2 J_{2} + 1) {\bar{{(c_{i k}^{s})}_{21} {(c_{i k}^{s})}_{21}}}^{1}; \\ c_{i k l m}^{(21) a} & = \frac{1}{6} G_{21}^{a} (δ_{i l} δ_{k m} - δ_{i m} δ_{k l}), \\ G_{21}^{a} & = (2 J_{2} + 1) {\bar{{(c_{i k}^{a})}_{21} {(c_{i k}^{a})}_{21}}}^{1} \end{aligned} & (61,6) \end{matrix}

(az egységtenzor-kombinációkat a megfelelő szimmetriatulajdonságok alapjánállítjuk össze, majd az együtthatókat az és indexek páronkéntiösszeejtésével állapítjuk meg).

A (61,4)…(61,6) képleteket (61,1)-be helyettesítve, a hatáskeresztmetszet következő kifejezését kapjuk:

6.26. egyenlet - (61,7)

d \bar{σ} = ω ω^{' 3} \{G_{21}^{0} | e^{' *} e |^{2} + \frac{1}{10} G_{21}^{s} (1 + | e^{'} e |^{2} - \frac{2}{3} | e^{'} * e |^{2}) + \frac{1}{6} G_{21}^{a} (1 - | e^{'} e |^{2})\} d Ω^{'} .

Ebben a kifejezésben explicit módon találjuk meg a szórás szögfüggését és polarizációs tulajdonságait.

A szórás teljes hatáskeresztmetszetét, összegezve a végső foton polarizációjára és irányára, átlagolva a kezdeti fotonéra, (61,1)-ből könnyű közvetlenül megkapni. Ehhez megjegyezzük, hogy

ha az átlagolást egyidejűleg a beeső foton polarizációjára és irányára is elvégezzük (az eszerinti összegezés 2⋅4π -szer nagyobb eredményt ad). Így végeredményben

6.27. egyenlet - (61,8)

\bar{σ} = \frac{8 π}{9} ω ω^{' 3} c_{i k i k}^{(21)} = \frac{8 π}{9} ω ω^{' 3} (3 G_{21}^{0} + G_{21}^{s} + G_{21}^{a})

adódik.

Fentebb már említettük, hogy a szórás kiválasztási szabályai azonosak egy tetszőleges másodrendű tenzor mátrixelemeinek kiválasztási szabályaival. Minthogy az intenzitást három független tag összegére bontottuk fel, célszerű ezeket a szabályokat külön-külön megfogalmazni az egyes tagokra.

A szimmetrikus szórás kiválasztási szabályai azonosak az elektromos kvadrupólussugárzáséval, mivel ez utóbbit szintén egy szimmetrikus, irreducibilis tenzor határozza meg (a kvadrupólusmomentum-tenzor ). Az antiszimmetrikus szórásra a mágneses dipólussugárzás kiválasztási szabályai érvényesek, minthogy mindkettőt egy axiális vektor határozza meg [emlékeztetünk arra, hogy egy axiális vektor ekvivalens (duális) egy antiszimmetrikus tenzorral].^[213] Eltérést azonban találunk abban, hogy a sugárzási esetben a diagonális elemek az elektromos, ill. mágneses dipólusmomentum átlagértékét adják (nem tartoznak semmiféle sugárzási átmenethez), a szórás esetén viszont ezek lényegesek – a koherens szórást írják le.

A skalár szórásra a skalármennyiségek mátrixelemeire érvényes kiválasztási szabályok adódnak. Eszerint csak azonos szimmetriájú állapotok között lehetséges átmenet. Például a teljes impulzusmomentum és vetületének értéke is meg kell, hogy egyezzék [a diagonális elemek -től függetlenek – l. III. (29,3)]. Így a rugalmas szórásra az és állapotoknak teljesen meg kell egyezniük (nemcsak energiában, de szerint is), azaz a rugalmas skalár szórás teljesen koherens lesz. Fordítva, minthogy a skalár szórásban az állapotok mindig önmagukkal kombinálódnak, így a koherens szórásnak mindig van skalár része .

Szabad irányítású rendszerekre a polarizálhatóság tenzorát irányai szerint is átlagolni kell, a hatáskeresztmetszet fenti átlagolásának megfelelő módon. Az átlagolás elvégzése egyszerű: nyilvánvaló ugyanis, hogy

A szórástenzor szimmetrikus és antiszimmetrikus részének átlaga nullát ad, δik ugyanis az egyetlen izotrop másodrendű tenzor.

Fentebb megjegyeztük, hogy a tenzor skalár részének diagonális mátrixelemei -től függetlenek, így a (c0)11 feletti átlagolási jelet elhagyhatjuk (és azt tetszőleges -re számolhatjuk), így a polarizálhatóság

6.28. egyenlet - (61,9)

α_{i k} = {(c^{0})}_{11} δ_{i k} .

Azonos ok miatt hagyhatjuk el az átlagolási jelet G110 fölül is, amely a koherens szórás skalár részét határozza meg:

6.29. egyenlet - (61,10)

G_{11}^{0} = {\bar{| {(c^{0})}_{11} |^{2}}}^{1} = {(c^{0})}_{11}^{2}

[a 2J2+1 szorzót (61,3)-nak megfelelően hagytuk el]. Így egyszerű kapcsolatot találhatunk az átlagos polarizálhatóság és a koherens szórás skalár része között. Mindkettőt a

6.30. egyenlet - (61,11)

{(c^{0})}_{11} = \frac{2}{3} \sum_{n} \frac{ω_{n 1}}{ω_{n 1}^{2} - ω^{2}} | d_{n 1} |^{2}

mennyiség határozza meg.

Feladatok

1. Adjuk meg a szögeloszlást és a depolarizáció fokát lineárisan polározott fény szórása esetén.

Megoldás. Legyen az szórásirány és a beeső fény polarizációs iránya által bezárt szög. A szórt fénynek két független komponense van: az (n′e) síkban polarizált (intenzitása ) és az erre merőlegesen polarizált (intenzitása ); a depolarizáció fokát az I2∕I1 hányados adja meg. Az és intenzitásokat a (61,7) képlet adja, a megfelelő módon irányított vektorokat behelyettesítve.

Skalár szórás esetén a fény teljesen polarizált marad ugyanabban a síkban ( I2=0 ), a szögeloszlást pedig az

kifejezés adja meg. (Itt és alább az I=I1+I2 kifejezéseket úgy normáltuk, hogy az irányokra való átlagolás után -et adjanak.) Szimmetrikus szórás esetén

Antiszimmetrikus szórásra pedig

2. Ugyanez, természetes fény szórására. (61,7) képletet természetes (polarizálatlan) fényre az

helyettesítéssel lehet átírni, amely az polarizáció átlagolásának felel meg adott beesési irány esetén. A szórt fény részlegesen polarizált, és szimmetriamegfontolásokból nyilvánvaló, hogy két független komponense lineárisan polarizált az (n,n′) szórási síkban ( intenzitással), illetve arra merőlegesen ( intenzitással). A szórási szöget (melyet és zár be) -val jelöljük.

Skalár szórásra

Szimmetrikus szórásra

I=(3/40)(13+cos2ϑ), (I∥/I⊥)=(6+cos2ϑ/7).

Antiszimmetrikus szórásra

3. Határozzuk meg a „fordítási hányadost” (az ellenkező irányban cirkulárisan polározott szórt fény intenzitásának az eredeti irányban polározott szórt fény intenzitásával képzett hányadosát) cirkulárisan polározott beeső fény esetére.

Megoldás. Cirkuláris beeső fény esetén a szögeloszlás és a depolarizációs hányados ( I∥∕I⊥ ) azonos a természetes fény esetére számítottal.

Legyen a beeső fény vektora e=(1/√2)(1,i,0) (abban a koordináta-rendszerben, ahol az sík a szórási síkkal esik egybe, és a tengely irányába mutat). Ekkor a fordított és az eredeti irányban cirkulárisan polározott szórt fény komponensek polarizációs vektorai a következők:

e′=(1/√2)(cosϑ,–i,–sinϑ) ése′=(1/√2)(cosϑ,i,–sinϑ).

(61,7) segítségével kiszámítva az intenzitásokat, a következő fordítási együtthatót kapjuk a három szórási típusra:

P0=tg4(ϑ/2), Ps=(13+cos2ϑ+10cosϑ/13+cos2ϑ–10cosϑ),

( a szórás szöge).

4. Számítsuk ki a -sugarak deuteronon való rugalmas szórásának hatáskeresztmetszetét. (H. A. Bethe és R. Peierls , 1935).

Megoldás. A deuteron alapállapotának és folytonos spektrumbeli állapotainak (disszociált deuteron) hullámfüggvényei a következők:

[l. (58,2), (58,3)]. Dipólusmomentuma d=er∕2 (töltése csak a protonnak van, melynek helyvektora r∕2 ). Mátrixeleme:

dp0=∫ψp∗dψ0d3x=e√((ϰ/2π))(∂/i∂p)∫(d3x/r)e–ϰr+ipr=8πie√((ϰ/2π))(p/(ϰ2+p2)2)

[az integrált (57,6a) segítségével számíthatjuk ki].

A polarizációs tenzor:

αik=∫(2ωp0/ωp02–ω2)(di)0p(dk)p0(d3p/(2π)3)–(e2/2Mω2)δik={(2/3)∫(ωp0/ωp02–ω2)|d0p|2(d3p/(2π)3)–(e2/2Mω2)}δik.

Az első tag a deuteron belső szabadsági fokainak virtuális gerjesztéséből származik; a (61,11) alakban írtuk, ωp0=(p2+ϰ)∕M . A második tag a hullámtérnek a deuteron mint egész, haladó mozgására kifejtett hatásából ered. Mivel a mozgás kváziklasszikus, így a szórástenzor megfelelő részét a (60,14) összefüggés adja, az tömeg helyére a deuteron tömegét írva.

α i k kiszámítása a következő integráléra vezethető vissza:

J=∫–∞∞(z4dz/(z2+1)3[(z2+1)2–γ2]), z=(p/ϰ), γ=(Mω/ϰ2)=(ω/I).

Erre a következő előállítás igaz:

Ha γ<1 , akkor a komplex sík felső félsíkjában az integrandusnak pólusai vannak az , i√(1+γ) , i√(1–γ) pontokban; a , integrál a reziduumtétel segítségével kiszámítható. Az eredmény:

J=π{((1+γ)3∕2/2γ4)+((1–γ)3∕2/2γ4)–((3/8γ2)+(1/γ4))}.

A teljes hatáskeresztmetszet αik -val (61,8) révén fejezhető ki, és (a szokásos egységekben) a következő:

σ=(8π/3)((e2/Mc2))2|–1–(4/3γ2)+(2/3γ2)[(1+γ)3∕2+(1–γ)3∕2]|2, haγ=(ℏω/I)<1.

Ha γ>1 (a deuteron disszociációs küszöbe felett), a szórásamplitúdó a γ<1 eset amplitúdójából analitikus folytatással adódik, ennek során pozitív képzetes része jelenik meg:

σ=(8π/3)((e2/Mc2))2|–1–(4/3γ)+(2/3γ2)(γ+1)3∕2+i(2/3γ2)(γ–1)3∕2|2, haγ>1.

Ha γ≫1 , akkor σ=(8π/3)((e2/Mc2))2 , amely a szabad protonon történő (nemrelativisztikus) szórásnak felel meg.

A sugárzás szögeloszlása ,

ahol a szórási szög. A szórásamplitúdót a dσ=|f|2dΩ összefüggéssel definiálva,

adódik. Az optikai tételnek megfelelően ennek ωσt∕4π -vel kell megegyeznie, ahol a teljes, rugalmatlan és rugalmas szórási hatáskeresztmetszet jelöli. Ez esetben azonban a rugalmas szórás hatáskeresztmetszete magasabb rendű járulékból ered ( ∼e4 ), mint a disszociációé [ ∼e2 , l. (58,4)], így ℑf(0)≈ωσdissz∕4π . Ez az oka annak, hogy a vizsgált közelítésben γ<1 esetén (azaz a disszociáció küszöbe alatt) a szórási amplitúdó valósnak bizonyult.

^[212] Bármelyik (cik)11 komplex is lehet ugyan, átlagértékük azonban (ha a rendszer nincs mágneses térben) valós. Valóban, az átlagolás során a független hullámfüggvények (adott elfajult szinthez tartozók) tetszőlegesen választhatók, és mindig elérhető, hogy az összes valós legyen.

^[213] Természetesen azokról a kiválasztási szabályokról van szó, amelyek a szimmetriatulajdonságokhoz és nem az axiális vektor konkrét alakjához kapcsolódnak: pl. a mágneses momentumnak van spinjáruléka is, a szórás esetén viszont tisztán pálya jellegű koordinátamennyiség mátrixelemeiről van szó.