ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Az ütközésekre vonatkozó általános feladat a következő: adjuk meg a rendszer egy adott kezdeti állapotából a különböző végállapotokba való átmenet valószínűségét (átmenet szabad részecskék valamely adott halmazából más részecskékből álló halmazba). Ha az |i⟩ szimbólummal a kezdőállapotot jelöljük, akkor a szórás eredményét, mint a

7.1. egyenlet - (65,1)

\sum_{f} |f⟩ ⟨ f ∣ S ∣ i ⟩

szuperpozíciót állíthatjuk elő, ahol az összegezés a lehetséges |f⟩ végállapotokra vonatkozik. A kifejtési ⟨f∣S∣i⟩ (vagy rövidírásmódban az Sfi ) együtthatók alkotják az -mátrixot^[228] vagyszórásmátrixot. Az |Sfi|2 mennyiségek adják az adott |f⟩ -be valóátmenet valószínűségét.

Kölcsönhatás hiányában a rendszer állapota nem változna, ennek a helyzetnek egységnyi -mátrix felelne meg (nincs szórás). Ezt az egységet hasznos leválasztani, ezzel a szórásmátrix elemeinek a következő alakot adva:

7.2. egyenlet - (65,2)

S_{f i} = δ_{f i} + i {(2 π)}^{4} δ^{(4)} (P_{f} - P_{i}) T_{f i},

ahol Tfi egy újabb mátrix eleme. A második tagban leválasztottuk a négyesimpulzus megmaradását kifejező-függvényt (és rendre a vég-és a kezdőállapotbeli részecskék eredő négyesimpulzusai); az egyéb szorzótényezők csak a továbbiak kényelmes írásmódját szolgálják. A nemdiagonális mátrixelemekhez (65,2) első tagja nem ad járulékot, így az i→f átmenetet leíróés mátrixelemek kapcsolata az

7.3. egyenlet - (65,3)

S_{f i} = i {(2 π)}^{4} δ^{(4)} (P_{f} - P_{i}) T_{f i}

alakra egyszerűsödik. A Tfi mátrixelemeket, amelyek a -függvény leválasztása után maradnak vissza, nevezzük szórásamplitúdóknak .

Az |Sfi| abszolút értékek négyzetre emelésekor a -függvény négyzete jelenik meg. Ezt a következőképpen értelmezzük. A -függvényt a

7.4. egyenlet - (65,4)

δ^{(4)} (P_{f} - P_{i}) = \frac{1}{{(2 π)}^{4}} \int e^{i (P_{f} - P_{i}) x} d^{4} x

előállításából származtatjuk. Ha ezt az integrált Pf=Pi melett számítjuk ki (ennek egy már jelenlevő-függvény az oka), és az integrálást egy nagy, de véges térfogatra és időre terjesztjük ki, Vt∕(2π)4 adódik.^[229] Ezért írhatjuk, hogy

-vel osztva az egységnyi időre vonatkoztatott átmeneti valószínűséget, kapjuk, hogy

7.5. egyenlet - (65,5)

w_{f \leftarrow i} = {(2 π)}^{4} δ^{(4)} (P_{f} - P_{i}) | T_{f i} |^{2} V .

Az összes (kezdeti és végállapotbeli) szabad részecskét hullámfüggvényeírja le – valamely amplitúdóval szorzott síkhullám (az elektronra ez egy bispinor, a fotonra pedig négyesvektor). A Tfi amplitúdó szerkezete a következő:

7.6. egyenlet - (65,6)

T_{f i} = u_{1}^{*} u_{2}^{*} \dots Q u_{1} u_{2} \dots,

ahol balra a végállapotbeli, jobbra a kezdeti részecskék hullámfüggvényeiállnak; valamely mátrix (a részecskék hullámfüggvényeinek komponenseihez kapcsolódó indexekkel).

A legfontosabbak azok az esetek, amikor a kezdeti állapotban egy vagy két részecske található. Az előbbi esetben bomlásról, az utóbbiban két részecske ütközéséről beszélünk.

Először tekintsük egy részecske tetszőleges számúra történő elbomlását . Az utóbbiak impulzusa pa′ , és a ∏ad3pa′ fázistérfogat-elemben helyezkednek el (az index a végállapotbeli részeket számozza, így ∑pa′=Pf ). E térfogatelemben található állapotok száma ( térfogatra való normálás esetén)^[230]

Ezzel a mennyiséggel kell szoroznunk (65,5)-öt:

7.7. egyenlet - (65,7)

d w = {(2 π)}^{4} δ^{(4)} (P_{f} - P_{i}) | T_{f i} |^{2} V \prod_{a} \frac{V d^{3} p_{a}^{'}}{{(2 π)}^{3}} .

E képletben az összes részecske hullámfüggvényeit „egy részecske/ térfogat” normájúnak kell választanunk.^[231]Így az elektronra ez a (23,1) síkhullám lesz, az spinű részekre a (14,12), a fotonra a (4,3) képletek által megadott hullámfüggvények lesznek. Mindezek a függvények egy 1∕√(2εV) szorzót tartalmaznak, ahol a részecske energiája. Mégis, a továbbiakban kényelmesebb az összes számításban a hullámfüggvényeket egyezményesen e szorzók nélkül írni (melyeket a valószínűség kifejezésében expliciten kiírunk). Így az elektron-síkhullám

7.8. egyenlet - (65,8)

ψ = u e^{- i p x},, ū u = 2 m,

a fotonhullám

7.9. egyenlet - (65,9)

A = \sqrt{4 π} e e^{- i k x}, e e^{*} = - 1, e k = 0 .

Az e függvényekkel kiszámított szórásamplitúdót ( Tfi -től való megkülönböztetésként) Mfi -vel jelöljük. Világos, hogy

7.10. egyenlet - (65,10)

T_{f i} = \frac{M_{f i}}{{(2 𝜀_{1} V \dots 2 𝜀_{1}^{'} V \dots)}^{1 ∕ 2}},

ahol a nevezőben minden egyes kezdeti és végső részecskének egy √(2εV) tényező felel meg.

Ekkor a bomlás valószínűségére (65,7) helyett

7.11. egyenlet - (65,11)

d w = {(2 π)}^{4} δ^{(4)} (P_{f} - P_{i}) | M_{f i} |^{2} \frac{1}{2 𝜀} \prod_{a} \frac{d^{3} p_{a}^{'}}{{(2 π)}^{3} 2 𝜀^{'} a}

adódik, ahol a bomló részecske energiája; a normálási térfogat, mint azt elvártuk, a végképletből kiesett.^[232]

Adjunk még zártabb alakot (65,11)-nek (eltávolítva belőle a -függvényt) abban az esetben, ha a végállapot két ( p1′ és p2′ impulzusú, ε1′ , és ε2′ energiájú) részecskét tartalmaz. A bomló részecske nyugalmi rendszerében p1′=–p2′≡p′ és ε1′+ε2′=m . Ekkor

dw=(1/(2π)2)|Mfi|2(1/2m)(1/4ε1′ε2′)δ(p1′+p2′)δ(ε1′+ε2′–m) d3p1′d3p2′.

Az első -függvényt d3p2′ szerinti integrálással távolítjuk el; a d3p1′ differenciált a következő alakban írjuk:

7.12. egyenlet - (65,12)

d^{3} p^{'} = p^{' 2} d | p^{'} | d Ω = | p^{'} | d Ω \frac{𝜀_{1}^{'} 𝜀_{2}^{'} d (𝜀_{1}^{'} + 𝜀_{2}^{'})}{𝜀_{1}^{'} + 𝜀_{2}^{'}}

(ennek helyességéről ε1′2–m12=ε2′2–m22=p′2 figyelembevételével könnyű meggyőződni). A d(ε1′+ε2′) szerinti integrálással tűnik el a második-függvény, és adódik, hogy

7.13. egyenlet - (65,13)

d w = \frac{1}{32 π^{2} m^{2}} | M_{f i} |^{2} | p^{'} | d Ω^{'} .

Tekintsük most két ( és impulzusú, és energiájú) részecske ütközését , melynek során tetszőleges számú, pa′ impulzusú részecskékké alakulnak át. (65,11) helyett most a

dw=(2π)4δ(4)(Pf–Pi)|Mfi|2(1/4ε1ε2V)∏a(d3pa′/(2π)32εa′)

eredményt kapjuk.

A bennünket érdeklő mennyiség azonban most nem a valószínűség, hanem . A (Lorentz-transzformációkkal szemben) invariáns hatáskeresztmetszetet-ből a

7.14. egyenlet - (65,14)

j = \frac{I}{V 𝜀_{1} 𝜀_{2}}

mennyiséggel való osztás révén kapjuk, ahol négyesskalár mennyiség,

7.15. egyenlet - (65,15)

I = \sqrt{{(p_{1} p_{2})}^{2} - m_{1}^{2} m_{2}^{2}}

(l. II. 12.ú§).^[233] A tömegközépponti rendszerben (p1=–p2≡p)

7.16. egyenlet - (65,16)

I = | p | (𝜀_{1} + 𝜀_{2}),

így

7.17. egyenlet - (65,17)

j = \frac{| p |}{V} (\frac{1}{𝜀_{1}} + \frac{1}{𝜀_{2}}) = \frac{v_{1} + v_{2}}{V},

ami megegyezik a ( v1,v2 sebességű)^[234]ütköző részek áramsűrűségének szokásos kifejezésével. Így a hatáskeresztmetszetre a következő kifejezést kapjuk:

7.18. egyenlet - (65,18)

d σ = {(2 π)}^{4} δ^{(4)} (P_{f} - P_{i}) | M_{f i} |^{2} \frac{1}{4 I} \prod_{a} \frac{d^{3} p_{a}^{'}}{{(2 π)}^{3} 2 𝜀_{a}^{'}} .

Ezt a képletet zártabb alakban is írhatjuk, a -függvényt kiküszöbölve belőle abban az esetben, ha a végállapot két részecskét tartalmaz. Vizsgáljuk a reakciót a tömegközépponti rendszerből. Legyen ε=ε1+ε2=ε1′+ε2′ a teljes energia; p1=–p2≡p és p1′=–p2′≡p′ a kezdeti és a végső impulzusok. A -függvényt a (65,13) levezetésével azonos módon távolíthatjuk el, és

7.19. egyenlet - (65,19)

d σ = \frac{1}{64 π^{2}} | M_{f i} |^{2} \frac{| p^{'} |}{| p | 𝜀^{2}} d Ω^{'}

adódik. (A rugalmas szórás speciális esetében, amikor az ütközés során a részecskék neme változatlan: |p|=|p′| ).

Írjuk át ezt a képletet szembetűnően invariáns alakra, bevezetve a

7.20. egyenlet - (65,20)

t \equiv {(p_{1} - p_{1}^{'})}^{2} = m_{1}^{2} + m_{1}^{' 2} (p_{1} p_{1}^{'}) = m_{1}^{2} + m_{1}^{' 2} - 2 𝜀_{1} 𝜀_{1}^{'} + 2 | p_{1} ∥ p_{1}^{'} | cos 𝜃

invariáns mennyiséget, ahol a és p1′ által bezárt szög. A tömegközépponti rendszerben a |p1|≡|p| és |p1′|≡|p′| impulzusokat az teljes energia meghatározza,és ennek adott értékére

7.21. egyenlet - (65,21)

d t = 2 | p ∥ p^{'} | d cos 𝜃 .

Ezért (65,19)-ben elvégezhető a

helyettesítés, ahol a p1′ impulzus -hez képest vett azimutszöge.^[235] Tehát

7.22. egyenlet - (65,22)

d σ = \frac{1}{64 π} | M_{f i} |^{2} \frac{d t}{I^{2}} \frac{d φ}{2 π}

[itt (65,16)-ot használva, újra bevezettük -t]. A azimutszög és vele a (65,22) alakú hatáskeresztmetszet invariáns a részecskék relatív mozgását változatlanul hagyó Lorentz-transzformációkkal szemben. Ha a hatáskeresztmetszet független az azimutszögtől, akkor (65,22) különösen egyszerű alakot ölt:

7.23. egyenlet - (65,23)

d σ = \frac{1}{64 π} | M_{f i} |^{2} \frac{d t}{I^{2}} .

Ha az ütköző részecskék egyike elegendően nehéz (és az ütközés következtében állapota nem változik), akkor a folyamatban egy állandó tér rögzített forrása lesz. Ennek megfelelően, minthogy állandó térben az energia megmarad (de nem az impulzus!), a reakciót így tárgyalva az -mátrix elemeit

7.24. egyenlet - (65,24)

S_{f i} = i 2 π δ (E_{f} - E_{i}) T_{f i}

alakban állítjuk elő.

Az |Sfi|2 kifejezésben az egydimenziós -függvényt

helyettesítéssel kell négyzetre emelni. Ezután [csakúgy mint (65,11) levezetésénél] az Mfi amplitúdókra áttérve Tfi helyett, a következő kifejezést kapjuk annak a folyamatnak a valószínűségére, amelyben az állandó téren szóródó részecske a végállapotban néhány más részecskét kelt:

dw=2πδ(Ef–ε)|Mfi|2(1/2εV)∏a(d3pa′/(2π)32εa′).

Itt ε(=Ei) a kezdeti részecske energiája, pa′ és εa′ a végső részecskék impulzusai és energiái. A reakció hatáskeresztmetszetét a valószínűséget a j=v∕V áramsűrűséggel osztva kapjuk, ahol v=|p|∕ε a szórt részecske sebessége . Ekkor, mint várható volt, a normálási térfogat kiesik, és

7.25. egyenlet - (65,25)

d σ = 2 π δ (E_{f} - 𝜀) | M_{f i} |^{2} \frac{1}{2 | p |} \prod_{a} \frac{d^{3} p_{a}^{'}}{{(2 π)}^{3} 2 𝜀_{a}^{'}}

az eredmény.

A rugalmas szórás speciális esetében (nagyságát tekintve) azonos impulzusú és energiájú egyetlen részecskét találunk a végállapotban. Elvégezve a d3p′→p′2d|p′|dΩ′=|p′|ε′dε′dΩ′ helyettesítést, a dε′ szerinti integrálással eltávolítva a δ(ε′–ε) függvényt, a rugalmas hatáskeresztmetszet végső alakja:

7.26. egyenlet - (65,26)

d σ = \frac{1}{16 π^{2}} | M_{f i} |^{2} d Ω^{'} .

Végül, ha a külső tér függ az időtől (például meghatározott mozgást végző nehéz részecskék rendszerének tere esetén), akkor az -mátrix az energiamegmaradást biztosító-függvényt sem tartalmazza. Ekkor Sfi=Tfi , majd Tfi -ről (65,10) szerint Mfi -re térve át, részecskék adott halmazának keletkezésére a

7.27. egyenlet - (65,27)

d w = | M_{f i} |^{2} \prod_{a} \frac{d^{3} p_{a}^{'}}{{(2 π)}^{3} 2 𝜀_{a}^{'}}

valószínűséget kapjuk.

^[228] Az angol scattering vagy a német Streuung szóból.

^[229] Ez másképp is bemutatható, ha először (65,4)-ben az integrálást koordinátánként véges határok között elvégezzük, majd a III. (42,4) képletet használva, a határokkal végtelenhez tartunk: limξ→∞(sin2αξ/α2ξ)=πδ(α) .

^[230] A szemléletesség kedvéért ebben a szakaszban nem tételezünk fel egységnyi normálási térfogatot.

^[231] Emlékeztetünk, (l. az V. fejezet 4. lábjegyzetét), hogy ez a normálási mód ekvivalens azzal, amelynél a végállapotbeli részecskék hullámfüggvényei δ(p) -re normáltak, és a valószínűség d3p1′… -re vonatkozik.

^[232] Ha a végső részek között azonos található, az impulzusok szerinti integrálás során (az integrális valószínűség megadásakor) egy 1∕N! tényezőt kell beiktatnunk, amely a részecskék permutációjával keletkező állapotok azonosságát veszi figyelembe.

^[233] A későbbi hivatkozásokra tekintettel -t a következő alakban is felírjuk: I2=(1/4)[s–(m1+m2)2][s–(m1–m2)2], (65,15a) ahol s=(p1+p2)2 .

^[234] Tetszőleges vonatkoztatási rendszerben j=(1/V)√((v1–v2)2–(v1×v2)2) . Ez a kifejezés mindig a szokásos áramsűrűségre vezet, ha v1∥v2, azazj=(1/V)|v1–v2| .