Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Tartalom
Az ütközésekre vonatkozó általános feladat a következő: adjuk meg a rendszer egy
adott kezdeti állapotából a különböző végállapotokba való átmenet valószínűségét
(átmenet szabad részecskék valamely adott halmazából más részecskékből álló halmazba).
Ha az szimbólummal a kezdőállapotot jelöljük, akkor a szórás eredményét,
mint a
szuperpozíciót állíthatjuk elő, ahol az összegezés a
lehetséges végállapotokra vonatkozik. A kifejtési
(vagy rövidírásmódban az
) együtthatók alkotják az
-mátrixot[228] vagyszórásmátrixot. Az
mennyiségek adják az adott
-be valóátmenet valószínűségét.
Kölcsönhatás hiányában a rendszer állapota nem változna, ennek a helyzetnek egységnyi
-mátrix felelne meg (nincs szórás). Ezt az egységet hasznos
leválasztani, ezzel a szórásmátrix elemeinek a következő alakot adva:
ahol egy újabb mátrix eleme. A második tagban leválasztottuk a
négyesimpulzus megmaradását kifejező
-függvényt (
és
rendre a vég-és a kezdőállapotbeli részecskék eredő négyesimpulzusai);
az egyéb szorzótényezők csak a továbbiak kényelmes írásmódját szolgálják. A
nemdiagonális mátrixelemekhez (65,2) első tagja nem
ad járulékot, így az
átmenetet leíró
és
mátrixelemek kapcsolata az
alakra egyszerűsödik. A mátrixelemeket, amelyek a
-függvény leválasztása után maradnak vissza, nevezzük
szórásamplitúdóknak .
Az abszolút értékek négyzetre emelésekor a
-függvény négyzete jelenik meg. Ezt a következőképpen értelmezzük. A
-függvényt a
előállításából származtatjuk. Ha ezt az integrált melett számítjuk ki (ennek egy már jelenlevő
-függvény az oka), és az integrálást egy nagy, de véges
térfogatra és
időre terjesztjük ki,
adódik.[229] Ezért írhatjuk, hogy
-vel osztva az egységnyi időre vonatkoztatott átmeneti valószínűséget,
kapjuk, hogy
Az összes (kezdeti és végállapotbeli) szabad részecskét hullámfüggvényeírja
le – valamely amplitúdóval szorzott síkhullám (az elektronra ez egy bispinor, a
fotonra pedig négyesvektor). A
amplitúdó szerkezete a következő:
ahol balra a végállapotbeli, jobbra a kezdeti részecskék
hullámfüggvényeiállnak; valamely mátrix (a részecskék hullámfüggvényeinek komponenseihez
kapcsolódó indexekkel).
A legfontosabbak azok az esetek, amikor a kezdeti állapotban egy vagy két részecske található. Az előbbi esetben bomlásról, az utóbbiban két részecske ütközéséről beszélünk.
Először tekintsük egy részecske tetszőleges számúra történő elbomlását . Az utóbbiak impulzusa , és a
fázistérfogat-elemben helyezkednek el (az
index a végállapotbeli részeket számozza, így
). E térfogatelemben található állapotok száma (
térfogatra való normálás esetén)[230]
Ezzel a mennyiséggel kell szoroznunk (65,5)-öt:
E képletben az összes részecske hullámfüggvényeit „egy
részecske/ térfogat” normájúnak kell választanunk.[231]Így az elektronra ez a (23,1) síkhullám
lesz, az
spinű részekre a (14,12), a fotonra
a (4,3) képletek által megadott hullámfüggvények
lesznek. Mindezek a függvények egy
szorzót tartalmaznak, ahol
a részecske energiája. Mégis, a továbbiakban kényelmesebb az összes
számításban a hullámfüggvényeket egyezményesen e szorzók nélkül írni (melyeket a
valószínűség kifejezésében expliciten kiírunk). Így az elektron-síkhullám
Az e függvényekkel kiszámított szórásamplitúdót (-től való megkülönböztetésként)
-vel jelöljük. Világos, hogy
ahol a nevezőben minden egyes kezdeti és végső részecskének egy
tényező felel meg.
Ekkor a bomlás valószínűségére (65,7) helyett
adódik, ahol a bomló részecske energiája; a normálási térfogat, mint azt elvártuk,
a végképletből kiesett.[232]
Adjunk még zártabb alakot (65,11)-nek
(eltávolítva belőle a -függvényt) abban az esetben, ha a végállapot két (
és
impulzusú,
, és
energiájú) részecskét tartalmaz. A bomló részecske nyugalmi
rendszerében
és
. Ekkor
Az első -függvényt
szerinti integrálással távolítjuk el; a
differenciált a következő alakban írjuk:
(ennek helyességéről figyelembevételével könnyű meggyőződni). A
szerinti integrálással tűnik el a második
-függvény, és adódik, hogy
Tekintsük most két ( és
impulzusú,
és
energiájú) részecske ütközését ,
melynek során tetszőleges számú,
impulzusú részecskékké alakulnak át. (65,11) helyett most a
eredményt kapjuk.
A bennünket érdeklő mennyiség azonban most nem a valószínűség, hanem . A (Lorentz-transzformációkkal
szemben) invariáns hatáskeresztmetszetet
-ből a
mennyiséggel való osztás révén kapjuk, ahol négyesskalár mennyiség,
(l. II. 12.ú§).[233] A tömegközépponti rendszerben
ami megegyezik a ( sebességű)[234]ütköző részek áramsűrűségének szokásos kifejezésével. Így a
hatáskeresztmetszetre a következő kifejezést kapjuk:
Ezt a képletet zártabb alakban is írhatjuk, a -függvényt kiküszöbölve belőle abban az esetben, ha a végállapot két
részecskét tartalmaz. Vizsgáljuk a reakciót a tömegközépponti rendszerből. Legyen
a teljes energia;
és
a kezdeti és a végső impulzusok. A
-függvényt a (65,13) levezetésével
azonos módon távolíthatjuk el, és
adódik. (A rugalmas szórás speciális esetében, amikor az ütközés során a
részecskék neme változatlan: ).
Írjuk át ezt a képletet szembetűnően invariáns alakra, bevezetve a
invariáns mennyiséget, ahol a
és
által bezárt szög. A tömegközépponti rendszerben a
és
impulzusokat az
teljes energia meghatározza,és ennek adott értékére
Ezért (65,19)-ben elvégezhető a
helyettesítés, ahol a
impulzus
-hez képest vett azimutszöge.[235] Tehát
[itt (65,16)-ot használva, újra
bevezettük -t]. A
azimutszög és vele a (65,22) alakú
hatáskeresztmetszet invariáns a részecskék relatív mozgását változatlanul hagyó
Lorentz-transzformációkkal szemben. Ha a hatáskeresztmetszet független az azimutszögtől,
akkor (65,22) különösen egyszerű alakot
ölt:
Ha az ütköző részecskék egyike elegendően nehéz (és az ütközés következtében állapota
nem változik), akkor a folyamatban egy állandó tér rögzített forrása lesz. Ennek
megfelelően, minthogy állandó térben az energia megmarad (de nem az impulzus!), a
reakciót így tárgyalva az -mátrix elemeit
alakban állítjuk elő.
Az kifejezésben az egydimenziós
-függvényt
helyettesítéssel kell négyzetre emelni. Ezután [csakúgy mint (65,11) levezetésénél] az amplitúdókra áttérve
helyett, a következő kifejezést kapjuk annak a folyamatnak a
valószínűségére, amelyben az állandó téren szóródó részecske a végállapotban néhány más
részecskét kelt:
Itt a kezdeti részecske energiája,
és
a végső részecskék impulzusai és energiái. A reakció
hatáskeresztmetszetét a
valószínűséget a
áramsűrűséggel osztva kapjuk, ahol
a szórt részecske sebessége .
Ekkor, mint várható volt, a normálási térfogat kiesik, és
az eredmény.
A rugalmas szórás speciális esetében (nagyságát
tekintve) azonos impulzusú és energiájú egyetlen részecskét találunk a végállapotban.
Elvégezve a helyettesítést, a
szerinti integrálással eltávolítva a
függvényt, a rugalmas hatáskeresztmetszet végső alakja:
Végül, ha a külső tér függ az időtől (például meghatározott mozgást végző
nehéz részecskék rendszerének tere esetén), akkor az -mátrix az energiamegmaradást biztosító
-függvényt sem tartalmazza. Ekkor
, majd
-ről (65,10) szerint
-re térve át, részecskék adott halmazának keletkezésére a
valószínűséget kapjuk.
[228] Az angol scattering vagy a német Streuung szóból.
[229] Ez másképp is bemutatható, ha először (65,4)-ben az integrálást koordinátánként véges határok között
elvégezzük, majd a III. (42,4) képletet használva, a határokkal végtelenhez
tartunk: .
[230] A szemléletesség kedvéért ebben a szakaszban nem tételezünk fel egységnyi normálási térfogatot.
[231] Emlékeztetünk, (l. az V. fejezet4. lábjegyzetét), hogy ez a normálási mód
ekvivalens azzal, amelynél a végállapotbeli részecskék hullámfüggvényei
-re normáltak, és a valószínűség
-re vonatkozik.
[232] Ha a végső részek között azonos található, az impulzusok szerinti integrálás során (az
integrális valószínűség megadásakor) egy
tényezőt kell beiktatnunk, amely a részecskék permutációjával
keletkező állapotok azonosságát veszi figyelembe.
[233] A későbbi hivatkozásokra tekintettel -t a következő alakban is felírjuk:
ahol
.
[234] Tetszőleges vonatkoztatási rendszerben . Ez a kifejezés mindig a szokásos áramsűrűségre
vezet, ha
.
[235] Mivel a differenciál helyes előjele a hasonló esetekben nyilvánvaló, ezért
alább az egyszerűség kedvéért -t írunk
helyett.