Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A szórásamplitúdót mint az ,
,
független változók függvényét tekintve (melyekre az
egyenlőség teljesülése az egyetlen megkötés), felmerül a kérdés: vajon
melyek ezek értékének a megengedett és melyek a meg nem engedett tartományai? A fizikai
szórásfolyamatnak megfelelő értékeknek meghatározott feltételeket kell kielégíteniük,
melyek a négyesimpulzus megmaradásának és a tömeghéj-feltételeknek (
) a következményei.
Két négyesimpulzus szorzatára fennáll, hogy
Ezért
ha (vagy
), vagy pedig
ha . Ebből az
-csatornabeli folyamatokra:
(hasonló egyenlőtlenségek érvényesek a - és
-csatornára).
A további feltételeket az négyesvektor segítségével adjuk meg, amely a
négyesvektorok közül valamelyik három szorzatának duálisa:
Valamelyik (pl. az ) részecske nyugalmi rendszerét választva,
. Ekkor
-nek csak a térkomponensei különböznek nullától:
. Más szavakkal,
térszerű vektor, és így minden vonatkoztatási rendszerben
. Elvégezve a négyzetre emelést, a következő feltételt kapjuk:
Ezt az ,
,
invariánsokkal mindhárom csatornában egységesen fejezhetjük ki az
alábbi formában:
Az ,
,
változók értelmezési tatományának ábrázolására alkalmas az ún.
háromszögű koordináta-rendszert használni (Mandelstam-sík ;
S. Mandelstam , 1958). Ezeket a
koordinátatengelyeket egy egyenlő oldalú háromszög oldalegyenesei alkotják. Az
,
,
koordinátákat erre a három tengelyre merőlegesen mérjük fel
(pozitívnak a háromszög belseje felé mért értékeket tekintve, amint azt a 7. ábrán a nyilak mutatják). Más szavakkal, a sík
minden egyes pontjának egy
,
,
értékhármas felel meg, amelyek értékét(a megfelelő előjellel) a három
tengelyre bocsátott merőlegesek hossza adja. Az
feltétel teljesülését egy ismert geometriai tétel biztosítja (ha a
háromszög magassága
).[239]
Vizsgáljuk meg azt a fontos speciális esetet, mikor az -csatornának a rugalmas szórás felel meg, azaz a részecskék tömegei
páronként egyeznek:
Legyen . A (68,5) feltételből
Az egyenlőtlenséggel kijelölt tartomány határát a egyenes és az
hiperbola adja, melynek két ága az ,
és az
,
szektorokban helyezkedik el. Az
és
tengelyek a hiperbola aszimptotái. (68,8) helyett
írható. Ezenkívül a (68,2)
feltételből az egyenlőtlenséget az
-csatornában és az
-et az
-csatornában kell figyelembe venni, a maradék egyenlőtlenségek ezután
automatikusan teljesülnek. Végeredményben azt látjuk, hogy az I., II., III.
(
) csatornáknak a 8. ábrán
bevonalkázott fizikai tartomány felel meg.
Ha (a
,
részecskék fotonok), akkor a hiperbola alsó ága érinti a
egyenest, és a fizikai tartományok a 9. ábrának megfelelően néznek ki.
Ha , akkor a (68,8)-ból kapott határok
a koordinátatengelyekké fajulnak el, és a fizikai tatomány a 10. ábrán látható három szektorral egyezik meg.
Általános esetben mind a négy tömeg különböző, és az
egyenlet harmadfokú görbét határoz meg, melynek ágai a három csatorna
fizikai tartományát a 11. ábrának megfelelően
határozzák meg. Legyen
Ekkor
A (68,10) görbe a koordinátatengelyeket az
egyenesen fekvő pontokban metszi. előjelétől függően ez a 11
a), b) ábrákon látható módon néz ki. Ha
, az
-csatorna fizikai tartománya a koordináta-háromszög egy részét
elfoglalja; más szavakkal, ez esetben
,
,
egyidejűleg vehet fel pozitív értékeket. A határoló görbe mindhárom
ágának a megfelelő koordinátatengelyek lesznek az aszimptotái [erről könnyen
meggyőződhetünk, ha az
egyenlet segítségével (68,10)-ből
az egyik változót kiküszöböljük, és aztán a megmaradó változók valamelyikével a
végtelenhez tartunk]. A (68,2) feltételek általában
semmi újat nem hoznak a (68,10) egyenlettel megadott
határokhoz képest. A (68,2)-beli egyenlőségnek
megfelelő egyenesek nem metszik a 11
a), b) ábrák vonalkázott tartományait; egyesek érintik a tartomány
határait, amely
,
vagy
szélső értékeinek felel meg az illető csatornában.
Abban az esetben, mikor az egyik részecske tömege nagyobb a másik három tömeg
összegénél (), akkor I., II., III. mellett még negyedik csatorna lehetséges, ami a
bomlást írja le:
Ebben a csatornában, a bomló részecske nyugalmi rendszerében
Ekkor (68,1)-ből azt kapjuk, hogy
Tehát mindhárom invariáns pozitív, azaz a bomlási csatorna fizikai
tartománya a koordináta-háromszög belsejében van. Ezt a (68,10)-zel megadott zárt görbe határolja.
1. Adjuk meg a fizikai tartományt három egyenlő
tömeg: ,
esetén (pl.
).
(68,10) egyenlet
Az I., II., III. tartományokat azonos alakú görbék határolják
(I.-re: ,
,
, és hasonlóak az egyenlőtlenségek II. és III. esetére is). Ha
, akkor (68,1f)-nek s
,
,
értékekhez tartozó ága is van (zárt görbe), amely a IV. csatorna
határát adja (l. 12. ábra).
2. Ugyenez, ,
,
,
esetére (pl.
reakció).
(68,5) feltétel
alakú, és érvényes az mellékfeltétel. Tehát a fizikai tartományt az
egyenes és a
hiperbola két ága határolja (13. ábra).
3. Ugyanez, az ,
esetre, ahol
(pl. a
reakció).
(68,10) határgörbe egyenlete
alakú, ahol
-t kiküszöbölve kapjuk, hogy
Adott -re ez
-ben másodfokú egyenlet. Ha
(
-csatorna tartománya), minden
-hez két negatív
érték tartozik. Ha
, a másodfokú egyenlet két gyöke egybeesik:
. A három csatorna fizikai tartományának határait a 14. ábrán láthatjuk. Az
-csatorna határoló görbéjének alsó ága aszimptotikusan az
egyeneshez közeledik, míg a felső ezt az egyenest a
pontban metszi.
Az -csatorna fizikai tartománya szimmetrikus az
-csatorna tartományára.
[239] Pl. a 7. ábrán a pontot a háromszög
csúcsaival összekötve, a háromszög három újabbra esik szét,
melyek magasságai rendre
,
,
; a részterületek összegének és az
háromszög területének egyenlőségét felhasználva kapjuk a
keresett egyenlőséget. Hasonló a bizonyítás menete akkor is, ha a
pont az
háromszögön kívül van.