ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

68.§. A fizikai tartományok

A szórásamplitúdót mint az , , független változók függvényét tekintve (melyekre az s+t+u=h egyenlőség teljesülése az egyetlen megkötés), felmerül a kérdés: vajon melyek ezek értékének a megengedett és melyek a meg nem engedett tartományai? A fizikai szórásfolyamatnak megfelelő értékeknek meghatározott feltételeket kell kielégíteniük, melyek a négyesimpulzus megmaradásának és a tömeghéj-feltételeknek ( qa2=ma2 ) a következményei.

Két négyesimpulzus szorzatára fennáll, hogy

7.51. egyenlet - (68,1)

p_{a} p_{b} ≧ m_{a} m_{b} .

Ezért

ha qa=pa,qb=pb (vagy qa=–pa,qb=–pb ), vagy pedig

ha qa=pa,qb=–pb . Ebből az -csatornabeli folyamatokra:

7.52. egyenlet - (68,2)

\begin{matrix} \begin{aligned} {(m_{1} + m_{2})}^{2} ≦ & s ≧ {(m_{3} + m_{4})}^{2}, \\ {(m_{1} - m_{3})}^{2} ≧ & t ≦ {(m_{2} - m_{4})}^{2}, \\ {(m_{1} - m_{4})}^{2} ≧ & u ≦ {(m_{2} - m_{3})}^{2} \end{aligned} & (68,2) \end{matrix}

(hasonló egyenlőtlenségek érvényesek a - és -csatornára).

A további feltételeket az négyesvektor segítségével adjuk meg, amely a négyesvektorok közül valamelyik három szorzatának duálisa:

7.53. egyenlet - (68,3)

L_{λ} = e_{λ μ ν ϱ} q_{1}^{μ} q_{2}^{ν} q_{3}^{ϱ} .

Valamelyik (pl. az ) részecske nyugalmi rendszerét választva, q1=(q10,0) . Ekkor-nek csak a térkomponensei különböznek nullától: Li=ei0klq10q2kq3l . Más szavakkal, térszerű vektor, és így minden vonatkoztatási rendszerben L2≦0 . Elvégezve a négyzetre emelést, a következő feltételt kapjuk:

7.54. egyenlet - (68,4)

|\begin{matrix} q_{1}^{2} & q_{1} q_{2} & q_{1} q_{3} \\ q_{2} q_{1} & q_{2}^{2} & q_{2} q_{3} \\ q_{3} q_{1} & q_{3} q_{2} & q_{3}^{2} \end{matrix}| ≧ 0 .

Ezt az , , invariánsokkal mindhárom csatornában egységesen fejezhetjük ki az alábbi formában:

7.55. egyenlet - (68,5)

s t u ≧ a s + b t + c u,

ahol

7.56. egyenlet - (68,6)

\begin{matrix} \begin{aligned} a h & = (m_{1}^{2} m_{2}^{2} - m_{3}^{2} m_{4}^{2}) (m_{1}^{2} + m_{2}^{2} - m_{3}^{2} - m_{4}^{2}), \\ b h & = (m_{1}^{2} m_{3}^{2} - m_{2}^{2} m_{4}^{2}) (m_{1}^{2} + m_{3}^{2} - m_{2}^{2} - m_{4}^{2}), \\ c h & = (m_{1}^{2} m_{4}^{2} - m_{2}^{2} m_{3}^{2}) (m_{1}^{2} + m_{4}^{2} - m_{2}^{2} - m_{3}^{2}) \end{aligned} & (68,6) \end{matrix}

(T. W. B. Kibble , 1960).

7. ábra.

Az , , változók értelmezési tatományának ábrázolására alkalmas az ún. háromszögű koordináta-rendszert használni (Mandelstam-sík ; S. Mandelstam , 1958). Ezeket a koordinátatengelyeket egy egyenlő oldalú háromszög oldalegyenesei alkotják. Az , , koordinátákat erre a három tengelyre merőlegesen mérjük fel (pozitívnak a háromszög belseje felé mért értékeket tekintve, amint azt a 7. ábrán a nyilak mutatják). Más szavakkal, a sík minden egyes pontjának egy , , értékhármas felel meg, amelyek értékét(a megfelelő előjellel) a három tengelyre bocsátott merőlegesek hossza adja. Az s+t+u=h feltétel teljesülését egy ismert geometriai tétel biztosítja (ha a háromszög magassága ).^[239]

Vizsgáljuk meg azt a fontos speciális esetet, mikor az -csatornának a rugalmas szórás felel meg, azaz a részecskék tömegei páronként egyeznek:

7.57. egyenlet - (68,7)

m_{1} = m_{3} \equiv m, m_{2} = m_{4} \equiv μ .

Legyen m>μ . A (68,5) feltételből

így

7.58. egyenlet - (68,8)

s u t ≧ {(m^{2} - μ^{2})}^{2} t .

Az egyenlőtlenséggel kijelölt tartomány határát a t=0 egyenes és az

7.59. egyenlet - (68,9)

s u = {(m^{2} - μ^{2})}^{2}

hiperbola adja, melynek két ága az u<0 , s<0 és az s>0 , u>0 szektorokban helyezkedik el. Az s=0 és u=0 tengelyek a hiperbola aszimptotái. (68,8) helyett

írható. Ezenkívül a (68,2) feltételből az s>(m+μ)2 egyenlőtlenséget az -csatornában és az u>(m+μ)2 -et az -csatornában kell figyelembe venni, a maradék egyenlőtlenségek ezután automatikusan teljesülnek. Végeredményben azt látjuk, hogy az I., II., III. ( s,t,u ) csatornáknak a 8. ábrán bevonalkázott fizikai tartomány felel meg.

8. ábra.

Ha μ=0 (a , részecskék fotonok), akkor a hiperbola alsó ága érinti a t=0 egyenest, és a fizikai tartományok a 9. ábrának megfelelően néznek ki.

Ha m=μ , akkor a (68,8)-ból kapott határok a koordinátatengelyekké fajulnak el, és a fizikai tatomány a 10. ábrán látható három szektorral egyezik meg.

9. ábra.

10. ábra.

Általános esetben mind a négy tömeg különböző, és az

7.60. egyenlet - (68,10)

s t u = a s + b t + c u

egyenlet harmadfokú görbét határoz meg, melynek ágai a három csatorna fizikai tartományát a 11. ábrának megfelelően határozzák meg. Legyen

11. ábra.

Ekkor

A (68,10) görbe a koordinátatengelyeket az

egyenesen fekvő pontokban metszi. előjelétől függően ez a 11 a), b) ábrákon látható módon néz ki. Ha c<0 , az -csatorna fizikai tartománya a koordináta-háromszög egy részét elfoglalja; más szavakkal, ez esetben , , egyidejűleg vehet fel pozitív értékeket. A határoló görbe mindhárom ágának a megfelelő koordinátatengelyek lesznek az aszimptotái [erről könnyen meggyőződhetünk, ha az s+t+u=h egyenlet segítségével (68,10)-ből az egyik változót kiküszöböljük, és aztán a megmaradó változók valamelyikével a végtelenhez tartunk]. A (68,2) feltételek általában semmi újat nem hoznak a (68,10) egyenlettel megadott határokhoz képest. A (68,2)-beli egyenlőségnek megfelelő egyenesek nem metszik a 11 a), b) ábrák vonalkázott tartományait; egyesek érintik a tartomány határait, amely , vagy szélső értékeinek felel meg az illető csatornában.

Abban az esetben, mikor az egyik részecske tömege nagyobb a másik három tömeg összegénél ( m1>m2+m3+m4 ), akkor I., II., III. mellett még negyedik csatorna lehetséges, ami a bomlást írja le:

7.61. egyenlet - (68,11)

I V) 2 \to \bar{2} + 3 + 4 .

Ebben a csatornában, a bomló részecske nyugalmi rendszerében

q1=(m1,0), q2=(–ε2,–p2), q3=(–ε3,–p3), q4=(–ε4,–p4),

Az invariánsok:

7.62. egyenlet - (68,12)

\begin{matrix} \begin{aligned} s & = m_{1}^{2} + m_{2}^{2} - 2 m_{1} 𝜀_{2}, \\ t & = m_{1}^{2} + m_{3}^{2} - 2 m_{1} 𝜀_{3}, \\ u & = m_{1}^{2} + m_{4}^{2} - 2 m_{1} 𝜀_{4} . \end{aligned} & (68,12) \end{matrix}

Ekkor (68,1)-ből azt kapjuk, hogy

7.63. egyenlet - (68,13)

\begin{matrix} \begin{aligned} {(m_{3} + m_{4})}^{2} ≦ & s ≦ {(m_{1} - m_{2})}^{2}, \\ {(m_{2} + m_{4})}^{2} ≦ & t ≦ {(m_{1} - m_{3})}^{2}, \\ {(m_{2} + m_{3})}^{2} ≦ & u ≦ {(m_{1} - m_{4})}^{2} . \end{aligned} & (68,13) \end{matrix}

Tehát mindhárom invariáns pozitív, azaz a bomlási csatorna fizikai tartománya a koordináta-háromszög belsejében van. Ezt a (68,10)-zel megadott zárt görbe határolja.

Feladatok

1. Adjuk meg a fizikai tartományt három egyenlő tömeg: m1≡m , m2=m3=m:4≡μ esetén (pl. K+π→π+π ).

(68,10) egyenlet

7.64. egyenlet - (1)

s t u = μ^{2} {(m^{2} - μ^{2})}^{2}

alakot ölt, és

Az I., II., III. tartományokat azonos alakú görbék határolják (I.-re: s>0 , t<0 , u<0 , és hasonlóak az egyenlőtlenségek II. és III. esetére is). Ha m>3μ , akkor (68,1f)-nek s s>0 , t>0 , u>0 értékekhez tartozó ága is van (zárt görbe), amely a IV. csatorna határát adja (l. 12. ábra).

12. ábra.

13. ábra.

2. Ugyenez, m1≡m , m2≡μ , m3=m4=0 , m>μ esetére (pl. μ+ν→e+ν reakció).

(68,5) feltétel

alakú, és érvényes az s+t+u=m2+μ2 mellékfeltétel. Tehát a fizikai tartományt az s=0 egyenes és a tu=m2μ2 hiperbola két ága határolja (13. ábra).

3. Ugyanez, az m1=m3≡m , m2=0 m4≡μ esetre, ahol m>2μ (pl. a p+γ→p+π0 reakció).

(68,10) határgörbe egyenlete

alakú, ahol

-t kiküszöbölve kapjuk, hogy

Adott -re ez -ben másodfokú egyenlet. Ha s>(m+μ)2 (-csatorna tartománya), minden -hez két negatív érték tartozik. Ha s=(m+μ)2 , a másodfokú egyenlet két gyöke egybeesik: t=–mμ2∕(m+μ) . A három csatorna fizikai tartományának határait a 14. ábrán láthatjuk. Az -csatorna határoló görbéjének alsó ága aszimptotikusan az u=0 egyeneshez közeledik, míg a felső ezt az egyenest a t=μ4∕(μ4–m2) pontban metszi.

Az -csatorna fizikai tartománya szimmetrikus az -csatorna tartományára.

14. ábra.

^[239] Pl. a 7. ábrán a pontot a háromszög ABC csúcsaival összekötve, a háromszög három újabbra esik szét, melyek magasságai rendre , , ; a részterületek összegének és az ABC háromszög területének egyenlőségét felhasználva kapjuk a keresett egyenlőséget. Hasonló a bizonyítás menete akkor is, ha a pont az ABC háromszögön kívül van.