Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A helicitásamplitúdók definíciójában egy kiválasztott vonatkoztatási rendszer – a tömegközépponti rendszer szerepel. Ugyanakkor a szórásamplitúdónak az invariáns perturbációszámítás segítségével való kiszámítása (és az analitikus tulajdonságok vizsgálata) szempontjából célszerű az amplitúdót explicit módon invariáns alakban irni.
Ha a reakcióban részt vevő részecskéknek nincs spinjük, akkor a szórásamplitúdó csak a részecskék négyesimpulzusainak invariáns szorzataitól függhet. Az
típusú reakcióra invariánsként a 67. §-ban definiált ,
,
mennyiségek közül valamelyik kettőt lehet választani. Ekkor az
amplitúdó egyetlen függvénnyel kifejezhető:
.
Ha a részecskéknek van spinjük, akkor az ,
,
kinematikai invariánsok mellett a részecskék hullámfüggvényeiből
(bispinorokból, vektorokból stb.) megalkotható invariánsokat is tekintetbe kell vennünk.
Az amplitúdók ekkor
alakúak, ahol az összes részt vevő részecske hullámfüggvényében (valamint
négyesimpulzusaikban) a lineáris invariánsok jelölése. Az
együtthatókat invariáns amplitúdóknak nevezzük.
A hullámfüggvényeket határozott helicitásúaknak választva, az invariánsok határozott
értékeit kapjuk. Ekkor a szórás helicitásamplitúdóit az
invariáns amplitúdók homogén lineáris kombinációiként állíthatjuk elő.
Ebből nyilvánvaló, hogy a független invariáns amplitúdók száma a független
helicitásamplitúdókéval megegyezik. Minthogy az utóbbiak számát (mint azt a 70. §-ban megmutattuk) könnyen megadhatjuk, egyidejűleg
könnyebbé válik az
invariánsok megalkotása is, mert eleve tudjuk, hányat kell
készítenünk.
Nézzünk néhány példát. Mindegyikben feltételezzük, hogy a kölcsönhatás
- és
-invariáns; ez utóbbi szerint az
invariánsok valódi (és nem pszeudo-) skalárok lesznek.
1. spinű és
spinű részecske ütközése. Az invariánsok száma
(l. a 70. § 3. feladatát).
Válasszuk pl. a következőt:
ahol és
a kezdeti és végső fermion bispinor amplitúdói ;
, ahol
és
a kezdeti és a végső bozon négyesimpulzusai.[245]
A (71,3) mennyiségek -invarianciáját könnyű közvetlenül ellenőrizni. Az időtükrözés
felcseréli a kezdeti és a végállapotot, valamint az
amplitúdót „időtükrözöttjére” változtatja:
[l. (28,5)]. Ezért
és ezzel -nek
-invarianciáját be is bizonyítottuk. Hasonló módon
Figyelembe véve (26,12)-t:[246]
Ugyanúgy transzformálódnak a négyesimpulzusok: , tehát az
skalárszorzat invariáns.
2. Azonos spinű részecskék rugalmas szórása.
független invariánsunk van ezeknek az
mennyiségeket választhatjuk, ahol ,
a kezdeti,
,
a végső részecskék bispinor amplitúdói. A kezdeti (vagy végső)
részecskék felcserélése nem vezetúj invariánsokra, mivel az új invariánsokat a régiekkel
kifejezhetjük (l. a 28. 1. feladatát). De a (71,2) amplitúdót a (71,4)-beli
-nel megalkotva, nem teljesítjük expliciten azt a követelményt, amely
szerint két azonos fermion cseréjekor a szórási amplitúdónak előjelet kell váltania. Az
e követelményt kielégítő kifejezést
alakban írhatjuk. A és
(illetve a
és
) impulzusokat felcserélve, a kinematikai invariánsok
,
,
cseréje következik be, és így a fenti követelménynek automatikusan
eleget tettünk.
Vizsgáljunk még két példát – foton rugalmas szóródását és
spinű részecskén. E folyamat amplitúdóját célszerű az
,
térszerű négyesvektorokkal kifejezni, melyek az
feltételeket elégítik ki (ezek a négyesvektorok mindkét fotonra azonosak
lehetnek azokkal a négyes egységvektorokkal, amelyeknek segítségével a fotonok
polarizációs tulajdonságait invariáns módon leírjuk – l. 8. §).
Legyen és
a foton kezdeti és végső impulzusa,
és
pedig ugyanez a szóró részecskére. Tekintsük a
vektorokat, ahol
Ezek nyilvánvalóan kölcsönösen merőlegesek egymásra. Minthogy
merőlegesek a és
vektorokra is, ugyanez igaz
-ra és
-re. Mivel a
időszerű négyesvektorra (
) merőlegesek, maguk is térszerűek (valóban, a
tulajdonságú vonatkoztatási rendszerben
-ból következik, hogy
, azaz
).
-t és
-et normálva, azaz az
választással olyan négyesvektorpárt kapunk, amely az összes (71,6)-beli követelményt kielégíti. Megjegyezzük, hogy
valódi,
pedig pszeudovektor.
alakban adjuk meg, leválasztva belőle a kezdeti és végső foton
és
polarizációs négyesvektorait.
3. Foton szóródása zérus spinű részecskén. A (71,9)-beli tenzort csak a részecskék négyesimpulzusaiból kell megalkotnunk. Az
alakban írhatjuk, ahol ,
az invariáns amplitúdók, melyek száma ez esetben
. Figyeljünk fel arra, hogy az
tag
-ben nem fordulhat elő, mivel ez a szorzat pszeudotenzor, és (71,9)-be helyettesítve pszeudoskalárra vezetne.
4. Foton szóródása spinű részecskén. Az
tenzort
alakban keressük, ahol ,
valódi,
,
pedig pszeudoskalár függvények. Mindnyájan bilineárisak a fermionok
és
bispinor amplitúdóiban, azaz
alakúak. A mátrixok (bispinor indexekben) általános alakja:
ahol . Az
együtthatók az invariáns amplitúdók, melyek száma
-nak adódott (a szükséges
helyett), ugyanis a
-invariancia követelményét még nem alkalmaztuk.
Az időtükrözés felcseréli a kezdeti és a végső négyesimpulzusokat, és egyidejűleg térkomponenseik előjelét is megváltoztatja:
A fotonok polarizációs négyesvektorának
a transzformációs szabálya [vö. (8,11a)], úgyhogy
Ez utóbbi transzformáció következményeként a (71,9) szórásamplitúdó invarianciájának követelménye az
transzformációs szabállyal ekvivalens. Másrészt a (71,14) helyettesítés eredményeként
A (71,11) kifejezésből így az
következik, hogy
Fentebb láttuk, hogy időtükrözéskor
Hasonló eljárással belátható, hogy
A (71,12), (71,13) kifejezésből ezek után látható, hogy a szórásamplitúdó-invarianciája következtében