ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

71.§. Az invariáns amplitúdók

A helicitásamplitúdók definíciójában egy kiválasztott vonatkoztatási rendszer – a tömegközépponti rendszer szerepel. Ugyanakkor a szórásamplitúdónak az invariáns perturbációszámítás segítségével való kiszámítása (és az analitikus tulajdonságok vizsgálata) szempontjából célszerű az amplitúdót explicit módon invariáns alakban irni.

Ha a reakcióban részt vevő részecskéknek nincs spinjük, akkor a szórásamplitúdó csak a részecskék négyesimpulzusainak invariáns szorzataitól függhet. Az

7.98. egyenlet - (71,1)

a + b \to c + d

típusú reakcióra invariánsként a 67. §-ban definiált , , mennyiségek közül valamelyik kettőt lehet választani. Ekkor az amplitúdó egyetlen függvénnyel kifejezhető: Mfi=f(s,t) .

Ha a részecskéknek van spinjük, akkor az , , kinematikai invariánsok mellett a részecskék hullámfüggvényeiből (bispinorokból, vektorokból stb.) megalkotható invariánsokat is tekintetbe kell vennünk. Az amplitúdók ekkor

7.99. egyenlet - (71,2)

M_{f i} = \sum_{n} f_{n} (s, t) F_{n}

alakúak, ahol az összes részt vevő részecske hullámfüggvényében (valamint négyesimpulzusaikban) a lineáris invariánsok jelölése. Az fn(s,t) együtthatókat invariáns amplitúdóknak nevezzük.

A hullámfüggvényeket határozott helicitásúaknak választva, az invariánsok határozott Fn=Fn(λi,λf) értékeit kapjuk. Ekkor a szórás helicitásamplitúdóit az invariáns amplitúdók homogén lineáris kombinációiként állíthatjuk elő. Ebből nyilvánvaló, hogy a független invariáns amplitúdók száma a független helicitásamplitúdókéval megegyezik. Minthogy az utóbbiak számát (mint azt a 70. §-ban megmutattuk) könnyen megadhatjuk, egyidejűleg könnyebbé válik az invariánsok megalkotása is, mert eleve tudjuk, hányat kell készítenünk.

Nézzünk néhány példát. Mindegyikben feltételezzük, hogy a kölcsönhatás - és -invariáns; ez utóbbi szerint az invariánsok valódi (és nem pszeudo-) skalárok lesznek.

1. spinű és 1∕2 spinű részecske ütközése. Az invariánsok száma (l. a 70. § 3. feladatát). Válasszuk pl. a következőt:

7.100. egyenlet - (71,3)

F_{1} = ū^{'} u, F_{2} = ū^{'} \hat{K} u,

ahol u=u(p) és u′=u(p′) a kezdeti és végső fermion bispinor amplitúdói ; K=k+k′ , ahol és a kezdeti és a végső bozon négyesimpulzusai.^[245]

A (71,3) mennyiségek -invarianciáját könnyű közvetlenül ellenőrizni. Az időtükrözés felcseréli a kezdeti és a végállapotot, valamint az u(p) amplitúdót „időtükrözöttjére” változtatja:

[l. (28,5)]. Ezért

ū′u→ūTu′T=–(UT+)(UTū′)=–ū′ŨTUT+u=ū′UTUT+u=ū′u,

és ezzel -nek -invarianciáját be is bizonyítottuk. Hasonló módon

ū′γμu→ūTγμu′T=–(UT+u)γμ(UTū′)=ū′UTγ̃μUT+u.

Figyelembe véve (26,12)-t:^[246]

Ugyanúgy transzformálódnak a négyesimpulzusok: (K0,K)→(K0,–K) , tehát az F2=Kμ(ū′γμu) skalárszorzat invariáns.

2. Azonos 1∕2 spinű részecskék rugalmas szórása. független invariánsunk van ezeknek az

7.101. egyenlet - (71,4)

\begin{matrix} \begin{aligned} F_{1} & = (ū_{1}^{'} u_{1}) (ū_{2}^{'} u_{2}), \\ F_{2} & = (ū_{1}^{'} γ^{5} u_{1}) (ū_{2}^{'} γ^{5} u_{2}), \\ F_{3} & = (ū_{1}^{'} γ^{μ} u_{1}) (ū_{2}^{'} γ_{μ} u_{2}), \\ F_{4} & = (ū_{1}^{'} γ^{μ} γ^{5} u_{1}) (ū_{2}^{'} γ_{μ} γ^{5} u_{2}), \\ F_{5} & = (ū_{1}^{'} σ^{μ ν} u_{1}) (ū_{2}^{'} σ_{μ ν} u_{2}) \end{aligned} & (71,4) \end{matrix}

mennyiségeket választhatjuk, ahol , a kezdeti, u1′ , u2′ a végső részecskék bispinor amplitúdói. A kezdeti (vagy végső) részecskék felcserélése nem vezetúj invariánsokra, mivel az új invariánsokat a régiekkel kifejezhetjük (l. a 28. 1. feladatát). De a (71,2) amplitúdót a (71,4)-beli -nel megalkotva, nem teljesítjük expliciten azt a követelményt, amely szerint két azonos fermion cseréjekor a szórási amplitúdónak előjelet kell váltania. Az e követelményt kielégítő kifejezést

7.102. egyenlet - (71,5)

M_{f i} = [(ū_{1}^{'} u_{1}) (ū_{2}^{'} u_{2}) f_{1} (t, u) - (ū_{2}^{'} u_{1}) (ū_{1}^{'} u_{2}) f_{1} (u, t)] + \dots

alakban írhatjuk. A p1′ és p2′ (illetve a és ) impulzusokat felcserélve, a kinematikai invariánsok s→s , t→u , u→t cseréje következik be, és így a fenti követelménynek automatikusan eleget tettünk.

Vizsgáljunk még két példát – foton rugalmas szóródását és 1∕2 spinű részecskén. E folyamat amplitúdóját célszerű az e(1) , e(2) térszerű négyesvektorokkal kifejezni, melyek az

7.103. egyenlet - (71,6)

\begin{aligned} e^{(1) 2} & = e^{(2) 2} = - 1, & e^{(1)} e^{(2)} & = 0, \\ e^{(1)} k & = e^{(2)} k = 0, & e^{(1)} k^{'} & = e^{(2)} k^{'} = 0 \end{aligned}

feltételeket elégítik ki (ezek a négyesvektorok mindkét fotonra azonosak lehetnek azokkal a négyes egységvektorokkal, amelyeknek segítségével a fotonok polarizációs tulajdonságait invariáns módon leírjuk – l. 8. §).

Legyen és a foton kezdeti és végső impulzusa, és pedig ugyanez a szóró részecskére. Tekintsük a

7.104. egyenlet - (71,7)

\begin{matrix} \begin{aligned} P^{λ} & = p^{λ} + p^{' λ} + p^{' λ} - K^{λ} \frac{p K + p^{'} K}{K^{2}}, \\ N^{λ} & = e^{λ μ ν ϱ} P_{μ} q_{ν} K_{ϱ} \end{aligned} & (71,7) \end{matrix}

vektorokat, ahol

Ezek nyilvánvalóan kölcsönösen merőlegesek egymásra. Minthogy merőlegesek a és vektorokra is, ugyanez igaz -ra és -re. Mivel a időszerű négyesvektorra ( K2=2kk′>0 ) merőlegesek, maguk is térszerűek (valóban, a K=0 tulajdonságú vonatkoztatási rendszerben KP=0 -ból következik, hogy P0=0 , azaz P2<0 ). -t és -et normálva, azaz az

7.105. egyenlet - (71,8)

e^{(1) λ} = \frac{N^{λ}}{\sqrt{- N^{2}}}, e^{(2) λ} = \frac{P^{λ}}{\sqrt{- P^{2}}}

választással olyan négyesvektorpárt kapunk, amely az összes (71,6)-beli követelményt kielégíti. Megjegyezzük, hogy e(2) valódi, e(1) pedig pszeudovektor.

A fotonszórás amplitúdóját

7.106. egyenlet - (71,9)

M_{f i} = F^{λ μ} e_{λ}^{' *} e_{μ}

alakban adjuk meg, leválasztva belőle a kezdeti és végső foton és polarizációs négyesvektorait.

3. Foton szóródása zérus spinű részecskén. A (71,9)-beli Fλμ tenzort csak a részecskék négyesimpulzusaiból kell megalkotnunk. Az

7.107. egyenlet - (71,10)

F^{λ μ} = f_{1} e^{(1) λ} e^{(1) μ} + f_{2} e^{(2) λ} e^{(2) μ}

alakban írhatjuk, ahol , az invariáns amplitúdók, melyek száma ez esetben. Figyeljünk fel arra, hogy az e(1)λe(2)λ tag Fλμ -ben nem fordulhat elő, mivel ez a szorzat pszeudotenzor, és (71,9)-be helyettesítve pszeudoskalárra vezetne.

4. Foton szóródása 1∕2 spinű részecskén. Az Fλμ tenzort

Fλμ=G0(eλ(1)eμ(1)+eλ(2)eμ(2))+G1(eλ(1)eμ(2)+eλ(2)eμ(1))+G2(eλ(1)eμ(2)–eλ(2)eμ(1))+

7.108. egyenlet - (71,11)

+ G_{3} (e_{λ}^{(1)} e_{μ}^{(1)} - e_{λ}^{(2)} e_{μ}^{(2)})

alakban keressük, ahol , valódi, , pedig pszeudoskalár függvények. Mindnyájan bilineárisak a fermionok ū(p′) és u(p) bispinor amplitúdóiban, azaz

7.109. egyenlet - (71,12)

G_{n} = ū (p^{'}) Q_{n} u (p)

alakúak. A mátrixok (bispinor indexekben) általános alakja:

7.110. egyenlet - (71,13)

\begin{aligned} Q_{0} & = f_{1} + f_{2} \hat{K}, & Q_{1} & = γ^{5} (f_{3} + f_{4} \hat{K}), \\ Q_{2} & = γ^{5} (f_{5} + f_{6} \hat{K}), & Q_{3} & = f_{7} + f_{8} \hat{K}, \end{aligned}

ahol K=k+k′ . Az f1,…,f8 együtthatók az invariáns amplitúdók, melyek száma -nak adódott (a szükséges helyett), ugyanis a -invariancia követelményét még nem alkalmaztuk.

Az időtükrözés felcseréli a kezdeti és a végső négyesimpulzusokat, és egyidejűleg térkomponenseik előjelét is megváltoztatja:

7.111. egyenlet - (71,14)

(k_{0}, k) \leftrightarrow (k_{0}^{'}, - k^{'}), (p_{0}, p) \leftrightarrow (p_{0}^{'}, - p^{'}) .

A fotonok polarizációs négyesvektorának

7.112. egyenlet - (71,15)

(e_{0}, e) \leftrightarrow (e_{0}^{' *}, - e^{' *})

a transzformációs szabálya [vö. (8,11a)], úgyhogy

(e0′∗e0,ei′∗e0,ei′∗ek)→(e0′∗e0,–e0′∗ei,ek′∗ei).

Ez utóbbi transzformáció következményeként a (71,9) szórásamplitúdó invarianciájának követelménye az

transzformációs szabállyal ekvivalens. Másrészt a (71,14) helyettesítés eredményeként

tehát

7.113. egyenlet - (71,16)

(e_{0}^{(1, 2)}, e^{(1, 2)}) \to (e_{0}^{(1, 2)} - e^{(1, 2)}) .

A (71,11) kifejezésből így az következik, hogy

Fentebb láttuk, hogy időtükrözéskor

7.114. egyenlet - (71,17)

ū^{'} u \to ū^{'} u, ū^{'} \bar{K} u \to ū^{'} \bar{K} u .

Hasonló eljárással belátható, hogy

7.115. egyenlet - (71,18)

ū^{'} γ^{5} u \to - ū^{'} γ^{5} u, ū^{'} γ^{5} \hat{K} u \to ū^{'} γ^{5} \hat{K} u .

A (71,12), (71,13) kifejezésből ezek után látható, hogy a szórásamplitúdó-invarianciája következtében

7.116. egyenlet - (71,19)

f_{3} = f_{6} = 0 .

^[245] Első látásra még egy ū′σμνkμk′νu alakú invariánst is lehetne készíteni. Könnyű azonban meggyőződni arról, hogy ez visszavezethető a (71,3) invariánsokra, ha figyelembe vesszük a k′=p+k–p′ megmaradási törvényt és p̂u=mu , ū′p̂′=mū′ Dirac-egyenleteket , melyeket a bispinor amplitúdók kielégítenek.

^[246] Ezek a transzformációs törvények természetesen a 28. §-ban a Ψ̄Ψ és Ψ̄γμΨ operátorokra levezetett időtükrözési transzformációs szabályokból is következnek, mivel ū′u és ū′γμu ezeknek mátrixelemei.