ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

72.§. Az unitaritási feltétel

A szórásmátrix unitér: SS+=1 , vagy mátrixelemekkel kifejezve,

7.117. egyenlet - (72,1)

{(S S^{+})}_{f i} = \sum_{n} S_{f n} S_{i n}^{*} = δ_{f i},

ahol az index az összes lehetséges közbensőállapotot számozza.^[247] Ez az -mátrix legáltalánosabb tulajdonsága, amely biztosítja az állapotok normájának és ortogonalitásának a reakció során való megmaradását (vö. III. 125. §, 144. §-ok). Speciálisan a (72,1) egyenlőség diagonális elemei egyszerűen azt a tényt fejezik ki, hogy az adott kezdeti állapotból tetszőleges végsőállapotba valóátmenet valószínűsége :

eqref(72,1)-be a (65,2) alakú mátrixelemeket helyettesítve, azt kapjuk, hogy^[248]

7.118. egyenlet - (72,2)

T_{f i} - T_{i f}^{*} = i {(2 π)}^{4} \sum_{n} δ^{(4)} (P_{f} - P_{n}) T_{f n} T_{i n}^{*} .

Figyeljünk arra, hogy ennek az egyenlőségnek a bal oldala mátrixelemeiben lineáris, a jobb oldal pedig négyzetes. Ha a kölcsönhatás (mint pl. az elektromágneses) valamely kis paraméterrel jellemezhető, akkor a bal oldal első-, a jobb oldal másodrendben kicsiny. Első közelítésben tehát a jobb oldal elhanyagolható, és ekkor

7.119. egyenlet - (72,3)

T_{f i} = T_{i f}^{*},

azaz a mátrix hermitikus.

Hogy a (72,2) unitaritási feltételnek konkrétabb alakot adhassunk, pontosítanunk kell, mit értünk az szerinti összegezésen. Végezzük ezt el két részecske ütközésére, feltételezve, hogy a megmaradási törvények csak rugalmas szórást engednek meg; ekkor a (72,2)-beli összes közbenső állapot ugyanilyen „kétrészecskés” lesz. Az ezekre való összegezés a közbenső p1″ , p2″ impulzusok szerinti integrálást és a spin kvantumszámok (pl. helicitások) szerinti összegezést jelent, az utóbbiakat -vel jelöljük:

A -függvényt a 65. §-ban követettel azonos módon kiküszöbölve, a „kétrészecskés” unitaritási feltételt a következő formában írhatjuk:

Tfi–Rif∗=(iV2/(2π)2)∑λ″(|p|/ε)∫TfnTin∗ε1″ε2″dΩ″,

ahol a tömegközépponti impulzus, a hozzá tartozó energia. A normálási térfogat eltűnik az összefüggésből, ha Tfi amplitúdókról az Mfi -kre térünk át (65,10) alapján:

7.120. egyenlet - (72,4)

M_{f i} - M_{i f}^{*} = \frac{i}{{(4 π)}^{2}} \sum_{λ^{″}} \frac{| p |}{𝜀} \int M_{f n} M_{i n}^{*} d Ω^{″} .

Definiáljuk a rugalmas szórás amplitúdóját úgy, hogy a

7.121. egyenlet - (72,5)

d σ = | ⟨ n^{'} λ^{'} ∣ f ∣ n λ ⟩ |^{2} d Ω^{'}

összefüggés teljesüljön (és a kezdeti és végső impulzusok irányai; és a kezdeti és végső spinkvantumszámok). A (65,19)összefüggéssel valóösszehasonlítás szerint

7.122. egyenlet - (72,6)

⟨ n^{'} λ^{'} ∣ f ∣ n λ ⟩ = \frac{1}{8 π 𝜀} M_{f i},

és a (72,4) unitaritási feltétel így

7.123. egyenlet - (72,7)

⟨ n^{'} λ^{'} ∣ f ∣ n λ ⟩ - {⟨ n λ ∣ f ∣ n^{'} λ^{'} ⟩}^{*} = \frac{i | p |}{2 π} \sum_{λ^{″}} \int ⟨ n^{″} λ^{'} ∣ f ∣ n^{″} λ^{″} ⟩ {⟨ n λ ∣ f ∣ n^{″} λ^{″} ⟩}^{*} d Ω^{″}

alakú, amely általánosítja a jól ismert nemrelativisztikus III. (125,8) képletet.

A rugalmas előreszórás amplitúdójának a Tii diagonális mátrixelemet hívják, amelyben a végállapot a kezdetivel megegyezik.^[249] Erre az amplitúdóra a (72,2) unitaritási feltétel

7.124. egyenlet - (72,8)

2 ℑ T_{i i} = {(2 π)}^{4} \sum_{n} | T_{i n} |^{2} δ^{(4)} (P_{i} - P_{n})

alakú. Az összefüggés jobb oldala csak szorzótényezőben különbözik azösszes lehetséges, az adott kezdeti állapotból kiinduló folyamat teljes hatáskeresztmetszetétől, amelyet jelölünk. Valóban a (65,5) valószínűséget az állapotok szerint összegezve és a áramsűrűséggel osztva, azt kapjuk, hogy

azaz

A normálási térfogat eltűnik, ha a Tii=Mii∕(2ε1V⋅3ε2V) (, a tömegközépponti rendszerbeli részecskeenergiák) helyettesítést elvégezzük, és -t (65,17)-ből behelyettesítjük:

7.125. egyenlet - (72,9)

ℑ M_{i i} = 2 | p | 𝜀 σ_{t} .

Ez a képlet fejezi ki az ún. optikai tétel tartalmát. Ha bevezetjük a rugalmas szórás (72,6) amplitúdóját, akkor a tétel a szokásos alakját ölti:

7.126. egyenlet - (72,10)

ℑ ⟨ n λ ∣ f ∣ n λ ⟩ = \frac{| p |}{4 π} σ_{t}

[vö. III. (142,10)].

Ha az -mátrix impulzusmomentum-reprezentációban adott (parciális amplitúdókkal), akkor -beli diagonalitása miatt az unitaritási feltétel minden értékére külön-külön írható fel.

Így, ha csak rugalmas szórás lehetséges, az unitaritási feltétel alakja a következő:

7.127. egyenlet - (72,11)

\sum_{λ^{″}} ⟨ λ^{'} ∣ S^{J} ∣ λ^{″} ⟩ {⟨ λ ∣ S^{J} ∣ λ^{″} ⟩}^{*} = δ_{λ λ^{'}} .

A -invariancia következtében a rugalmas szórás mátrixa szimmetrikus [vö. (70,10)],így diagonalizálható. Ezután az unitaritási feltétel egységnyi abszolút értékű diagonális mátrixelemeket követel meg; ezeket szokás

7.128. egyenlet - (72,12)

S_{n}^{J} = exp (2 i δ_{J n})

alakban írni, ahol δJn valós állandók, az energia függvényei (az index pedig adott -re a diagonális elemeket számozza). Általában, mikor a független amplitúdók száma nagyobb, mint az négyzetes mátrix rangja, a diagonalizálást végrehajtó transzformációs együtthatók és függvényei (ezek az együtthatók az mátrix főértékeivel együtt a kiinduló mennyiséggel ekvivalens független mennyiséget is tartalmazzák). Ha megegyezik rangjával (és vele a főértékek számával), akkor a transzformációs együtthatók univerzálisak. Ekkor a diagonalizált állapotok határozott paritásúak (de természetesen már nem határozott helicitásúak).

A (72,11) feltételt ⟨λ′∣fJ∣λ⟩ parciális amplitúdókkal kifejezve:

7.129. egyenlet - (72,13)

⟨ λ^{'} ∣ f^{J} ∣ λ ⟩ - {⟨ λ ∣ f^{J} ∣ λ^{'} ⟩}^{*} = 2 i | p | \sum_{λ^{″}} ⟨ λ^{'} ∣ f^{J} ∣ λ^{″} ⟩ {⟨ λ ∣ f^{J} ∣ λ^{″} ⟩}^{*},

amiről könnyen meggyőződhetünk, ha (72,7)-be a (69,13) kifejtést behelyettesítjük, és a -függvények ortonormáltságát figyelembe vesszük. -invariancia esetén a ⟨λ′∣fJ∣λ⟩ mátrixelem szimmetrikus, és (72,13)így az

7.130. egyenlet - (72,14)

ℑ ⟨ λ^{'} ∣ f^{J} ∣ λ ⟩ = | p | ⟨ λ^{'} ∣ f^{J} f^{J +} ∣ λ ⟩

alakot ölti. Ha a mátrixot diagonalizáltuk, akkor diagonális elemei

7.131. egyenlet - (72,15)

f_{n}^{J} = \frac{1}{2 i | p |} (e^{2 i δ_{J n}} - 1) = \frac{1}{| q |} e^{i δ_{J n}} sin δ_{J n}

alakúak.

Végül rámutatunk az unitaritás és a CPT -invariancia követelményei közös alkalmazásának néhány következményére. Ez utóbbi értelmében

7.132. egyenlet - (72,16)

T_{i f} = T_{ī \bar{f}},

ahol az és állapotok -től és -től az összes részecske antirészecskéjével való helyettesítésében (valamint az impulzusmomentum-vektorok változatlan impulzusok melletti előjelváltásában) különböznek. Speciálisan, a diagonális mátrixelemekre

(72,8) vagy (72,9) következményeként az összes lehetséges reakció teljes hatáskeresztmetszete részecskékkel vagy antirészecskéikkel elvégezve azonosnak adódik.

Speciálisan, részecske és antirészecske teljes bomlási valószínűsége (azaz élettartama) megegyezik. Ezek az eredmények (a részecske és antirészecske tömegének a 11. §-ban megfogalmazott egyenlőségével) a kölcsönhatások CPT -invarianciájának legfontosabb eredményei. Emlékeztetünk (70. § vége), hogy ez az állítás a bomlás minden egyes csatornájára akkor igaz külön-külön, ha a -invarianciát megköveteljük.

Feladat

Az unitaritási feltételből kiindulva adjuk meg a pionok nukleonokon történő fotokeltése (γ+N→π+N) és a rugalmas -szórás (π+N→π+N) parciális amplitúdói fázisainak összefüggését; ennek során vegyük figyelembe, hogy a -szórás erős, a fotokeltés és a -szórás elektromágneses folyamat.

Megoldás. Jelöljük a parciális amplitúdókat a következőképpen:

⟨πN∣S∣γN⟩=Sπγ, ⟨γN∣S∣γN⟩=Sγγ, ⟨πN∣S∣πN⟩=Sππ

(a indexeit és a helicitásindexeket elhagytuk). A fotokeltés az töltésben első-, a -szórás másodrendű folyamat; így Sπγ∼e , Sγγ–1∼e2 . Az Sππ amplitúdó nem tartalmaz kis paramétert. A tagok pontosságáig a (72,1) feltétel az

SπγSγγ∗+SππSγπ∗ ≈Sπγ+SππSγπ∗=0, (1) SπγSπγ∗+SππSππ∗ ≈SππSγγ∗=1 (2)

összefüggéseket adja [(72,2f) jobb oldalán az egységet mint a spinváltozók szerinti egységmátrixot kell tekinteni]. A -invariancia következtében Sππ szimmetrikus mátrix, viszont Sγπ=Sπγ . Válasszuk az Sππ mátrixot diagonálisnak, azaz a határozott paritású pionállapotokra vonatkozónak. Ekkor (72,2f)-ből következik, hogy a diagonális elemek e2iδπ alakúak, különböző állandókkal. Ezután (72,1f)-ből azt kapjuk, hogy az Sπγ mátrix minden elemére

ahonnan

Tehát a fotokeltés (határozott paritású állapoté) parciális amplitúdójának fázisát a rugalmas -szórás fázisa határozza meg.

^[247] A δfi szimbólum konkrét jelentése (72,1)-ben a kvantumszámok konkrét megválasztásától és a rendszer hullámfüggvényének normálásától függ. Úgy kell definiálnunk, hogy ∑fδif=1 teljesüljön.

^[248] Ha az unitaritási feltételt S+S=1 alakban írjuk (azaz az és tényezők sorrendjét felcserélve), akkor (72,2) Tfi–Tfi∗=i(2π)4∑nδ(4)(Pf–Pn)Tnf∗Tni (72,2a) alakban írható.