Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A szórásmátrix unitér: , vagy mátrixelemekkel kifejezve,
ahol az index az összes lehetséges közbensőállapotot számozza.[247] Ez az
-mátrix legáltalánosabb tulajdonsága, amely biztosítja az állapotok
normájának és ortogonalitásának a reakció során való megmaradását (vö. III. 125. §,
144. §-ok). Speciálisan a (72,1) egyenlőség
diagonális elemei egyszerűen azt a tényt fejezik ki, hogy az adott kezdeti állapotból
tetszőleges végsőállapotba valóátmenet valószínűsége
:
eqref(72,1)-be a (65,2) alakú mátrixelemeket helyettesítve, azt kapjuk, hogy[248]
Figyeljünk arra, hogy ennek az egyenlőségnek a bal oldala mátrixelemeiben lineáris, a jobb oldal pedig négyzetes. Ha a
kölcsönhatás (mint pl. az elektromágneses) valamely kis paraméterrel jellemezhető, akkor
a bal oldal első-, a jobb oldal másodrendben kicsiny. Első közelítésben tehát a jobb
oldal elhanyagolható, és ekkor
azaz a mátrix hermitikus.
Hogy a (72,2) unitaritási feltételnek konkrétabb
alakot adhassunk, pontosítanunk kell, mit értünk az szerinti összegezésen. Végezzük ezt el két részecske ütközésére,
feltételezve, hogy a megmaradási törvények csak rugalmas szórást engednek meg; ekkor
a (72,2)-beli összes közbenső állapot ugyanilyen
„kétrészecskés” lesz. Az ezekre való összegezés a közbenső
,
impulzusok szerinti integrálást és a spin kvantumszámok (pl.
helicitások) szerinti összegezést jelent, az utóbbiakat
-vel jelöljük:
A -függvényt a 65. §-ban követettel
azonos módon kiküszöbölve, a „kétrészecskés” unitaritási feltételt a következő formában írhatjuk:
ahol a tömegközépponti impulzus,
a hozzá tartozó energia. A normálási térfogat eltűnik az
összefüggésből, ha
amplitúdókról az
-kre térünk át (65,10) alapján:
Definiáljuk a rugalmas szórás amplitúdóját úgy, hogy a
összefüggés teljesüljön (és
a kezdeti és végső impulzusok irányai;
és
a kezdeti és végső spinkvantumszámok). A (65,19)összefüggéssel valóösszehasonlítás szerint
és a (72,4) unitaritási feltétel
így
alakú, amely általánosítja a jól ismert nemrelativisztikus III. (125,8)
képletet.
A rugalmas előreszórás amplitúdójának a diagonális mátrixelemet hívják, amelyben a végállapot a kezdetivel
megegyezik.[249] Erre az amplitúdóra a (72,2) unitaritási
feltétel
alakú. Az összefüggés jobb oldala csak szorzótényezőben különbözik azösszes
lehetséges, az adott kezdeti állapotból kiinduló folyamat teljes hatáskeresztmetszetétől,
amelyet
jelölünk. Valóban a (65,5)
valószínűséget az
állapotok szerint összegezve és a
áramsűrűséggel osztva, azt kapjuk, hogy
azaz
A normálási térfogat eltűnik, ha a (
,
a tömegközépponti rendszerbeli részecskeenergiák) helyettesítést
elvégezzük, és
-t (65,17)-ből behelyettesítjük:
Ez a képlet fejezi ki az ún. optikai tétel tartalmát. Ha bevezetjük a rugalmas szórás (72,6) amplitúdóját, akkor a tétel a szokásos alakját
ölti:
[vö. III. (142,10)].
Ha az -mátrix impulzusmomentum-reprezentációban adott (parciális
amplitúdókkal), akkor
-beli diagonalitása miatt az unitaritási feltétel
minden értékére külön-külön írható fel.
Így, ha csak rugalmas szórás lehetséges, az unitaritási feltétel alakja a következő:
A -invariancia következtében a rugalmas szórás mátrixa szimmetrikus
[vö. (70,10)],így diagonalizálható. Ezután az
unitaritási feltétel egységnyi abszolút értékű diagonális mátrixelemeket követel meg;
ezeket szokás
alakban írni, ahol valós állandók, az energia függvényei (az
index pedig adott
-re a diagonális elemeket számozza). Általában, mikor a független
amplitúdók
száma nagyobb, mint az
négyzetes mátrix rangja, a diagonalizálást végrehajtó transzformációs
együtthatók
és
függvényei (ezek az együtthatók az
mátrix főértékeivel együtt a kiinduló
mennyiséggel ekvivalens független mennyiséget is tartalmazzák).
Ha
megegyezik
rangjával (és vele a főértékek számával), akkor a transzformációs
együtthatók univerzálisak. Ekkor a diagonalizált állapotok határozott paritásúak (de
természetesen már nem határozott helicitásúak).
A (72,11) feltételt parciális amplitúdókkal kifejezve:
amiről könnyen meggyőződhetünk, ha (72,7)-be a (69,13) kifejtést
behelyettesítjük, és a -függvények ortonormáltságát figyelembe vesszük.
-invariancia esetén a
mátrixelem szimmetrikus, és (72,13)így az
alakot ölti. Ha a mátrixot diagonalizáltuk, akkor diagonális elemei
alakúak.
Végül rámutatunk az unitaritás és a -invariancia követelményei közös
alkalmazásának néhány következményére. Ez utóbbi értelmében
ahol az és
állapotok
-től és
-től az összes részecske antirészecskéjével való helyettesítésében
(valamint az impulzusmomentum-vektorok változatlan impulzusok melletti előjelváltásában)
különböznek. Speciálisan, a diagonális mátrixelemekre
(72,8) vagy (72,9) következményeként az összes lehetséges reakció teljes hatáskeresztmetszete részecskékkel vagy antirészecskéikkel elvégezve azonosnak adódik.
Speciálisan, részecske és antirészecske teljes bomlási valószínűsége (azaz
élettartama) megegyezik. Ezek az eredmények (a részecske és antirészecske tömegének a
11. §-ban megfogalmazott egyenlőségével) a
kölcsönhatások -invarianciájának legfontosabb eredményei. Emlékeztetünk (70. § vége), hogy ez az állítás a bomlás minden egyes
csatornájára akkor igaz külön-külön, ha a
-invarianciát megköveteljük.
Az unitaritási feltételből kiindulva adjuk meg a pionok nukleonokon történő
fotokeltése és a rugalmas
-szórás
parciális amplitúdói fázisainak összefüggését; ennek során vegyük
figyelembe, hogy a
-szórás erős, a fotokeltés és a
-szórás elektromágneses folyamat.
Megoldás. Jelöljük a parciális amplitúdókat a következőképpen:
(a indexeit és a helicitásindexeket elhagytuk). A fotokeltés az
töltésben első-, a
-szórás másodrendű folyamat; így
,
. Az
amplitúdó nem tartalmaz kis paramétert. A
tagok pontosságáig a (72,1)
feltétel az
összefüggéseket adja [(72,2f) jobb oldalán az
egységet mint a spinváltozók szerinti egységmátrixot kell tekinteni]. A
-invariancia következtében
szimmetrikus mátrix, viszont
. Válasszuk az
mátrixot diagonálisnak, azaz a határozott paritású pionállapotokra
vonatkozónak. Ekkor (72,2f)-ből következik, hogy
a diagonális elemek
alakúak, különböző
állandókkal. Ezután (72,1f)-ből
azt kapjuk, hogy az
mátrix minden elemére
ahonnan
Tehát a fotokeltés (határozott paritású állapoté) parciális
amplitúdójának fázisát a rugalmas -szórás fázisa határozza meg.
[247] A szimbólum konkrét jelentése (72,1)-ben a kvantumszámok konkrét megválasztásától és a rendszer
hullámfüggvényének normálásától függ. Úgy kell definiálnunk, hogy
teljesüljön.
[248] Ha az unitaritási feltételt alakban írjuk (azaz az
és
tényezők sorrendjét felcserélve), akkor (72,2)
alakban írható.
[249] Hangsúlyozzuk, hogy a -mátrix elemeiről és nem
-érél van szó, azaz a diagonális elemet az
-mátrixból az egységmátrixot levonva vesszük.