ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

75.§. A fotonszórás Feynman-diagramjai

A következőkben egy másik másodrendű folyamatot vizsgálunk – foton szóródását elektronon (Compton-effektus ). Legyen a kezdeti állapotban levő foton és elektron négyesimpulzusa és , a végállapotban és (legyen a polarizáció is adott, ezt a rövidség kedvéért nem írjuk ki).

A foton-mátrixelem

8.32. egyenlet - (75,1)

⟨ 2 ∣ T (A_{μ} (x) A_{ν} (x^{'})) ∣ 1 ⟩ = ⟨ 0 ∣ c_{2} T (A_{μ} (x) A_{ν} (x^{'})) c_{1}^{+} ∣ 0 ⟩,

A külső és belső operátorokat párosítva kapjuk, hogy

8.33. egyenlet - (75,2)

() =

(figyelembe vettük, hogy a és operátorok felcserélhetők egymással; ugyanezért az adott esetben a operáció elhagyható).

Az elektron-mátrixelem

8.34. egyenlet - (75,3)

⟨ 2 ∣ T (j^{μ} (x) j^{ν} (x^{'})) ∣ 1 ⟩ = ⟨ 0 ∣ a_{2} T [(\bar{Ψ} γ^{μ} Ψ) ({\bar{Ψ}}^{'} γ^{ν} Ψ^{'})] a_{1}^{+} ∣ 0 ⟩ .

Benne négy -operátor szerepel. Közülük kettő az a1+ és operátorokkal párosítva, eltünteti az és kelti a elektront. Ez a kettő vagy a Psī′ és , vagy a és ; (nem lehet azonban a és vagy a és Ψ̄′ : két valódi elektron és egy valódi foton keltése és eltüntetése ugyanazon vagy pontban nem lehetséges). A párosítást kétféleképpen végezhetjük, (75,3)-ban két tagot kapunk; ezeket először a t>t′ feltevés mellett írjuk le:

8.35. egyenlet - (75,4)

() =

Az első tagban a párosított operátorok:

Mivel az a2a2+ és a1a1+ operátorok diagonálisak, és a szorzat két szélén állnak, ezért vákuumbeli várható értékükkel, azaz -gyel helyettesíthetők. Hasonló célból (75,4) második tagjában először az a2+ operátort balra, az operátort jobbra szeretnénk „átvinni”. Ezt az , ap+ operátorok közötti felcserélési törvények segítségével tehetjük meg, amelyek következtében

8.36. egyenlet - (75,5)

\begin{matrix} \begin{aligned} {a_{p}, Ψ}_{+} & = {a_{p}^{+}, \bar{Ψ}}_{+} = 0 \\ {a_{p}, \bar{Ψ}}_{+} & = {\bar{ψ}}_{p}, {a_{p}^{+}, Ψ}_{+} = ψ_{p} . \end{aligned} & (75,5) \end{matrix}

Így kapjuk a (75,4) kifejezés végső alakját:

8.37. egyenlet - (75,6)

⟨ 0 ∣ ({\bar{ψ}}_{2} γ^{μ} Ψ) ({\bar{Ψ}}^{'} γ^{ν} Ψ_{1}^{'}) - (\bar{Ψ} γ^{μ} ψ_{1}) ({\bar{ψ}}_{2}^{'} γ^{ν} Ψ^{'}) ∣ 0 ⟩, t > t^{'}

(magától értetődően csak az operátortényezőkre vonatkozik a várhatóérték). Hasonló kifejezést kapunk t<t′ -re is, csak a vesszős és vesszőtlen -kés a , indexek vannak felcserélve:

8.38. egyenlet - (75,7)

⟨ 0 ∣ - ({\bar{Ψ}}^{'} γ^{ν} ψ_{1}^{'}) ({\bar{ψ}}_{2} γ^{μ} Ψ) + ({\bar{ψ}}_{2}^{'} γ^{ν} Ψ^{'}) (\bar{Ψ} γ^{μ} ψ_{1}) ∣ 0 ⟩, t < t^{'} .

(75,6)és (75,7) felírható egyetlen kifejezésben, ha bevezetjük a -operátorok időrendezett szorzatát a

8.39. egyenlet - (75,8)

T Ψ_{i} (x) {\bar{Ψ}}_{k} (x^{'}) = \{\begin{matrix} Ψ_{i} (x) {\bar{Ψ}}_{k} (x^{'}), & h a & t^{'} < t; \\ - {\bar{Ψ}}_{k} (x^{'}) Ψ_{i} (x), & h a & t^{'} > t \end{matrix}

definíció szerint (, bispinor indexek). Így (75,6)és (75,7) együttesen:

8.40. egyenlet - (75,9)

{\bar{ψ}}_{2} γ^{μ} ⟨ 0 ∣ T Ψ \cdot {\bar{Ψ}}^{'} ∣ 0 ⟩ γ^{ν} ψ_{1}^{'} + {\bar{ψ}}_{2}^{'} γ^{ν} ⟨ 0 ∣ T Ψ^{'} \cdot \bar{Ψ} ∣ 0 ⟩ γ^{μ} ψ_{1}

( Ψ⋅Ψ̄ a ΨiΨ̄k mátrixot jelöli).

Vegyük észre, hogy a természetes módon adódó (75,8) definícióban az operátorok szorzata a t>t′ és t>t′ esetben ellentétes előjelű. Ez a különbség ahhoz a -szorzat definícióhoz képest, melyet az és operátorokra alkalmaztunk. A különbség abból adódik, hogy a , fermionoperátorok a fénykúpon kívül antikommutálnak (ellentétben a felcserélhető bozonoperátorokkal és a j=Ψ̄γΨ bilineáris operátorokkal).^[259] Ez biztosítja a (75,8) definíció relativisztikus invarianciáját (a -operátorok felcserélési szabályainak formális bizonyítását a 76. §-ban adjuk).^[260]

Bevezetjük az elektronok terjedési függvényét (vagy elektronpropagátort ) – a másodrendű Gik(x–x′) bispinort – a

8.41. egyenlet - (75,10)

G_{i k} (x - x^{'}) = - i ⟨ 0 ∣ T Ψ_{i} (x) {\bar{Ψ}}_{k} (x^{'}) ∣ 0 ⟩

definíció szerint.

Ezzel az elektron-mátrixelem a következő alakban írható:

8.42. egyenlet - (75,11)

⟨ 2 ∣ {T j}^{μ} (x) j^{ν} (x^{'}) ∣ 1 ⟩ = i {\bar{ψ}}_{2} γ^{μ} G γ^{ν} ψ_{1}^{'} + i {\bar{ψ}}_{2}^{'} γ^{ν} G γ^{μ} ψ_{1} .

A (75,1) foton-mátrixelemmel szorozva és d4xd4x′ szerint integrálva, (75,11) mindkét tagja ugyanazt az eredményt adja, így

8.43. egyenlet - (75,12)

\times γ^{ν} ψ_{1} (x^{'}) {A_{2 μ}^{*} (x) A_{1 ν} (x^{'}) + A_{2 ν}^{*} (x^{'}) A_{1 μ} (x)} .

Az elektron - és foton -hullámfüggvények helyébe a (65,8), (65,9) síkhullámokat helyettesítve és a -függvényt (74,10)-hez hasonlóan leválasztva, a szórásamplitúdó végső alakjára az

8.44. egyenlet - (75,13)

M_{f i} = - 4 π e^{2} ū_{2} {ê_{2}^{*} G (p_{1} + k_{1}) ê_{1} + ê_{1} G (p_{1} - k_{2}) ê_{2}^{*}} u_{1}

kifejezést kapjuk, ahol , a fotonok polarizációs négyesvektorai, G(p) pedig az elektronpropagátor, impulzusreprezentációban .

A kifejezés két tahja a következő két Feynman-diagrammal szemléltethető:

8.45. egyenlet - (75,14)

A diagramok szaggatottan rajzolt szabad végei a valódi fotonoknak felelnek meg; a befutó vonalhoz (kezdeti foton) √(4π)e -re, a kifutó vonalhoz (végső foton) √(4π)e∗ szorzótényező tartozik, ahol a polarizáció négyesvektora. Az első diagramban a kezdeti állapot elektronja és fotonja együtt abszorbeálódik, a végállapot elektronja és fotonja együtt emittálódik.A második diagramban a végső foton emissziója és a kezdeti elektron eltűnése, valamint a kezdeti foton eltűnése és a végső elektron emiszsziója történik egyszerre.

A (két csúcsot összekötő) belső folytonos vonal virtuális elektronnak felel meg, négyesimpulzusa meghatározott, mert a csúcsokban a négyesimpulzus megmarad. Ehhez a vonalhoz az iG(f) ) tényező tartozik. Valódi részecskétől eltérően a virtuális elektron négyesimpulzusának négyzete nem egyenlő -tel. Az invariáns mennyiséget kiszámíthatjuk például az elektron nyugalmi rendszerében, és könnyen láthatjuk, hogy

8.46. egyenlet - (75,15)

f^{2} = {(p_{1} + k_{1})}^{2} > m^{2}, f^{' 2} = {(p_{1} - k_{2})}^{2} < m^{2} .

^[259] Emlékeztetünk, hogy a -operátorok nem felelnek meg fizikailag mérhető mennyiségeknek, ezért nem kell, hogy a fénykúpon kívül felcserélhetők legyenek.

^[260] Hasonló módon definiálható tetszőleges számú -operátor -szorzata. Ez az operátorok olyan sorrendben vett szorzata, ahol az időváltozó értéke jobbról balra nő; az előjelet az szabja meg, hogy a felcserélések száma, melyekkel ez a sorrend az eredetiből elérhető, páros vagy páratlan. Ennek megfelelően a -szorzat előjele megváltozik, ha tetszőleges két -operátort felcserélünk, például: TΨi(x)Ψ̄k(x′)=–TΨ̄k(x′)Ψi(x) .