Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A következőkben egy másik másodrendű folyamatot vizsgálunk – foton szóródását
elektronon (Compton-effektus ). Legyen a kezdeti állapotban levő foton és elektron
négyesimpulzusa és
, a végállapotban
és
(legyen a polarizáció is adott, ezt a rövidség kedvéért nem írjuk ki).
A külső és belső operátorokat párosítva kapjuk, hogy
(figyelembe vettük, hogy a és
operátorok felcserélhetők egymással; ugyanezért az adott esetben a
operáció elhagyható).
Benne négy -operátor szerepel. Közülük kettő az
és
operátorokkal párosítva, eltünteti az
és kelti a
elektront. Ez a kettő vagy a
és
, vagy a
és
; (nem lehet azonban a
és
vagy a
és
: két valódi elektron és egy valódi foton keltése és eltüntetése
ugyanazon
vagy
pontban nem lehetséges). A párosítást kétféleképpen végezhetjük, (75,3)-ban két tagot kapunk; ezeket először a
feltevés mellett írjuk le:
Az első tagban a párosított operátorok:
Mivel az és
operátorok diagonálisak, és a szorzat két szélén állnak, ezért
vákuumbeli várható értékükkel, azaz
-gyel helyettesíthetők. Hasonló célból (75,4) második tagjában először az
operátort balra, az
operátort jobbra szeretnénk „átvinni”. Ezt az
,
operátorok közötti felcserélési törvények segítségével tehetjük meg,
amelyek következtében
Így kapjuk a (75,4) kifejezés végső
alakját:
(magától értetődően csak az operátortényezőkre vonatkozik a várhatóérték).
Hasonló kifejezést kapunk -re is, csak a vesszős és vesszőtlen
-kés a
,
indexek vannak felcserélve:
(75,6)és (75,7)
felírható egyetlen kifejezésben, ha bevezetjük a -operátorok időrendezett szorzatát a
definíció szerint (,
bispinor indexek). Így (75,6)és (75,7) együttesen:
( a
mátrixot jelöli).
Vegyük észre, hogy a természetes módon adódó (75,8) definícióban az operátorok szorzata a és
esetben ellentétes előjelű. Ez a különbség ahhoz a
-szorzat definícióhoz képest, melyet az
és
operátorokra alkalmaztunk. A különbség abból adódik, hogy a
,
fermionoperátorok a fénykúpon kívül
antikommutálnak (ellentétben a felcserélhető
bozonoperátorokkal és a
bilineáris operátorokkal).[259] Ez biztosítja a (75,8) definíció
relativisztikus invarianciáját (a
-operátorok felcserélési szabályainak formális bizonyítását a 76. §-ban adjuk).[260]
Bevezetjük az elektronok terjedési függvényét (vagy
elektronpropagátort ) – a másodrendű bispinort – a
definíció szerint.
Ezzel az elektron-mátrixelem a következő alakban írható:
A (75,1) foton-mátrixelemmel szorozva és szerint integrálva, (75,11)
mindkét tagja ugyanazt az eredményt adja, így
Az elektron - és foton -hullámfüggvények helyébe a (65,8), (65,9) síkhullámokat helyettesítve
és a -függvényt (74,10)-hez hasonlóan
leválasztva, a szórásamplitúdó végső alakjára az
kifejezést kapjuk, ahol ,
a fotonok polarizációs négyesvektorai,
pedig az elektronpropagátor, impulzusreprezentációban .
A kifejezés két tahja a következő két Feynman-diagrammal szemléltethető:
A diagramok szaggatottan rajzolt szabad végei a valódi fotonoknak felelnek meg; a befutó
vonalhoz (kezdeti foton) -re, a kifutó vonalhoz (végső foton)
szorzótényező tartozik, ahol
a polarizáció négyesvektora. Az első diagramban a kezdeti állapot
elektronja és fotonja együtt abszorbeálódik, a végállapot elektronja és fotonja együtt
emittálódik.A második diagramban a végső foton emissziója és a kezdeti elektron
eltűnése, valamint a kezdeti foton eltűnése és a végső elektron emiszsziója történik
egyszerre.
A (két csúcsot összekötő) belső folytonos vonal virtuális elektronnak felel meg, négyesimpulzusa
meghatározott, mert a csúcsokban a négyesimpulzus megmarad. Ehhez a vonalhoz az
) tényező tartozik. Valódi részecskétől eltérően a virtuális elektron
négyesimpulzusának négyzete nem egyenlő
-tel. Az
invariáns mennyiséget kiszámíthatjuk például az elektron nyugalmi
rendszerében, és könnyen láthatjuk, hogy
[259] Emlékeztetünk, hogy a -operátorok nem felelnek meg fizikailag mérhető mennyiségeknek,
ezért nem kell, hogy a fénykúpon kívül felcserélhetők legyenek.
[260] Hasonló módon definiálható tetszőleges számú -operátor
-szorzata. Ez az operátorok olyan sorrendben vett szorzata, ahol
az időváltozó értéke jobbról balra nő; az előjelet az szabja meg, hogy a
felcserélések száma, melyekkel ez a sorrend az eredetiből elérhető, páros vagy
páratlan. Ennek megfelelően a
-szorzat előjele megváltozik, ha tetszőleges két
-operátort felcserélünk, például:
.