ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

77.§. A fotonpropagátor

Az elektromágneses tér operátorainak explicit alakját mindeddig (43. § és 75. §) csak olyan mátrixelemek kiszámításához használtuk, ahol a valódi fotonok száma változott. Erre a célra megfelelt a szabad tér potenciáljainak a 2. §-ban megadott, transzverzális síkhullámok szerint kifejtett alakja.

Ez az alak azonban nem adja tetszőleges tér teljes leírását. Ez már a klasszikus elektrodinamikában fellépő analóg helyzet alapján is érthető: tetszőleges tér (töltések jelenlétében) nem fejthető ki transzverzális hullámok szerint; a transzverzális rész mellett (amit a divA=0 feltételt kielégítő vektorpotenciál ír le) sztatikus Coulomb-kölcsönhatás is létezik, amit a skalárpotenciál ír le.^[263]

Lényegében tehát nem ismerjük az operátor teljes definícióját, enélkül pedig nem tudjuk kiszámítani a

8.69. egyenlet - (77,1)

D_{μ ν} (x - x^{'}) = i ⟨ 0 ∣ {T A}_{μ} (x) A_{ν} (x^{'}) ∣ 0 ⟩

fotonpropagátort . Másrészről azok az operátorok, amelyeket az elektromágneses tér teljes kvantált leírásához be kellene vezetnünk, a különböző mértékfeltételek következtében nem egyértelműek.

E nehézségek szerencsére csak formálisak, és nem fizikai jellegűek; felhasználva a propagátor néhány általános tulajdonságát, melyek jól láthatóan a relativisztikus invariancia és mértékinvariancia követelményéből adódnak, megkerülhetőek.

A ξ=x–x′ négyesvektortól függő, másodrendű négyestenzor legáltalánosabb alakja

8.70. egyenlet - (77,2)

D_{μ ν} (ξ) = g_{μ ν} D (ξ^{2}) - \partial_{μ} \partial_{ν} D^{(l)} (ξ^{2}),

ahol , D(l) az invariáns skalár függvényei.^[264] Megjegyezzük, hogy a tenzor automatikusan szimmetrikusnak adódik.

A megfelelő impulzusreprezentációbeli alak

8.71. egyenlet - (77,3)

D_{μ ν} (k) = D (k^{2}) g_{μ ν} + k_{μ} k_{ν} D^{(l)} (k^{2}),

ahol D(k2) , D(l)(k2) a D(ξ2) , D(l)(ξ2) függvények Fourier-transzformáltjai .

Fizikai mennyiségekben – szórásamplitúdó – a fotonpropagátor elektronáramokkal szorzott alakja, tehát a j21μDμνj43ν kombináció lép fel [lásd pl. (74,13)-at]. Az árammegmaradás ( ∂μjμ=0 ) következtében a j21=ψ̄2γψ1 áram-mátrixelem a

8.72. egyenlet - (77,4)

k_{μ} {(j^{μ})}_{21} = 0

feltételt elégíti ki, ahol k=p2–p1 [vö. (43,13)]. Így világos, hogy a

8.73. egyenlet - (77,5)

D_{μ ν} \to D_{μ ν} + ξ_{μ} k_{ν} + ξ_{ν} k_{μ}

helyettesítés során minden fizikai mennyiség változatlan marad, itt -nak és-nak tetszőleges függvénye. Ez az önkény Dμν megválasztásában a különböző mértékeknek felel meg.

Egy tetszőleges (77,5) mértéktranszformáció megsértheti Dμν (77,3)-ban feltételezett relativisztikus invarianciáját (akkor, ha nem négyesvektor). De ettől eltekintve is látható, hogy (77,3)-ban a D(l)(k2) függvény megválasztása teljesen önkényes; a fizikai eredményekre nincs hatása:^[265]

A propagátorfüggvény kiszámítása tehát egyetlen mértékinvariáns D(k2) függvény meghatározására vezethető vissza. Legyen értéke adott, és mutasson a tengely irányába, ekkor a (77,5) transzformáció során a Dxx=Dyy=D(k2) komponensek nem változnak. Elegendő tehát az egyetlen Dxx komponenst kiszámítanunk, és emellett a potenciálokra tetszőleges mértéket használhatunk.

Azt a mértéket használjuk, melyben divA=0 , az operátort a (2,17), (2,18) összeg adja meg:

8.74. egyenlet - (77,6)

A = \sum_{k α} \sqrt{\frac{2 π}{ω}} (c_{k α} e^{(α)} e^{- i k x} + c_{k α}^{+} e^{(α) *} e^{i k x}), ω = | k |

( α=1,2 a polarizációt jelöli). A , operátorok szorzatai közül csak egynek a vákuumbeli várhatóértéke nem tűnik el: ⟨0∣ckαckα+∣0⟩=1 . A (77,1) definíció szerint ezért

8.75. egyenlet - (77,7)

D_{i k} (ξ) = \frac{1}{{(2 π)}^{3}} \int \frac{2 π i d^{3} k}{ω} (\sum_{α} e_{i}^{(α)} e_{k}^{(α) *}) e^{- i ω | τ | + i k ξ}

[ i,k=x,y,z hármasvektorindexek, a szerinti összegezést d3k∕(2π)3 szerinti integrálra írtuk át].

(77,7)-ből látható, hogy az integrandus, az eikξ tényezőt nem számítva, a Dik(r,t) függvény háromdimenziós Fourier-transzformáltja . A Dxx=–D komponensre ez

(a polarizációs összeg ∑|dxα|2=1 ). Dxx(k2) meghatározásához még az szükséges, hogy ezt idő szerinti Fourier-integrál alakban írjuk fel. Ez megtehető a

(2π/ω)e–iω|τ|=–(1/2π)∫–∞∞(4π/k02–k2+i0)e–ik0τdk0

képlet segítségével. Az előző szakaszban tisztáztuk, hogy az integrálás során a

k 0=±|k|±ω pólusokat megfelelően felül, ill. alul kell megkerülni; τ>0 esetén az integrált a k0=+ω , τ<0 esetén a k0=–ω pólus reziduuma határozza meg.

A következő végeredményt kapjuk:

8.76. egyenlet - (77,8)

D (k^{2}) = \frac{4 π}{k^{2} + i 0} .

A nevezőben automatikusan megjelenő +i0 megfelel a (76,15) szabálynak: a foton (zérus) tömegéből -t ki kell vonni. (77,8)-ból nyilvánvaló, hogy a megfelelő D(ξ2) koordinátatérbeli függvény kielégíti a

8.77. egyenlet - (77,9)

- \partial_{μ} \partial^{μ} D (x - x^{'}) = 4 π δ^{(4)} (x - x^{'})

egyenletet, azaz a hullámegyenlet Green-függvénye .

Általában a D(l)=0 feltevéssel fogunk dolgozni, tehát a terjedési függvényt a

8.78. egyenlet - (77,10)

D_{μ ν} = g_{μ ν} D (k^{2}) = \frac{4 π}{k^{2} + i 0} g_{μ ν}

alakban használjuk.

Bemutatunk más mértékválasztási lehetőségeket is, amelyek bizonyos alkalmazásokban hasznosnak bizonyulhatnak.

Legyen D(l)=–D∕k2 , ekkor a propagátor

8.79. egyenlet - (77,11)

D_{μ ν} = \frac{4 π}{k^{2}} (g_{μ ν} - \frac{k_{μ} k_{ν}}{k^{2}})

(Landau-mérték) . Fennáll, hogy Dμνkν=0 . Ez a választás a potenciálokra vonatkozó Lorentz-mértékkel analóg ( Aμkμ=0 ).^[266]

A potenciálra vonatkozó háromdimenziós divA=0 feltétel a propagátorra nézve a Dilkl=0 , D0lkl=0 feltételekkel ekvivalens. A Dxx=–D=–4π∕k2 egyenlettel együtt ezek a

8.80. egyenlet - (77,12)

D_{i l} = - \frac{4 π}{ω^{2} - k^{2}} (δ_{i l} - \frac{k_{i} k_{l}}{k^{2}})

alakban írhatók. Hogy ilyen alakot kapjunk, ahhoz a (77,10) propagátoron egy (77,5) típusú transzformációt kell végezni a

χ0=–(4πω/(ω2–k2)k2), χi=(4πki/(ω2–k2)k2)

választással. Ekkor Dμν további komponensei:

8.81. egyenlet - (77,13)

D_{00} = - \frac{4 π}{k^{2}}, D_{0 i} = 0 .

Ezt Coulomb-mértéknek hívjuk (E. Salpeter , 1952); megjegyezzük, hogy D00 most a Coulomb-potenciál Fourier-transzformáltja .

Végül az a mérték, melyben Φ=0 megfelel a propagátorra vonatkozó olyan mértéknek, amelyben

8.82. egyenlet - (77,14)

D_{i l} = - \frac{4 π}{ω^{2} - k^{2}} (δ_{i l} - \frac{k_{i} k_{l}}{ω^{2}}), D_{0 i} = D_{00} = 0 .

Nemrelativisztikus feladatokhoz ez a választás alkalmas (I. E. Dzjalosinszkij ,L. P. Pitajevszkij , 1959).

^[263] A divA=0 feltétel mellett az -ra és -re érvényes Maxwell-egyenletek: □A=–4πj+∇(∂Φ/∂t), ΔΦ=–4πϱ A kifejthető transzverzális hullámok (a homogén egyenlet megoldásai) szerint. A potenciál a sztatikus Poisson-egyenletet elégíti ki.

^[264] Mindkettő három különböző függvényt jelent, melyek Lorentz-transzformációval nem vihetők át egymásba: a fénykúpon kívül ( ξ2<0 ), az előre fénykúp ( ξ2>0 , ξ0>0 ) és a hátra fénykúp ( ξ2>0 , ξ0<0 ) belsejében.

^[265] Erre a tényre L. D. Landau mutatott rá először (1954).

^[266] Hasonló alakú az spinű, nemzérus tömegű részecskék propagátora: Dμν=(1/k2–m2)(gμν–(kμkν/m2)), (77,11a) itt a propagátor egyértelmű, nem lehet különböző mértékeket választani. A (77,11a) propagátor tenzorszerkezete ekkor, mint az elvárható, megegyezik a polarizálatlan vektorrészecskék (14,15) sűrűségmátrixával.