Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Az elektromágneses tér operátorainak explicit alakját mindeddig (43. § és 75. §) csak
olyan mátrixelemek kiszámításához használtuk, ahol a valódi fotonok száma változott.
Erre a célra megfelelt a szabad tér potenciáljainak a 2. §-ban megadott, transzverzális síkhullámok szerint kifejtett
alakja.
Ez az alak azonban nem adja tetszőleges tér teljes leírását. Ez már a klasszikus
elektrodinamikában fellépő analóg helyzet alapján is érthető: tetszőleges tér (töltések
jelenlétében) nem fejthető ki transzverzális hullámok szerint; a transzverzális rész
mellett (amit a feltételt kielégítő
vektorpotenciál ír le) sztatikus Coulomb-kölcsönhatás is létezik, amit
a
skalárpotenciál ír le.[263]
Lényegében tehát nem ismerjük az operátor teljes definícióját, enélkül pedig nem tudjuk kiszámítani a
fotonpropagátort . Másrészről azok az
operátorok, amelyeket az elektromágneses tér teljes kvantált leírásához be kellene
vezetnünk, a különböző mértékfeltételek következtében nem egyértelműek.
E nehézségek szerencsére csak formálisak, és nem fizikai jellegűek; felhasználva a propagátor néhány általános tulajdonságát, melyek jól láthatóan a relativisztikus invariancia és mértékinvariancia követelményéből adódnak, megkerülhetőek.
A négyesvektortól függő, másodrendű négyestenzor legáltalánosabb alakja
ahol ,
az invariáns
skalár függvényei.[264] Megjegyezzük, hogy a tenzor automatikusan szimmetrikusnak adódik.
A megfelelő impulzusreprezentációbeli alak
ahol ,
a
,
függvények Fourier-transzformáltjai .
Fizikai mennyiségekben – szórásamplitúdó – a
fotonpropagátor elektronáramokkal szorzott alakja, tehát a kombináció lép fel [lásd pl. (74,13)-at]. Az árammegmaradás (
) következtében a
áram-mátrixelem a
feltételt elégíti ki, ahol [vö. (43,13)]. Így világos, hogy a
helyettesítés során minden fizikai mennyiség változatlan marad, itt
-nak és
-nak tetszőleges függvénye. Ez az önkény
megválasztásában a különböző mértékeknek felel meg.
Egy tetszőleges (77,5) mértéktranszformáció megsértheti (77,3)-ban feltételezett
relativisztikus invarianciáját (akkor, ha
nem négyesvektor). De ettől eltekintve is látható, hogy (77,3)-ban a
függvény megválasztása teljesen önkényes; a fizikai eredményekre nincs
hatása:[265]
A propagátorfüggvény kiszámítása tehát
egyetlen mértékinvariáns függvény meghatározására vezethető vissza. Legyen
értéke adott, és mutasson a
tengely
irányába, ekkor a (77,5)
transzformáció során a
komponensek nem változnak. Elegendő tehát az egyetlen
komponenst kiszámítanunk, és emellett a potenciálokra tetszőleges
mértéket használhatunk.
Azt a mértéket használjuk, melyben , az
operátort a (2,17), (2,18) összeg adja meg:
( a polarizációt jelöli). A
,
operátorok szorzatai közül csak egynek a vákuumbeli várhatóértéke nem
tűnik el:
. A (77,1) definíció szerint
ezért
[ hármasvektorindexek, a
szerinti összegezést
szerinti integrálra írtuk át].
(77,7)-ből látható, hogy az integrandus, az
tényezőt nem számítva, a
függvény háromdimenziós Fourier-transzformáltja . A
komponensre ez
(a polarizációs összeg ).
meghatározásához még az szükséges, hogy ezt idő szerinti
Fourier-integrál alakban írjuk fel. Ez megtehető a
képlet segítségével. Az előző szakaszban tisztáztuk, hogy az integrálás során a
pólusokat megfelelően felül, ill. alul kell megkerülni;
esetén az integrált a
,
esetén a
pólus reziduuma határozza meg.
A következő végeredményt kapjuk:
A nevezőben automatikusan megjelenő megfelel a (76,15) szabálynak: a
foton (zérus) tömegéből
-t ki kell vonni. (77,8)-ból
nyilvánvaló, hogy a megfelelő
koordinátatérbeli függvény kielégíti a
egyenletet, azaz a hullámegyenlet Green-függvénye .
Általában a feltevéssel fogunk dolgozni, tehát a terjedési függvényt a
alakban használjuk.
Bemutatunk más mértékválasztási lehetőségeket is, amelyek bizonyos alkalmazásokban hasznosnak bizonyulhatnak.
(Landau-mérték) . Fennáll, hogy . Ez a választás a potenciálokra vonatkozó Lorentz-mértékkel analóg
(
).[266]
A potenciálra vonatkozó háromdimenziós feltétel a propagátorra nézve a
,
feltételekkel ekvivalens. A
egyenlettel együtt ezek a
alakban írhatók. Hogy ilyen alakot kapjunk, ahhoz a (77,10) propagátoron egy (77,5) típusú transzformációt kell végezni a
választással. Ekkor további komponensei:
Ezt Coulomb-mértéknek hívjuk
(E. Salpeter , 1952); megjegyezzük, hogy most a Coulomb-potenciál Fourier-transzformáltja .
Végül az a mérték, melyben megfelel a propagátorra vonatkozó olyan mértéknek, amelyben
Nemrelativisztikus feladatokhoz ez a választás alkalmas
(I. E. Dzjalosinszkij ,L. P. Pitajevszkij , 1959).
[263] A feltétel mellett az
-ra és
-re érvényes Maxwell-egyenletek:
A kifejthető transzverzális hullámok (a
homogén egyenlet megoldásai) szerint. A
potenciál a sztatikus Poisson-egyenletet elégíti ki.
[264] Mindkettő három különböző függvényt jelent, melyek
Lorentz-transzformációval nem vihetők át
egymásba: a fénykúpon kívül (), az előre fénykúp (
,
) és a hátra fénykúp (
,
) belsejében.
[265] Erre a tényre L. D. Landau mutatott rá először (1954).