Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A 74. § és 75. §-ban néhány egyszerű esetben kiszámítottuk a szórásmátrix elemeit. A számítás az általános módszer minden lényeges lépését tartalmazta. Nem okoz nehézséget, hogy megfelelő általánosításokkal megállapítsuk a mátrixelemek kiszámítására vonatkozó általános szabályokat a perturbációszámítás tetszőleges rendjében.
Már láttuk, hogy az szórásoperátor mátrixeleme tetszőleges kezdeti és végállapot között
megegyezik annak az operátornak vákuumbeli várható értékével, melyet úgy kapunk, hogy
-et jobbról a kezdeti állapotban levő részecskék keltő, balról a
végállapotokban levő részecskék eltüntető operátoraival szorozzuk.
Ilyen redukció után az -mátrix eleme a perturbációszámítás
-edik rendjében a következő:
[az indexek a kezdeti részecskéket (pozitronokat, elektronokat és
fotonokat külön-külön), az
indexek a végső részecskéket jelölik; a
és
operátorok
indexeinek jelentése:
]. Az itt szereplő
és
operátorok a különbözőállapotban levő részecskék keltőés eltüntető
operátorainak lineáris kombinációi. Tehát olyan kifejezés vákuumbeli várhatóértékét kell
kiszámítanunk, amely keltőés eltüntető operátoroknakés azok lineáris kombinációinak
szorzata. Ehhez a következőállítások nyújtanak segítséget, az állítások adják a
Wick-tétel tartalmát (G. C. Wick ,
1950).
1. Tetszőleges számú ,
bozonoperátor szorzatának vákuumbeli
várható értékét úgy számíthatjuk ki, hogy a párosított operátorok vákuumbeli várható
értékeit összeszorozzuk, és összegezünk a lehetséges párosításokra (kontrakció). A
párokon belül a tényezők sorrendje ugyanaz, mint az eredeti szorzatban.
2. ,
,
,
fermionoperátorokra (azonos vagy
különböző részecskékre) a szabály annyiban változik, hogy az összeg egyes tagjainak
előjele
vagy
aszerint, hogy páros vagy páratlan számú felcseréléssel lehet az
operátorpárok tényezőit egymás mellé hozni.
Világos, hogy a várható érték csak abban az esetben különbözik nullától, ha minden
,
,
tényező mellett a szorzat az
,
,
tényezőket is tartalmazza. Továbbá csak olyan
operátorok párosíthatók, amelyek azonos állapotokra vonatkoznak; az
operátornak
-tól jobbra kell állnia: egy részecskét előbb kell kelteni, csak aztán
lehet eltüntetni (
).
Ha a szorzatban minden pár csak egyszer fordul elő, akkor Wick tétele nyilvánvaló (a várható
érték ekkor egyetlen tagból áll). Azonnal következik abban az esetben is, ha az összes
,
,
eltüntető operátor a szorzatban az
,
,
keltő operátoroktól jobbra helyezkedik el (ezt hívják
normálszorzatnak) ; a várható érték
ekkor nulla. Ezekből kiindulva teljes indukcióval könnyen igazolható a tétel az
általános esetben is, mikor egy operátorpár többször (
-szor) lép fel a szorzatban.
Vizsgáljuk a várható értékét; tegyük fel, hogy a
,
bozonoperátorpár
-szor fordul elő (a további meggondolások teljesen hasonlóan mondhatók
el fermionoperátorokra). Valamelyik párban felcseréljük a
,
operátorokat, a felcserélési törvények szerint
A várhatóérték
operátorpárt tartalmaz, feltettük, hogy erre a Wick-tétel érvényes.
Másrészt a Wick-tétel szerint a
várhatóérték a
várhatóértéktől a
tagban különbözik ( kifejtésében a megfelelő tag
). Ezért (78,2)-ből következik, hogy
ha a tétel a
mátrixelemre érvényes, akkor az marad
és
felcserélése után is. Mivel a tényezők egy meghatározott sorrendjére
(normálszorzat) érvényes a tétel, ezért tetszőleges esetben is az.[267]
Ha a Wick-tétel az operátorok szorzatára igaz, akkor igaz tetszőleges szorzatra is, amely
mellett azok
,
lineáris kombinációit is tartalmazza. A tételt a (78,1) mátrixelemre alkalmazva, azt összegként
állíthatjuk elő, melynek minden tagja néhány operátorpár várható értékének szorzata. Az
utóbbiak között előfordulnak majd a
operátorokból és a „külső” operátorokból – a kezdeti részecskék keltő vagy a végső részecskék eltüntető operátoraiból –
alkotott párok. Ezeket ki lehet fejezni a részecskék hullámfüggvényeivel :
ahol és
a
impulzusú foton és elektron hullámfüggvénye (a polarizációs indexeket
a 74. §és 75. §-hoz hasonlóan a rövidség kedvéért nemírjuk ki). Ugyancsak előfordulnak a
„belső”, a
-szorzaton belül álló operátorpárok. Mivel a Wick-tétel alkalmazása
során a tényezők egymás utáni sorrendje egy páron belül nem változik, e párokban az
operátorok sorrendje kronologikus lesz, és így éppen a megfelelő propagátorokhoz
vezetnek.[268]
A Wick-tétel segítségével összeggé átalakított mátrixelem
mindegyik tagjához egy meghatározott Feynman-diagram
tartozik. Az -edik közelítés diagramjai
vertexet tartalmaznak, mindegyikhez egy
integrációs változó tartozik – az
négyesvektorok valamelyike. Minden vertexben három vonal találkozik –
két folytonos (elektron) és egy szaggatott (foton), ezek ugyanattól az
változótól függő elektron- (
és
) és foton- (
) operátoroknak felelnek meg. A
operátorhoz befutó, a
-hez kifutó vonal tartozik.
Illusztrációként néhány példát mutatunk egy harmadrendű mátrixelem tagjai és a gráfok
közötti megfeleltetésre. Elhagyva az integráljelet, a szimbólumot és az operátorok argumentumait, a tagokat szimbolikusan a
következő alakban írjuk:
A szemléletesség kedvéért az elektron- és fotonpárokat, ugyanúgy, mint a
diagramon, folytonos és szaggatott ívekkel
jelöltük. Az elektroníveken levő nyíl (-tól
felé mutat) megfelel a gráfbeli irányításnak. A belső fotonpároknál az
irányítás lényegtelen (ami abból is kitűnik, hogy a fotonpropagátor
páros függvénye).
Az így kapott tagok között vannak egymással ekvivalensek, ezek csak annyiban
különböznek, hogy az egyes vertexekhez tartozó változók jelölése,
tehát az integrációs változó más. Az változókat
különböző módon oszthatjuk el a csúcsok között. Ez a (78,1)-ben levő
tényezővel
-et ad, ezután nem kell külön figyelembe venni azokat a diagramokat,
amelyekben a csúcsok fel vannak cserélve. Ezzel a körülménnyel a 74. § és 75. §-ban
már találkoztunk. Így például a következő két másodrendű diagram ekvivalens egymással:
(78,4)-ben és (78,5)-ben csak a belső párosítások vannak feltüntetve, ezeknek a gráfok
belső vonalai felelnek meg (virtuális elektronok és fotonok). A fennmaradó többi
operátort külső operátorokkal kell párosítani. Ennek eredményeképpen megfeleltethetjük
egymásnak a gráf szabad végeit és a kezdeti és végállapotbeli részecskéket.
-hoz (
vagy
operátorral párosítva) végső elektron- vagy kezdeti pozitronvonal,
-hez (
vagy
operátorral párosítva) kezdeti elektron- vagy végső pozitronvonal
tartozik. A szabad
operátorhoz (
-tel vagy
-fel párosítva) kezdeti és végállapotbeli foton egyaránt tartozhat. Ily
módon mindig kapunk néhány topológiailag azonos (azonos számú, azonosan elrendezett
vonalból álló) gráfot, melyekben csak a kezdeti és végállapotbeli részecskék, azaz a be-
és kifutó szabad végek vannak egymás között felcserélve.
Minden ilyen csere, nyilvánvalóan a külső operátorok meghatározott cseréjével ekvivalens (78,1)-ben. Ezért világos, hogy ha a kezdeti vagy végső
részecskék között azonos fermionok vannak, akkor az egymástól a
szabad végek páratlan számú cseréjében különböző gráfokhoz tartozó mátrixelemek
ellentétes előjelűek.
Ha egymás utáni elektronvonalakon haladunk megszakítás nélkül, a nyilak mindig azonos irányba mutatnak. Az ilyen vonalnak vagy két szabad vége van, vagy zárt hurkot alkot. Így a
![]() |
diagramban két csúcsot tartalmazó hurok van. Hogy az elektronvonal irányítása nem változik, az a töltésmegmaradás grafikus kifejezése: az egy csúcsba befutó és kifutó össztöltés megegyezik.
A bispinor indexek egy folytonos elektronvonal mentén úgy helyezkednek el, hogy a mátrixokat balról jobbra a nyíl irányával ellentétes irányban kell leírni. A különböző elektronvonalakhoz tartozó bispinor indexek soha nem keverednek. Egy nem zárt vonal mentén az indexek sorozata a szabad végeknél az elektron (vagy pozitron) hullámfüggvényeivel végződik. Zárt hurok esetén az indexek sorozata is zárt, azaz a megfelelő mátrixok szorzatának nyomát kell képezni. Könnyű belátni, hogy az utóbbit negatív előjellel kell venni.
Valóban, egy sarokrészt tartalmazó hurok
db operátorpárt jelent
![]() |
(vagy más ekvivalens párosítást, melyben csak a csúcsok vannak felcserélve). A
-edik párban a
és
operátorok már olyan sorrendben állnak (
a
-től jobbra), ahogy az elektronpropagátorban állniuk kell. A szélen álló operátorok más
-operátorokkal való páros számú felcseréléssel hozhatók egymás mellé,
ezután sorrendjük
.
Mivel
(vö. a VIII. fejezet 11. lábjegyzetével), ezért, ha ezt az operátorpárt a propagátorral helyettesítjük, akkor az egész kifejezés előjele megváltozik.
Impulzusreprezentációra az általános esetben ugyanúgy térhetünk át, mint a 74. § és 75. §-ban. A
négyesimpulzus megmaradásának általános törvénye mellett, minden vertexben külön-külön
meg kell maradnia a négyesimpulzusnak. Előfordulhat, hogy e megmaradási törvények
együttesen sem biztosítják azt, hogy a gráf belső vonalaihoz tartozó impulzusok
egyértelműen meghatározottak legyenek. Ez esetben az összes, nem meghatározott belső
impulzusra integrálni kell [ szerint] a teljes
-térre (
szerint is
-től
-ig).
A taglalás során végig feltételeztük, hogy a perturbáció szerepét a reakcióban „aktívan” részt vevő részecskék közötti kölcsönhatás játssza (azon részecskék között, amelyeknek állapota a folyamat eredményeképpen megváltozik). Hasonló módon vizsgálható az az eset, amikor a feladatban külső elektromágneses tér szerepel, azaz „passzív”, állapotukat a folyamat során nem változtató részecskék által keltett tér.
Legyen a külső tér négyespotenciálja. A kölcsönhatás Lagrange-operátorában ez
az
fotonoperátorral együtt, az
összeg formájában lép fel (szintén a
áramoperátorral szorozva). Mivel
nem tartalmaz operátort, ezért nem is párosítható más operátorral.
Másképp fogalmazva, külső térnek a Feynman-diagramban mindig külső vonal felel
meg.
Írjuk fel -t Fourier-integrálként
A mátrixelemek impulzusreprezentációbeli alakjában a négyesvektor más, valódi részecskéknek megfelelő külső vonalak
négyesimpulzusaival együtt lép fel. A külső tér minden vonalához az
tényező tartozik, a vonalakat„befutónak” kell tekinteni, mivel az
-val együtt fellépő
tényezőben a kitevő előjele negatív („kifutó” vonalhoz az
tényezőt kellene rendelni). Ha a négyesimpulzus megmaradási törvénye
(a valódi részecskék adott négyesimpulzusa mellett) nem rögzíti egyértelműen a külső
térhez tartozó minden vonal négyesimpulzusát, akkor a „szabadon” maradó
-ra, ugyanúgy, mint a gráf többi nem rögzített négyesimpulzusára,
[
szerint] integrálni kell.
Ha külső tér nem függ az időtől, akkor
ahol a a háromdimenziós Fourier-komponenst jelöli
Ez esetben a külső vonalnak az mennyiség felel meg, melynek négyesimpulzusa
. A külső tér vonalát tartalmazó vertexen keresztül haladó
elektronvonalak energiái a megmaradási törvény miatt azonosak. A további „szabadon”
maradó háromdimenziós impulzusokra, melyek a belső vonalakhoz tartoznak,
szerint kell integrálnunk. Az így kiszámított
amplitúdó (65,25) révén
meghatározza a folyamat hatáskeresztmetszetét.
Összefoglaljuk a gráfszabályokat , amelyeknek segítségével felírható a szórásamplitúdó impulzusreprezentációbeli alakja.
1. A perturbációszámítás -edik közelítésének az
csúcsot tartalmazó diagramok felelnek meg, minden csúcshoz egy befutó
és egy kifutó elektron- (folytonos) és egy foton- (szaggatott) vonal fut össze. Az
összes olyan diagramot figyelembe kell venni, melyek szabad végeinek (külső vonalainak)
száma a kezdeti és végállapotbeli részecskék számával egyenlő.
2. Minden külső, befutó, folytonos vonalhoz egy kezdeti elektron
vagy egy végső pozitron
amplitúdója tartozik (
a részecske négyesimpulzusa). A kifutó, folytonos vonalakhoz egy végső
elektron
vagy egy kezdeti pozitron
amplitúdóját rendeljük.
3. Minden vertexhez tartozik egy négyesvektor.
4. Minden külső, befutó, szaggatott vonalhoz egy kezdeti foton
, kifutó vonalhoz egy végső foton
amplitúdója tartozik (
a polarizáció négyesvektora). A
vektorindexeket a megfelelő csúcshoz rendelt
mátrix indexével kell összeejteni (úgy, hogy az
vagy
skalárszorzat lépjen fel).
5. A belső folytonos vonalaknak az , a belső szaggatott vonalaknak a
tényező felel meg. A
tenzorindexeket a szaggatott vonal által összekötött csúcsokhoz
tartozó
,
mátrixok vektorindexeivel kell összeejteni.
6. Végig elektronvonalakon haladva, a nyilak iránya nem változhat, a bispinor indexek elhelyezése olyan, hogy az a mátrixok balról jobbra, a nyilak irányával ellentétes sorrendben való leírásának felel meg. Zárt elektronhurok a hurokhoz tartozó mátrixok szorzatának nyomát jelenti.
7. Az egy csúcsban összefutó vonalakhoz tartozó
négyesimpulzusokra megmaradási törvény érvényes, azaz a befutó vonalak impulzusainak
összege megegyezik a kifutókéhoz tartozó impulzusok összegével. A szabad végekhez
tartozó impulzusok adott mennyiségek (az impulzusmegmaradást teljesítik),
pozitronvonalhoz impulzus tartozik. A csúcsokban külön-külön érvényes
impulzusmegmaradás által nem rögzített belső impulzusokra integrálni kell
[
szerint].
8. Külső térnek megfelelő, befutó szabad véghez tényezőt rendelünk; a
négyesvektort a csúcsban összefutó vonalak négyesimpulzusaival
megmaradási törvény köti össze. Ha a tér időben állandó, akkor a külső vonalhoz
négyesimpulzus tartozik, és ehhez a tér háromdimenziós
Fourier-komponensét rendeljük [a négydimenziós komponenssel való
kapcsolat ebben az esetben
]; a belső vonalak nem rögzített hármasimpulzusaira
szerint integrálni kell.
9. A gráfhoz tartozó általános szorzótényező , a gráf így lép fel az
mátrixelemben. További szorzótényezők:
minden zárt elektronhurokhoz, továbbá minden szabad pozitronpárhoz, ha
ez a pár folytonos vonal két végét alkotja. Ha a kezdeti vagy végállapotbeli részecskék
között több elektron vagy pozitron van, akkor két olyan gráf relatív előjelének, melyek
egymástól azonos részecskék páratlan számú cseréjében különböznek, ellentétesnek kell
lennie.[269]
[267] Példaként felírjuk négy operátor (két egyforma pár) szorzatának vákuumbeli
várható értékét. Bozonoperátorokra ,
, az ívek a párokat jelölik. Könnyen igazolható,
hogy a közvetlen számítás eredménye ugyanez.
. Fermionoperátorokra
,
(az utóbbi eredmény a Pauli-elvből világosan
következik: két azonos állapotú fermiont kelteni nem
lehetséges).
[268] Az utolsó kijelentéssel összefüggésben a következő megjegyzést kell tenni. A
Wick-tétel bizonyításánál felhasználtuk a ,
operátorok felcserélési törvényeit, melyeket csak valódi
(„transzverzális”) fotonokra értelmeztünk. A „külső”
,
operátorok természetesen mindig ilyen (kezdeti és végső)
fotonokra vonatkoznak. A (
-szorzaton belül álló)
operátorok, mint azt a 77. §-ban megmutattuk, nemcsak a transzverzális elektromágneses teret
írják le. A helyzet ugyanaz, mint a 77. §-ban
kiszámításakor. A relativisztikus és a mértékinvariancia
következtében a tételt elég olyan szorzatokra (azaz a
tenzorkomponensekre) bizonyítani, amelyeket a potenciálok
transzverzális része meghatároz. Ebből már következik, hogy a tétel tetszőleges
szorzatra is igaz.
[269] Az utóbbi állításhoz kiegészítésképpen hozzátesszük, hogy az összes, folytonos vonalaiban azonos szerkezetű gráfnak, tehát azoknak, amelyek a fotonvonalak eltávolítása után azonosak, azonos előjelű a járuléka. Emlékeztetőül még megjegyezzük, hogy azonos fermionok jelenléte esetén az amplitúdó előjele nem meghatározott.