ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

80.§. Virtuális részecskék

A Feynman-diagramok belső vonalai ugyanazt a szerepet játsszák a kovariáns perturbációszámításban, mint a közbenső állapotok a „szokásos” elméletben. Az állapotok jellege azonban a kétféle elméletben különböző. A közönséges elméletben a közbenső állapotokban a (háromdimenziós) impulzus megmarad, az energia azonban nem; ebben az értelemben nevezzük ezeket virtuális állapotoknak .A kovariáns elméletben az impulzus és energia egyenértékű: a közbenső állapotokban a teljes négyesimpulzus megmarad (annak eredményeképp, hogy az -mátrix elemeiben az integrálást a koordináták és az idő szerint egyaránt el kell végezni, ami biztosítja az elmélet kovarianciáját). Sérül azonban a valódi részecskékre fennálló, az energia és az impulzus közötti jellegzetes kapcsolat (melyet a p2=m2 egyenlőség fejez ki). Ilyen értelemben beszélünk közbenső, virtuális részecskékről. A virtuális részecske energiája és impulzusa közötti összefüggés tetszőleges – olyan, amilyet a csúcsokbeli négyesimpulzus-megmaradás megkövetel.

Tekintsünk egy olyan diagramot, amely két részből áll (I. és II.), és a két részt egy vonal köti össze. A részek belső szerkezetére nem vagyunk kíváncsiak, a diagram sematikusan a következő alakban adható meg:

8.91. egyenlet - (80,1)

(a vonalak folytonosak és szaggatottak egyaránt lehetnek). Az általános megmaradási törvény szerint az I. és II. rész külső vonalaihoz tartozó össznégyesimpulzus egyenlő. Mivel a négyesimpulzus minden vertexben külön-külön megmarad, ezért az össz-négyesimpulzus éppen az I. és II. részeket összekötő vonal négyesimpulzusával egyenlő. Ez az impulzus tehát egyértelműen meghatározott, a mátrixelemben erre integrálni nem kell.

Reakciócsatornától függően lehet mind pozitív, mind negatív. Mindig létezik olyan csatorna, amelyben p2>0 .^[272] Ekkor a virtuális részecske formális tulajdonságai szerint egy valós M=√(p2) tömegű valódi részecskével analóg. Be lehet menni nyugalmi rendszerébe, meg lehet határozni a spinjét stb.

A (77,11) fotonpropagátor tenzorszerkezetét tekintve, egy nemzérus tömegű, spinű, polarizálatlan részecske

sűrűségmátrixával egyezik meg (a négyestenzor a négyesimpulzusra ortogonális).

Másrészről virtuális részecskére nézve a propagátor (mint a téroperátorokban kvadratikus mennyiség) azt a szerepet játssza, mint a valódi részecske sűrűségmátrixa. Ezért a virtuális fotonnak, a valódihoz hasonlóan egységnyi spint kell tulajdonítani. A valódi fotontól eltérően azonban két független polarizáció helyett a virtuális foton mint véges tömegű „részecske” mindhárom polarizációs állapotot felveheti.

Az elektron terjedési függvénye

Itt a valódi elektrontömeg, a virtuális részecske „tömege” pedig M=√(p2) . Elvégezve a

8.92. egyenlet - (80,2)

\hat{p} + m = \frac{M + m}{2 M} (\hat{p} + M) + \frac{M - m}{2 M} (\hat{p} - M)

felbontást, azt látjuk, hogy az első tag felel meg az tömegű, 1∕2 spinű részecske, a második pedig a megfelelő antirészecske sűrűségmátrixának [vö. (29,10)és (29,17)]. Emlékezve, hogy részecske és antirészecske belső paritása ellentétes (27. §), arra a következtetésre jutunk, hogy a virtuális elektronnak 1∕2 spint kell tulajdonítanunk, de nem tulajdoníthatunk neki határozott paritást.

A (80,1) diagram jellegzetessége, hogy egyetlen belső vonal elvágásával két, egymással nem összefüggő részre esik szét.^[273] Ez a vonal az adott esetben egyrészecske közbenső állapotnak , egy virtuális részecskét tartalmazó állapotnak felel meg. Az ilyen diagramnak megfelelő szórásamplitúdó a jellegzetes (nem integrálandó!)

tényezőt tartalmazza, amely a belső vonaltól származik ( az elektrontömeg, ha elektronvonalról, m=0 , ha fotonvonalról van szó). Más szóval, a szórásamplitúdónak pólusa van olyan értékénél, amelynél a virtuális részecske fizikaivá válna ( p2=m2 ). A helyzet ugyanaz, mint a nemrelativisztikus kvantummechanikában, ahol is a szórásamplitúdónak pólusa van olyan energiaértékeknél, amelyeknél az ütköző részecskék rendszerével kötött állapotai vannak (III. 128. §).

Vizsgáljuk a (80,1) diagramot olyan reakciócsatornát tekintve, amelyben minden jobb oldali szabad vég kezdeti, minden bal oldali végső részecskének felel meg; ekkor p2>0 . Azt mondhatjuk, hogy a közbenső állapotban a kezdeti részecskék egyetlen virtuális részecskévé alakulnak át. Ez csak akkor lehetséges, ha az átalakulást nem tiltják megmaradási törvények (eltekintve a négyesimpulzusra vonatkozótól): impulzusmomentum, töltés, töltésparitás stb. Ez a szükséges feltétele annak, hogy ún. pólusdiagram létezzék. Ha egy csatornában van ilyen, akkor a keresztezési invariancia értelmében ugyanez a diagram a többi reakciócsatornában is megtalálható.

A megmaradási törvények például nem tiltják az e+γ→e virtuális elektron létrejöttét. Ez annak felel meg, hogy a Compton-szórás amplitúdójának (és a másik csatornának megfelelő folyamatnak – elektronpár kétfotonos szétsugárzásának) pólusa van. Az e–+e+→γ átmenetben keletkező virtuális foton pólust eredményez az elektron–pozitron és így az elektron–elektron szórás amplitúdójában is. Két foton nem alakulhat át sem virtuális elektronná, sem virtuális fotonná (a γ+γ→e átmenetet a töltés és az impulzusmomentum, a γ+γ→γ átmenetet a töltésparitás megmaradása tiltja). Ennek megfelelően a foton–foton szórás amplitúdója nem tartalmaz pólusdiagramot.

A szórásamplitúdó pólusszerkezete, amelyhez most a Feynman-integrálok vizsgálatával jutottunk, a valóságban jóval általánosabb jellegű, nem kötődik a perturbációszámításhoz. Megmutatjuk, hogy ezek a szingularitások már a (72,2) unitaritási feltételből következnek.

Tegyük fel, hogy a (72,2)-ben szereplő közbenső állapotok között van egyrészecske-állapot . Ennek járuléka:

(Tfi–Tif∗)(egyrészecske)=i(2π)4∑λ∫δ(4)(Pf–p)TfnTin∗(Vd3p/(2π)3),

ahol és a közbenső részecske négyesimpulzusa és helicitása . A d3p szerinti integrálást a

áttéréssel d4p szerintivel helyettesítjük ( p0≡ε>0 tartományban a közbenső részecske tömege). Az integrálás a δ(4)(Pf–p) függvényt „elviszi”; ezután a Tfi amplitúdóról Mfi -re térünk át (65,10) szerint:

8.93. egyenlet - (80,3)

{(M_{f i} - M_{i f}^{*})}^{(e g y r é s z e c s k e)} = 2 π i δ (p^{2} - M^{2}) \sum_{λ} M_{f n} M_{i n}^{*} .

- és -invarianciát feltételezve (fázistényező erejéig) Mif=Mf′i′ , ahol az, állapotok -től és -től a részecskék helicitásának előjelében különböznek (azonos impulzusok mellett). (80,3) mintájára képezzük az Mf′i′–Mi′f′∗ különbséget, s ezeket összeadva azt kapjuk, hogy

8.94. egyenlet - (80,4)

ℑ {\bar{M}}_{f i}^{(e g y r é s z e c s k e)} = - π δ (p^{2} - M^{2}) R,

ahol bevezettük az

jelöléseket. Innen következik, hogy M̄fi -nek mint p2=Pi2=Pf2 analitikus függvényének pólusa van p2=M2 -nél. (76,18) szerint a pólustag

8.95. egyenlet - (80,5)

{\bar{M}}_{f i}^{(e g y r é s z e c s k e)} = \frac{R}{p^{2} - M^{2} + i 0} .

Egyrészecske-állapotba való valódi átmenet csak egyetlen Pi2=Pf2 értéknél,-nél lehetséges. Ily módon valóban megkaptuk a szórásamplitúdó (80,1) típusú diagramnak megfelelő szerkezetét.

Végül még a zárt elektronhurkot tartalmazó diagramok egy fontos tulajdonságával foglalkozunk. Ezt könnyen megismerhetjük, ha a virtuális fotonra is kiterjesztjük a töltésparitás fogalmát: a virtuális fotonnak, a valódihoz hasonlóan, meghatározott (negatív) töltésparitást kell tulajdonítani.^[274]

Ha egy diagram zárt hurkot tartalmaz (a csúcsok száma N>2 ), akkor a vizsgált folyamat amplitúdójában egy másik diagramnak is meg kell jelennie, mely az elsőtől csupán a hurok irányításában különbözik ( N=2 esetén a körüljárási iránynak nincs értelme). A hurkokat az azokba befutó vonalakkal együtt „kivágjuk”. A két hurok és ΠII :

8.96. egyenlet - (80,6)

felfogható úgy, mint egy folyamat amplitúdójának két diagramja, ahol is (valós vagy virtuális) fotonok egy összessége egy másikba megy át; a kezdeti és a végső fotonok számának összege. De a töltésparitás megmaradása megtiltja, hogy páros számú foton páratlan számúvá alakuljon. Ezért a (80,6) hurkoknak megfelelő kifejezések összege páratlan -re el kell hogy tűnjék. Ugyancsak el kell tűnnie két olyan diagram járuléka összegének, melyek e hurkokat részként tartalmazzák (ez az ún. Furry-tétel ; W. H. Furry, 1937).

Tetszőleges folyamat amplitúdójának kiszámításakor tehát nem kell figyelembe venni az olyan diagramokat, amelyek páratlan számú csúccsal rendelkező hurkot tartalmaznak.

Vizsgáljuk meg kicsit részletesebben az ilyen diagramok együttes járulékát. A zárt elektronhuroknak (adott k1,k2,…,kN fotonimpulzusok mellett) az

8.97. egyenlet - (80,7)

\int d^{4} p \cdot Sp [ê_{1} G (p) ê_{2} G (p + k_{1}) \dots]

kifejezés felel meg, ahol p,p+k1,… az elektronvonalakhoz tartozó impulzusok (ezeket a csúcsokbeli megmaradás nem határozza meg egyértelműen). Minden mátrixra és -re a töltéstükrözés operációját alkalmazzuk, azaz UC–1γμUC -vel és UC–1GUC -vel helyettesítjük azokat. A (80,7) kifejezés nem változik, mert mátrixok szorzatának nyoma ilyen transzformációval szemben invariáns. Másrészt (26,3) szerint

8.98. egyenlet - (80,8)

U_{C}^{- 1} γ^{μ} U_{C} = - {\tilde{γ}}^{μ},

és

8.99. egyenlet - (80,9)

U_{C}^{- 1} G (p) U_{C} = \frac{- p \tilde{γ} + m}{p^{2} - m^{2}} = \tilde{G} (- p) .

G(p) -nek G̃(–p) -vel való helyettesítése nyilvánvalóan a hurok körüljárási irányának megfordítását jelenti: minden nyíl iránya megfordul, más szóval, a transzformáció az egyik hurkot a másikba viszi át. Ezenkívül (–1)N szorzótényezőt jelent, ez a csúcsokban elvégzett (80,8) helyettesítésnek felel meg.Így

8.100. egyenlet - (80,10)

Π_{I} = {(- 1)}^{N} Π_{I I},

azaz a két hurok járuléka páros -re azonos, páratlan -re előjelben különbözik.

^[272] Ilyen például az a csatorna (ha energetikailag megengedett), amelyben az I. részhez tartozó minden szabad vég kezdeti, a II. részhez tartozók végső részecskéknek felelnek meg. Ekkor p=Pi (a kezdeti részecskék négyesimpulzusainak összege), és tömegközépponti rendszerben p=(Pi0,0) , úgyhogy p2>0 .

^[273] Ezzel a tulajdonsággal majdnem minden folyamat első nem eltűnő közelítésének megfelelő, diagramjai rendelkeznek.

^[274] Ez ugyanolyan meggondolásokból következik, mint amilyeneket a 13. § végén valódi fotonokra tettünk arra vonatkozóan, hogy minden vertexben fellép az elektromágneses kölcsönhatás operátora.