Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A Feynman-diagramok belső vonalai ugyanazt a szerepet játsszák a kovariáns
perturbációszámításban, mint a közbenső állapotok a „szokásos” elméletben. Az állapotok
jellege azonban a kétféle elméletben különböző. A közönséges elméletben a közbenső
állapotokban a (háromdimenziós) impulzus megmarad, az energia azonban nem; ebben az
értelemben nevezzük ezeket virtuális állapotoknak .A kovariáns elméletben az impulzus és energia
egyenértékű: a közbenső állapotokban a teljes négyesimpulzus megmarad (annak
eredményeképp, hogy az -mátrix elemeiben az integrálást a koordináták és az idő szerint
egyaránt el kell végezni, ami biztosítja az elmélet kovarianciáját). Sérül azonban a
valódi részecskékre fennálló, az energia és az impulzus közötti jellegzetes kapcsolat
(melyet a
egyenlőség fejez ki). Ilyen értelemben beszélünk közbenső,
virtuális részecskékről. A virtuális részecske energiája és
impulzusa közötti összefüggés tetszőleges – olyan, amilyet a csúcsokbeli
négyesimpulzus-megmaradás megkövetel.
Tekintsünk egy olyan diagramot, amely két részből áll (I. és II.), és a két részt egy vonal köti össze. A részek belső szerkezetére nem vagyunk kíváncsiak, a diagram sematikusan a következő alakban adható meg:
(a vonalak folytonosak és szaggatottak egyaránt lehetnek). Az általános
megmaradási törvény szerint az I. és II. rész külső vonalaihoz tartozó
össznégyesimpulzus egyenlő. Mivel a négyesimpulzus minden vertexben külön-külön megmarad, ezért az össz-négyesimpulzus éppen az I. és II. részeket
összekötő vonal négyesimpulzusával egyenlő. Ez az impulzus tehát egyértelműen
meghatározott, a mátrixelemben erre integrálni nem kell.
Reakciócsatornától függően lehet mind pozitív, mind negatív. Mindig létezik olyan csatorna,
amelyben
.[272] Ekkor a virtuális részecske formális
tulajdonságai szerint egy valós
tömegű valódi részecskével analóg. Be lehet menni nyugalmi
rendszerébe, meg lehet határozni a spinjét stb.
A (77,11) fotonpropagátor tenzorszerkezetét
tekintve, egy nemzérus tömegű, spinű, polarizálatlan részecske
sűrűségmátrixával egyezik meg (a négyestenzor a négyesimpulzusra ortogonális).
Másrészről virtuális részecskére nézve a propagátor (mint a téroperátorokban kvadratikus mennyiség) azt a szerepet játssza, mint a valódi részecske sűrűségmátrixa. Ezért a virtuális fotonnak, a valódihoz hasonlóan egységnyi spint kell tulajdonítani. A valódi fotontól eltérően azonban két független polarizáció helyett a virtuális foton mint véges tömegű „részecske” mindhárom polarizációs állapotot felveheti.
Az elektron terjedési függvénye
Itt a valódi elektrontömeg, a virtuális részecske „tömege” pedig
. Elvégezve a
felbontást, azt látjuk, hogy az első tag felel meg az tömegű,
spinű részecske, a második pedig a megfelelő antirészecske
sűrűségmátrixának [vö. (29,10)és (29,17)]. Emlékezve, hogy részecske és antirészecske
belső paritása ellentétes (27. §), arra a
következtetésre jutunk, hogy a virtuális elektronnak
spint kell tulajdonítanunk, de nem tulajdoníthatunk neki határozott
paritást.
A (80,1) diagram jellegzetessége, hogy egyetlen belső vonal elvágásával két, egymással nem összefüggő részre esik szét.[273] Ez a vonal az adott esetben egyrészecske közbenső állapotnak , egy virtuális részecskét tartalmazó állapotnak felel meg. Az ilyen diagramnak megfelelő szórásamplitúdó a jellegzetes (nem integrálandó!)
tényezőt tartalmazza, amely a belső vonaltól származik
( az elektrontömeg, ha elektronvonalról,
, ha fotonvonalról van szó). Más szóval, a szórásamplitúdónak pólusa
van
olyan értékénél, amelynél a virtuális részecske fizikaivá válna
(
). A helyzet ugyanaz, mint a nemrelativisztikus kvantummechanikában,
ahol is a szórásamplitúdónak pólusa van olyan energiaértékeknél, amelyeknél az ütköző
részecskék rendszerével kötött állapotai vannak (III. 128. §).
Vizsgáljuk a (80,1) diagramot olyan
reakciócsatornát tekintve, amelyben minden jobb oldali
szabad vég kezdeti, minden bal oldali végső részecskének felel meg; ekkor
. Azt mondhatjuk, hogy a közbenső állapotban a kezdeti részecskék
egyetlen virtuális részecskévé alakulnak át. Ez csak akkor lehetséges, ha az átalakulást
nem tiltják megmaradási törvények (eltekintve a
négyesimpulzusra vonatkozótól): impulzusmomentum, töltés, töltésparitás stb. Ez a
szükséges feltétele annak, hogy ún. pólusdiagram létezzék. Ha egy csatornában van ilyen, akkor a
keresztezési invariancia értelmében ugyanez a diagram a többi reakciócsatornában is
megtalálható.
A megmaradási törvények például nem tiltják az virtuális elektron létrejöttét. Ez annak felel meg, hogy a
Compton-szórás amplitúdójának (és a másik csatornának megfelelő folyamatnak
– elektronpár kétfotonos szétsugárzásának) pólusa van. Az
átmenetben keletkező virtuális foton pólust eredményez az
elektron–pozitron és így az elektron–elektron szórás amplitúdójában is. Két foton nem
alakulhat át sem virtuális elektronná, sem virtuális fotonná (a
átmenetet a töltés és az impulzusmomentum, a
átmenetet a töltésparitás megmaradása tiltja). Ennek megfelelően a
foton–foton szórás amplitúdója nem tartalmaz pólusdiagramot.
A szórásamplitúdó pólusszerkezete, amelyhez most a Feynman-integrálok vizsgálatával jutottunk, a valóságban jóval általánosabb jellegű, nem kötődik a perturbációszámításhoz. Megmutatjuk, hogy ezek a szingularitások már a (72,2) unitaritási feltételből következnek.
Tegyük fel, hogy a (72,2)-ben szereplő
közbenső állapotok között van egyrészecske-állapot . Ennek járuléka:
ahol és
a közbenső részecske négyesimpulzusa és helicitása . A
szerinti integrálást a
áttéréssel szerintivel helyettesítjük (
tartományban
a közbenső részecske tömege). Az integrálás a
függvényt „elviszi”; ezután a
amplitúdóról
-re térünk át (65,10) szerint:
- és
-invarianciát feltételezve (fázistényező erejéig)
, ahol az
,
állapotok
-től és
-től a részecskék helicitásának előjelében különböznek (azonos
impulzusok mellett). (80,3) mintájára képezzük
az
különbséget, s ezeket összeadva azt kapjuk, hogy
ahol bevezettük az
jelöléseket. Innen következik, hogy -nek mint
analitikus függvényének pólusa van
-nél. (76,18) szerint a pólustag
Egyrészecske-állapotba való valódi átmenet csak egyetlen értéknél,
-nél lehetséges. Ily módon valóban megkaptuk a szórásamplitúdó (80,1) típusú diagramnak megfelelő szerkezetét.
Végül még a zárt elektronhurkot tartalmazó diagramok egy fontos tulajdonságával foglalkozunk. Ezt könnyen megismerhetjük, ha a virtuális fotonra is kiterjesztjük a töltésparitás fogalmát: a virtuális fotonnak, a valódihoz hasonlóan, meghatározott (negatív) töltésparitást kell tulajdonítani.[274]
Ha egy diagram zárt hurkot tartalmaz (a csúcsok száma ), akkor a vizsgált folyamat amplitúdójában egy másik diagramnak is meg
kell jelennie, mely az elsőtől csupán a hurok irányításában különbözik (
esetén a körüljárási iránynak nincs értelme). A hurkokat az azokba
befutó vonalakkal együtt „kivágjuk”. A két hurok
és
:
felfogható úgy, mint egy folyamat amplitúdójának két diagramja, ahol is
(valós vagy virtuális) fotonok egy összessége egy másikba megy át; a kezdeti és a végső fotonok számának összege. De a töltésparitás
megmaradása megtiltja, hogy páros számú foton páratlan számúvá alakuljon. Ezért a (80,6) hurkoknak megfelelő kifejezések összege páratlan
-re el kell hogy tűnjék. Ugyancsak el kell tűnnie két olyan diagram
járuléka összegének, melyek e hurkokat részként tartalmazzák (ez az ún.
Furry-tétel ; W. H. Furry, 1937).
Tetszőleges folyamat amplitúdójának kiszámításakor tehát nem kell figyelembe venni az olyan diagramokat, amelyek páratlan számú csúccsal rendelkező hurkot tartalmaznak.
Vizsgáljuk meg kicsit részletesebben az ilyen diagramok együttes járulékát. A zárt
elektronhuroknak (adott fotonimpulzusok mellett) az
kifejezés felel meg, ahol az elektronvonalakhoz tartozó impulzusok (ezeket a csúcsokbeli
megmaradás nem határozza meg egyértelműen). Minden
mátrixra és
-re a töltéstükrözés operációját alkalmazzuk, azaz
-vel és
-vel helyettesítjük azokat. A (80,7)
kifejezés nem változik, mert mátrixok szorzatának nyoma ilyen transzformációval szemben
invariáns. Másrészt (26,3) szerint
-nek
-vel való helyettesítése nyilvánvalóan a hurok körüljárási irányának
megfordítását jelenti: minden nyíl iránya megfordul, más szóval, a transzformáció az
egyik hurkot a másikba viszi át. Ezenkívül
szorzótényezőt jelent, ez a csúcsokban elvégzett (80,8) helyettesítésnek felel meg.Így
azaz a két hurok járuléka páros -re azonos, páratlan
-re előjelben különbözik.
[272] Ilyen például az a csatorna (ha energetikailag megengedett), amelyben az I.
részhez tartozó minden szabad vég kezdeti, a II. részhez tartozók végső
részecskéknek felelnek meg. Ekkor (a kezdeti részecskék négyesimpulzusainak összege), és
tömegközépponti rendszerben
, úgyhogy
.
[273] Ezzel a tulajdonsággal majdnem minden folyamat első nem eltűnő közelítésének megfelelő, diagramjai rendelkeznek.