Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Két semleges, egymástól (az atomi méretekhez képest) nagy távolságra levő atom között vonzóerő hat. Az erre vonatkozó szokásos
kvantummechanikai számítás (l. III. 89. §) túl nagy távolságok esetén nem alkalmazható.
A helyzet az, hogy a számítás során csak az elektrosztatikus kölcsönhatást vizsgálják, a
retardálást nem veszik figyelembe. Az utóbbinak elhanyagolása csak addig jogos, amíg az
távolság a kölcsönható atomok spektrumában levő
karakterisztikus hullámhosszhoz képest kicsi. A most következő
számítások során ilyen kikötést nem teszünk.
Körülbelül ugyanúgy járunk el, mint a 83. §-ban,
tehát két különböző atom rugalmas (a belső állapot nem változik) szóródási amplitúdóját
számítjuk az első nem eltűnő közelítésben. A kapott kifejezést összevetjük azzal az
amplitúdóval, amelyet akkor kapnánk, ha a két atom kölcsönhatását valamilyen
potenciális energiával írnánk le.
Az utóbbi esetben az -mátrixnak az adott folyamatot leíró első nem eltűnő elemét az
közelítés adja. Itt ,
, ill.
,
a két atom haladó mozgását leíró hullámfüggvények (síkhullámok) időtől
független része a kezdeti, ill. a végállapotban;
,
, ill.
,
a megfelelő kinetikus energiák; az atomok egészének
és
koordinátáit a magkoordinátáknak lehet tekinteni,
. Az idő szerinti integrál (85,1)-ben a szokásos, az energiamegmaradást kifejező,
-függvényt adja. Az összehasonlításkor kényelmes azt a határesetet
vizsgálni, amelyben az atomok tömege végtelen nagy; adott impulzus mellett az
energia ekkor nulla. Másképpen azt is mondhatjuk, hogy a vizsgált
időtartam
-hoz képest kicsi. (85,1) ekkor
az
alakot veszi fel, ahol az idő szerinti integrálás tartománya.
A rugalmas szórás amplitúdóját a megadott feltevések mellett két lépésben
számíthatjuk ki. Először az -operátor mátrixelemét számítjuk ki a két atom alapállapotának
hullámfüggvényeivel (a magok koordinátái
és
adottak) foton-vákuumállapotok között – a folyamat elején és végén
fotonok nincsenek. Eredményként egy, a magok egymástól való távolságától függő függvényt
kapunk; jelöljük ezt
-rel.[298] Hogy a keresett átmeneti mátrixelemet megkapjuk, ezután az
integrált kell kiszámítanunk. (85,2)-vel
összehasonlítva láthatjuk, hogy ha az kifejezést az
alakban tudjuk felírni, akkor az atomok keresett kölcsönhatási energiája.
Mivel az adott esetben nem elemi részecskék, hanem összetett rendszerek (atomok,
melyek a közbenső állapotban gerjesztettek is lehetnek) ütközéséről van szó, a formális
gráfszabályok közvetlenül nem alkalmazhatók, ezért az -operátor eredeti, sorfejtett (73,10) alakjából indulunk ki.
Atomok kölcsönhatása esetén a térnek azok a komponensei lényegesek, amelyeknek frekvenciája az atomi nagyságrendbe esik (vagy annál kisebb). A megfelelő hullámhosszak az atomi méretekhez képest nagyok. Ezért az elektromágneses kölcsönhatás operátora a
alakban írható, ahol és
az atomok dipólusmomentumainak operátorai (időtől függő
Heisenberg-operátorok ),
pedig az elektromos tér operátora, melynek argumentumában a megfelelő
atom koordinátája áll.
Ismeretes, hogy az atom dipólusmomentumának várható értéke stacionárius állapotban nulla (l. III. 75. §). Így a szórásamplitúdó csak a perturbációszámítás negyedik közelítésében különbözik nullától, ez az
operátor mátrixeleme. Valóban, alacsonyabb rendekben a operátorok szorzátának minden tagja a
vagy a
operátorban lineáris lenne, és a megfelelő atom alapállapotában
várhatóértéke eltűnne.
Képezzük a (85,5) operátor várható értékét a
foton–vákuum állapotok között. A Wick-tétel szerint a négy téroperátor szorzatának várható értéke a lehetséges párosítások
várható értékei szorzatának összege. Háromféle párosítás lehetséges, ezeket a következő
diagramok szemléltetik:
a párokat a szaggatott vonalak kötik össze, a számjegyek a ,
,
,
argumentumokat jelentik. Ezenkívül az egyes pontok térbeli
koordinátája
vagy
(kettőé
, kettőé
; ellenkező esetben az összeg valamelyik tagja
-ben vagy
-ben lineáris, és a megfelelő atom alapállapotában a várható érték
eltűnne). Nyilvánvaló, hogy a szaggatott vonalak két végéhez tartozó koordináták
különbözőek,
és
. Az ellenkező esetben a diagram (ti. a megfelelő tag a mátrixelemben)
két, egymástól független,
-től, ill.
-től függő függvény szorzata, ahelyett, hogy az
különbség függvénye lenne; ezek a tagok nincsenek kapcsolatban a
szórással.[299] A feltételeknek megfelelően az
és
koordinátákat a diagram négy pontjában négy különböző módon lehet
elhelyezni. Tekintetbe véve, hogy a
és
operátorok egymással felcserélhetők, és átlagolva az egyes atomok
állapotaira, azt találjuk, hogy a kapott
tag azonos (csak az integrációs változók jelölése különböző). Az
eredmény:
ahol ,
háromdimenziós vektorindexek.
mennyiségek kiszámításához olyan mértéket választunk, amelyben a
skalárpotenciál . Ekkor
és
ahol ,
pedig a fotonpropagátor az adott mértékben.[300] Ezért
ahol a fotonpropagátor impulzusreprezentációban; (77,14) szerint
mennyiségeket Fourier-integrálkéntállítjuk
elő:
Legyen, a kényelem kedvéért, ,
; a
-szorzat definíciója szerint
Az itt fellépő (az atomok alapállapotában képzett) várhatóértékek
kifejezhetők a dipólusmomentum mátrixelemeivel:
Behelyettesítve e kifejezéseket (85,12)-be és elvégezve az integrálást, azt kapjuk, hogy[301]
Ha az atom alapállapota -állapot, akkor
. Ha az atomnak impulzusmomentuma van, akkor ugyanezt az eredményt
kapjuk az impulzusmomentum irányára való átlagolás után, ezt mindig elvégezzük (olyan
atomok kölcsönhatását vizsgáljuk, amelyeknek kölcsönös orientációjára átlagolunk). (85,13)-ból látható, hogy
Az mennyiség (
-nál) nem más, mint az atom polarizálhatósága [vö. (60,17)].
A kapott kifejezéseket (85,7)-be helyettesítve,[302]
Három időváltozó szerinti integrálás -függvényt ad (amely szerint
), a negyedik adja a
szorzótényezőt:
ahol
vagy (85,10)-zel
Ez a képlet megadja két, az atomi mérethez képest nagy, egyébként tetszőleges távolságban levő atom
kölcsönhatási energiáját. Az integrál a két határesetben, „kis” (
) és „nagy” (
) távolságokra explicit alakban kiszámítható.
Adott távolság mellett az integrálban a hullámszámvektoroknak azok az értékei lényegesek, amelyekre
. Ha
, akkor
(
az atomi frekvencia), és (85,14)
integrandusában az
-es tagok mindenütt [az
függvény kivételével] elhanyagolhatóak a
-es tagok mellett. Ezt figyelembe véve, nem nehéz a szokásos
London-képlethez eljutni (III. 89. §).
Vizsgáljuk most a másik esetet, mikor . Mindenekelőtt a
szerinti integrálást végezzük el (85,14)-ben. A komplex
sík felső félsíkjában zárjuk az integrációs görbét, így a
reziduumtétel segítségével az integrált könnyen
kiszámíthatjuk. Elegendő figyelembe venni a nevezőnek azokat a zérushelyeit, amelyeknél
az függvény pólusai az
helyen vannak, így most nem lényegesek. Elvégezve így a
szerinti integrálást, majd a
,
integrációs változókat a
,
változókkal helyettesítve,
-et Fourier-integrálként állíthatjuk
elő:
(itt és a továbbiakban ,
,
). Az
,
függvények argumentumában a kicsiny
(
) értékeket zérussal helyettesítettük, azaz a függvények helyébe az
atomok sztatikus polarizálhatóságátírtuk.
A (85,16) integrál esetén divergál, ami azzal függ össze, hogy az általunk használt
dipólusközelítés
esetén nem alkalmazható. E divergencia azonban nem lényeges. A helyzet
az, hogy
aszimptotikus viselkedését
esetén
-nak azok a tagjai határozzák meg, amelyeknek
-nál szingularitásuk van; ezek a szinguláris tagok
-ben (
szerinti hatvány) járulékot adnak.
szinguláris részét viszont, mint azt látjuk, a (85,16) integrál konvergens része határozza meg.
(85,16)-ban helyett
-t írunk (
a
és
vektorok által bezárt szög),
pedig,
ahol
Így (85,16)-ban a
helyettesítést végezhetjük, a szerinti integrálás határai
és
. Az integrandus kifejezéséből arra következtethetünk, hogy
szingularitás csak a nevező miatt léphet fel. Mivel bennünket csak a szinguláris tagok
érdekelnek, ezért elvégezhetjük a következő egyszerűsítést. A számlálót
hatványai szerint sorba fejtjük, és csak a nulladik tagot tartjuk meg
(másképp kifejezve, a számlálóban a
helyettesítést végezzük el). Így azt kapjuk, hogy
A ( esetén) szinguláris tag alakja
. Ezzel számolva a kölcsönhatási energia Fourier-transzformáltja :[303]
Az inverz Fourier-transzformációt az
képlet szerint végezhetjük.[304] Ezzel kapjuk a következő végeredményt:
ezzel meghatároztuk két, egymástól nagy távolságra () levő atom kölcsönhatási energiáját.[305]
[298] Ez helyettesíti a diagonálismátrixelemek terjedelmesebb jelölését, mind az atom, mind a foton-tér állapotaira nézve.
[299] Ezek az egyes atomok sajátenergiás korrekcióit adják, amivel most nem foglalkozunk.
[300] A első differenciálhányadosnak
-nál ugrása van. Így a második derivált, ti. a
függvény, egy további tagot is tartalmaz, melyben a
függvény szerepel. Ez a tag azonban
esetén mindig nulla, így itt nem kell figyelembe vennünk.
[301] A konvergencia szempontjából a (85,12)-ben
levő első integrálban , a másodikban
. Ebből világos, hogyan kell a (85,13) kifejezést a pólusok körül értelmezni.
[302] * Megjegyzés: Az itt szereplő -t ne tévesszük össze a térszög jelével. (A
szerk.).
[303] A (85,17) integrál, bár némi fáradsággal,
de elemi úton számítható. A felső határ végtelenje helyébe a nagy számot írjuk, és csak a
-t tartalmazó tagokat tartjuk meg, így kapjuk (85,18)-at. Ennél jóval egyszerűbb úton is célhoz
érhetünk, ha észrevesszük, hogy az integrál bennünket érdeklő részének
esetén logaritmikus szingularitása van, így ezt a részt a
tartomány határozza meg. A logaritmikus tényezőt
szerint sorba fejtjük:
, leválasztjuk az
alakú divergens részt, amelyet alulról
körül kell levágni (a felső határ nem lényeges).
[304] A -térben gömbkoordinátákban közvetlenül integrálhatunk:
. Ezt a
paraméter szerint differenciálva, majd
helyébe 4-et írva, kapjuk (85,19)-et
[305] Ezt a képletet először H. B. Casimir és D. Polder (1948) vezette le. Az itt bemutatott levezetés I. E. Dzjalosinszkijtől származik.