ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

85.§. Nagy távolságban levő atomok kölcsönhatása

Két semleges, egymástól (az atomi méretekhez képest) nagy távolságra levő atom között vonzóerő hat. Az erre vonatkozó szokásos kvantummechanikai számítás (l. III. 89. §) túl nagy távolságok esetén nem alkalmazható. A helyzet az, hogy a számítás során csak az elektrosztatikus kölcsönhatást vizsgálják, a retardálást nem veszik figyelembe. Az utóbbinak elhanyagolása csak addig jogos, amíg az távolság a kölcsönható atomok spektrumában levő karakterisztikus hullámhosszhoz képest kicsi. A most következő számítások során ilyen kikötést nem teszünk.

Körülbelül ugyanúgy járunk el, mint a 83. §-ban, tehát két különböző atom rugalmas (a belső állapot nem változik) szóródási amplitúdóját számítjuk az első nem eltűnő közelítésben. A kapott kifejezést összevetjük azzal az amplitúdóval, amelyet akkor kapnánk, ha a két atom kölcsönhatását valamilyen U(r) potenciális energiával írnánk le.

Az utóbbi esetben az -mátrixnak az adott folyamatot leíró első nem eltűnő elemét az

9.101. egyenlet - (85,1)

\begin{matrix} \begin{aligned} S_{f i} & = - i \int ψ_{1}^{' *} (r_{1}) ψ_{2}^{' *} (r_{2}) U (r) ψ_{1} (r_{1}) ψ_{2} (r_{2}) d^{3} x d^{3} x_{2} \times \\ \times \int exp {- i (𝜀_{1} + 𝜀_{2} - 𝜀_{1}^{'} - 𝜀_{2}^{'}) t} d t \end{aligned} & (85,1) \end{matrix}

közelítés adja. Itt , , ill. ψ1′ , ψ2′ a két atom haladó mozgását leíró hullámfüggvények (síkhullámok) időtől független része a kezdeti, ill. a végállapotban; εS1 , , ill. ε1′ , ε2′ a megfelelő kinetikus energiák; az atomok egészének és koordinátáit a magkoordinátáknak lehet tekinteni, r=|r1–r2| . Az idő szerinti integrál (85,1)-ben a szokásos, az energiamegmaradást kifejező, -függvényt adja. Az összehasonlításkor kényelmes azt a határesetet vizsgálni, amelyben az atomok tömege végtelen nagy; adott impulzus mellett az energia ekkor nulla. Másképpen azt is mondhatjuk, hogy a vizsgált időtartam 1∕ε -hoz képest kicsi. (85,1) ekkor az

9.102. egyenlet - (85,2)

S_{f i} = - i t \iint ψ_{1}^{' *} ψ_{2}^{' *} U (r) ψ_{1} ψ_{2} d^{3} x_{1} d^{3} x_{2}

alakot veszi fel, ahol az idő szerinti integrálás tartománya.

A rugalmas szórás amplitúdóját a megadott feltevések mellett két lépésben számíthatjuk ki. Először az -operátor mátrixelemét számítjuk ki a két atom alapállapotának hullámfüggvényeivel (a magok koordinátái és adottak) foton-vákuumállapotok között – a folyamat elején és végén fotonok nincsenek. Eredményként egy, a magok egymástól való távolságától függő függvényt kapunk; jelöljük ezt ⟨S(r)⟩ -rel.^[298] Hogy a keresett átmeneti mátrixelemet megkapjuk, ezután az

9.103. egyenlet - (85,3)

S_{f i} = \iint ψ_{1}^{' *} ψ_{2}^{' *} ⟨S (r)⟩ ψ_{1} ψ_{2} d^{3} x_{1} d^{3} x_{2}

integrált kell kiszámítanunk. (85,2)-vel összehasonlítva láthatjuk, hogy ha az ⟨S(r)⟩ kifejezést az

alakban tudjuk felírni, akkor U(r) az atomok keresett kölcsönhatási energiája.

Mivel az adott esetben nem elemi részecskék, hanem összetett rendszerek (atomok, melyek a közbenső állapotban gerjesztettek is lehetnek) ütközéséről van szó, a formális gráfszabályok közvetlenül nem alkalmazhatók, ezért az -operátor eredeti, sorfejtett (73,10) alakjából indulunk ki.

Atomok kölcsönhatása esetén a térnek azok a komponensei lényegesek, amelyeknek frekvenciája az atomi nagyságrendbe esik (vagy annál kisebb). A megfelelő hullámhosszak az atomi méretekhez képest nagyok. Ezért az elektromágneses kölcsönhatás operátora a

9.104. egyenlet - (85,4)

V = - E (r_{1}) d_{1} - E (r_{2}) d_{2}

alakban írható, ahol és az atomok dipólusmomentumainak operátorai (időtől függő Heisenberg-operátorok ), E(r) pedig az elektromos tér operátora, melynek argumentumában a megfelelő atom koordinátája áll.

Ismeretes, hogy az atom dipólusmomentumának várható értéke stacionárius állapotban nulla (l. III. 75. §). Így a szórásamplitúdó csak a perturbációszámítás negyedik közelítésében különbözik nullától, ez az

9.105. egyenlet - (85,5)

S^{(4)} = \frac{{(- i)}^{4}}{4!} \int d t_{1} \dots \int d t_{4} \cdot T {V (t_{1}) V (t_{2}) V (t_{3}) V (t_{4})}

operátor mátrixeleme. Valóban, alacsonyabb rendekben a operátorok szorzátának minden tagja a vagy a operátorban lineáris lenne, és a megfelelő atom alapállapotában várhatóértéke eltűnne.

Képezzük a (85,5) operátor várható értékét a foton–vákuum állapotok között. A Wick-tétel szerint a négy téroperátor szorzatának várható értéke a lehetséges párosítások várható értékei szorzatának összege. Háromféle párosítás lehetséges, ezeket a következő diagramok szemléltetik:

9.106. egyenlet - (85,6)

a párokat a szaggatott vonalak kötik össze, a számjegyek a , , , argumentumokat jelentik. Ezenkívül az egyes pontok térbeli koordinátája vagy (kettőé , kettőé ; ellenkező esetben az összeg valamelyik tagja -ben vagy -ben lineáris, és a megfelelő atom alapállapotában a várható érték eltűnne). Nyilvánvaló, hogy a szaggatott vonalak két végéhez tartozó koordináták különbözőek, és . Az ellenkező esetben a diagram (ti. a megfelelő tag a mátrixelemben) két, egymástól független, -től, ill. -től függő függvény szorzata, ahelyett, hogy az r1–r2 különbség függvénye lenne; ezek a tagok nincsenek kapcsolatban a szórással.^[299] A feltételeknek megfelelően az és koordinátákat a diagram négy pontjában négy különböző módon lehet elhelyezni. Tekintetbe véve, hogy a és operátorok egymással felcserélhetők, és átlagolva az egyes atomok állapotaira, azt találjuk, hogy a kapott 3⋅4=12 tag azonos (csak az integrációs változók jelölése különböző). Az eredmény:

9.107. egyenlet - (85,7)

\begin{matrix} \begin{aligned} ⟨S (r)⟩ & = \frac{1}{2} \int d t_{1} \dots \int d t_{4} \cdot ⟨T (E_{i} (r_{1}, t_{1}) E_{k} (r_{2}, t_{2}))⟩ \times \\ \times ⟨T (E_{l} (r_{2}, t_{3}) E_{m} (r_{1}, t_{4}))⟩ ⟨T (d_{1 i} (t_{1}) d_{1 m} (t_{4}))⟩ ⟨T (d_{2 k} (t_{2}) d_{2 l} (t_{3}))⟩, \end{aligned} & (85,7) \end{matrix}

ahol , háromdimenziós vektorindexek.

9.108. egyenlet - (85,8)

D_{i k}^{E} (x_{1} - x_{2}) = ⟨T (E_{i} (x_{1}) E_{k} (x_{2}))⟩

mennyiségek kiszámításához olyan mértéket választunk, amelyben a skalárpotenciál Φ=0 . Ekkor E=∂A∕∂t és

DikE(x1–x2)=(∂2/∂t1∂t2)⟨T(Ai(x1)Ak(x2))⟩=i(∂2/∂t2)Dik(x),

ahol x=x1–x2 , Dik(x) pedig a fotonpropagátor az adott mértékben.^[300] Ezért

9.109. egyenlet - (85,9)

D_{i k}^{E} (x) = - i \int ω^{2} D_{i k} (k) e^{- i k x} \frac{d^{4} k}{{(2 π)}^{4}},

ahol Dik(k) a fotonpropagátor impulzusreprezentációban; (77,14) szerint

9.110. egyenlet - (85,10)

D_{i k} (k) = \frac{4 π}{ω^{2} - k^{2} + i 0} (δ_{i k} - \frac{k_{i} k_{k}}{ω^{2}}) .

9.111. egyenlet - (85,11)

α_{i k} (t_{1} - t_{2}) = i ⟨T (d_{i} (t_{1}) d_{k} (t_{2}))⟩

mennyiségeket Fourier-integrálkéntállítjuk elő:

Legyen, a kényelem kedvéért, t2=0 , t1=t ; a -szorzat definíciója szerint

9.112. egyenlet - (85,12)

α_{i k} (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} e^{i ω t} α_{i k} (t) d t = i \int_{- \infty}^{0} e^{i ω t} ⟨d_{k} (0), d_{i} (t)⟩ d t + i \int_{0}^{\infty} e^{i ω t} ⟨d_{i} (t), d_{k} (0)⟩ d t .

Az itt fellépő (az atomok alapállapotában képzett) várhatóértékek kifejezhetők a dipólusmomentum mátrixelemeivel:

⟨dk(0),di(t)⟩ =∑n(dk)0n(di)n0eiωn0t, ⟨di(t),dk(0)⟩ =∑n(di)0n(dk)n0e–iωn0t.

Behelyettesítve e kifejezéseket (85,12)-be és elvégezve az integrálást, azt kapjuk, hogy^[301]

9.113. egyenlet - (85,13)

α_{i k} (ω) = \sum_{n} \{\frac{{(d_{i})}_{0_{n}} {(d_{k})}_{n^{0}}}{ω_{n^{0}} - ω} + \frac{{(d_{k})}_{0_{n}} {(d_{i})}_{n^{0}}}{ω_{n^{0}} + ω}\} .

Ha az atom alapállapota -állapot, akkor αik(ω)=α(ω)δik . Ha az atomnak impulzusmomentuma van, akkor ugyanezt az eredményt kapjuk az impulzusmomentum irányára való átlagolás után, ezt mindig elvégezzük (olyan atomok kölcsönhatását vizsgáljuk, amelyeknek kölcsönös orientációjára átlagolunk). (85,13)-ból látható, hogy

Az α(ω) mennyiség ( ω>0 -nál) nem más, mint az atom polarizálhatósága [vö. (60,17)].

A kapott kifejezéseket (85,7)-be helyettesítve,^[302]

⟨S(r)⟩ =(1/2)∫ dt1… dt4⋅(dΩ1/2π)(dΩ2/2π)(d4k1/(2π)4)(d4k2/(2π)4)α1(Ω1)α2(Ω2)× ×ω12Dik(k1)ω22Dik(k2)× ×exp{i(k1–k2)(r1–r2)–iω1(t1–t2)–iω2(t3–t4)–iΩ1(t1–t4)–iΩ2(t2–t3)}.

Három időváltozó szerinti integrálás -függvényt ad (amely szerint –Ω1=Ω2=ω2=ω1=ω ), a negyedik adja a szorzótényezőt:

ahol

U(r) =(i/2(2π)7)∫ d3k1d3k2dω⋅ω4α1(ω)α2(ω)Dik(k1,ω)Dik(k2,ω)× ×exp{ir(k1–k2)},

vagy (85,10)-zel

9.114. egyenlet - (85,14)

U (r) = \frac{i}{16 π^{5}} \int d^{3} k_{1} d^{3} k_{2} d ω \cdot α_{1} (ω) α_{2} (ω) \frac{3 ω^{4} - ω^{2} (k_{1}^{2} + k_{2}^{2}) + {(k_{1} k_{2})}^{2}}{(ω^{2} - k_{1}^{2} + i 0) (ω^{2} - k_{2}^{2} + i 0)} e^{i r (k_{1} - k_{2})} .

Ez a képlet megadja két, az atomi mérethez képest nagy, egyébként tetszőleges távolságban levő atom kölcsönhatási energiáját. Az integrál a két határesetben, „kis” ( a≪r≪λ0 ) és „nagy” ( r≫λ0 ) távolságokra explicit alakban kiszámítható.

Adott távolság mellett az integrálban a hullámszámvektoroknak azok az értékei lényegesek, amelyekre |k|∼1∕r . Ha r≪λ0 , akkor |k|≫ω0 ( az atomi frekvencia), és (85,14) integrandusában az -es tagok mindenütt [az α(ω) függvény kivételével] elhanyagolhatóak a -es tagok mellett. Ezt figyelembe véve, nem nehéz a szokásos London-képlethez eljutni (III. 89. §).

Vizsgáljuk most a másik esetet, mikor r≫λ0 . Mindenekelőtt a szerinti integrálást végezzük el (85,14)-ben. A komplex sík felső félsíkjában zárjuk az integrációs görbét, így a reziduumtétel segítségével az integrált könnyen kiszámíthatjuk. Elegendő figyelembe venni a nevezőnek azokat a zérushelyeit, amelyeknél

az α(ω) függvény pólusai az ω∼ω0 helyen vannak, így most nem lényegesek. Elvégezve így a szerinti integrálást, majd a , integrációs változókat a q=k1–k2 , k≡k2 változókkal helyettesítve, U(r) -et Fourier-integrálként állíthatjuk elő:

9.115. egyenlet - (85,15)

U (r) = \int U (q) e^{i q r} \frac{d^{3} q}{{(2 π)}^{3}},

ahol

9.116. egyenlet - (85,16)

U (q) = - \frac{α_{1} (0) α_{2} (0)}{2 π} \int \frac{d^{3} k}{k k_{1}} \frac{{({k k}_{1})}^{2} - k k_{1} (2 k_{1}^{2} + 2 k^{2} + 3 k k_{1})}{k + k_{1}}

(itt és a továbbiakban k1=k+q , k1=|k1| , k=|k| ). Az α1(ω) , α2(ω) függvények argumentumában a kicsiny ω∼k ( ω≪ω0 ) értékeket zérussal helyettesítettük, azaz a függvények helyébe az atomok sztatikus polarizálhatóságát írtuk.

A (85,16) integrál k→∞ esetén divergál, ami azzal függ össze, hogy az általunk használt dipólusközelítés k≿1∕a esetén nem alkalmazható. E divergencia azonban nem lényeges. A helyzet az, hogy U(r) aszimptotikus viselkedését r→∞ esetén U(q) -nak azok a tagjai határozzák meg, amelyeknek q=0 -nál szingularitásuk van; ezek a szinguláris tagok U(r) -ben ( 1∕r szerinti hatvány) járulékot adnak. U(q) szinguláris részét viszont, mint azt látjuk, a (85,16) integrál konvergens része határozza meg.

(85,16)-ban d3k helyett 2πk2dkdcos -t írunk ( a és vektorok által bezárt szög), dcos pedig,

ahol

k1=√(k2+q2+2kqcos), kk1=(1/2)(k12+k2–q2).

Így (85,16)-ban a

helyettesítést végezhetjük, a dk1 szerinti integrálás határai |k–q| és k+q . Az integrandus kifejezéséből arra következtethetünk, hogy szingularitás csak a nevező miatt léphet fel. Mivel bennünket csak a szinguláris tagok érdekelnek, ezért elvégezhetjük a következő egyszerűsítést. A számlálót k+k1 hatványai szerint sorba fejtjük, és csak a nulladik tagot tartjuk meg (másképp kifejezve, a számlálóban a k=–k1 helyettesítést végezzük el). Így azt kapjuk, hogy

9.117. egyenlet - (85,17)

U (q) = - \frac{α_{1} (0) α_{2} (0)}{4 q} \int_{0}^{\infty} (8 k^{4} - 4 k^{2} q^{2} + q^{4}) ln \frac{2 k + q}{k + | k - q |} d k .

A ( q→0 esetén) szinguláris tag alakja q5lnq . Ezzel számolva a kölcsönhatási energia Fourier-transzformáltja :^[303]

9.118. egyenlet - (85,18)

U (q) = \frac{23 α_{1} (0) α_{2} (0)}{120} q^{4} ln q .

Az inverz Fourier-transzformációt az

9.119. egyenlet - (85,19)

\int e^{i q r} q^{4} ln q \frac{d^{3} q}{{(2 π)}^{3}} = - \frac{30}{π r^{7}} .

képlet szerint végezhetjük.^[304] Ezzel kapjuk a következő végeredményt:

9.120. egyenlet - (85,20)

U (r) = \frac{23 ℏ c}{4 π} \frac{α_{1} (0) α_{2} (0)}{r^{7}},

ezzel meghatároztuk két, egymástól nagy távolságra ( r≫λ0 ) levő atom kölcsönhatási energiáját.^[305]

^[298] Ez helyettesíti a diagonálismátrixelemek terjedelmesebb jelölését, mind az atom, mind a foton-tér állapotaira nézve.

^[299] Ezek az egyes atomok sajátenergiás korrekcióit adják, amivel most nem foglalkozunk.

^[300] A (∂/∂t)Dik(t) első differenciálhányadosnak t=0 -nál ugrása van. Így a második derivált, ti. a DikE(t) függvény, egy további tagot is tartalmaz, melyben a δ4(x2–x1) függvény szerepel. Ez a tag azonban r1≠r2 esetén mindig nulla, így itt nem kell figyelembe vennünk.

^[301] A konvergencia szempontjából a (85,12)-ben levő első integrálban ω→ω–i0 , a másodikban ω→ω+i0 . Ebből világos, hogyan kell a (85,13) kifejezést a pólusok körül értelmezni.

^[302] * Megjegyzés: Az itt szereplő -t ne tévesszük össze a térszög jelével. (A szerk.).

^[303] A (85,17) integrál, bár némi fáradsággal, de elemi úton számítható. A felső határ végtelenje helyébe a nagy számot írjuk, és csak a lnq -t tartalmazó tagokat tartjuk meg, így kapjuk (85,18)-at. Ennél jóval egyszerűbb úton is célhoz érhetünk, ha észrevesszük, hogy az integrál bennünket érdeklő részének q→0 esetén logaritmikus szingularitása van, így ezt a részt a k≫q tartomány határozza meg. A logaritmikus tényezőt (q/2k) szerint sorba fejtjük: ln(2k+q/2k–q)≈2[(q/2k)+(1/3)((q/2k))3+(1/5)((q/2k))5] , leválasztjuk az ∫(dk/k) alakú divergens részt, amelyet alulról k∼q körül kell levágni (a felső határ nem lényeges).

^[304] A -térben gömbkoordinátákban közvetlenül integrálhatunk: limδ→+0∫eiqr–qδqν(d3q/(2π)3)=–(Γ(ν+2)sin(πν/2)/2π2rν+3) . Ezt a paraméter szerint differenciálva, majd helyébe 4-et írva, kapjuk (85,19)-et