Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Visszatérünk az előző szakasz kiinduló képleteihez, és megmutatjuk, hogyan kell elvégezni a számításokat, ha a kezdeti és a végső elektronok és fotonok polarizáltak.
A foton polarizációs sűrűségmátrixa (8,17) szerint
kifejezhető az ,
négyes egységvektorok segítségével, amelyek kielégítik a (8,16) feltételeket. Esetünkben a két fotonhoz tartozó
vektorokat azonosan választhatjuk meg; ezek a 71. §-ban bevezetett négyesvektorok:[306]
A (86,5)-beli -t a (86,4) képlet adja meg. Az
mennyiségek egy négyestenzor komponensei (abban az értelemben, hogy az
mennyiségek alkotnak négyestenzort). Ezek kifejezhetők négy, páronként
ortogonális négyesvektor segítségével, az utóbbiak lehetnek az előbb definiált
,
,
,
. Mivel a
és
tenorok csak a
és az
vektorokat tartalmazzák, ezért
-nek is csak a
és
vektorok szerinti komponenseire van szükségünk. Másképpen fogalmazva,
elegendő a következő tagokat megtartani:
a többi a (86,5)-be való helyettesítéskor
úgyis kiesik. és
skaláris mennyiségek – ugyanolyan értelemben, ahogy a
négyestenzor; ezek a
mátrixokat csak „invariáns” kombinációkban tartalmazzák:
stb.
és
pszeudoskalárok (
pszeudovektor!), ezért tartalmazniuk kell a
mátrixot.
A tenzor közvetlen projekciójával kaphatjuk, hogy
stb. A számítás megkönnyítése érdekében célszerű a tenzort az egymásra ortogonális
,
,
,
négyesvektorokkal kifejezni:
A továbbiakban tisztán algebrai átalakításokat kell végezni a 22. §-ban levezetett képletek segítségével. Ezenkívül
végezhetünk -ben olyan helyettesítéseket, amelyek
értékét nem befolyásolják. Mivel például
átalakításokat végezzük.
A számítás részleteit elhagyva, megadjuk a végeredményt:[307]
ahol
A további számításaiban célszerű ugyanazt a formális eljárást
alkalmazni, mint amit a 8. §-ban írtunk le a foton
sűrűségmátrixával kapcsolatban: a (87,3) tenzornak az
és
bázisbeli négy komponensét egy
-es
mátrixban foglaljuk össze, amit a Pauli-mátrixok szerint kifejtünk. A (8,18)
képlethez hasonló módon
A (86,5)-ben fellépő tenzor komponenseit illetően (87,3)-ból és (87,5)-ből [a (66,2a) szabályok
segítségével] könnyen meggyőződhetünk arról, hogy ezeket
komponenseiből a
helyettesítéssel és a indexek felcserélésével kaphatjuk.[308] Mátrix formában ez azt jelenti, hogy
A következőkben pontosan megfogalmazzuk az ,
négyesvektorok és a foton polarizációja közötti összefüggést. A
független polarizációs irányokat az
,
hármasvektorok (a foton
impulzusára nézve) transzverzális komponensei határozzák meg.[309] Könnyen látható, hogy mind tömegközépponti, mind laboratóriumi rendszerben
(melyben a kezdeti elektron nyugalomban van) a
vektor a
,
síkban van, az
pedig erre merőleges. Ezért az
irány a szórási síkra merőleges, az
a szórási síkbeli polarizációt jelenti. Figyelembe kell még venni,
hogy a
,
,
Stokes-paramétereket egy jobbsodrású
koordináta-rendszerben definiáltuk (a
vektor a
tengely irányába mutat). Ilyen koordináta-rendszert feszítenek ki az
,
,
vektorok a kezdeti, az
,
,
vektorok a végső fotonra vonatkozóan (
, ill.
a
-nek
-ra, ill.
-re merőleges összetevői).
előjelváltása a (8,17)
sűrűségmátrixban
és
előjelváltásával ekvivalens.Ezért a kezdeti és a végső fotonnak az
,
négyes egységvektorokra vonatkóztatott sűrűségmátrixa a következő
alakú:
A
tenzorspurt mint a (87,6)-(87,9) mátrixok szorzatának nyomát számíthatjuk. Felhasználva (33,5)-öt, a következő végeredményt kapjuk:
Kiszámítjuk polarizált fotonok polarizálatlan elektronokon történő szóródásának hatáskeresztmetszetét, a végállapotbeli elektron polarizációjára összegezünk. (87,10)-be beírjuk a
sűrűségmátrixokat, majd az így kapott kétszeresét írjuk a hatáskeresztmetszetet megadó (65,22)
képletbe:
az azimutszög tömegközépponti vagy laboratóriumi rendszerben ). (87,10)
néhány tagja azonosan eltűnik (a 3. és 6. sor tagjai, valamint a 2. és 5. sor néhány
tagja).A többi a következő végeredményhez vezet [a (86,15) jelöléseket használjuk]:
a polarizálatlan fotonok (86,9)
szóródási hatáskeresztmetszete; az
tényező azért jelent meg, mert (87,11)-ben a végső foton polarizációjára nem összegeztünk.
Laboratóriumi rendszerben (87,11) alakja a következő:
(U. Fano , 1949). Megjegyezzük, hogy a (87,12) kifejezés bár explicit módon nem tartalmazza a szórási síkbeli
azimutszöget, implicit módon mégis függ tőle, mert a
,
,
paramétereket a szórási síkkal kapcsolatban levő
koordináta-rendszerben definiáltuk. Emlékeztetőül: az
tengely a két fotonra azonos és merőleges a szórási síkra:
az tengelyek pedig a szórási síkban fekszenek:
Polarizált foton polarizálatlan elektronon történő szóródásának teljes
hatáskeresztmetszetét (a végállapotbeli
foton polarizációjára összegezve) úgy kapjuk, hogy a előjelében különböző járulékokat összeadjuk (
helyébe zérust írunk, és kettővel szorozzuk). Jelöljük ezt
-vel, ekkor
Látszik, hogy a szórás síkjára merőleges polarizációjú () fotonok szóródási hatáskeresztmetszete nagyobb, mint a szórási
síkban polarizáltaké (
). A cirkulációs polarizációtól a hatáskeresztmetszet nem függ. Nem
függ továbbá a
paramétertől sem. Ezért a hatáskeresztmetszet a polarizálatlan
fotonokéval egyezik meg, ha nincs
vagy
tengely menti lineáris polarizáció (
), vagy ha a polarizáció tengelye az
és
tengelyekkel
-os szöget zár be.
Hasonló tulajdonságokat találunk abban az esetben, ha polarizálatlan fotonok
szóródását mérjük, de a szórt foton polarizációját is észleljük. Ezt a
hatáskeresztmetszetet [-vel jelöljük] (87,12)-ből
helyettesítéssel kapjuk:
(87,12)-ből megkaphatjuk a másodlagos foton
polarizációját is; ennek paramétereit-fel jelöljük, megkülönböztetve a
detektált polarizációtól. A 66. §-ban megmutatott szabályok szerint a
mennyiségek
együtthatóinak és a
-t nem tartalmazó tagoknak hányadosai:
Polarizálatlan fotonok szóródása esetén
Itt , azaz a másodlagos foton a szórási síkra merőlegesen polarizált.
Cirkuláris polarizációja csak akkor van, ha a kezdeti foton is cirkulárisan
polarizált:
, csak ha
.
Vizsgáljuk azt az esetet, mikor a bejövő foton lineárisan polarizált
(,
), és határozzuk meg olyan szórás differenciális
hatáskeresztmetszetét, amelynél a másodlagos foton lineáris polarizációját
detektáljuk. Ha a
,
paramétereket kifejezzük a fotonok
és
polarizációs vektorainak komponenseivel, a szórási
hatáskeresztmetszetre a következő kifejezést kapjuk:
ahol a bejövőés szórt foton polarizációs vektorai által bezárt
szög.[310]
A fenti képlet szerint a hatáskeresztmetszet lényegesen különböző abban a két
esetben, amikor az és
polarizációs vektorok merőlegesek egymásra, valamint amikor egy
síkban fekszenek. E két esetet a
és
indexekkel jelöljük; nemrelativisztikus határesetben
(
,
)
a klasszikus képletnek megfelelően. Az ellenkező, ultrarelativisztikus
esetben ,
. Itt a kis és a nagy szögek tartományát (
kicsi vagy nagy) külön kell választani:
Látjuk, hogy nagyon kis szögeknél a hatáskeresztmetszet a klasszikussal
megegyezik. A nem túl kis szögek esetén érvényes egyenlőség azt jelenti, hogy ebben a tartományban
ultrarelativisztikus esetben a szórt sugárzás polarizálatlan; hangsúlyozzuk azonban,
hogy mindez lineárisan polarizált bejövő foton esetében igaz: (87,17)-ből látható, hogy cirkulárisan polarizált
fotonra ultrarelativisztikus esetben
.
Polarizált elektronok esetében (87,10) kiszámítása igen hosszadalmas, bár elvi nehézségbe nem ütközik. Itt most csak néhány eredményt írunk le.[311]
Általános esetben a hatáskeresztmetszet függ mind a kezdeti és a végső foton
és
polarizációs paramétereitől, mind a kezdeti és a végső elektron
polarizációjától, amit a
és
vektorok jellemeznek. A hatáskeresztmetszet valamennyi paraméterben
lineáris, alakja a következő:
Itt a (87,12) hatáskeresztmetszet.
Kiírtunk minden tagot, mely két polarizációs paraméter szorzatát tartalmazza. A három
vagy négy paraméter szorzatát tartalmazó tagokat elhagytuk; ezek nem lényegesek, ha
csak két részecske polarizációja közötti korrelációt vizsgáljuk: eltűnnek, ha a másik
két részecske polarizációs paraméterei zérusok. Megadunk néhány együtthatót
laboratóriumi rendszerben:
A hatáskeresztmetszet (87,22) kifejezésében
nincs alakú tag; ez azt jelenti, hogy az elektron polarizációja nem
befolyásolja a polarizálatlan fotonok teljes (
és
szerint összegezett) szóródási hatáskeresztmetszetét. Ugyancsak
nincs
alakú tag; ez azt jelenti, hogy polarizálatlan fotonok szóródásakor
a visszalökött elektron nem polarizálódik.
Azt is láthatjuk, hogy az elektron és foton polarizációjában bilineáris tagokban
csak a foton cirkuláris polarizációjára jellemző ,
paraméterek szerepelnek. Az elektronok
és
polarizációs vektorai
skalárszorzat alakjában jönnek be, az utóbbiak a vektoroknak csak a
szórási síkra eső vetületeit tartalmazzák. Ezért például polarizált foton polarizált
elektronon való szóródásának
hatáskeresztmetszete -től csak akkor különbözik, ha a foton cirkulárisan polarizált, az
elektronspin átlagértékének a szórási síkra eső vetülete pedig zérustól különböző.
Ugyanilyen oknál fogva a visszalökött elektron csak akkor polarizálódik, ha a foton
cirkulárisan polarizált; az elektron polarizációs vektora ilyenkor a szórási síkban
fekszik:
Befejezésül megmutatjuk, hogy a foton-elektron szórásban fellépő polarizációs effektusok kvalitatív vonásai már általános szimmetriakövetelményekből adódnak.
A cirkuláris polarizáció paramétere pszeudoskalár (l. 8. §). Ezért a
-invariancia miatt a szórási hatáskeresztmetszetben
(vagy
) csak valamilyen pszeudoskalár mennyiséggel szorozva léphet fel, az
utóbbi a
és
vektorokból állhat elő.[312] Két poláris vektorból azonban pszeudoskalár nem képezhető.
Következésképpen ilyen tag nem szerepelhet a hatáskeresztmetszetben.
A lineáris polarizáció ,
paraméterei az
szimmetrikus, kétdimenziós (-ra merőleges síkbeli) tenzor komponenseivel függnek össze. Az adott
esetben a polarizációs tengelyek egyike a
vektorral párhuzamos, a másik a
,
síkban fekszik (a
vektorral párhuzamos az egyik, a
-vel a másik foton esetén).
-gyel arányos tagok a hatáskeresztmetszetben csak az
(vagy ami ugyanaz,
) stb. szorzat formájában léphetnek fel. De mivel
axiális vektor,
poláris vektor,
pedig valódi tenzor, az ilyen szorzat tükrözéssel szemben nem
invariáns. Ezért
-gyel (vagy
-vel) arányos tagok sem lehetnek a hatáskeresztmetszetben.
-mal (vagy
-vel) arányos tagok az
stb. szorzat formájában léphetnek fel, ezt a
szimmetriakövetelmények nem tiltják.
A paritásmegmaradás nem tiltja, hogy az elektron polarizációs vektorával arányos tagok legyenek a
hatáskeresztmetszetben: ilyet ad a két axiális vektor szorzata:
. A perturbációszámítás általunk vizsgált közelítésében ezek azonban
nem jelenhetnek meg, ez annak következménye, hogy a szórásmátrixnak az adott
közelítésben hermitikusnak kell lennie ( 72. §).
A hermiticitás értelmében a szórásamplitúdó négyzete (és ezzel a
hatáskeresztmetszet) nem változik, ha a kezdeti és végállapotot felcseréljük.
Ugyanakkor a hatáskeresztmetszetnek invariánsnak kell lennie az időtükrözéssel
szemben, amikor is a kezdeti és a végállapot felcserélésével egyidejűleg minden
részecske impulzus- és impulzusmomentum-vektorának előjelét is megváltoztatjuk (a
,
,
Stokes-paraméterek e transzformáció során nem változnak – l. 8. §). E két követelményt együtt alkalmazva arra
jutunk, hogy a hatáskeresztmetszet az adott közelítésben nem változik, ha minden
impulzus és impulzusmomentum előjelét egyidejűleg megváltoztatjuk a kezdeti és a
végállapot változtatása nélkül, azaz a
transzformációt végezzük, miközben a ,
paraméterek nem változnak.
A (87,26) átalakítás a szorzat előjelét megváltoztatja, ezért ilyen tag a
hatáskeresztmetszetben nem lehet. Hangsúlyozuk azonban, hogy ez nem egzakt
szimmetriakövetelmény következménye, így a perturbációszámítás következő
közelítésében sérülhet.
A tükrözési szimmetria a két foton polarizációja közötti korrelációt leíró tagok
közül csak és
alakúakat zárja ki, a foton és elektron polarizációja közötti
korrelációs tagok közül pedig semmit. Első közelítésben azonban a (87,26) transzformációval szemben mutatott
invariancia minden
,
,
alakú tag megjelenését tiltja. A
és
tagok (a paritásmegmaradás miatt) skalárként jöhetnének be, mint
pl.
és
; ezek a kifejezések azonban a (87,26) transzformáció során előjelet váltanak.
A megengedett alakú korrelációs tagok
típusú szorzatként léphetnek fel. Ebben az elektron polarizációs
vektorának csak a szórás síkjába eső vetülete szerepel.
Végül egész sor összefüggés adódik a megengedett tagok együtthatói között a keresztezési invariancia követelményéből. Azok a reakciócsatornák, amelyek egymástól csak a kezdeti és a végső foton felcserélésében különböznek, ugyanazt a folyamatot írják le – a foton-elektron szórást. A szórásamplitúdó abszolút értékének négyzete és ezzel együtt a hatáskeresztmetszet invariáns kell, hogy legyen az ilyen csatornák közötti átmenetnek megfelelő
transzformációval szemben; az elektronok impulzusa és polarizációja változatlan. Háromdimenziós alakban e transzformáció az
helyettesítésnek felel meg. Hogy a paraméter előjelet vált, az a
kifejezésből látható, az
vektor az
helyettesítés során előjelet vált, az
vektor a
,
helyettesítés esetén nem változik. A (87,27) transzformáció az elektronok impulzusát nem befolyásolva, a
laboratóriumi rendszert sem változtatja meg. Ezért a (87,22) hatáskeresztmetszet a transzformáció során nem változhat; a (87,12), (87,22), (87,23) képletek ezt a feltételt
valóban kielégítik.
[306] Egy másik lehetséges eljárás a következő: elejétől kezdve rögzített (pl.
laboratóriumi) vonatkoztatási rendszerben dolgozunk; és
a tisztán térszerű [
], a foton impulzusára merőleges egységvektorok:
a
impulzusú,
a
impulzusú fotonra. Így azonban az egész számítást háromdimenziós
formában kell végezni, az eredményt nem kovariáns alakban kapjuk.
[307] (87,3) és (87,5) együtt az általános meggondolásokból levezetett (71,11)(71,13) kifejezéseknek felel meg. A
-invarianciából következik, hogy
, ezenkívül most még egy amplitúdó (
) eltűnik. Ez a perturbációszámítás vizsgált közelítésének
tulajdonsága, és a magasabb közelítésekben már nem jelentkezik.
[308] A mátrix eredeti (86,4)
formájában fennáll az egyszerű
összefüggés. Ez a tulajdonság azonban bizonyos átalakítások
során, mint amilyen a (87,4) típusú helyesbítés
is, elvész.
[309] Az vektor longitudinális komponense (csakúgy, mint az
négyesvektor időszerű komponense) figyelmen kívül hagyható: ez a
mértékinvariancia következménye.
[310] A (87,19) képletet egyszerűbben
megkaphatjuk, ha a szórási amplitúdó (86,3)
kifejezésébe az ,
négyesvektorokat írjuk, és a további számításokat
háromdimenziós alakban végezzük (ti. szétválasztva a négyesvektorok időszerű és
térszerű komponenseit). Átlagolva a
kifejezést
és
iránya szerint [(45,4a) segítségével] és a
hatáskeresztmetszetet kettővel szorozva (
szerint összegezve), (86,9)-et kapjuk vissza.
[311] A részletes eredmények az eredeti cikkekben megtalálhatók: F. Lipps, H. A. Tolhoek, Physica 20, 85, 395 (1954). Összefoglaló cikkek: H. A. Tolhoek , Rev. Mod. Phys. 28, 277 (1956); W. H. McMaster , Rev. Mod. Phys. 33, 8 (1961).
[312] A folyamatot a laboratóriumi rendszerben vizsgáljuk, ahol ,
. Nyilvánvaló, hogy a szimmetriakövetelmények bennünket
érdeklő következményei (az, hogy ilyen vagy olyan tag a hatáskeresztmetszetben
fellép-e vagy sem) függetlenek a vonatkoztatási rendszer megválasztásától.