ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

87.§. Foton szóródása elektronon. Polarizációs effektusok

Visszatérünk az előző szakasz kiinduló képleteihez, és megmutatjuk, hogyan kell elvégezni a számításokat, ha a kezdeti és a végső elektronok és fotonok polarizáltak.

A foton polarizációs sűrűségmátrixa (8,17) szerint kifejezhető az e(1) , e(2) négyes egységvektorok segítségével, amelyek kielégítik a (8,16) feltételeket. Esetünkben a két fotonhoz tartozó vektorokat azonosan választhatjuk meg; ezek a 71. §-ban bevezetett négyesvektorok:^[306]

10.20. egyenlet - (87,1)

e^{(1)} = \frac{N}{\sqrt{- N^{2}}}, e^{(2)} = \frac{P}{\sqrt{- P^{2}}},

ahol

10.21. egyenlet - (87,2)

\begin{matrix} \begin{aligned} P^{λ} & = (p^{λ} + p^{' λ}) - K^{λ} \frac{p K + p^{'} K}{K^{2}}, \\ N^{λ} & = e^{λ μ ν ϱ} P_{μ} q_{ν} K_{ϱ}, \\ K^{λ} & = k^{λ} + k^{' λ}, q^{λ} = k^{' λ} - k^{λ} = p^{λ} - p^{' λ} . \end{aligned} & (87,2) \end{matrix}

A (86,5)-beli Qμν -t a (86,4) képlet adja meg. Az u′Qμνu mennyiségek egy négyestenzor komponensei (abban az értelemben, hogy az mennyiségek alkotnak négyestenzort). Ezek kifejezhetők négy, páronként ortogonális négyesvektor segítségével, az utóbbiak lehetnek az előbb definiált , , , . Mivel a ϱμν(γ)′ és tenorok csak a és az vektorokat tartalmazzák, ezért Qμν -nek is csak a és vektorok szerinti komponenseire van szükségünk. Másképpen fogalmazva, elegendő a következő tagokat megtartani:

10.22. egyenlet - (87,3)

\begin{matrix} \begin{aligned} Q_{μ ν} = Q_{0} (e_{μ}^{(1)} e_{ν}^{(1)} + e_{μ}^{(2)} e_{ν}^{(2)}) + Q_{1} (e_{μ}^{(1)} e_{ν}^{(2)} + e_{μ}^{(2)} e_{ν}^{(1)}) - \\ - i Q_{2} (e_{μ}^{(1)} e_{ν}^{(2)} - e_{μ}^{(2)} e_{ν}^{(1)}) + Q_{3} (e_{μ}^{(1)} e_{ν}^{(1)} - e_{μ}^{(2)} e_{ν}^{(2)}); \end{aligned} & (87,3) \end{matrix}

a többi a (86,5)-be való helyettesítéskor úgyis kiesik. és skaláris mennyiségek – ugyanolyan értelemben, ahogy a Qμν négyestenzor; ezek a mátrixokat csak „invariáns” kombinációkban tartalmazzák: stb. és pszeudoskalárok ( pszeudovektor!), ezért tartalmazniuk kell a mátrixot.

A Qμν tenzor közvetlen projekciójával kaphatjuk, hogy

stb. A számítás megkönnyítése érdekében célszerű a Qμν tenzort az egymásra ortogonális , , , négyesvektorokkal kifejezni:

Qμν=γμ((1/2)P̂+m/s–m2)γν+γν((1/2)P̂+m/u–m2)γμ–(1/t)(γμK̂γν–γνK̂γμ).

A továbbiakban tisztán algebrai átalakításokat kell végezni a 22. §-ban levezetett képletek segítségével. Ezenkívül végezhetünk Qμν -ben olyan helyettesítéseket, amelyek ū′Qμνu értékét nem befolyásolják. Mivel például

ezért ū′Qμνu nem változik, ha Qμν -ben a

10.23. egyenlet - (87,4)

\hat{p} + {\hat{p}}^{'} \to 2 m, γ^{5} \hat{q} \to 2 m γ^{5}

átalakításokat végezzük.

A számítás részleteit elhagyva, megadjuk a végeredményt:^[307]

10.24. egyenlet - (87,5)

\begin{matrix} \begin{aligned} Q_{0} & = - m a_{+}, Q_{1} = \frac{i}{2} a_{+} γ^{5} \hat{K}, \\ Q_{2} & = - m a_{+} γ^{5}, Q_{3} = m a_{+} + \frac{1}{2} a_{-} \hat{K}, \end{aligned} & (87,5) \end{matrix}

ahol

A Qμν további számításaiban célszerű ugyanazt a formális eljárást alkalmazni, mint amit a 8. §-ban írtunk le a foton sűrűségmátrixával kapcsolatban: a (87,3) tenzornak az e(1) és e(2) bázisbeli négy komponensét egy 2×2 -es mátrixban foglaljuk össze, amit a Pauli-mátrixok szerint kifejtünk. A (8,18) képlethez hasonló módon

10.25. egyenlet - (87,6)

Q = Q_{0} \cdot 1 + Q σ, Q = (Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}) .

A (86,5)-ben fellépő Q̄μν=γ0Qμν+γ0 tenzor komponenseit illetően (87,3)-ból és (87,5)-ből [a (66,2a) szabályok segítségével] könnyen meggyőződhetünk arról, hogy ezeket Qμν komponenseiből a

10.26. egyenlet - (87,7)

{\bar{Q}}_{0} = Q_{0}, {\bar{Q}}_{1} = - Q_{1}, {\bar{Q}}_{2} = - Q_{2}, {\bar{Q}}_{3} = Q_{3}

helyettesítéssel és a indexek felcserélésével kaphatjuk.^[308] Mátrix formában ez azt jelenti, hogy

10.27. egyenlet - (87,8)

\bar{Q} = {\bar{Q}}_{0} \cdot 1 + \bar{Q} \tilde{σ} .

A következőkben pontosan megfogalmazzuk az e(1) , e(2) négyesvektorok és a foton polarizációja közötti összefüggést. A független polarizációs irányokat az e(1) , e(2) hármasvektorok (a foton impulzusára nézve) transzverzális komponensei határozzák meg.^[309] Könnyen látható, hogy mind tömegközépponti, mind laboratóriumi rendszerben (melyben a kezdeti elektron nyugalomban van) a vektor a , síkban van, az pedig erre merőleges. Ezért az e(1) irány a szórási síkra merőleges, az e(2) a szórási síkbeli polarizációt jelenti. Figyelembe kell még venni, hogy a , , Stokes-paramétereket egy jobbsodrású xyz koordináta-rendszerben definiáltuk (a vektor a tengely irányába mutat). Ilyen koordináta-rendszert feszítenek ki az , , vektorok a kezdeti, az , –P⊥′ , vektorok a végső fotonra vonatkozóan (, ill. P⊥′ a -nek -ra, ill. -re merőleges összetevői). e(2) előjelváltása a (8,17) sűrűségmátrixban és előjelváltásával ekvivalens.Ezért a kezdeti és a végső fotonnak az e(1) , e(2) négyes egységvektorokra vonatkóztatott sűrűségmátrixa a következő alakú:

10.28. egyenlet - (87,9)

\begin{matrix} \begin{aligned} ϱ^{(γ)} & = \frac{1}{2} (1 + ξ σ), ξ = (ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}); \\ ϱ^{{(γ)}^{'}} & = \frac{1}{2} (1 + ξ^{'} σ), ξ^{'} = (- ξ_{1}^{'}, - ξ_{2}^{'}, ξ_{3}^{'}) . \end{aligned} & (87,9) \end{matrix}

tenzorspurt mint a (87,6)-(87,9) mátrixok szorzatának nyomát számíthatjuk. Felhasználva (33,5)-öt, a következő végeredményt kapjuk:

10.29. egyenlet - (87,10)

\begin{matrix} \begin{aligned} | M_{f i} |^{2} & = 8 π^{2} e^{4} Sp \{(ϱ^{{(e)}^{'}} Q_{0} ϱ^{(e)} {\bar{Q}}_{0} + ϱ^{{(e)}^{'}} Q ϱ^{(e)} \bar{Q}) + \\ + (ξ + ξ^{'}) (ϱ^{{(e)}^{'}} Q_{0} ϱ^{(e)} \bar{Q} + ϱ^{{(e)}^{'}} Q ϱ^{(e)} {\bar{Q}}_{0}) - \\ - i (ξ - ξ^{'}) [ϱ^{{(e)}^{'}} Q \cdot ϱ^{(e)} \bar{Q}] + \\ + (ξ ξ^{'}) (ϱ^{{(e)}^{'}} Q_{0} ϱ^{(e)} {\bar{Q}}_{0} - ϱ^{{(e)}^{'}} Q ϱ^{(e)} \bar{Q}) + \\ + ϱ^{{(e)}^{'}} (ξ^{'} Q) ϱ^{(e)} (ξ \bar{Q}) + ϱ^{{(e)}^{'}} (ξ Q) ϱ^{(e)} (ξ^{'} \bar{Q}) - \\ - i (ξ \times ξ^{'}) (ϱ^{{(e)}^{'}} Q_{0} ϱ^{(e)} \bar{Q} - ϱ^{{(e)}^{'}} Q ϱ^{(e)} {\bar{Q}}_{0})\} . \end{aligned} & (87,10) \end{matrix}

Szóródás polarizálatlan elektronokon

Kiszámítjuk polarizált fotonok polarizálatlan elektronokon történő szóródásának hatáskeresztmetszetét, a végállapotbeli elektron polarizációjára összegezünk. (87,10)-be beírjuk a

sűrűségmátrixokat, majd az így kapott |Mfi|2 kétszeresét írjuk a hatáskeresztmetszetet megadó (65,22) képletbe:

az azimutszög tömegközépponti vagy laboratóriumi rendszerben ). (87,10) néhány tagja azonosan eltűnik (a 3. és 6. sor tagjai, valamint a 2. és 5. sor néhány tagja).A többi a következő végeredményhez vezet [a (86,15) jelöléseket használjuk]:

10.30. egyenlet - (87,11)

\begin{matrix} \begin{aligned} d σ & = \frac{1}{2} d \bar{σ} + 2 r_{e}^{2} \frac{d y d φ}{x^{2}} \{(ξ_{3} + ξ_{3}^{'}) [- {(\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}^{2} - (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})] + \\ + ξ_{1} ξ_{1}^{'} (\frac{1}{x} - \frac{1}{y} + \frac{1}{2}) + ξ_{2} ξ_{2}^{'} \frac{1}{4} (\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) (1 + \frac{2}{x} - \frac{2}{y}) + \\ + ξ_{3} ξ_{3}^{'} [{(\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}^{2} + (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) + \frac{1}{2}] \} . \end{aligned} & (87,11) \end{matrix}

dσ̄ a polarizálatlan fotonok (86,9) szóródási hatáskeresztmetszete; az 1∕2 tényező azért jelent meg, mert (87,11)-ben a végső foton polarizációjára nem összegeztünk.

Laboratóriumi rendszerben (87,11) alakja a következő:

10.31. egyenlet - (87,12)

\begin{matrix} \begin{aligned} d σ & = \frac{r_{e}^{2}}{4} {(\frac{ω^{'}}{ω})}^{2} d Ω^{'} {F_{0} + F_{3} (ξ_{3} + ξ_{3}^{'}) + F_{11} ξ_{1} ξ_{1}^{'} + F_{22} ξ_{2} ξ_{2}^{'} + F_{33} ξ_{3} ξ_{3}^{'}}, \\ d Ω^{'} & = sin 𝜗 d 𝜗 d φ, \end{aligned} & (87,12) \end{matrix}

ahol

10.32. egyenlet - (87,13)

\begin{matrix} \begin{aligned} F_{0} = \frac{ω}{ω^{'}} + \frac{ω^{'}}{ω} - {sin}^{2} 𝜗, F_{3} = s i n^{2} 𝜗, \\ F_{11} = 2 cos 𝜗, F_{22} = (\frac{ω}{ω^{'}} + \frac{ω^{'}}{ω}) cos 𝜗, F_{33} = 1 + {cos}^{2} 𝜗 \end{aligned} & (87,13) \end{matrix}

(U. Fano , 1949). Megjegyezzük, hogy a (87,12) kifejezés bár explicit módon nem tartalmazza a szórási síkbeli azimutszöget, implicit módon mégis függ tőle, mert a , , paramétereket a szórási síkkal kapcsolatban levő xyz koordináta-rendszerben definiáltuk. Emlékeztetőül: az tengely a két fotonra azonos és merőleges a szórási síkra:

az tengelyek pedig a szórási síkban fekszenek:

Polarizált foton polarizálatlan elektronon történő szóródásának teljes hatáskeresztmetszetét (a végállapotbeli foton polarizációjára összegezve) úgy kapjuk, hogy a előjelében különböző járulékokat összeadjuk ( helyébe zérust írunk, és kettővel szorozzuk). Jelöljük ezt dσ(ξ) -vel, ekkor

10.33. egyenlet - (87,14)

d σ (ξ) = \frac{1}{2} r_{e}^{2} {(\frac{ω^{'}}{ω})}^{2} F d Ω^{'},

ahol

10.34. egyenlet - (87,15)

F = F_{0} + ξ_{3} F_{3} = \frac{ω}{ω^{'}} + \frac{ω^{'}}{ω} - (1 - ξ_{3}) {sin}^{2} 𝜗 .

Látszik, hogy a szórás síkjára merőleges polarizációjú ( ξ3=1 ) fotonok szóródási hatáskeresztmetszete nagyobb, mint a szórási síkban polarizáltaké ( ξ3=–1 ). A cirkulációs polarizációtól a hatáskeresztmetszet nem függ. Nem függ továbbá a paramétertől sem. Ezért a hatáskeresztmetszet a polarizálatlan fotonokéval egyezik meg, ha nincs vagy tengely menti lineáris polarizáció ( ξ3=0 ), vagy ha a polarizáció tengelye az és tengelyekkel 45∘ -os szöget zár be.

Hasonló tulajdonságokat találunk abban az esetben, ha polarizálatlan fotonok szóródását mérjük, de a szórt foton polarizációját is észleljük. Ezt a hatáskeresztmetszetet [ dσ(ξ′) -vel jelöljük] (87,12)-ből ξ=0 helyettesítéssel kapjuk:

10.35. egyenlet - (87,16)

d σ (ξ^{'}) = \frac{1}{4} r_{e}^{2} {(\frac{ω^{'}}{ω})}^{2} F^{'} d Ω^{'}, F^{'} = F_{0} + ξ_{3}^{'} F_{3} .

(87,12)-ből megkaphatjuk a másodlagos foton polarizációját is; ennek paramétereit ξ(f) -fel jelöljük, megkülönböztetve a detektált polarizációtól. A 66. §-ban megmutatott szabályok szerint a ξi(f) mennyiségek ξi′ együtthatóinak és a -t nem tartalmazó tagoknak hányadosai:

10.36. egyenlet - (87,17)

ξ_{1}^{(f)} = \frac{F_{11}}{F} ξ_{1}, ξ_{2}^{(f)} = \frac{F_{22}}{F} ξ_{2}, ξ_{3}^{(f)} = \frac{F_{3} + F_{33} ξ_{3}}{F} .

Polarizálatlan fotonok szóródása esetén

10.37. egyenlet - (87,18)

ξ_{1}^{(f)} = ξ_{2}^{(f)} = 0, ξ_{3}^{(f)} = \frac{{sin}^{2} 𝜗}{ω ∕ ω^{'} + ω^{'} ∕ ω - {sin}^{2} 𝜗} .

Itt ξ3(f)>0 , azaz a másodlagos foton a szórási síkra merőlegesen polarizált. Cirkuláris polarizációja csak akkor van, ha a kezdeti foton is cirkulárisan polarizált: ξ2(f)≠0 , csak ha ξ2≠0 .

Vizsgáljuk azt az esetet, mikor a bejövő foton lineárisan polarizált ( ξ2=0 , ξ12+ξ32=1 ), és határozzuk meg olyan szórás differenciális hatáskeresztmetszetét, amelynél a másodlagos foton lineáris polarizációját detektáljuk. Ha a , ξi′ paramétereket kifejezzük a fotonok és polarizációs vektorainak komponenseivel, a szórási hatáskeresztmetszetre a következő kifejezést kapjuk:

10.38. egyenlet - (87,19)

d σ = \frac{r_{e}^{2}}{4} {(\frac{ω^{'}}{ω})}^{2} (\frac{ω}{ω^{'}} + \frac{ω^{'}}{ω} - 2 + 4 {cos}^{2} Θ) d Ω^{'},

ahol a bejövőés szórt foton polarizációs vektorai által bezárt szög.^[310]

A fenti képlet szerint a hatáskeresztmetszet lényegesen különböző abban a két esetben, amikor az és polarizációs vektorok merőlegesek egymásra, valamint amikor egy síkban fekszenek. E két esetet a és indexekkel jelöljük; nemrelativisztikus határesetben ( ω≪m , ω′≈ω )

10.39. egyenlet - (87,20)

d σ_{⊥} = 0, d σ_{∥} = r_{e}^{2} {cos}^{2} Θ d Ω^{'},

a klasszikus képletnek megfelelően. Az ellenkező, ultrarelativisztikus esetben ω≫m , ω′≈m∕(1–cosϑ) . Itt a kis és a nagy szögek tartományát ( ω∕ω′ kicsi vagy nagy) külön kell választani:

10.40. egyenlet - (87,21)

\begin{matrix} \begin{aligned} d σ_{⊥} = d σ_{∥} & = \frac{1}{4} r_{e}^{2} \frac{ω^{'}}{ω} d Ω^{'} = \frac{1}{4} r_{e}^{2} \frac{m d Ω^{'}}{ω (1 - cos 𝜗)}, ha 𝜗^{2} ≫ \frac{m}{ω}; \\ d σ_{⊥} & = 0, d σ_{∥} = r_{e}^{2} {cos}^{2} Θ d Ω^{'}, ha 𝜗^{2} ≪ \frac{m}{ω} . \end{aligned} & (87,21) \end{matrix}

Látjuk, hogy nagyon kis szögeknél a hatáskeresztmetszet a klasszikussal megegyezik. A nem túl kis szögek esetén érvényes dσ⊥≈ dσ∥ egyenlőség azt jelenti, hogy ebben a tartományban ultrarelativisztikus esetben a szórt sugárzás polarizálatlan; hangsúlyozzuk azonban, hogy mindez lineárisan polarizált bejövő foton esetében igaz: (87,17)-ből látható, hogy cirkulárisan polarizált fotonra ultrarelativisztikus esetben ξ2(f)≈cosϑ⋅ξ2 .

Szóródás polarizált elektronokon

Polarizált elektronok esetében (87,10) kiszámítása igen hosszadalmas, bár elvi nehézségbe nem ütközik. Itt most csak néhány eredményt írunk le.^[311]

Általános esetben a hatáskeresztmetszet függ mind a kezdeti és a végső foton és polarizációs paramétereitől, mind a kezdeti és a végső elektron polarizációjától, amit a és vektorok jellemeznek. A hatáskeresztmetszet valamennyi paraméterben lineáris, alakja a következő:

10.41. egyenlet - (87,22)

d σ = \frac{1}{2} d σ (ξ, ξ^{'}) + \frac{r_{e}^{2}}{8} {(\frac{ω^{'}}{ω})}^{2} d Ω^{'} {f ζ ξ_{2} + f^{'} ζ ξ_{2}^{'} + {g ζ}^{'} ξ_{2} + g^{'} ζ^{'} ξ_{2}^{'} + G_{i k} ζ_{i} ζ_{k}^{'} + \dots} .

Itt dσ(ξ,ξ′) a (87,12) hatáskeresztmetszet. Kiírtunk minden tagot, mely két polarizációs paraméter szorzatát tartalmazza. A három vagy négy paraméter szorzatát tartalmazó tagokat elhagytuk; ezek nem lényegesek, ha csak két részecske polarizációja közötti korrelációt vizsgáljuk: eltűnnek, ha a másik két részecske polarizációs paraméterei zérusok. Megadunk néhány együtthatót laboratóriumi rendszerben:

10.42. egyenlet - (87,23)

\begin{matrix} \begin{aligned} f = - \frac{1}{m} (1 - cos 𝜗) (k cos 𝜗 + k^{'}), \\ f^{'} = - \frac{1}{m} (1 - cos 𝜗) (k + k^{'} cos 𝜗), \\ g = - \frac{1}{m} (1 - cos 𝜗) & [(k cos 𝜗 + k^{'}) - (1 + cos 𝜗) \frac{ω + ω^{'}}{ω - ω^{'} + 2 m} (k - k^{'})], \\ g^{'} = - \frac{1}{m} (1 - cos 𝜗) & [(k + k^{'} cos 𝜗) - (1 + cos 𝜗) \frac{ω + ω^{'}}{ω - ω^{'} + 2 m} (k - k^{'})] . \end{aligned} & (87,23) \end{matrix}

A hatáskeresztmetszet (87,22) kifejezésében nincs alakú tag; ez azt jelenti, hogy az elektron polarizációja nem befolyásolja a polarizálatlan fotonok teljes (és szerint összegezett) szóródási hatáskeresztmetszetét. Ugyancsak nincs G′ζ′ alakú tag; ez azt jelenti, hogy polarizálatlan fotonok szóródásakor a visszalökött elektron nem polarizálódik.

Azt is láthatjuk, hogy az elektron és foton polarizációjában bilineáris tagokban csak a foton cirkuláris polarizációjára jellemző , ξ2′ paraméterek szerepelnek. Az elektronok és polarizációs vektorai fζ,… skalárszorzat alakjában jönnek be, az utóbbiak a vektoroknak csak a szórási síkra eső vetületeit tartalmazzák. Ezért például polarizált foton polarizált elektronon való szóródásának

10.43. egyenlet - (87,24)

d σ (ξ, ζ) = d σ (ξ) + \frac{1}{2} r_{e}^{2} {(\frac{ω^{'}}{ω})}^{2} ξ_{2} f ζ d Ω^{'}

hatáskeresztmetszete dσ(ξ) -től csak akkor különbözik, ha a foton cirkulárisan polarizált, az elektronspin átlagértékének a szórási síkra eső vetülete pedig zérustól különböző. Ugyanilyen oknál fogva a visszalökött elektron csak akkor polarizálódik, ha a foton cirkulárisan polarizált; az elektron polarizációs vektora ilyenkor a szórási síkban fekszik:

10.44. egyenlet - (87,25)

ζ^{(f)} = \frac{1}{F} ξ_{2} g .

Szimmetria-összefüggések

Befejezésül megmutatjuk, hogy a foton-elektron szórásban fellépő polarizációs effektusok kvalitatív vonásai már általános szimmetriakövetelményekből adódnak.

A cirkuláris polarizáció paramétere pszeudoskalár (l. 8. §). Ezért a -invariancia miatt a szórási hatáskeresztmetszetben (vagy ξ2′ ) csak valamilyen pszeudoskalár mennyiséggel szorozva léphet fel, az utóbbi a és vektorokból állhat elő.^[312] Két poláris vektorból azonban pszeudoskalár nem képezhető. Következésképpen ilyen tag nem szerepelhet a hatáskeresztmetszetben.

A lineáris polarizáció , paraméterei az

Sαβ=(1/2)(ϱαβ(γ)+ϱβα(γ))=(1/2)(1+ξ3ξ1 / ξ1 1–ξ3)

szimmetrikus, kétdimenziós (-ra merőleges síkbeli) tenzor komponenseivel függnek össze. Az adott esetben a polarizációs tengelyek egyike a ν=k×k′ vektorral párhuzamos, a másik a , síkban fekszik (a k×ν vektorral párhuzamos az egyik, a k′×ν -vel a másik foton esetén). -gyel arányos tagok a hatáskeresztmetszetben csak az Sαβνα(k′×ν)β (vagy ami ugyanaz, Sαβναkβ′ ) stb. szorzat formájában léphetnek fel. De mivel axiális vektor, poláris vektor, Sαβ pedig valódi tenzor, az ilyen szorzat tükrözéssel szemben nem invariáns. Ezért -gyel (vagy ξ1′ -vel) arányos tagok sem lehetnek a hatáskeresztmetszetben. -mal (vagy ξ3′ -vel) arányos tagok az Sαβνανβ stb. szorzat formájában léphetnek fel, ezt a szimmetriakövetelmények nem tiltják.

A paritásmegmaradás nem tiltja, hogy az elektron polarizációs vektorával arányos tagok legyenek a hatáskeresztmetszetben: ilyet ad a két axiális vektor szorzata: . A perturbációszámítás általunk vizsgált közelítésében ezek azonban nem jelenhetnek meg, ez annak következménye, hogy a szórásmátrixnak az adott közelítésben hermitikusnak kell lennie ( 72. §).

A hermiticitás értelmében a szórásamplitúdó négyzete (és ezzel a hatáskeresztmetszet) nem változik, ha a kezdeti és végállapotot felcseréljük. Ugyanakkor a hatáskeresztmetszetnek invariánsnak kell lennie az időtükrözéssel szemben, amikor is a kezdeti és a végállapot felcserélésével egyidejűleg minden részecske impulzus- és impulzusmomentum-vektorának előjelét is megváltoztatjuk (a , , Stokes-paraméterek e transzformáció során nem változnak – l. 8. §). E két követelményt együtt alkalmazva arra jutunk, hogy a hatáskeresztmetszet az adott közelítésben nem változik, ha minden impulzus és impulzusmomentum előjelét egyidejűleg megváltoztatjuk a kezdeti és a végállapot változtatása nélkül, azaz a

10.45. egyenlet - (87,26)

k \to - k, k^{'} \to - k^{'}, ζ \to - ζ, ζ^{'} \to - ζ^{'}

transzformációt végezzük, miközben a , paraméterek nem változnak.

A (87,26) átalakítás a szorzat előjelét megváltoztatja, ezért ilyen tag a hatáskeresztmetszetben nem lehet. Hangsúlyozuk azonban, hogy ez nem egzakt szimmetriakövetelmény következménye, így a perturbációszámítás következő közelítésében sérülhet.

A tükrözési szimmetria a két foton polarizációja közötti korrelációt leíró tagok közül csak ξ1ξ3 és ξ2ξ3 alakúakat zárja ki, a foton és elektron polarizációja közötti korrelációs tagok közül pedig semmit. Első közelítésben azonban a (87,26) transzformációval szemben mutatott invariancia minden ξ1ξ2 , ξ1ζ , ξ3ζ alakú tag megjelenését tiltja. A ξ1ξ2′ és ξ1ζ tagok (a paritásmegmaradás miatt) skalárként jöhetnének be, mint pl. ξ2′Sαβkα′νβ és (Sαβkα′νβ)(ζk) ; ezek a kifejezések azonban a (87,26) transzformáció során előjelet váltanak.

A megengedett ξ2ζ alakú korrelációs tagok ξ2(ζk) típusú szorzatként léphetnek fel. Ebben az elektron polarizációs vektorának csak a szórás síkjába eső vetülete szerepel.

Végül egész sor összefüggés adódik a megengedett tagok együtthatói között a keresztezési invariancia követelményéből. Azok a reakciócsatornák, amelyek egymástól csak a kezdeti és a végső foton felcserélésében különböznek, ugyanazt a folyamatot írják le – a foton-elektron szórást. A szórásamplitúdó abszolút értékének négyzete és ezzel együtt a hatáskeresztmetszet invariáns kell, hogy legyen az ilyen csatornák közötti átmenetnek megfelelő

transzformációval szemben; az elektronok impulzusa és polarizációja változatlan. Háromdimenziós alakban e transzformáció az

10.46. egyenlet - (87,27)

\begin{matrix} \begin{aligned} ω & \leftrightarrow - ω^{'}, k \leftrightarrow - k^{'}, \\ ξ_{1} \leftrightarrow & ξ_{1}^{'}, ξ_{2} \leftrightarrow - ξ_{2}^{'}, ξ_{3} \leftrightarrow ξ_{3}^{'} \end{aligned} & (87,27) \end{matrix}

helyettesítésnek felel meg. Hogy a paraméter előjelet vált, az a ξ2=i(e×e∗)n kifejezésből látható, az vektor az e↔e∗ helyettesítés során előjelet vált, az n=k∕ω vektor a k↔–k , ω↔–ω helyettesítés esetén nem változik. A (87,27) transzformáció az elektronok impulzusát nem befolyásolva, a laboratóriumi rendszert sem változtatja meg. Ezért a (87,22) hatáskeresztmetszet a transzformáció során nem változhat; a (87,12), (87,22), (87,23) képletek ezt a feltételt valóban kielégítik.

^[306] Egy másik lehetséges eljárás a következő: elejétől kezdve rögzített (pl. laboratóriumi) vonatkoztatási rendszerben dolgozunk; e(1) és e(2) a tisztán térszerű [ e=(0,e) ], a foton impulzusára merőleges egységvektorok: e(1)=(k×k′/|k×k′|), e(2)=(1/ω)k×e(1) a impulzusú, e(1)=(k×k′/|k×k′|), e(2)=(1/ω′)k′×e(1) a impulzusú fotonra. Így azonban az egész számítást háromdimenziós formában kell végezni, az eredményt nem kovariáns alakban kapjuk.

^[307](87,3) és (87,5) együtt az általános meggondolásokból levezetett (71,11)(71,13) kifejezéseknek felel meg. A -invarianciából következik, hogy f3=f6=0 , ezenkívül most még egy amplitúdó () eltűnik. Ez a perturbációszámítás vizsgált közelítésének tulajdonsága, és a magasabb közelítésekben már nem jelentkezik.

^[308] A Qμν mátrix eredeti (86,4) formájában fennáll az egyszerű Q̄μν=Qνμ összefüggés. Ez a tulajdonság azonban bizonyos átalakítások során, mint amilyen a (87,4) típusú helyesbítés is, elvész.

^[309] Az vektor longitudinális komponense (csakúgy, mint az négyesvektor időszerű komponense) figyelmen kívül hagyható: ez a mértékinvariancia következménye.

^[310] A (87,19) képletet egyszerűbben megkaphatjuk, ha a szórási amplitúdó (86,3) kifejezésébe az e=(0,e) , e′=(0,e′) négyesvektorokat írjuk, és a további számításokat háromdimenziós alakban végezzük (ti. szétválasztva a négyesvektorok időszerű és térszerű komponenseit). Átlagolva a cos2Θ=(ee′)2 kifejezést és iránya szerint [(45,4a) segítségével] és a hatáskeresztmetszetet kettővel szorozva ( szerint összegezve), (86,9)-et kapjuk vissza.

^[311] A részletes eredmények az eredeti cikkekben megtalálhatók: F. Lipps, H. A. Tolhoek, Physica 20, 85, 395 (1954). Összefoglaló cikkek: H. A. Tolhoek , Rev. Mod. Phys. 28, 277 (1956); W. H. McMaster , Rev. Mod. Phys. 33, 8 (1961).

^[312] A folyamatot a laboratóriumi rendszerben vizsgáljuk, ahol p=0 , p′=k–k′ . Nyilvánvaló, hogy a szimmetriakövetelmények bennünket érdeklő következményei (az, hogy ilyen vagy olyan tag a hatáskeresztmetszetben fellép-e vagy sem) függetlenek a vonatkoztatási rendszer megválasztásától.