ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

100.§. A pontos fotonpropagátor

A pontos ( hatványai szerinti sorba nem fejtett) elméletben a pontos propagátorokra vonatkozó fogalmaknak^[376] alapvető szerepük van.

A pontos fotonpropagátor (amelyet írott -vel jelölünk) a

11.14. egyenlet - (100,1)

𝒟_{μ ν} (x - x^{'}) = i ⟨0 | T A_{μ} (x) A_{ν} (x^{'}) | 0⟩

képlettel definiálható, amelyben Aμ(x) Heisenberg-operátor , és amely megkülönböztetendő a (77,1)

11.15. egyenlet - (100,2)

D_{μ ν} (x - x^{'}) = i ⟨0 | T A_{μ}^{i n t} (x) A_{ν}^{i n t} (x^{'}) | 0⟩

definíciótól, amelyben a fotontér kölcsönhatási képbeli téroperátorai találhatók. A (100,1) pontos propagátortól eltérően a (100,2) függvényt a foton szabad propagátorának nevezhetjük.

A (100,1) várható érték egzakt kiszámítása nem lehetséges, ezért pontos analitikus alakját nem adhatjuk meg, bár a (100,1) definíció lehetővé teszi e függvény néhány általános tulajdonságának meghatározását. Ennek szenteljük a 108. §-t, addig azonban kiszámításával foglalkozunk a diagramtechnika alapján. E célból -t a kölcsönhatási képbeli operátorok segítségével kell kifejeznünk.

Legyen először t>t′ . Az A(x) és Aint(x) közötti [l. (99,13)] kapcsolatot kihasználva, azt írhatjuk, hogy

μν(x–x′) =i⟨0|Aμ(x)Aν(x′)|0⟩= =i⟨0|S(–∞,t)Aμint(x)S(t,–∞)S(–∞,t′)Aνint(x′)S(t′,–∞)|0⟩.

(99,11a) felhasználásával a következő helyettesítések végezhetők el:

S(t,–∞)S(–∞,t′)=S(t,t′), S(–∞,t)=S(–∞,+∞)S(∞,t).

Ekkor

11.16. egyenlet - (100,3)

𝒟_{μ ν} (x - x^{'}) = i ⟨0 | S^{- 1} [S (\infty, t) A_{μ}^{i n t} (x) S (t, t^{'}) A_{ν}^{i n t} (x^{'}) S (t^{'}, - \infty)] | 0⟩,

ahol a rövidség kedvéért az

11.17. egyenlet - (100,4)

S \equiv S (+ \infty, - \infty)

jelölést alkalmaztuk. Minthogy a (99,11) definíció szerint S(t2,t1) csak a és közötti időpillanatokban vett operátorokat tartalmazza időrendezetten, így nyilvánvaló, hogy általában a (100,3) képlet szögletes zárójelében előforduló operátorok csökkenő idők szerint vannak sorba rendezve balról jobbra. Így a zárójel elé a kronologikus szorzat szimbólumát helyezve, azon belül a tényezők sorrendje már tetszőlegesen változtatható, minthogy a operátor automatikusan a szükséges sorrendet hozza létre. Ezt a lehetőséget felhasználvaírhatjuk, hogy

[…]=T[Aμint(x)Aνint(x′)S(∞,t)S(t,t′)S(t′,–∞)]=T[Aμint(x)Aνint(x′)S].

Tehát

11.18. egyenlet - (100,5)

𝒟_{μ ν} (x - x^{'}) = i ⟨0 | S^{- 1} T [A_{μ}^{i n t} (x) A_{ν}^{i n t} (x^{'}) S] | 0⟩ .

Hasonló módon könnyen meggyőződhetünk arról, hogy ez a képlet t<t′ esetén is érvényes.

Most megmutatjuk, hogy az S–1 szorzót a vákuumbeli átlag képzése alól kiemelhetjük, fázisszorzó alakjában. E célból emlékeztetünk arra, hogy a vákuum Heisenberg-képbeli hullámfüggvénye Φint(–∞) -nel egyezik, ami ugyanennek az állapotnak a kölcsönhatási képbeli hullámfüggvénye. [l. (99,9)]. (73,8) alapján pedig

De a vákuum szigorúan stacionárius állapot; abban semmiféle részecskekeltési reakció nem indukálódhat magától. Más szavakkal, az idők folyamán a vákuum vákuum marad; tehát Φint(+∞) csak eiα fázisszorzóval különbözhet Φint(–∞) -től. Ezért

11.19. egyenlet - (100,6)

S Φ_{i n t} (- \infty) = e^{i α} Φ_{i n t} (- \infty) = ⟨0 | S | 0⟩ Φ_{i n t} (- \infty),

avagy az előző kifejezés komplex konjugáltját véve, és kihasználva az operátor unitaritását:

Innen viszont világos, hogy (100,5)

11.20. egyenlet - (100,7)

𝒟_{μ ν} (x - x^{'}) = i \frac{⟨0 | T A_{μ}^{i n t} (x) A_{ν}^{i n t} (x^{'}) S | 0⟩}{⟨0 | S | 0⟩}

alakban írható.

Behelyettesítve ide (mind a számlálóba, mind a nevezőbe) -nek a (73,10)-beli kifejtését és a Wick-tétel segítségével (78. §) elvégezve a várható érték képzését, kapjuk -nek hatványai szerinti kifejtését.

(100,7) számlálójában az átlagolandó kifejezések csak annyiban térnek el a 78. §-ban vizsgált (78,1) típusú kifejezésektől, hogy a „külső” fotonkeltő és eltüntető operátorok helyett itt az Aμint(x) és Aνint(x′) operátorok fordulnak elő. Minthogy az átlagolandó mennyiségek mindegyike kronologikus szorzatban helyezkedik el, ezeknek a „belső” Aint(x1),Aint(x2),… operátorokkal való összevonása a , fotonpropagátorokra vezet majd. Tehát az átlagolás eredményét a két külső fotonvonallal rendelkező, a 78. § szabályai szerint felrajzolható diagramok összessége adja meg azzal a különbséggel, hogy a külső fotonvonalaknak (csakúgy, mint a belsőknek) most , propagátorok felelnek meg (a valós fotonok amplitúdója helyett). Nulladik közelítésben S=1 , a (100,7) kifejezés számlálója egyszerűen μν(x–x′) -vel esik egybe. A következő, nullától különböző tagok ∼e2 nagyságrendűek. Ezek két külső fotonvonalat és két vertexet tartalmazó diagramokkal ábrázolhatók:

11.21. egyenlet - (100,8)

E diagramok közül a második két, nem összefüggő részből áll: egy szaggatott vonalból (amelynek –iμν felel meg) és egy zárt hurokból. A diagram szétesése arra utal, hogy a megfelelő analitikus kifejezés két független tényezőre bomlik. A (100,8) diagramokhoz a nulladik közelítés diagramját (a szaggatott vonalat) hozzáadva és az azt tartalmazó tagokból kiemelve, (100,7) számlálójára eredményül másodrendig

adódik.

A nevezőbeli ⟨0|S|0⟩ kifejezés a vákuum vákuumba való „átmenetének” valószínűségi amplitúdója. Ezért ennek kifejtése csak külső vonal nélküli diagramokat tartalmaz. Nulladik közelítésben ⟨0|S|0⟩=1 , másodrendben pedig

adódik. Az azonos pontossággal vett számlálót osztva a nevezővel, a kapcsos zárójelbeli kifejezés egyszerűsödik, és

marad meg.

Tehát az elkülönült hurkot tartalmazó diagram kiesik a válaszból. Ez az eredmény általános érvényességű. Belegondolva a diagramok felépítésének technikájába, mind (100,7) számlálója, mind nevezője esetében könnyű megérteni, hogy ⟨0|S|0⟩ szerepe csak annyi, hogy -nek a perturbációszámítás tetszőleges rendjében vett kifejezéséből a nem összefüggő tagokat eltávolítsa.

Vegyük észre, hogy a külső vonalak nélküli diagramoknak (zárt hurkok) egyáltalán nincs fizikai tartalmuk, és azokat attól függetlenül sem kell figyelembe venni, hogy a propagátor kifejezéséből kiesnek. Valójában az ilyen hurkok az -mátrix vákuum-vákuum átmenetét leíró diagonális elemének sugárzási korrekcióit adják. Ezek összege (a nulladik közelítés egységnyi járulékával együtt) a (100,6) összefüggés szerint csak egy lényegtelen fázistényező lehet, amely egyetlen fizikai eredményben sem tükröződhet.

A koordinátareprezentációról az impulzusreprezentációra a szokásos módon térünk át. Így a perturbációszámítás másodrendű közelítésében a –iμν(k) propagátor (amelyet vastag szaggatott vonallal jelölünk) a

11.22. egyenlet - (100,9)

összeggel adható meg, ahol az összes diagramot a szokásos szabályokkal számíthatjuk ki (melyeket a 78. §-ban soroltunk fel), azzal a különbséggel, hogy a külső fotonvonalakhoz csakúgy, mint a belsőkhöz, a –iμν(k) mennyiségeket rendeljük hozzá. E képlet analitikus alakban felírva:^[377]

11.23. egyenlet - (100,10)

𝒟_{μ ν} (x - x^{'}) \approx D_{μ ν} (k) + i e^{2} D_{μ λ} (k) \int Sp γ^{λ} G (p + k) γ^{ϱ} G (p) \frac{d^{4} p}{{(2 π)}^{4}} D_{ϱ ν} (k)

(a és mátrixok bispinor indexeit szokás szerint nem írjuk ki).

A következő közelítések tagjait hasonló szabályok alapján építjük fel; ezeket a két külső fotonvonalat és szükséges számú csúcsot tartalmazó diagramok alkotják. Így az ∼e4 rendű tagokhoz a következő négyvertexes diagramok tartoznak:

11.24. egyenlet - (100,11)

Négy csúcsot találunk a

diagramban is, amelynek felső részét egy önmagában zárt elektronhurok alkotja.^[378] Egy ilyen hurok a ψ̄(x)ψ(x) kontrakciónak felel meg, azaz egyszerűen az áram várható értékének, vákuumállapotok között: ⟨0|j(x)|0⟩ . De a vákuum definíciójánál fogva ennek a mennyiségnek azonosan el kell tűnnie, és ez az állítás nem módosulhat semmiféle, a hurkot módosító sugárzási korrekcióval sem.^[379] Így semmiféle „önmagában zárt elektronvonalat” tartalmazó diagramot nem kell figyelembe vennünk a közelítés egyetlen rendjében sem.

A diagramok két (külső vagy belső) fotonvonal közé zárt részét a foton sajátenergiás betétrészének nevezik. Általában lehet, hogy egy ilyen blokk maga is szétvágható egy fotonvonallal összekötött részekre, azaz a következő struktúrájú lehet:

ahol a körök azokat a blokkokat jelzik, amelyek már nem bonthatók fel ezzel a módszerrel; ezeket a részeket kompaktnak nevezzük. [Így a négy negyedrendű sajátenergiás diagram közül ilyen az első három (100,11)].

Jelöljük az iμν∕4π szimbólummal az összes kompakt sajátenergiás betét (végtelen sok tagú) összegét; a μν(k) függvényt polarizációs operátornak hívjuk. A diagramokat aszerint osztályozva, hogy hány kompakt részt tartalmaznak, a propagátort a következő sor alakjában állíthatjuk elő: P

ahol minden bevonalkázott körnek iμν∕4π felel meg. E sor analitikus alakban írva a következő:

11.25. egyenlet - (100,12)

\begin{matrix} \begin{aligned} 𝒟 & = D + D \frac{𝒫}{4 π} D + D \frac{𝒫}{4 π} D \frac{𝒫}{4 π} D + \dots = \\ = D \{1 + \frac{𝒫}{4 π} [D + D \frac{𝒫}{4 π} D + \dots]\} \end{aligned} & (100,12) \end{matrix}

(a tenorindexeket a rövidség kedvéért elhagytuk). A szögletes zárójelben álló sor azonban újra csak megegyezik -vel. Így

11.26. egyenlet - (100,13)

𝒟_{μ ν} (k) = D_{μ ν} (k) + D_{μ λ} (k) \frac{𝒫^{λ ϱ} (k)}{4 π} 𝒟_{ϱ ν} (k) .

Ezt az egyenlőséget a (D–1)τμ inverz tenzorral szorozva balról és (–1)νσ -val jobbról (megváltoztatva az eredmény indexeinek jelölését), kapjuk a fentivel ekvivalens

11.27. egyenlet - (100,14)

𝒟_{μ ν}^{- 1} = D_{μ ν}^{- 1} - \frac{1}{4 π} 𝒫_{μ ν}

egyenlőséget.

Hangsúlyozzuk, hogy (100,12) előállítása feltételezi a diagram egyszerűbb blokkokra való lebonthatóságát, amely blokkok a szokásos gráfszabályokkal számíthatók ki; e blokkok egymással való kombinálásával kaphatjuk meg a teljes diagram járulékát. E felbontás lehetősége a diagramtechnikának fontos (és egyáltalán nem triviális) sajátsága. Azzal kapcsolatos, hogy a diagram közös számegyütthatója annak perturbációszámításbeli rendjétől független.

Ugyanez a tulajdonság teszi lehetővé az (ismertnek feltételezett) függvény használatát a különböző szórásfolyamatok amplitúdóihoz adódó sugárzási korrekciók számításának egyszerűsítésére. Ahelyett, hogy minden alkalommal újra vizsgálnánk a belső fotonvonalak különböző korrekcióival módosított diagramokat, azokat egyszerűen vastag vonallal helyettesíthetjük, azaz a propagátorokat használhatjuk ( helyett) a kívánt közelítésben.

Ha a fotonvonal valós fotonhoz tartozik (és nem virtuálishoz), azaz mikor az a teljes diagram külső vonalaként szerepel, akkor az összes sajátenergiás korrekció elvégzése után, mint mondani szokás, egy effektív külső vonalat kapunk. Ennek egy, a (100,13)-tól különböző kifejezés felel meg, amely attól a tényezőnek a valódi foton polarizációs amplitúdójára való felcserélésében tér el:

11.28. egyenlet - (100,15)

e_{μ} + 𝒟_{μ ϱ} (k) \frac{𝒫^{ϱ λ} (k)}{4 π} e_{λ} .

Ha a külső tér vonalairól van szó, akkor helyett (100,15)-ben Aμ(e) -t kell írni.

Mindaz, amit a 77. §-ban a Dμν közelítő propagátor tenzorszerkezetéről és a mértékinvariancia miatt nem egyértelműen meghatározott analitikus kifejezéséről mondtunk, az a pontos propagátorra is igaz. A relativisztikusan invariáns elméletek keretei között e függvény általános alakja:

11.29. egyenlet - (100,16)

𝒟_{μ ν} (k) = 𝒟 (k^{2}) (g_{μ ν} - \frac{k_{μ} k_{ν}}{k^{2}}) + 𝒟^{(l)} (k^{2}) \frac{k_{μ} k_{ν}}{k^{2}};

az első tag a Landau-mértéknek felel meg, a második tagban (l) a mérték megválasztásától függő függvény. A közelítő propagátor hasonló előállítása:^[380]

11.30. egyenlet - (100,17)

D_{μ ν} (k) = D (k^{2}) (g_{μ ν} - \frac{k_{μ} k_{ν}}{k^{2}}) + D^{(l)} (k^{2}) \frac{k_{μ} k_{ν}}{k^{2}} .

Vegyük most észre, hogy a propagátor longitudinális része a négyespotenciál fizikai tartalommal nem rendelkező longitudinális részével függ össze, és a kölcsönhatásban nem vesz részt. A kölcsönhatás ezért nem változtatja meg, így a

11.31. egyenlet - (100,18)