Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A pontos ( hatványai szerinti sorba nem fejtett) elméletben a pontos
propagátorokra vonatkozó fogalmaknak[376] alapvető szerepük van.
A pontos fotonpropagátor (amelyet írott -vel jelölünk) a
képlettel definiálható, amelyben Heisenberg-operátor , és amely
megkülönböztetendő a (77,1)
definíciótól, amelyben a fotontér kölcsönhatási képbeli téroperátorai
találhatók. A (100,1) pontos propagátortól eltérően a
(100,2) függvényt a foton szabad
propagátorának nevezhetjük.
A (100,1) várható érték egzakt kiszámítása nem
lehetséges, ezért pontos analitikus alakját nem adhatjuk meg, bár a (100,1) definíció lehetővé teszi e függvény néhány
általános tulajdonságának meghatározását. Ennek szenteljük a 108. §-t, addig azonban
kiszámításával foglalkozunk a diagramtechnika alapján. E célból
-t a kölcsönhatási képbeli operátorok segítségével kell
kifejeznünk.
Legyen először . Az
és
közötti [l. (99,13)] kapcsolatot
kihasználva, azt írhatjuk, hogy
(99,11a) felhasználásával a következő helyettesítések végezhetők el:
jelölést alkalmaztuk. Minthogy a (99,11)
definíció szerint csak a
és
közötti időpillanatokban vett operátorokat tartalmazza időrendezetten,
így nyilvánvaló, hogy általában a (100,3) képlet
szögletes zárójelében előforduló operátorok csökkenő idők szerint vannak sorba rendezve
balról jobbra. Így a zárójel elé a kronologikus szorzat
szimbólumát helyezve, azon belül a tényezők sorrendje már
tetszőlegesen változtatható, minthogy a
operátor automatikusan a szükséges sorrendet hozza létre. Ezt a
lehetőséget felhasználvaírhatjuk, hogy
Hasonló módon könnyen meggyőződhetünk arról, hogy ez a képlet
esetén is érvényes.
Most megmutatjuk, hogy az szorzót a vákuumbeli átlag képzése alól kiemelhetjük, fázisszorzó
alakjában. E célból emlékeztetünk arra, hogy a vákuum
Heisenberg-képbeli hullámfüggvénye
-nel egyezik, ami ugyanennek az állapotnak a kölcsönhatási képbeli
hullámfüggvénye. [l. (99,9)]. (73,8) alapján pedig
De a vákuum szigorúan stacionárius állapot; abban semmiféle
részecskekeltési reakció nem indukálódhat magától. Más szavakkal, az idők folyamán a
vákuum vákuum marad; tehát csak
fázisszorzóval különbözhet
-től. Ezért
avagy az előző kifejezés komplex konjugáltját véve, és kihasználva az
operátor unitaritását:
Innen viszont világos, hogy (100,5)
alakban írható.
Behelyettesítve ide (mind a számlálóba, mind a nevezőbe) -nek a (73,10)-beli kifejtését és a
Wick-tétel segítségével (78. §) elvégezve a várható
érték képzését, kapjuk
-nek
hatványai szerinti kifejtését.
(100,7) számlálójában az átlagolandó kifejezések
csak annyiban térnek el a 78. §-ban vizsgált (78,1) típusú kifejezésektől, hogy a „külső” fotonkeltő
és eltüntető operátorok helyett itt az és
operátorok fordulnak elő. Minthogy az átlagolandó mennyiségek
mindegyike kronologikus szorzatban helyezkedik el,
ezeknek a „belső”
operátorokkal való összevonása a
, fotonpropagátorokra vezet majd. Tehát az átlagolás eredményét a két
külső fotonvonallal rendelkező, a 78. § szabályai
szerint felrajzolható diagramok összessége adja meg azzal a különbséggel, hogy a külső
fotonvonalaknak (csakúgy, mint a belsőknek) most
, propagátorok felelnek meg (a valós fotonok
amplitúdója helyett). Nulladik közelítésben
, a (100,7) kifejezés számlálója
egyszerűen
-vel esik egybe. A következő, nullától különböző tagok
nagyságrendűek. Ezek két külső fotonvonalat és két vertexet tartalmazó
diagramokkal ábrázolhatók:
E diagramok közül a második két, nem összefüggő részből áll: egy szaggatott
vonalból (amelynek felel meg) és egy zárt hurokból. A diagram szétesése arra utal, hogy a
megfelelő analitikus kifejezés két független tényezőre bomlik. A (100,8) diagramokhoz a nulladik közelítés diagramját (a
szaggatott vonalat) hozzáadva és az azt tartalmazó tagokból kiemelve, (100,7) számlálójára eredményül másodrendig
![]() |
adódik.
A nevezőbeli kifejezés a vákuum vákuumba való „átmenetének” valószínűségi
amplitúdója. Ezért ennek kifejtése csak külső vonal nélküli diagramokat tartalmaz.
Nulladik közelítésben
, másodrendben pedig
![]() |
adódik. Az azonos pontossággal vett számlálót osztva a nevezővel, a kapcsos zárójelbeli kifejezés egyszerűsödik, és
![]() |
marad meg.
Tehát az elkülönült hurkot tartalmazó diagram kiesik a válaszból. Ez az eredmény
általános érvényességű. Belegondolva a diagramok felépítésének technikájába, mind (100,7) számlálója, mind nevezője esetében könnyű
megérteni, hogy szerepe csak annyi, hogy
-nek a perturbációszámítás tetszőleges rendjében vett kifejezéséből a
nem összefüggő tagokat eltávolítsa.
Vegyük észre, hogy a külső vonalak nélküli diagramoknak (zárt hurkok) egyáltalán
nincs fizikai tartalmuk, és azokat attól függetlenül sem kell figyelembe venni, hogy a
propagátor kifejezéséből kiesnek. Valójában az ilyen hurkok az
-mátrix vákuum-vákuum átmenetét leíró diagonális elemének sugárzási
korrekcióit adják. Ezek összege (a nulladik közelítés egységnyi járulékával együtt) a
(100,6) összefüggés szerint csak egy lényegtelen
fázistényező lehet, amely egyetlen fizikai eredményben sem tükröződhet.
A koordinátareprezentációról az impulzusreprezentációra a szokásos módon térünk át.
Így a perturbációszámítás másodrendű közelítésében a propagátor (amelyet vastag szaggatott vonallal jelölünk) a
összeggel adható meg, ahol az összes diagramot a szokásos szabályokkal
számíthatjuk ki (melyeket a 78. §-ban soroltunk fel),
azzal a különbséggel, hogy a külső fotonvonalakhoz csakúgy, mint a belsőkhöz, a
mennyiségeket rendeljük hozzá. E képlet analitikus alakban
felírva:[377]
(a és
mátrixok bispinor indexeit szokás szerint nem írjuk ki).
A következő közelítések tagjait hasonló szabályok alapján építjük fel; ezeket a két
külső fotonvonalat és szükséges számú csúcsot tartalmazó diagramok alkotják. Így az
rendű tagokhoz a következő négyvertexes diagramok tartoznak:
Négy csúcsot találunk a
![]() |
diagramban is, amelynek felső részét egy önmagában zárt elektronhurok
alkotja.[378] Egy ilyen hurok a kontrakciónak felel meg, azaz egyszerűen az áram várható értékének,
vákuumállapotok között:
. De a vákuum definíciójánál fogva ennek a mennyiségnek azonosan el
kell tűnnie, és ez az állítás nem módosulhat semmiféle, a hurkot módosító sugárzási
korrekcióval sem.[379] Így semmiféle „önmagában zárt elektronvonalat” tartalmazó diagramot nem kell
figyelembe vennünk a közelítés egyetlen rendjében sem.
A diagramok két (külső vagy belső) fotonvonal közé zárt részét a foton sajátenergiás betétrészének nevezik. Általában lehet, hogy egy ilyen blokk maga is szétvágható egy fotonvonallal összekötött részekre, azaz a következő struktúrájú lehet:
![]() |
ahol a körök azokat a blokkokat jelzik, amelyek már nem bonthatók fel ezzel a módszerrel; ezeket a részeket kompaktnak nevezzük. [Így a négy negyedrendű sajátenergiás diagram közül ilyen az első három (100,11)].
Jelöljük az szimbólummal az összes kompakt sajátenergiás betét (végtelen sok tagú) összegét; a
függvényt polarizációs operátornak hívjuk. A diagramokat aszerint osztályozva, hogy
hány kompakt részt tartalmaznak, a
propagátort a következő sor alakjában állíthatjuk elő: P
![]() |
ahol minden bevonalkázott körnek felel meg. E sor analitikus alakban írva a következő:
(a tenorindexeket a rövidség kedvéért elhagytuk). A szögletes zárójelben
álló sor azonban újra csak megegyezik -vel. Így
Ezt az egyenlőséget a inverz tenzorral szorozva balról és
-val jobbról (megváltoztatva az eredmény indexeinek jelölését), kapjuk
a fentivel ekvivalens
egyenlőséget.
Hangsúlyozzuk, hogy (100,12) előállítása feltételezi a diagram
egyszerűbb blokkokra való lebonthatóságát, amely blokkok a szokásos gráfszabályokkal
számíthatók ki; e blokkok egymással való kombinálásával kaphatjuk meg a teljes diagram
járulékát. E felbontás lehetősége a diagramtechnikának fontos (és egyáltalán nem
triviális) sajátsága. Azzal kapcsolatos, hogy a diagram közös számegyütthatója annak
perturbációszámításbeli rendjétől független.
Ugyanez a tulajdonság teszi lehetővé az (ismertnek feltételezett) függvény használatát a különböző szórásfolyamatok amplitúdóihoz adódó
sugárzási korrekciók számításának egyszerűsítésére. Ahelyett, hogy minden alkalommal
újra vizsgálnánk a belső fotonvonalak különböző korrekcióival módosított diagramokat,
azokat egyszerűen vastag vonallal helyettesíthetjük, azaz a
propagátorokat használhatjuk (
helyett) a kívánt közelítésben.
Ha a fotonvonal valós fotonhoz tartozik (és nem virtuálishoz), azaz mikor az a teljes
diagram külső vonalaként szerepel, akkor az összes sajátenergiás korrekció elvégzése
után, mint mondani szokás, egy effektív külső vonalat kapunk. Ennek egy, a (100,13)-tól különböző kifejezés felel meg, amely attól a tényezőnek a valódi foton polarizációs amplitúdójára való
felcserélésében tér el:
Ha a külső tér vonalairól van szó, akkor helyett (100,15)-ben
-t kell írni.
Mindaz, amit a 77. §-ban a közelítő propagátor tenzorszerkezetéről és a mértékinvariancia miatt
nem egyértelműen meghatározott analitikus kifejezéséről mondtunk, az a
pontos propagátorra is igaz. A
relativisztikusan invariáns elméletek keretei között e függvény általános alakja:
az első tag a Landau-mértéknek felel meg, a
második tagban a mérték megválasztásától függő függvény. A közelítő propagátor hasonló előállítása:[380]
Vegyük most észre, hogy a propagátor longitudinális része a négyespotenciál fizikai tartalommal nem rendelkező longitudinális részével függ össze, és a kölcsönhatásban nem vesz részt. A kölcsönhatás ezért nem változtatja meg, így a
összefüggésnek teljesülnie kell.
Az inverz tenzorok definíció szerint a következő egyenleteket elégítik ki:
A (100,16) vagy (100,17) tenzorok inverzeit (100,18) segítségével a következő alakban írhatjuk:
E képletekből következik, hogy a polarizációs operátor transzverzális tenor:
Így a polarizációs operátor (a fotonpropagátortól eltérően) mértékinvariáns mennyiség.