ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

101.§. A foton sajátenergiás függvénye

A fotonpropagátor analitikus tulajdonságainak további vizsgálatához célszerű bevezetnünk a polarizációs operátor mellett a Πμν(k) segédfüggvényt is, amelyet a foton sajátenergiás függvényének neveznek. Definíciószerűen iΠμν∕4π az összes (nemcsak kompakt) sajátenergiás betétrész összege. Ezt az összeget a diagramban négyzettel jelölve, a pontos propagátort a

azaz a

11.35. egyenlet - (101,1)

𝒟_{μ ν} = D_{μ ν} + D_{μ λ} \frac{Π^{λ ϱ}}{4 π} D_{ϱ ν}

összeggel adhatjuk meg. Ebből Πμν -t kifejezve,

és ebbe behelyettesítve előbb (100,16)(100,18a)-at, majd (100,20)-at, azt kapjuk hogy

11.36. egyenlet - (101,2)

Π_{μ ν} = Π (k^{2}) (g_{μ ν} - \frac{k_{μ} k_{ν}}{k^{2}}), Π = \frac{𝒫}{1 - 𝒫 ∕ k^{2}} .

Látjuk, hogy Πμν (csakúgy, mint ) mértékinvariáns tenzor.

A Πμν tenzor hasznos voltát koordinátareprezentációbeli kifejezéséből láthatjuk. Ezt könnyen megadhatjuk, észrevéve, hogy az

egyenlőséget a λϱ–Dλϱ tenzor (100,18)-ból következő transzverzalitásának figyelembevételével koordinátatérben a következő alakban írhatjuk:

Πμν(x–x′)=(1/4π)(∂μ∂λ–gμλ∂σ∂σ)(∂ν′∂ϱ′–gνϱ∂σ′∂′σ){λϱ(x–x′)–Dλϱ(x–x′)}.

A differenciálás elvégzésére ebbe az egyenlőségbe helyettesítsük be a

11.37. egyenlet - (101,3)

𝒟^{λ ϱ} (x - x^{'}) - D^{λ ϱ} (x - x^{'}) = i ⟨0 | T A^{λ} (x) A^{ϱ} (x^{'}) - T A_{i n t}^{λ} (x) A_{i n t}^{ϱ} (x^{'}) | 0⟩

kifejezést. A 76. §-ban láttuk, hogy a -szorzat differenciálása általában elővigyázatosságot igényel annak szakadásos jellege miatt. Azonban a (101,3)átlagbólés annak első deriváltjából is kiesnek az ugrások, minthogy az Aλ(x) és Aintλ(x) operátorok komponenseinek felcserélési szabályai (azonos időben véve) azonosak, és így a különbség és annak első deriváltja folytonos lesz mindenütt (l. 76. §). Így a (101,3) különbség differenciálását a operátorral felcserélhetjük. (99,6)és (99,6a) szerint végeredményként a

11.38. egyenlet - (101,4)

Π_{μ ν} (x - x^{'}) = 4 π i e^{2} ⟨0 | T j_{μ} (x) j_{ν} (x^{'}) | 0⟩

kifejezést kapjuk. Ez explicit módon mutatja, hogy Πμν mértékinvariáns, minthogy az áramoperátorok is azok.

A (101,4) egyenletből e függvény fontos integrál-előállítását kaphatjuk.

(101,2)-t figyelembe véve, elegendő a Π=(1/3)Πμμ skalárfüggvénnyel foglalkoznunk. Koordinátareprezentációban

11.39. egyenlet - (101,5)

\begin{matrix} \begin{aligned} Π (x - x^{'}) & = \frac{4 π}{3} i e^{2} ⟨0 | T j_{μ} (x) j^{μ} (x^{'}) | 0⟩ = \\ = \frac{4 π}{3} i e^{2} \{\begin{matrix} \sum_{n} ⟨0 | j_{μ} (x) | n⟩ ⟨n | j^{μ} (x^{'}) | 0⟩, ha t > t^{'}, \\ \sum_{n} ⟨0 | j_{μ} (x^{'}) | n⟩ ⟨n | j^{μ} (x) | 0⟩, ha t < t^{'}, \end{matrix} \end{aligned} & (101,5) \end{matrix}

ahol az szimbólum a rendszer (elektromágneses elektron-pozitron tér) állapotait indexeli.^[381]. Mivel a j(x) operátor xμ=(t,r) -től függ, így ezt a függést mátrixelemei is mutatják. Ezt a függést expliciten leválaszthatjuk, ha |n⟩ állapotokként a teljes négyesimpulzus sajátállapotait választjuk.

Az áram mátrixelemeinek időfüggését, mint minden Heisenberg-operátor esetében, az

kifejezés adja, ahol En,Em az |n⟩ és |m⟩ állapotok energiái, j(r) pedig Schrödinger-képbeli operátor.

A mátrixelemek koordiátafüggésének megállapítására a j(r) operátort mint a j(0) operátorból a koordináta-rendszer kezdőpontjának az vektorral való eltolásával keletkező mennyiséget tekintjük. Ennek az eltolásnak az operátora exp(irP) , ahol a rendszer impulzusoperátora [l. III. (15,15)]. Figyelembe véve a mátrixelemek transzformációjának általános szabályait [l. III. (12,7)], a fentiekből

⟨n|jμ(r)|m⟩=⟨n|e–irPjμ(0)eirP|m⟩=⟨n|jμ(0)|m⟩ei(Pm–Pn)r

adódik. Az előző képlettel együtt a következő végeredményt kapjuk:

11.40. egyenlet - (101,6)

⟨n | j^{μ} (t, r) | m⟩ = ⟨n | j^{μ} (0) | m⟩ e^{- i (P_{m} - P_{n}) x} .

Megjegyezzük, hogy az ⟨n|jμ(0)|m⟩ mátrix hermitikus [a mátrixszal együtt a jμ(t,r) operátor is az], és a (99,7) kontinuitási egyenlet következtében kielégíti a következő transzverzalitási feltételt:

11.41. egyenlet - (101,7)

{(P_{m} - P_{n})}^{μ} ⟨n | j_{μ} (0) | m⟩ = 0 .

Térjünk vissza Π(x–x′) kiszámításához. (101,6)-ot (101,5)-be helyettesítve, azt kapjuk, hogy

11.42. egyenlet - (101,8)

Π (ξ) = \frac{4 π i e^{2}}{3} \sum_{n} ⟨0 | j_{μ} (0) | n⟩ ⟨n | j^{μ} (0) | 0⟩ e^{\mp {i P}_{n} ξ}, ha τ ≷ 0,

ahol x–x′=ξ=(τ,ξ) . Vezessük be a

11.43. egyenlet - (101,9)

ϱ (k^{2}) = - \frac{4 π e^{2}}{3} {(2 π)}^{3} \sum_{n} ⟨0 | j_{μ} (0) | n⟩ {⟨0 | j^{μ} (0) | n⟩}^{*} δ^{(4)} (k - P_{n})

jelölést. Az összegezés az összes valódi elektronpár foton rendszerre vonatkozik, amelyeket egy k=(ω,k) négyesimpulzusú virtuális foton létrehozhat.^[382]. Az összegezés következtében a függvény csak -tól függhet, skalár jellege miatt valójában csak -től. Kiemeljük, hogy nem függ irányától. A függvénynek e tulajdonságait szem előtt tartva, (101,8)-at a

Π(ξ) =–i∫0∞dω∫(d3k/(2π)3)ϱ(k2)eikξ–iω|τ|= =–i∫(d3k/(2π)3)∬0∞dωd(μ2)δ(μ2–k2)ϱ(μ2)eikξ–iω|τ|

alakba írhatjuk át.

Impulzusreprezentációra az

11.44. egyenlet - (101,10)

e^{- i ω | τ |} = 2 i ω \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i k_{0} τ} \frac{1}{k_{0}^{2} - ω^{2} + i 0} \frac{d k_{0}}{2 π}

előállítás behelyettesítésével térhetünk át (l. 77. §) és

Π(k2)=∫0∞d(μ2)∫0∞d(ω2)δ(μ2+k2–ω2)(ϱ(μ2)/k02–ω2+i0)

adódik. A végleges alak tehát

11.45. egyenlet - (101,11)

Π (k^{2}) = \int_{0}^{\infty} \frac{ϱ (μ^{2})}{k^{2} - μ^{2} + i 0} d μ^{2} .

A súlyfüggvényt a Π(k2) függvény spektrális sűrűségének hívjuk. Tulajdonságai a következők:

11.46. egyenlet - (101,12)

\begin{matrix} \begin{aligned} ϱ (k^{2}) = 0, ha k^{2} < 0, \\ ϱ (k^{2}) > 0, ha k^{2} > 0 . \end{aligned} & (101,12) \end{matrix}

Annak a virtuális fotonnak a négyesimpulzusa ugyanis, amely valós részecskéket tud kelteni, csak időszerű lehet ( a részecskék tömegközépponti rendszerbeliössz-energiájának négyzete). A (101,7) transzverzalitási követelmény alapján

A ⟨0|j|n⟩ négyesvektor azonban, ortogonális lévén egy időszerű négyesvektorra. (Pn) , térszerű kell legyen, azaz

és így a (101,9) definíció alapján ϱ>0 .

^[381] Az áramoperátor a töltést megőrzi (semleges); így az |n⟩ állapotok, amelyeket az áram a |0⟩ vákuummal köt össze, csak azonos számú elektront és pozitront tartalmazhatnak.

^[382] Az |n⟩ állapotok ilyen definíciója nyilvánvalóan ugyanaz, mintha olyan állapotok rendszerét tekintenénk, amelyekre a negatív töltésparitású operátor ⟨0|j|n⟩ mátrixelemei nullától különbözőek.