Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A fotonpropagátor analitikus
tulajdonságainak további
vizsgálatához célszerű bevezetnünk a polarizációs operátor mellett a segédfüggvényt is, amelyet a foton sajátenergiás
függvényének neveznek.
Definíciószerűen
az összes (nemcsak kompakt) sajátenergiás betétrész összege. Ezt az
összeget a diagramban négyzettel jelölve, a pontos propagátort a
![]() |
összeggel adhatjuk meg. Ebből -t kifejezve,
és ebbe behelyettesítve előbb (100,16)(100,18a)-at, majd (100,20)-at, azt kapjuk hogy
Látjuk, hogy (csakúgy, mint
) mértékinvariáns tenzor.
A tenzor hasznos voltát koordinátareprezentációbeli kifejezéséből
láthatjuk. Ezt könnyen megadhatjuk, észrevéve, hogy az
egyenlőséget a tenzor (100,18)-ból következő
transzverzalitásának figyelembevételével koordinátatérben a következő alakban írhatjuk:
A differenciálás elvégzésére ebbe az egyenlőségbe helyettesítsük be a
kifejezést. A 76. §-ban láttuk, hogy a
-szorzat differenciálása általában elővigyázatosságot igényel annak
szakadásos jellege miatt. Azonban a (101,3)átlagbólés
annak első deriváltjából is kiesnek az ugrások, minthogy az
és
operátorok komponenseinek felcserélési szabályai (azonos időben véve)
azonosak, és így a különbség és annak első deriváltja folytonos lesz mindenütt (l. 76. §). Így a (101,3)
különbség differenciálását a
operátorral felcserélhetjük. (99,6)és (99,6a) szerint végeredményként a
kifejezést kapjuk. Ez explicit módon mutatja, hogy mértékinvariáns, minthogy az áramoperátorok is azok.
A (101,4) egyenletből e függvény fontos integrál-előállítását kaphatjuk.
(101,2)-t figyelembe véve, elegendő a
skalárfüggvénnyel foglalkoznunk. Koordinátareprezentációban
ahol az szimbólum a rendszer (elektromágneses
elektron-pozitron tér) állapotait indexeli.[381]. Mivel a
operátor
-től függ, így ezt a függést mátrixelemei is mutatják. Ezt a függést
expliciten leválaszthatjuk, ha
állapotokként a teljes négyesimpulzus sajátállapotait
választjuk.
Az áram mátrixelemeinek időfüggését, mint minden Heisenberg-operátor esetében, az
kifejezés adja, ahol az
és
állapotok energiái,
pedig Schrödinger-képbeli operátor.
A mátrixelemek koordiátafüggésének megállapítására a operátort mint a
operátorból a koordináta-rendszer kezdőpontjának az
vektorral való eltolásával keletkező mennyiséget tekintjük. Ennek az
eltolásnak az operátora
, ahol
a rendszer impulzusoperátora [l. III. (15,15)]. Figyelembe véve a
mátrixelemek transzformációjának általános szabályait [l. III. (12,7)], a fentiekből
adódik. Az előző képlettel együtt a következő végeredményt kapjuk:
Megjegyezzük, hogy az mátrix hermitikus [a mátrixszal együtt a
operátor is az], és a (99,7)
kontinuitási egyenlet következtében kielégíti a következő transzverzalitási
feltételt:
Térjünk vissza kiszámításához. (101,6)-ot (101,5)-be helyettesítve, azt kapjuk, hogy
jelölést. Az összegezés az összes valódi elektronpár foton rendszerre vonatkozik, amelyeket egy
négyesimpulzusú virtuális foton létrehozhat.[382]. Az összegezés következtében a
függvény csak
-tól függhet, skalár jellege miatt valójában csak
-től. Kiemeljük, hogy
nem függ
irányától. A
függvénynek e tulajdonságait szem előtt tartva, (101,8)-at a
alakba írhatjuk át.
előállítás behelyettesítésével térhetünk át (l. 77. §) és
A súlyfüggvényt a
függvény spektrális sűrűségének hívjuk. Tulajdonságai a következők:
Annak a virtuális fotonnak a négyesimpulzusa ugyanis, amely valós részecskéket tud kelteni, csak
időszerű lehet (
a részecskék tömegközépponti rendszerbeliössz-energiájának négyzete).
A (101,7) transzverzalitási követelmény alapján
A négyesvektor azonban, ortogonális lévén egy időszerű négyesvektorra.
, térszerű kell legyen, azaz
és így a (101,9) definíció
alapján .
[381] Az áramoperátor a töltést megőrzi (semleges); így az állapotok, amelyeket az áram a
vákuummal köt össze, csak azonos számú elektront és pozitront
tartalmazhatnak.
[382] Az állapotok ilyen definíciója nyilvánvalóan ugyanaz, mintha olyan
állapotok rendszerét tekintenénk, amelyekre a negatív töltésparitású
operátor
mátrixelemei nullától különbözőek.