Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A pontos propagátorok és a vertexfüggvény között integrálegyenletek teremtenek kapcsolatot. Eredetük különösen világos a grafikus módszer alkalmazásakor.
Az előző szakaszban bevezetett, a reducibilitásra vonatkozó fogalmak természetesen nemcsak a csúcsrészre, de egyéb diagramokra (vagy részeikre) is kiterjeszthetők. Vizsgáljuk meg ilyen szempontból az elektron sajátenergiás diagramjait .
Könnyű belátni, hogy e diagramok végtelen sokaságából csak egy irreducibilis választható ki, a
![]() |
másodrendű diagram. E diagram bármely további bonyolítása belső vonalainak (elektron- vagy foton-) vagy egyik csúcsának korrekciójaként tekinthető. Lényeges, hogy a diagram szemmel látható szimmetriája révén az összes csúcs korrekciója hozzárendelhető a két csúcs egyikéhez (bármelyikhez).[390]
Mivel az összes kompakt sajátenergiás rész közül csak egyetlen irreducibilis, így
ezek összességét (azaz az tömegoperátort) egyetlen vázdiagrammal
ábrázolhatjuk:
Analitikus alakban írva az előző grafikus egyenlőséget, azt kapjuk,
hogy[391]
Hasonló kifejezés írható fel a polarizációs operátorra is. A foton kompakt sajátenergiás betétrészei
közül ugyancsak egyetlen irreducibilis található, aminek következtében
szintén egyetlen vázdiagrammal adható meg:
A megfelelő analitikus egyenlet:
[a (104,2)és (104,4) egyenletekben a bispinor indexeket elhagytuk].
A (104,2) és (104,4) összefüggéseket nevezzük Dyson-egyenleteknek . Azok analitikusan is levezethetők.
Így a (104,2) egyenlet levezetéséhez tekintsük a
mennyiséget ( az
szerinti differenciálás operátora). Ezt (99,5) segítségével ugyanúgy számítjuk ki, mint a (76,7) egyenlőség levezetése során azt szabad részecskék esetében tettük. Az
eredmény:
a -függvényt tartalmazó rész a jobb oldalon ugyanúgy lép fel, mint (76,7)-ben, mivel a
-operátorok egyidejű felcserélési relációi a Heisenberg-képben ugyanazok, mint a kölcsönhatásiban. Az első tag viszont éppen
, így (a bispinor indexeket elhagyva) írhatjuk, hogy
A Fourier-transzformáltakra
valóáttéréshez megjegyezzük, hogy a (103,3)összefüggést szerint integrálva,
adódik, amiből látszik, hogy a bal oldali integrál éppen a Fourier-transzformáltja (a
-függvény leválasztása után). Így (104,5) mindkét oldalának Fourier-transzformáltját véve, felhasználva a (103,9) definíciót és figyelembe véve, hogy
, kapjuk a
összefüggést. Végül ezt jobbról -vel szorozva, megkapjuk (104,2)-t.
[390] A tisztánlátás kedvéért aláhúzzuk, hogy bár megkapjuk a kívánt diagramhalmazt,
ha csak az egyik csúcshoz rajzolunk korrekciókat, de a korrekciós blokk szerkezete
általában különböző aszerint, hogy melyik csúcshoz rendeljük hozzá. Példaként
tekintsük a diagramot, ahol négyzettel kereteztük be azokat a
betétrészeket, amelyek a csúcs szerepét játsszák aszerint, hogy ugyanannak a
diagramnak melyik csúcsához rendeljük a korrekciókat.