ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

104.§. A Dyson-egyenletek

A pontos propagátorok és a vertexfüggvény között integrálegyenletek teremtenek kapcsolatot. Eredetük különösen világos a grafikus módszer alkalmazásakor.

Az előző szakaszban bevezetett, a reducibilitásra vonatkozó fogalmak természetesen nemcsak a csúcsrészre, de egyéb diagramokra (vagy részeikre) is kiterjeszthetők. Vizsgáljuk meg ilyen szempontból az elektron sajátenergiás diagramjait .

Könnyű belátni, hogy e diagramok végtelen sokaságából csak egy irreducibilis választható ki, a

másodrendű diagram. E diagram bármely további bonyolítása belső vonalainak (elektron- vagy foton-) vagy egyik csúcsának korrekciójaként tekinthető. Lényeges, hogy a diagram szemmel látható szimmetriája révén az összes csúcs korrekciója hozzárendelhető a két csúcs egyikéhez (bármelyikhez).^[390]

Mivel az összes kompakt sajátenergiás rész közül csak egyetlen irreducibilis, így ezek összességét (azaz az tömegoperátort) egyetlen vázdiagrammal ábrázolhatjuk:

11.82. egyenlet - (104,1)

Analitikus alakban írva az előző grafikus egyenlőséget, azt kapjuk, hogy^[391]

11.83. egyenlet - (104,2)

\begin{matrix} \begin{aligned} ℳ (p) & = G^{- 1} (p) - 𝒢^{- 1} (p) = \\ = - i e^{2} \int γ^{ν} 𝒢 (p + k) Γ^{μ} (p + k, p; k) \cdot 𝒟_{μ ν} (k) \frac{d^{4} k}{{(2 π)}^{4}} . \end{aligned} & (104,2) \end{matrix}

Hasonló kifejezés írható fel a polarizációs operátorra is. A foton kompakt sajátenergiás betétrészei közül ugyancsak egyetlen irreducibilis található, aminek következtében szintén egyetlen vázdiagrammal adható meg:

11.84. egyenlet - (104,3)

A megfelelő analitikus egyenlet:

11.85. egyenlet - (104,4)

\begin{matrix} \begin{aligned} \frac{𝒫_{μ ν} (k)}{4 π} & = D_{μ ν}^{- 1} (k) - 𝒟_{μ ν}^{- 1} (k) = \\ = i e^{2} Sp \int γ_{μ} 𝒢 (p + k) Γ_{ν} (p + k, p; k) 𝒢 (p) \frac{d^{4} k}{{(2 π)}^{4}} \end{aligned} & (104,4) \end{matrix}

[a (104,2)és (104,4) egyenletekben a bispinor indexeket elhagytuk].

A (104,2) és (104,4) összefüggéseket nevezzük Dyson-egyenleteknek . Azok analitikusan is levezethetők.

Így a (104,2) egyenlet levezetéséhez tekintsük a

(p̂–m)illk(x–x′)=–i(p̂–m)il⟨0|TΨl(x)Ψ̄k(x′)|0⟩

mennyiséget ( p=i∂ az szerinti differenciálás operátora). Ezt (99,5) segítségével ugyanúgy számítjuk ki, mint a (76,7) egyenlőség levezetése során azt szabad részecskék esetében tettük. Az eredmény:

(p̂–m)illk(x–x′)=–ieγilν⟨0|TAν(x)Ψl(x)Ψ̄k(x′)|0⟩+δikδ(4)(x–x′);

a -függvényt tartalmazó rész a jobb oldalon ugyanúgy lép fel, mint (76,7)-ben, mivel a -operátorok egyidejű felcserélési relációi a Heisenberg-képben ugyanazok, mint a kölcsönhatásiban. Az első tag viszont éppen –ieγνilKlkν(x,x,x′) , így (a bispinor indexeket elhagyva) írhatjuk, hogy

11.86. egyenlet - (104,5)

(\hat{p} - m) 𝒢 (x - x^{'}) = - i e γ^{μ} K_{μ} (x, x, x^{'}) + δ^{(4)} (x - x^{'}) .

A Fourier-transzformáltakra valóáttéréshez megjegyezzük, hogy a (103,3)összefüggést d4kd4p2∕(2π)8 szerint integrálva,

11.87. egyenlet - (104,6)

\begin{matrix} \begin{aligned} \int K^{μ} (p + k, p; k) \frac{d^{4} k}{{(2 π)}^{4}} & = K^{μ} (0, 0, x_{3}) e^{- i p x_{3}} d^{4} x_{3} = \\ = \int K^{μ} (x, x, x^{'}) e^{i p (x - x^{'})} d^{4} (x - x^{'}) \end{aligned} & (104,6) \end{matrix}

adódik, amiből látszik, hogy a bal oldali integrál éppen a Kμ(x,x,x′) Fourier-transzformáltja (a -függvény leválasztása után). Így (104,5) mindkét oldalának Fourier-transzformáltját véve, felhasználva a (103,9) definíciót és figyelembe véve, hogy p̂–m=G–1(p) , kapjuk a

G–1(p)(p)=1–ie2∫γν(p+k)Γμ(p+k,p;k)(p)⋅μν(k)(d4k/(2π)4)

összefüggést. Végül ezt jobbról –1(p) -vel szorozva, megkapjuk (104,2)-t.

^[390] A tisztánlátás kedvéért aláhúzzuk, hogy bár megkapjuk a kívánt diagramhalmazt, ha csak az egyik csúcshoz rajzolunk korrekciókat, de a korrekciós blokk szerkezete általában különböző aszerint, hogy melyik csúcshoz rendeljük hozzá. Példaként tekintsük a diagramot, ahol négyzettel kereteztük be azokat a betétrészeket, amelyek a csúcs szerepét játsszák aszerint, hogy ugyanannak a diagramnak melyik csúcsához rendeljük a korrekciókat.

^[391] Ha (104,1)-ben a pontos vertexoperátort a bal oldali vertexhez rendeljük, akkor a (104,2) egyenletben a és tényezők felcserélődnek. Magától értetődően, az egyenlet két alakja ekvivalens.