Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Ha a rendszer adott külső elektromágneses térben helyezkedik el, akkor a pontos
elektronpropagátort ugyanúgy mint eddig, a
(102,1) formula adja, de a
Hamilton-operátor, amelyet a Heisenberg-képbeli téroperátorok megadásához használunk,
tartalmazni fogja az elektronoknak a külső térrel való kölcsönhatását is:
Minthogy a külső tér sérti a téridő homogenitását a propagátor mindkét változótól külön-külön függ, nemcsak az
különbségtől.
Ha a szokott módon áttérünk a kölcsönhatási kép használatára, akkor a szokásos diagramtechnikára jutunk azzal az eltéréssel, hogy a virtuális fotonvonalakon kívül a külső tér vonalai is előfordulnak. Ez a módszer azonban kényelmetlen abban az esetben, ha a külső tér nem tekinthető kis perturbációnak, és főleg, ha a részecskék kötve lehetnek a külső térben. Az elektron külső térbeli propagátora többek között éppen azért fontos, hogy a kötött állapot tulajdonságait, speciálisan a sugárzási korrekciókkal módosított energiaszintjeit, tanulmányozhassuk. E propagátor konstrukciójára az operátorok olyan reprezentációját használjuk, amelyben a külső tér hatását egzaktul figyelembe vesszük az elektron-foton kölcsönhatásnak már a nulladik rendjében is (W. H. Furry, 1951).
A továbbiakban a külső teret stacionáriusnak, azaz időfüggetlennek tételezzük fel.
A -operátorok kívánt reprezentációját a külső térbeli második kvantálás
(32,9) képletei adják:
ahol és
az elektron és pozitron hullámfüggvényei és sajátenergiái, amelyek az
„egyrészecskés” feladatnak – a külső térbeli Dirac-egyenletnek– megoldásai. Könnyű belátni, hogy a (106,2) operátorok olyan képbeli operátorok, amelyek a
kölcsönhatási és a Heisenberg-kép között helyezkednek el
valahol középúton (Furry-reprezentáció) . Ugyanis a következő alakbanírhatók:
ahol
Az elektromágneses tér operátora természetszerűleg felcserélhető
második tagjával, így szempontjából a Furry-kép a kölcsönhatási képpel
azonos.
A nulladrendű elektronpropagátor az új reprezentációban
alakú. A téroperátor a külső térbeli Dirac-egyenletnek tesz eleget:
egyenlet vonatkozik [hasonlítsuk össze a (104,5) eredménnyel].
A pontos propagátort
hatványai szerinti sor alakjában megadó diagrammódszert a
Heisenberg-képről a Furry-képre áttérve alkothatjuk meg, ugyanúgy, ahogy korábban a
kölcsönhatási képben tettük. Végeredményben azonos
alakú diagramokat kapunk, mint ott, de a folytonos vonalaknak ez esetben az
mennyiség felel meg (
helyett).
A diagramok analitikus felírásakor egyetlen lényegtelen eltérés jelentkezik, amely
azzal kapcsolatos, hogy a koordinátareprezentációban nemcsak az
különbség függvénye. Állandó külső térben azonban az időbeli
homogenitás megmarad, és így a
és
időpillanatok az előzőkhöz hasonlóan csak a
különbség alakjában jelennek meg, így
Az impulzusreprezentációra a függvény összes változója szerinti Fourier-transzformációval térhetünk át:
Minden egyes vonalhoz, melynek -et feleltetünk meg, így egy virtuális energiaértéket és két impulzust,
a kezdeti
-et és a végső
-t kell hozzárendelnünk:
Ezzel megkapjuk a diagramok analitikus alakjának felírási szabályait,
amelyekben megszokott módon integrálunk szerint, viszont a
és a
impulzusok szerinti integrálást egymástól függetlenül végezzük el az
impulzusmegmaradás figyelembevételével, minden csúcsban. Így például
![]() |
Fontos észrevétel, hogy a most bemutatott módszerben az önmagukban zárt elektronvonalakat tartalmazó diagramokat szintén figyelembe kell vennünk, amelyek pedig a szokásos módszerben, mint pl. a „vákuumárammal ” kapcsolatosakban, elhagyhatók voltak. Külső tér esetén ez az áram már nem kell, hogy nulla legyen, mivel a külső tér „polarizálja a vákuumot ”. Így a
tényező tartozik. Ez esetben azonban pontosabb tartalmat kell adnunk a
szerinti integrálásnak. A helyzet az, hogy a
szerinti integrálással a
függvényt a
helyen kapjuk; de a
függvény ott éppen szakadásos, így meg kell mondanunk, hogy a két
határérték közül melyiket kell tekintetbe vennünk. A kérdés tisztázásához elegendő
figyelembe vennünk, hogy a (106,11) integrál azoknak
a
-operátoroknak az összevonásából származik, amelyek azonos áramban
fordulnak elő:
ahol a
-től balra áll. A (106,4)
propagátordefiníció szerint ez a sorrend
esetén akkor adódhat, ha
-t mint
-t tekintjük, azaz a
függvényt a
helyen vesszük. Másképp fogalmazva, a (106,11) integrált
szerint véve, a következőképpen kell értelmezni:
A tömegoperátort külső térben ugyanúgy definiáljuk, mint
a 102. §-ban: a kompakt sajátenergiás blokkok összege. Ez a jelen esetben az
energia és a
impulzusok függvénye (
és
azokhoz a vonalakhoz tartoznak, amelyek bemennek, illetve elhagyják a
betétrészt):
(102,6) levezetésével azonos módon eljárva, kapjuk a
egyenletet.
Könnyebben áttekinthető alakra jutunk, ha a térkomponensek szerint visszatérünk a koordinátareprezentációra a
függvényt bevezetve. Hasonló eljárást követünk a többi függvényre is. A(106,14) egyenlet inverz
Fourier-transzformációját elvégezve, a következőt kapjuk:
Alkalmazzuk az egyenletre a
operátort ( szám,
az
koordináták szerinti differenciálás operátora). Ennek során vegyük
figyelembe, hogy (106,6) szerint
Eredményként a következő egyenlet adódik:
A függvény jelentősége az, hogy pólusai az elektron külső térbeli
energiaszintjeit határozzák meg.
Ezt elsőként a közelítő függvényre mutatjuk meg. A (106,2) operátorokat a (106,4)
propagátordefinícióba helyettesítve [a szabad részecskékre vonatkozó (76,12)-nek megfelelő képletekhez hasonlóan], azt
kapjuk, hogy
majd a Fourier-transzformáltakraáttérve,
Látható, hogy mint
analitikus függvénye a pozitív valós féltengelven pólusokkal
rendelkezik, amelyek megegyeznek az elektron energiaszintjeivel, ugyanakkor a negatív
féltengelyen is pólusai vannak, a pozitron energiaszintjeinek megfelelően. Az
értékek alkotják a folytonos spektrumot,[393]és a megfelelő pólusok az
sík két vágását hozzák létre:
-től
-ig az egyiket és
-től
-ig a másikat. Az
szakaszon találjuk a diszkrét energiaszinteket meghatározó pólusokat.
A pontos propagátorra hasonló kifejtést kaphatunk, ha azt
Schrödinger-operátorok mátrixelemeivel fejezzük ki, amelyekkel a Heisenberg-operátorok
mátrixelemeit az
egyenlet köti össze (hasonlóan -ra). Itt
a pontos (az összes sugárzási korrekciót tartalmazó) külső térbeli energiaérték. A
operátor eggyel (azaz
-kel) növeli, a
csökkenti a rendszer töltését. Eszerint az
és
mátrixelemekben az
állapotoknak
töltésű rendszert kell képviselniük, azaz egy pozitron mellett csak
bizonyos számú elektron-pozitron pártés néhány fotont tartalmazhatnak; az állapotok
energiáját
-szal jelöljük. Hasonló módon a
és
mátrixelemekben az
állapotok
elektront
párok és fotonok rendszerét tartalmazhatják (
energiával). Ekkor(106,18) helyett
a
adódik.
Legyen valamely
diszkrét energiaszint értékéhez (vagy
-hoz) közel. Ekkor az egész (106,22) összegből elég csak a megfelelő pólusú tagot megtartani. Ezt (106,17)-be helyettesítve, látjuk, hogy a második
változótól,
-től függő tényezők az egyenletből (
esetén) kiesnek. Ekkor tehát a
függvényre [vagy
-ra, amelyet a rövidség kedvéért
-rel jelölünk][394] homogén integro-differenciálegyenlet adódik. Elhagyva az
indexet:
Az diszkrét energiaértékek most mint ennek az egyenletnek a sajátértékei
tekinthetők. Eszerint a (106,23) egyenlet képezi
azok szokásos meghatározásának alapját.
Fejezzük ki például (106,23)-ból az
-ben elsőrendű korrekciót a
Dirac-egyenlet megoldásából adódó energiaértékhez; legyen (106,24)
megoldása az
feltétellel normálva. A (106,23)
egyenlet sajátfüggvényét keressük
alakban, ahol a
korrekciója. (106,26)-ot a (106,23) egyenletbe helyettesítve és azt balról
-rel megszorozva, majd
szerint integrálva,[395] kapjuk a keresett energiaeltolódást: