ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

106.§. Az elektron propagátora külső térben

Ha a rendszer adott A(e)(x) külső elektromágneses térben helyezkedik el, akkor a pontos elektronpropagátort ugyanúgy mint eddig, a (102,1) formula adja, de a H=H0+V Hamilton-operátor, amelyet a Heisenberg-képbeli téroperátorok megadásához használunk, tartalmazni fogja az elektronoknak a külső térrel való kölcsönhatását is:

11.103. egyenlet - (106,1)

V = e \int A_{μ} j^{μ} d^{3} x + e \int A_{μ}^{(e)} j^{μ} d^{3} x .

Minthogy a külső tér sérti a téridő homogenitását a (x,x′) propagátor mindkét változótól külön-külön függ, nemcsak az x–x′ különbségtől.

Ha a szokott módon áttérünk a kölcsönhatási kép használatára, akkor a szokásos diagramtechnikára jutunk azzal az eltéréssel, hogy a virtuális fotonvonalakon kívül a külső tér vonalai is előfordulnak. Ez a módszer azonban kényelmetlen abban az esetben, ha a külső tér nem tekinthető kis perturbációnak, és főleg, ha a részecskék kötve lehetnek a külső térben. Az elektron külső térbeli propagátora többek között éppen azért fontos, hogy a kötött állapot tulajdonságait, speciálisan a sugárzási korrekciókkal módosított energiaszintjeit, tanulmányozhassuk. E propagátor konstrukciójára az operátorok olyan reprezentációját használjuk, amelyben a külső tér hatását egzaktul figyelembe vesszük az elektron-foton kölcsönhatásnak már a nulladik rendjében is (W. H. Furry, 1951).

A továbbiakban a külső teret stacionáriusnak, azaz időfüggetlennek tételezzük fel.

A -operátorok kívánt reprezentációját a külső térbeli második kvantálás (32,9) képletei adják:

11.104. egyenlet - (106,2)

\begin{matrix} \begin{aligned} Ψ^{e} (t, r) & = \sum_{n} {a_{n} ψ^{(+)} (r) e^{- i 𝜀_{n}^{(+)} t} + b_{n}^{+} ψ_{n}^{(-)} (r) e^{i 𝜀_{n}^{(-)} t}}, \\ {\bar{Ψ}}^{(e)} (t, r) & = \sum_{n} {a_{n}^{+} {\bar{ψ}}_{n}^{(+)} (r) e^{i 𝜀_{n}^{(+)} t} + b_{n} {\bar{ψ}}^{(-)} (r) e^{- i 𝜀_{n}^{(-)} t}}, \end{aligned} & (106,2) \end{matrix}

ahol ψn(±)(r) és εn(±) az elektron és pozitron hullámfüggvényei és sajátenergiái, amelyek az „egyrészecskés” feladatnak – a külső térbeli Dirac-egyenletnek– megoldásai. Könnyű belátni, hogy a (106,2) operátorok olyan képbeli operátorok, amelyek a kölcsönhatási és a Heisenberg-kép között helyezkednek el valahol középúton (Furry-reprezentáció) . Ugyanis a következő alakbanírhatók:

11.105. egyenlet - (106,3)

\begin{matrix} \begin{aligned} Ψ^{(e)} (t, r) & = e^{i H_{1} t} Ψ (r) e^{- i H_{1} t}, \\ {\bar{Ψ}}^{(e)} (t, r) & = e^{i H_{1} t} \bar{Ψ} (r) e^{- i H_{1} t}, \end{aligned} & (106,3) \end{matrix}

ahol

Az elektromágneses tér operátora természetszerűleg felcserélhető második tagjával, így szempontjából a Furry-kép a kölcsönhatási képpel azonos.

A nulladrendű elektronpropagátor az új reprezentációban

11.106. egyenlet - (106,4)

G_{i k}^{(e)} (x, x^{'}) = - i ⟨0 | T Ψ_{i}^{(e)} (x) {\bar{Ψ}}_{k}^{(e)} (x^{'}) | 0⟩

alakú. A Ψ(e)(t,r) téroperátor a külső térbeli Dirac-egyenletnek tesz eleget:

11.107. egyenlet - (106,5)

[\hat{p} - e Â^{(e)} (x) - m] Ψ^{(e)} (t, r) = 0,

G(e) -re viszont a

11.108. egyenlet - (106,6)

[\hat{p} - e Â^{(e)} (x) - m] G^{(e)} (x, x^{'}) = δ^{(4)} (x - x^{'})

egyenlet vonatkozik [hasonlítsuk össze a (104,5) eredménnyel].

A pontos propagátort hatványai szerinti sor alakjában megadó diagrammódszert a Heisenberg-képről a Furry-képre áttérve alkothatjuk meg, ugyanúgy, ahogy korábban a kölcsönhatási képben tettük. Végeredményben azonos alakú diagramokat kapunk, mint ott, de a folytonos vonalaknak ez esetben az iG(e) mennyiség felel meg ( helyett).

A diagramok analitikus felírásakor egyetlen lényegtelen eltérés jelentkezik, amely azzal kapcsolatos, hogy G(e) a koordinátareprezentációban nemcsak az x–x′ különbség függvénye. Állandó külső térben azonban az időbeli homogenitás megmarad, és így a és időpillanatok az előzőkhöz hasonlóan csak a t–t′≡τ különbség alakjában jelennek meg, így

Az impulzusreprezentációra a függvény összes változója szerinti Fourier-transzformációval térhetünk át:

11.109. egyenlet - (106,7)

G^{(e)} (τ, r, r^{'}) = ∭ e^{i (p_{2} r - p_{1} r^{'} - 𝜀 τ)} G (𝜀, p_{2}, p_{1}) \frac{d 𝜀}{2 π} \frac{d^{3} p_{1}}{{(2 π)}^{3}} \frac{d^{3} p_{2}}{{(2 π)}^{3}} .

Minden egyes vonalhoz, melynek iG(e)(ε,p2,p1) -et feleltetünk meg, így egy virtuális energiaértéket és két impulzust, a kezdeti -et és a végső-t kell hozzárendelnünk:

11.110. egyenlet - (106,8)

i G^{(e)} (𝜀, p_{2}, p_{1}) = \overset{p_{2} 𝜀 p_{1}}{\leftarrow} .

Ezzel megkapjuk a diagramok analitikus alakjának felírási szabályait, amelyekben megszokott módon integrálunk dε∕2π szerint, viszont a d3p1∕(2π)3 és a d3p2∕(2π)3 impulzusok szerinti integrálást egymástól függetlenül végezzük el az impulzusmegmaradás figyelembevételével, minden csúcsban. Így például

11.111. egyenlet - (106,9)

\begin{matrix} \begin{aligned} = e^{2} ∭ G^{(e)} (𝜀, p_{2}, p^{″}) γ^{μ} G^{(e)} (𝜀 - ω, p^{″} - k, p^{'} - k) \times \\ \times γ^{ν} G^{(e)} (𝜀, p^{'}, p_{1}) D_{μ ν} (ω, k) \frac{d^{4} k}{{(2 π)}^{4}} \frac{d^{3} p^{'}}{{(2 π)}^{3}} \frac{d^{3} p^{″}}{{(2 π)}^{3}} . \end{aligned} & (106,9) \end{matrix}

Fontos észrevétel, hogy a most bemutatott módszerben az önmagukban zárt elektronvonalakat tartalmazó diagramokat szintén figyelembe kell vennünk, amelyek pedig a szokásos módszerben, mint pl. a „vákuumárammal ” kapcsolatosakban, elhagyhatók voltak. Külső tér esetén ez az áram már nem kell, hogy nulla legyen, mivel a külső tér „polarizálja a vákuumot ”. Így a

11.112. egyenlet - (106,10)

diagram felső hurokjához az

11.113. egyenlet - (106,11)

i \iint G^{(e)} (ω, p + k, p) \frac{d^{3} p}{{(2 π)}^{3}} \frac{d ω}{2 π}

tényező tartozik. Ez esetben azonban pontosabb tartalmat kell adnunk a szerinti integrálásnak. A helyzet az, hogy a szerinti integrálással a G(e)(τ) függvényt a τ=0 helyen kapjuk; de a függvény ott éppen szakadásos, így meg kell mondanunk, hogy a két határérték közül melyiket kell tekintetbe vennünk. A kérdés tisztázásához elegendő figyelembe vennünk, hogy a (106,11) integrál azoknak a-operátoroknak az összevonásából származik, amelyek azonos áramban fordulnak elő:

ahol Ψ(e) a Ψ(e) -től balra áll. A (106,4) propagátordefiníció szerint ez a sorrend t=t′ esetén akkor adódhat, ha -t mint t′=t+0 -t tekintjük, azaz a G(e)(t–t′) függvényt a t–t′→–0 helyen vesszük. Másképp fogalmazva, a (106,11) integrált (dω/2π) szerint véve, a következőképpen kell értelmezni:

11.114. egyenlet - (106,12)

\int \dots e^{- i ω τ} \frac{d ω}{2 π} τ \to - 0 .

A tömegoperátort külső térben ugyanúgy definiáljuk, mint a 102. §-ban: –iℳ a kompakt sajátenergiás blokkok összege. Ez a jelen esetben az energia és a p1,p2 impulzusok függvénye ( és azokhoz a vonalakhoz tartoznak, amelyek bemennek, illetve elhagyják a betétrészt):

11.115. egyenlet - (106,13)

(102,6) levezetésével azonos módon eljárva, kapjuk a

11.116. egyenlet - (106,14)

\begin{matrix} \begin{aligned} 𝒢 (𝜀, p_{2}, p_{1}) & - G^{(e)} (𝜀, p_{2}, p_{1}) = \\ = \iint G^{(e)} (𝜀, p_{2}, p^{″}) ℳ (𝜀, p^{″}, p^{'}) 𝒢 (𝜀, p^{'}, p_{1}) \frac{d^{3} p^{'}}{{(2 π)}^{3}} \frac{d^{3} p^{″}}{{(2 π)}^{3}} \end{aligned} & (106,14) \end{matrix}

egyenletet.

Könnyebben áttekinthető alakra jutunk, ha a térkomponensek szerint visszatérünk a koordinátareprezentációra a

11.117. egyenlet - (106,15)

𝒢 (𝜀, r, r^{'}) = \iint 𝒢 (𝜀, p_{2}, p_{1}) e^{i (p_{2} r - p_{1} r^{'})} \frac{d^{3} p_{1} d^{3} p_{2}}{{(2 π)}^{6}}

függvényt bevezetve. Hasonló eljárást követünk a többi függvényre is. A(106,14) egyenlet inverz Fourier-transzformációját elvégezve, a következőt kapjuk:

(ε,r,r′)–G(e)(ε,r,r′)=∬G(e)(ε,r,r2)ℳ(ε,r2,r1)(ε,r1,r′) d3x1d3x2.

Alkalmazzuk az egyenletre a

operátort ( szám, p=–i∇ az koordináták szerinti differenciálás operátora). Ennek során vegyük figyelembe, hogy (106,6) szerint

11.118. egyenlet - (106,16)

[γ^{0} 𝜀 - γ p - e Â^{(e)} (x)] G^{(e)} (𝜀, r, r^{'}) = δ (r - r^{'}) .

Eredményként a következő egyenlet adódik:

11.119. egyenlet - (106,17)

[γ^{0} 𝜀 - γ p - e Â^{(e)} (x)] 𝒢 (𝜀, r, r^{'}) - \int ℳ (𝜀, r_{2}, r_{1}) 𝒢 (𝜀, r_{1}, r^{'}) d^{3} x_{1} = δ (r - r^{'}) .

A (e)(ε,r,r′) függvény jelentősége az, hogy pólusai az elektron külső térbeli energiaszintjeit határozzák meg.

Ezt elsőként a G(e)(ε,r,r′) közelítő függvényre mutatjuk meg. A (106,2) operátorokat a (106,4) propagátordefinícióba helyettesítve [a szabad részecskékre vonatkozó (76,12)-nek megfelelő képletekhez hasonlóan], azt kapjuk, hogy

11.120. egyenlet - (106,18)

G_{i k}^{(e)} (t - t^{'}, r, r^{'}) = \{\begin{matrix} - i \sum_{n} ψ_{n i}^{(+)} (r) {\bar{ψ}}_{n k}^{(+)} (r^{'}) exp {- i 𝜀_{n}^{(+)} (t - t^{'})}, & ha t > t^{'}, \\ i \sum_{n} ψ_{n i}^{(-)} (r) {\bar{ψ}}_{n k}^{(-)} (r^{'}) exp {i 𝜀_{n}^{(-)} (t - t^{'})}, & ha t < t^{'}, \end{matrix}

majd a Fourier-transzformáltakraáttérve,

11.121. egyenlet - (106,19)

G_{i k}^{(e)} (𝜀, r, r^{'}) = \sum_{n} \{\frac{ψ_{n i}^{(+)} (r) {\bar{ψ}}_{n k}^{(+)} (r^{'})}{𝜀 - 𝜀_{n}^{(+)} + i 0} + \frac{ψ_{n i}^{(-)} (r) {\bar{ψ}}_{n k}^{(-)} (r^{'})}{𝜀 - 𝜀_{n}^{(+)} + i 0}\} .

Látható, hogy G(e)(ε,r,r′) mint analitikus függvénye a pozitív valós féltengelven pólusokkal rendelkezik, amelyek megegyeznek az elektron energiaszintjeivel, ugyanakkor a negatív féltengelyen is pólusai vannak, a pozitron energiaszintjeinek megfelelően. Az εn(±)>m értékek alkotják a folytonos spektrumot,^[393]és a megfelelő pólusok az sík két vágását hozzák létre: -től-ig az egyiket és -től -ig a másikat. Az |ε|<m szakaszon találjuk a diszkrét energiaszinteket meghatározó pólusokat.

A pontos (ε,r,r′) propagátorra hasonló kifejtést kaphatunk, ha azt Schrödinger-operátorok mátrixelemeivel fejezzük ki, amelyekkel a Heisenberg-operátorok mátrixelemeit az

11.122. egyenlet - (106,20)

⟨m | Ψ (t, r) | n⟩ = ⟨m | Ψ (r) | n⟩ e^{- i (E_{n} - E_{m}) t}

egyenlet köti össze (hasonlóan -ra). Itt a pontos (az összes sugárzási korrekciót tartalmazó) külső térbeli energiaérték. A operátor eggyel (azaz +|e| -kel) növeli, a csökkenti a rendszer töltését. Eszerint az ⟨n|Ψ|0⟩ és ⟨0|Ψ̄|n⟩ mátrixelemekben az |n⟩ állapotoknak töltésű rendszert kell képviselniük, azaz egy pozitron mellett csak bizonyos számú elektron-pozitron pártés néhány fotont tartalmazhatnak; az állapotok energiáját En(–) -szal jelöljük. Hasonló módon a ⟨0|Ψ|n⟩ és ⟨n|Ψ̄|0⟩ mátrixelemekben az |n⟩ állapotok elektront párok és fotonok rendszerét tartalmazhatják ( En+ energiával). Ekkor(106,18) helyett a

11.123. egyenlet - (106,21)

\begin{matrix} \begin{aligned} 𝒢_{i k} (t - t^{'}, r, r^{'}) = \\ = \{\begin{matrix} - i \sum_{n} ⟨0 | Ψ_{i} (r) | n⟩ ⟨n | {\bar{Ψ}}_{k} (r^{'}) | 0⟩ exp {- i E_{n}^{(+)} (t - t^{'})}, & ha t > t^{'}, \\ i \sum_{n} ⟨0 | {\bar{Ψ}}_{k} (r^{'}) | n⟩ ⟨n | Ψ_{i} (r) | 0⟩ exp {i E_{n}^{(-)} (t - t^{'})}, & ha t < t^{'} \end{matrix} \end{aligned} & (106,21) \end{matrix}

egyenletet kapjuk, és ebből

11.124. egyenlet - (106,22)

\begin{matrix} \begin{aligned} 𝒢_{i k} (𝜀, r, r^{'}) & = \sum_{n} \{\frac{⟨0 | Ψ_{i} (r) | n⟩ ⟨n | {\bar{Ψ}}_{k} (r^{'}) | 0⟩}{𝜀 - E_{n}^{(+)} + i 0} + \\ + \frac{⟨0 | {\bar{Ψ}}_{k} (r^{'}) | n⟩ ⟨n | Ψ_{i} (r) | 0⟩}{𝜀 + E_{n}^{(-)} - i 0} \} \end{aligned} & (106,22) \end{matrix}

adódik.

Legyen valamely En(+) diszkrét energiaszint értékéhez (vagy –En(–) -hoz) közel. Ekkor az egész (106,22) összegből elég csak a megfelelő pólusú tagot megtartani. Ezt (106,17)-be helyettesítve, látjuk, hogy a második változótól, -től függő tényezők az egyenletből ( r≠r′ esetén) kiesnek. Ekkor tehát a ⟨0|Ψ(r)|n⟩ függvényre [vagy ⟨n|Ψ(r)|0⟩ -ra, amelyet a rövidség kedvéért Ψn(r) -rel jelölünk]^[394] homogén integro-differenciálegyenlet adódik. Elhagyva az indexet:

11.125. egyenlet - (106,23)

{[γ^{0} 𝜀 + i γ \nabla - e Â^{(e)} (r)]}_{i k} Ψ_{k} (r) - \int ℳ_{i k} (𝜀, r, r_{1}) Ψ_{k} (r_{1}) d^{3} x_{1} = 0 .

Az diszkrét energiaértékek most mint ennek az egyenletnek a sajátértékei tekinthetők. Eszerint a (106,23) egyenlet képezi azok szokásos meghatározásának alapját.

Fejezzük ki például (106,23)-ból az -ben elsőrendű korrekciót a

11.126. egyenlet - (106,24)

[γ^{0} 𝜀 + i γ \nabla - e Â^{(e)} (r)] Ψ_{n} (r) = 0

Dirac-egyenlet megoldásából adódó energiaértékhez; legyen (106,24) ψn(r) megoldása az

11.127. egyenlet - (106,25)

\int ψ_{n}^{*} ψ_{n} d^{3} x = 1

feltétellel normálva. A (106,23) egyenlet sajátfüggvényét keressük

11.128. egyenlet - (106,26)

Ψ_{n} (r) = ψ_{n} (r) + ψ_{n}^{(1)} (r)

alakban, ahol ψn(1) a ψn(r) korrekciója. (106,26)-ot a (106,23) egyenletbe helyettesítve és azt balról ψ̄n(r) -rel megszorozva, majd d3x szerint integrálva,^[395] kapjuk a keresett energiaeltolódást:

11.129. egyenlet - (106,27)

E_{n} - e_{n} \approx \iint {\bar{ψ}}_{n i} (r) ℳ_{i k} (𝜀, r, r_{1}) ψ_{n k} (r_{1}) d^{3} x d^{3} x_{1} .

^[393] Feltételezzük, hogy a külső tér a végtelenben eltűnik.

^[394] A sugárzási korrekciókat elhanyagolva Ψn(r) (az egyelektronos vagy egypozitronos állapotokra) a Dirac-egyenlet ψn(+) vagy ψn(–) megoldásaival egyezik meg.

^[395] Az integrálás során használjuk ki a (106,24) egyenlet differenciáloperátorának önadjungált voltát, hogy hatását ψn(1) -ről ψ̄n -re átháríthassuk.