Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A polarizációs operátor közvetlen számítása a (110,1) hurkos diagram alapján, a perturbációszámítás első közelítésében az
integiál kiszámításával volna lehetséges. A teljes négyesimpulzustérre vett
integrál azonban kvadratikusan divergál, így csak a 109. §-ban kimondott szabályokat alkalmazva regularizálhatjuk, és juthatunk
véges eredményre.
Ezt az utat nem reprodukáljuk itt teljességében, de megmutatjuk, hogy meg lehet adni a (112,1) integrál alapján a polarizációs operátor képzetes részét (amelyet a 110. §-ban az unitaritási feltételből határoztunk meg). Ez a levezetés is sok tanulságos momentumra irányítja rá a figyelmünket.
A (112,1) integrál képzetes része nem divergál,
így nem igényel regularizációt. Az skalárfüggvény:
A nyom kiszámítása után az integrál alakja a következő:
Legyen ; térjünk át arra a vonatkoztatási rendszerre, amelyben
. Ebben
Bevezetve az jelölést (amely nem azonos a virtuális elektron
„energiájával”!), (112,2) átírható
az
alakra.
Az integrandusnak négy pólusa van a komplex változóban:
a) |
![]() | a’) |
![]() |
b) |
![]() | b’) |
![]() |
A 20. ábrán e pólusok helyzete látható. A
meghatározottság kedvéért a feltételt szabjuk ki (mivel a végeredmény csak
függ, és
előjelétől független). Számítsuk ki a
függvény ugrását a
komplex síkbeli vágásán vagy, ami ezzel ekvivalens, a
-sík valós tengelye mentén. A
függvény valós része folytonos a vágáson, így az ugrás
Mindenekelőtt megmutatjuk, hogyan lehetséges pusztán az integrál alakjából
meghatározni a vágás helyzetét. A (112,3) integrál
belső részét (a szerintit) jelöljük
-lal. Mindaddig, amíg a 20. ábra
felső és alsó pólusai véges távolságra vannak egymástól, a
szerinti integrálás útját a pólusoktól tetszőleges távol vezethetjük
(a szaggatott vonal az ábrán). Így nyilvánvaló, hogy
értéke változatlan marad a
és
pólusok infinitezimális eltolásakor az imaginárius tengely mentén,
azaz a
helyettesítés során. Más szavakkal,
értéke
-lal akár alulról, akár felülről valós értékéhez tartva, azonos lesz,
és így
nem ad járulékot
-hez. A helyzet alapvetően megváltozik, ha két pólus egymás alá kerül
(a
feltétel teljesülésekor ez az
és
pólusokkal történhet meg), amikor is az integrálási görbe közéjük
„szorul”, és nem mozdítható el. Így a
lehetőség csak akkor lép fel, ha a
szerinti integrálás tartományában valahol teljesül a
feltétel, azaz
. Ehhez nyilvánvalóan teljesülnie kell
-nek, azaz
-nek.[412]
alakra, az tagokat elhagyva és az integrálási görbét ennek megfelelően módosítva
(l. 21. ábra). Azonnal látjuk, hogy a
ugrás fellépése annak következménye, hogy az
pólust nem tudjuk elkerülni az integrálás kontúrjával (mikor a kontúr
és
közé„szorul”). Ezt figyelembe véve változtatjuk a
görbét
-re, amely az
pont alatt halad, miközben fellép az e pont körüli kis körre vonatkozó
integrál (l. a 21bábrát). Ezek után a
kontúrt mindig akadálytalanul tarthatjuk távol a pólusoktól, így ez az
integrál csak a
függvény reguláris részébe ad járulékot. A keresett ugrás
meghatározásához elegendő a
vonalintegrált tekinteni, amely az
-beli reziduum kiszámítására vezet. Ezt a műveletet az
helyettesítéssel végezhetjük el (a negatív előjel a görbe negatív
irányításából ered). Ennek során a -függvény argumentumában csak a
gyököt (azaz csak az
pólust körülvevő görbét) kell figyelembe vennünk. Ez automatikusan
elérhető, ha csak a négyesimpulzustér felére integrálunk:
.
A (112,6) helyettesítés után az integrál ugrása közvetlenül számítható:
Az
[vö. (108,3)] egyenlőséget felhasználva, kapjuk a
alakot. A -függvények argumentumait invariáns alakban írhatjuk, ha azokhoz
-et hozzáadunk, és ki is vonjuk belőlük:
A -függvények jelenléte miatt az integrálást valójában csak a
hiperfelületek metszésvonalára
kell elvégezni. Mivel e tartományban minden négyesvektor időszerű, így a
integrálási feltétel invariáns jellegű (a
kúp felsőága).
Hasonlítsuk össze (112,7)-et a kiindulási (112,2) képlettel. Mint látjuk, a függvény ugrását formálisan úgy kaphatjuk meg, ha a kiindulási
Feynman-integrálban elvégezzük a (110,1) ábra
átvágott propagátoraira az
helyettesítést (S. Mandelstam , 1958, R. Cutkosky , 1960).
Vegyük észre, hogy a (112,8) feltételek a fázistér
olyan tartományát jelölik ki, ahol a gráf megfelelő vonalai virtuális részek helyett
valódiak terjedését írják le (vagy amint mondják, a és
négyesimpulzusok tömeghéjon vannak). Ez világosan utal az unitaritási összefüggésen alapuló módszerrel való
kapcsolatra, ahol ugyanezeket a vonalakat helyettesítjük a közbenső állapot valós
részecskéinek megfelelő vonalakkal.
Az matematikailag is kitűnik, hogy a divergencia miért hiányzik a képzetes részből: a képzetes részt a tömeghéj véges részére való integrálással kapjuk a teljes fázistérre való összegezés helyett.
Ahhoz, hogy a 110. §-ban levezetett képletet
megkapjuk (112,7)-ből, térjünk vissza a
vonatkoztatási rendszerbe, és végezzük el a
szerinti integrálást. Ez a -függvények segítségével részben elvégezhető. Ennek során, az elsőt
a másodikat pedig a
alakban kell használni. Végeredményben
adódik, ahol , a
függvény értékeit pedig a
helyeken kell venni, azaz
és szögtől független. Így a szerinti integrálás
-vel való szorzásra vezet, ami (110,8)-at adja.
A bemutatott levezetésben csak az a lényeges, hogy a diagramot két vonal felvágásával két részre tudtuk bontani. Így a megadott szabály érvényes lesz mindazokra a diagramokra is, amelyek két tetszőleges, két (elektron- vagy foton-) vonallal összeköthető blokkból állnak. A (112,9) helyettesítés révén kiszámított integrál ekkor az unitaritási módszerrel a kétrészecskés közbenső állapotokból számított járulékot határozza meg a diagram képzetes részéhez.
[412] Hasonló módon győződhetünk meg a vágás hiányáról esetén. Ebben az esetben azt a koordináta-rendszert választva,
amelyben
, az integrandus pólusainak helyzetére
adódik. Mindkét alsó pólus mindig a jobb, mindkét felső mindig a bal
félsíkban fekszik, így egyik pár sem kerülhet egymás
fölé.