ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

112.§. A polarizációs operátor képzetes részének kiszámítása Feynman-integrálokkal

A polarizációs operátor közvetlen számítása a (110,1) hurkos diagram alapján, a perturbációszámítás első közelítésében az

12.24. egyenlet - (112,1)

\frac{i 𝒫^{μ ν}}{4 π} \to - e^{2} \int Sp γ^{μ} G (p) γ^{ν} G (p - k) \frac{d^{4} p}{{(2 π)}^{4}}

integiál kiszámításával volna lehetséges. A teljes négyesimpulzustérre vett integrál azonban kvadratikusan divergál, így csak a 109. §-ban kimondott szabályokat alkalmazva regularizálhatjuk, és juthatunk véges eredményre.

Ezt az utat nem reprodukáljuk itt teljességében, de megmutatjuk, hogy meg lehet adni a (112,1) integrál alapján a polarizációs operátor képzetes részét (amelyet a 110. §-ban az unitaritási feltételből határoztunk meg). Ez a levezetés is sok tanulságos momentumra irányítja rá a figyelmünket.

A (112,1) integrál képzetes része nem divergál, így nem igényel regularizációt. Az ℑ=(1/3)μμ skalárfüggvény:

ℑ=ℑ{i(4πe2/3(2π)4)∫(Spγμ(p̂+m)γμ(p̂–k̂+m)/(p2–m2+i0)[(p–k)2–m2+i0]) d4p}.

A nyom kiszámítása után az integrál alakja a következő:

12.25. egyenlet - (112,2)

\begin{matrix} \begin{aligned} ℑ 𝒫 (k^{2}) & = ℑ \int \frac{i φ (p) d^{4} p}{(p^{2} - m^{2} + i 0) [{(p - k)}^{2} - m^{2} + i 0]}, \\ φ (p) & = \frac{2 e^{2}}{3 π^{3}} (2 m^{2} + p k - p^{2}) . \end{aligned} & (112,2) \end{matrix}

Legyen k2>0 ; térjünk át arra a vonatkoztatási rendszerre, amelyben k=(k0,0) . Ebben

Bevezetve az ε=√(p2+m2) jelölést (amely nem azonos a virtuális elektron „energiájával”!), (112,2) átírható az

12.26. egyenlet - (112,3)

\begin{matrix} \begin{aligned} ℑ 𝒫 (k^{2}) & = ℑ \int d^{3} p \int_{- \infty}^{\infty} d p_{0} \frac{i φ (p_{0}, p)}{(p_{0}^{2} - 𝜀^{2} + i 0) [{(p_{0} - k_{0})}^{2} - 𝜀^{2} + i 0]}, \\ φ (p_{0}, p) & = \frac{2 e^{2}}{3 π^{3}} (m^{2} + 𝜀^{2} + p_{0} k_{0} - p_{0}^{2}) \end{aligned} & (112,3) \end{matrix}

alakra.

Az integrandusnak négy pólusa van a komplex változóban:

a)	,	a’)	,
b)	,	b’)	.

20. ábra.

A 20. ábrán e pólusok helyzete látható. A meghatározottság kedvéért a k0>0 feltételt szabjuk ki (mivel a végeredmény csak k02 függ, és előjelétől független). Számítsuk ki a (t) függvény ugrását a t=k2=k02 komplex síkbeli vágásán vagy, ami ezzel ekvivalens, a -sík valós tengelye mentén. A (t) függvény valós része folytonos a vágáson, így az ugrás

12.27. egyenlet - (112,4)

Δ 𝒫 (t) = 2 i ℑ 𝒫 (t) .

Mindenekelőtt megmutatjuk, hogyan lehetséges pusztán az integrál alakjából meghatározni a vágás helyzetét. A (112,3) integrál belső részét (a dp0 szerintit) jelöljük I(p,k0) -lal. Mindaddig, amíg a 20. ábra felső és alsó pólusai véges távolságra vannak egymástól, a szerinti integrálás útját a pólusoktól tetszőleges távol vezethetjük (a szaggatott vonal az ábrán). Így nyilvánvaló, hogy I(p,k0) értéke változatlan marad a és pólusok infinitezimális eltolásakor az imaginárius tengely mentén, azaz a k0→k0±iδ,δ→0 helyettesítés során. Más szavakkal, I(p,k0) értéke -lal akár alulról, akár felülről valós értékéhez tartva, azonos lesz, és így I(p,k0) nem ad járulékot -hez. A helyzet alapvetően megváltozik, ha két pólus egymás alá kerül (a k0>0 feltétel teljesülésekor ez az és pólusokkal történhet meg), amikor is az integrálási görbe közéjük „szorul”, és nem mozdítható el. Így a Δ≠0 lehetőség csak akkor lép fel, ha a d3p szerinti integrálás tartományában valahol teljesül a k0–ε=ε feltétel, azaz k0=2ε=2√(p2+m2) . Ehhez nyilvánvalóan teljesülnie kell k0≥2m -nek, azaz t≥4m2 -nek.^[412]

21. ábra.

Írjuk át az I(p,k0) integrált az

12.28. egyenlet - (112,5)

I (p, k_{0}) = \int_{C} \frac{i φ (p_{0}, p) d p_{0}}{(p_{0}^{2} - 𝜀^{2}) [{(p_{0} - k_{0})}^{2} - 𝜀^{2}]}

alakra, az tagokat elhagyva és az integrálási görbét ennek megfelelően módosítva (l. 21. ábra). Azonnal látjuk, hogy a Δ(t) ugrás fellépése annak következménye, hogy az pólust nem tudjuk elkerülni az integrálás kontúrjával (mikor a kontúr és közé„szorul”). Ezt figyelembe véve változtatjuk a görbét -re, amely az pont alatt halad, miközben fellép az e pont körüli kis körre vonatkozó integrál (l. a 21bábrát). Ezek után a kontúrt mindig akadálytalanul tarthatjuk távol a pólusoktól, így ez az integrál csak a (t) függvény reguláris részébe ad járulékot. A keresett ugrás meghatározásához elegendő a vonalintegrált tekinteni, amely az -beli reziduum kiszámítására vezet. Ezt a műveletet az

12.29. egyenlet - (112,6)

\frac{1}{p_{0}^{2} - 𝜀^{2}} \to - 2 π i δ (p_{0}^{2} - 𝜀^{2})

helyettesítéssel végezhetjük el (a negatív előjel a görbe negatív irányításából ered). Ennek során a -függvény argumentumában csak a p0=+ε0 gyököt (azaz csak az pólust körülvevő görbét) kell figyelembe vennünk. Ez automatikusan elérhető, ha csak a négyesimpulzustér felére integrálunk: p0>0 .

A (112,6) helyettesítés után az I(p,k0) integrál ugrása közvetlenül számítható:

ΔI ={I(p,k0+iδ)–I(p,k0–iδ)}δ→+0= =–2πi∫0∞δ(p02–ε2)iφ(p0,p)[(1/(k0–p0)2–ε2+iδ)–(1/(k0–p0)2–ε2–iδ)] dp0.

(1/(k0–p0)2–ε2±iδ)=P(1/(k0–p0)2–ε2)∓iπδ[(k0–p0)2–ε2]

[vö. (108,3)] egyenlőséget felhasználva, kapjuk a

ΔI=i(2πi)2∫0∞δ(p02–ε2)δ[(k0–p0)2–ε2]φ(p0,p) dp0

alakot. A -függvények argumentumait invariáns alakban írhatjuk, ha azokhoz -et hozzáadunk, és ki is vonjuk belőlük:

Ezek után a végeredmény:

12.30. egyenlet - (112,7)

Δ 𝒫 (k^{2}) = i {(2 π i)}^{2} \int_{p_{0} > 0} d^{4} p \cdot φ (p) δ (p^{2} - m^{2}) δ [{(p - k)}^{2} - m^{2}] .

A -függvények jelenléte miatt az integrálást valójában csak a

12.31. egyenlet - (112,8)

p^{2} = m^{2} és {(p - k)}^{2} = m^{2}

hiperfelületek metszésvonalára kell elvégezni. Mivel e tartományban minden négyesvektor időszerű, így a p0>0 integrálási feltétel invariáns jellegű (a p2=m2 kúp felsőága).

Hasonlítsuk össze (112,7)-et a kiindulási (112,2) képlettel. Mint látjuk, a (t) függvény ugrását formálisan úgy kaphatjuk meg, ha a kiindulási Feynman-integrálban elvégezzük a (110,1) ábra átvágott propagátoraira az

12.32. egyenlet - (112,9)

\frac{1}{p^{2} - m^{2} + i 0} \to - 2 π i δ (p^{2} - m^{2})

helyettesítést (S. Mandelstam , 1958, R. Cutkosky , 1960).

Vegyük észre, hogy a (112,8) feltételek a fázistér olyan tartományát jelölik ki, ahol a gráf megfelelő vonalai virtuális részek helyett valódiak terjedését írják le (vagy amint mondják, a és p–k négyesimpulzusok tömeghéjon vannak). Ez világosan utal az unitaritási összefüggésen alapuló módszerrel való kapcsolatra, ahol ugyanezeket a vonalakat helyettesítjük a közbenső állapot valós részecskéinek megfelelő vonalakkal.

Az matematikailag is kitűnik, hogy a divergencia miért hiányzik a képzetes részből: a képzetes részt a tömeghéj véges részére való integrálással kapjuk a teljes fázistérre való összegezés helyett.

Ahhoz, hogy a 110. §-ban levezetett képletet megkapjuk (112,7)-ből, térjünk vissza a k=0 vonatkoztatási rendszerbe, és végezzük el a

szerinti integrálást. Ez a -függvények segítségével részben elvégezhető. Ennek során, az elsőt

δ(p2–m2) dp0=δ(p02–ε2) dp0→(1/2ε)δ(p0–ε) dp0,

a másodikat pedig a

δ[(p–k)2–m2] dε =δ[(p0–k0)2–ε2] dε= =δ(–2εk0+k02) dε→(1/2k0)δ(ε–(k0/2)) dε

alakban kell használni. Végeredményben

12.33. egyenlet - (112,10)

Δ 𝒫 (t) = - \frac{i π^{2}}{2} \int \sqrt{\frac{t - 4 m^{2}}{t}} φ (𝜀, p) d Ω

adódik, ahol t=k2=k02 , a függvény értékeit pedig a

helyeken kell venni, azaz

és szögtől független. Így a szerinti integrálás -vel való szorzásra vezet, ami (110,8)-at adja.

A bemutatott levezetésben csak az a lényeges, hogy a diagramot két vonal felvágásával két részre tudtuk bontani. Így a megadott szabály érvényes lesz mindazokra a diagramokra is, amelyek két tetszőleges, két (elektron- vagy foton-) vonallal összeköthető blokkból állnak. A (112,9) helyettesítés révén kiszámított integrál ekkor az unitaritási módszerrel a kétrészecskés közbenső állapotokból számított járulékot határozza meg a diagram képzetes részéhez.

^[412] Hasonló módon győződhetünk meg a vágás hiányáról t=k2<0 esetén. Ebben az esetben azt a koordináta-rendszert választva, amelyben k=(0,k) , az integrandus pólusainak helyzetére p0=±(ε–i0), p0=±(√((p–k)2+m2)–i0) adódik. Mindkét alsó pólus mindig a jobb, mindkét felső mindig a bal félsíkban fekszik, így egyik pár sem kerülhet egymás fölé.