ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

115.§. Az elektron anomális mágneses momentuma

Amint a 113. §-ban már megjegyeztük, g(0) értéke határozza meg az elektron mágneses momentumának sugárzási korrekcióját. Ha csak ezt a mennyiséget akarjuk kiszámítani, akkor természetesen nem szükséges az egész g(t) függvényt kiszámítanunk. (114,14) és (113,12) segítségével azt kapjuk, hogy

12.71. egyenlet - (115,1)

g (0) = \frac{1}{π} \int_{4 m^{2}}^{\infty} \frac{ℑ g (t^{'})}{t^{'}} d t^{'} = \frac{α}{4 π} \int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x^{3 ∕ 2} \sqrt{x - 1}} = \frac{α}{2 π} .

Ezt a korrekciót figyelembe véve, az elektron mágneses momentuma:

12.72. egyenlet - (115,2)

μ = \frac{e ℏ}{2 m c} (1 + \frac{α}{2 π}) .

Ezt a képletet először Schwinger (1949) vezette le.

A következő közelítésben ( ∼α2 ) az alakfaktorok sugárzási korrekcióit hét gráffal (103,10)c-i ábrázolhatjuk. Már a g(0) érték, meghatározása is nagyon bonyolult számításokat követel ebben a közelítésben. A számítások részleteiért az eredeti cikkekre utalva, itt csak a második közelítésben kapott korrekció végeredményét közöljük:^[415]

12.73. egyenlet - (115,3)

g^{(2)} (0) = {(\frac{α}{π})}^{2} (\frac{197}{144} + \frac{π^{2}}{12} - \frac{π^{2}}{2} ln 2 + \frac{3}{4} ζ (3)) = - 0, 328 \frac{α^{2}}{π^{2}},

és így az elektron mágneses momentuma:

12.74. egyenlet - (115,4)

μ = \frac{e ℏ}{2 m c} (1 + \frac{α}{2 π} - 0, 328 \frac{α^{2}}{π^{2}}) .

Időzzünk el a g(2)(0) -ban szereplő vákuumpolarizációs járuléknál . Ezt a következő, foton-sajátenergiás részt tartalmazó gráf írja le:

12.75. egyenlet - (115,5)

Ez csak annyiban különbözik az első közelítés (114,1) gráfjától, hogy a D(f2)=4π∕f2 fotonpropagátor helyett a

kifejezés szerepel benne, ahol (f2) a 110. §-ban kiszámított polarizációs operátor, első () közelítésben. Az előző szakaszban végzett számításokat a fenti változtatással részlegesen megismételve, a következő kifejezést kapjuk a korrekció „polarizációs részére”:

12.76. egyenlet - (115,6)

ℑ g_{p o l a r}^{(2)} (t) = \frac{α m^{2}}{\sqrt{t (t - 4 m^{2})}} \int_{- 1}^{1} \frac{𝒫 (f^{2})}{f^{2}} \frac{1 + 3 cos 𝜃}{2} d cos 𝜃,

ahol

12.77. egyenlet - (115,7)

f^{2} = - \frac{t - 4 m^{2}}{2} (1 - cos 𝜃)

[l. (114,6)]. Ennek, majd a

12.78. egyenlet - (115,8)

g_{p o l a r}^{(2)} (0) = \frac{1}{π} \int_{4 m^{2}}^{\infty} ℑ g_{p o l a r}^{(2)} (t^{'}) \frac{d t^{'}}{t^{'}}

integrálnak a kiszámítása a

12.79. egyenlet - (115,9)

g_{p o l a r}^{(2)} (0) = \frac{α^{2}}{π^{2}} (\frac{119}{36} - \frac{π^{2}}{3}) = 0, 016 \frac{α^{2}}{π^{2}}

értékre vezet; ez ∼5% -át képezi a (115,3)értéknek.

Már említettük (a 111. §. végén), hogy a sugárzási korrekciókhoz bizonyos járulékot adhatnak más részecskék vákuumpolarizációs effektusai is. A müonos vákuumnak az elektron anomális mágneses momentumához való járulékát ugyancsak a (115,6)-(115,8) képletekből kapjuk, ahol (beleértve az változó definícióját is) most is az elektron tömege (), viszont a (f2) -ben szereplő paraméternek a müon tömegét () kell venni. (f2)∕f2 csak az f2∕mμ2 hányados függvénye. A (115,8) integrálban az a tartomány lényeges, ahol (és így is) me2 nagyságrendű; ezért f2∕mμ2∼(me∕mμ)2≪1 , és az integrálok értékét megbecsülhetjük a megfelelő határesetre vonatkozó (110,14) képlet segítségével, amely szerint

Innen látható, hogy a vákuum müonpolarizációs járuléka g(2)(0) -hoz az (me∕mμ)2 kis szorzótényezőt tartalmazza.

A fentivel ellentétes helyzettel állunk szemben, amikor a müon mágneses momentumát számítjuk ki. Mivel (115,3)-ban a részecske tömege nem szerepel, így g(2)(0) -nak ez az értéke a müon esetére is vonatkozik. Itt a vákuum müonos polarizációját vettük figyelembe. Viszont más részecskék – az elektronok – vákuumának polarizációjából származó járulék ebben az esetben lényegesen nagyobb. Ezt a (115,6)-(115,8) képletek alapján kell kiszámítani, ahol az m→mμ helyettesítést hajtjuk végre, és ahol (t) az elektron polarizációs operátora . Az előző esettel ellentétben most az f2∕me2∼(mμ∕me)2≫1 tartomány ad lényeges járulékot, és így (f2) helyébe a megfelelő határesetben érvényes (110,15) kifejezést írhatjuk:

Az integrálok kiszámítása a következő eredményre vezet:

12.80. egyenlet - (115,10)

{[g^{(2)} (0)]}_{\overset{e l e k t r}{p o l a r}} = {(\frac{α}{π})}^{2} (\frac{1}{3} ln \frac{m_{μ}}{m_{e}} - \frac{25}{36}) = 1, 09 \frac{α^{2}}{π^{2}}

(H. Suura, E. H. Wichman, 1957; A. Peterman, 1957).

Ezt (115,3)-mal összeadva, a müon mágneses momentumára azt kapjuk, hogy

12.81. egyenlet - (115,11)

μ_{müon} = \frac{e ℏ}{2 m_{μ} c} (1 + \frac{α}{2 π} + 0, 76 \frac{α^{2}}{π^{2}}) .

Megjegyezzük, hogy a vákuum müonos polarizációjának járuléka g(2)(0) -nak mindössze ∼2% -a. Ugyanilyen nagyságrendű járulékot adott volna (a tömegek közelsége folytán) a vákuum pionos polarizációja is, amelyet egyáltalán nem lehet pontosan kiszámítani.^[416]

^[415]C. Sommerfield, Phys. Rev. 107, 328 (1957); Ann. Phys. 5, 26 (1958) és A. Peterman, Helv. Phys. Acta 30, 409 (1957). Az unitaritást felhasználó módszerrel végzett számítást l. M. V. Tyerentyev, ZSETF 43, 619 (1962).