Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Mikor a 114. §-ban az elektron alakfaktorait kiszámítottuk, azt találtuk, hogy a virtuális fotonok kis frekvenciáira a fellépő integrálok divergálnak. Ez a divergencia szoros kapcsolatban áll a 95. §-ban már tárgyalt infravörös katasztrófával . Ott megjegyeztük, hogy töltött részecskék részvételével végbemenő folyamatok [így a (114,1) gráf segítségével ábrázolható, külső térben történő elektronszórás] hatáskeresztmetszeteiről önmagában beszélni értelmetlen – egyidejűleg figyelembe kell venni tetszőleges számú lágy foton emisszióját . Amint azt a későbbiekben (119. §) részletesen megmagyarázzuk, a lágy kvantumok emisszióját is figyelembe vevő összesített hatáskeresztmetszetben a divergenciák kiejtik egymást. Természetes azonban, hogy a divergens integrálok előzetes „levágását” az összeadandó hatáskeresztmetszetek mindegyikében egyformán kell elvégeznünk.
A 114. §-ban ezt a levágást úgy értük el, hogy a
virtuális fotonnak véges tömeget adtunk. Ezért úgy kell megváltoztatnunk a 95. §-ban levezetett képleteket is, hogy nemzérus tömegű
lágy „fotonok” emisszióját írják le.
Formális szemszögből az ilyen foton az spinű „vektor”-részecskékhez tartozik, amelyeknek szabad terét a 14. §-ban tárgyaltuk. Ezeket a részecskéket egy
négyesvektor írja le, amely a másodkvantálási reprezentációban a következő alakú:
[ahol (14,14)-hez képest megváltoztattuk a
jelöléseket, hogy azok megfeleljenek a foton esetének].
A (117,1) „fotonok” kölcsönhatását az elektronokkal ugyanolyan Lagrange-függvénnyel kell leírni, mint a valódi fotonok esetén:
(az potenciált
-vel helyettesítettük). Ekkor a véges tömegű fotonok emisszióját leíró
amplitúdók a szokásos gráfszabályokkal számíthatók ki, azzal a különbséggel, hogy
és az emittált foton polarizációjára valóösszegezést három független (két
transzverzális és egy longitudinális) polarizációra kell elvégeznünk, a valódi foton
esetén viszont csak kettőre kell összegezni.
A polarizálatlan részecskék sűrűségmátrixát könnyen meghatározhatjuk a
feltételek felhasználásával [vö. (14,12),
(14,13)]. A keresett mátrixot
alakba írva, és a (117,4)
feltételekkel az és
együtthatókat meghatározva, azt kapjuk, hogy
Ugyanilyen alakú a vektorrészecskék propagátorának számlálója is:
A mértékinvariancia miatt azonban a valódi folyamatok amplitúdói nem függnek a fotonpropagátor longitudinális részétől , és ez a tulajdonság nem kapcsolódik a transzverzális rész konkrét alakjához. Így a zárójelben a második tag elhagyható, és ugyanolyan típusú kifejezést kapunk, mint a szokásos fotonok esetén:
(ezt használtuk a 114. §- és 116. §-ban).
Most vizsgáljuk meg a (95. §-ban megmagyarázott értelemben) lágy fotonok emisszióját .
A 95. §(95,5)
és (95,6) képleteinek levezetése átvihető erre az
esetre, azzal a módosítással, hogy az elektronpropagátorok nevezőjében szereplő
kifejtésekor egy
tag is megjelenik. Ekkor (95,6)
helyett a következő kifejezést kapjuk:
ahol ugyanannak a folyamatnak a hatáskeresztmetszete a lágy kvantum
emissziója nélkül (ezt feltételesen nevezzük „rugalmas” folyamatnak).[420] A továbbiakban a
szerinti integrálás során a
értékek lesznek lényegesek. Ekkor
, és így a nevezőkben
-et elhagyhatjuk. A foton polarizációjára (117,5) segítségével kell összegezni (az átlagolás eredményét meg kell
szorozni
-mal). A fenti elhanyagolás után (117,5) második tagja nem ad járulékot a hatáskeresztmetszethez, és
így[421]
Tehát visszakaptuk a (95,7) képletet,
amelyben azonban most
A (117,6) képlet teljesen általános jellegű.
Érvényes rugalmas és rugalmatlan szórásra, sőt akkor is, ha a kimenő részecskék
különböznek a bemenőktől. A szerinti további integrálás eredménye függ a
és
négyesvektoroktól, más szóval az alapfolyamat jellégétől.
Tekintsük a rugalmas szórás esetét, amikor
és határozzuk meg egy -nál kisebb frekvenciájú foton emissziójának teljes valószínűségét,
ahol
A szerinti integrálást végezzük el először a nemrelativisztikus határesetben. Ha
, akkor
(). Ezt
irányára integrálva a következő kifejezést kapjuk:
Ezután (117,6) alapján
vagy az feltételezéssel elvégezve az integrálást,
A relativisztikus esetben az integrál kiszámításához használjuk fel a (127,4) képletet. Ennek segítségével a szögek szerinti integrál
vagy a -vel és
-vel való skalárszorzatokat felbontva,
Most a belső integrál könnyen kiszámítható gömbi koordinátákban, ha
a poláris tengelyt a vektor irányában vesszük fel. Ekkor
A két másik integrált [ahol és
van a nevezőben] megkaphatjuk ebből a
helyettesítéssel. Észrevéve, hogy
a következő kifejezést kapjuk:
A szerinti integrálás a következő alakú integrálok kiszámítására
vezethető vissza:
A második integrálban , az
felső határt pedig
-nel helyettesítettük, ami az integrál konvergenciája miatt
megengedett.
A (117,10)-ben ezután fellépő szerinti integrálokat már nem lehet elemi függvények segítségével
kifejezni. Az eredmény a következő alakra hozható:
ahol[422]
Határozzuk meg a hatáskeresztmetszetet ultrarelativisztikus esetben. Feltételezzük, hogy
nemcsak , hanem
is teljesül, vagyis a szórási szög nem túl kicsi. Ebben az esetben a
(117,13) integráljában az az
tartomány a lényeges, amelyre
; a megfelelő elhanyagolások után
Az integrált -nél le kell vágni, azaz
-nél alulról és
-nél felülről. Ekkor
Ez a képlet a logaritmusok négyzeteit tartalmazó pontossággal, ahogy mondani szokták, kétszeresen logaritmikus pontossággal igaz. Ugyanilyen pontossággal (117,11) első tagjában elegendő a
kifejezést helyettesíteni. Így a végeredmény: