ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

117.§. Nemzérus tömegű lágy fotonok emissziója

Mikor a 114. §-ban az elektron alakfaktorait kiszámítottuk, azt találtuk, hogy a virtuális fotonok kis frekvenciáira a fellépő integrálok divergálnak. Ez a divergencia szoros kapcsolatban áll a 95. §-ban már tárgyalt infravörös katasztrófával . Ott megjegyeztük, hogy töltött részecskék részvételével végbemenő folyamatok [így a (114,1) gráf segítségével ábrázolható, külső térben történő elektronszórás] hatáskeresztmetszeteiről önmagában beszélni értelmetlen – egyidejűleg figyelembe kell venni tetszőleges számú lágy foton emisszióját . Amint azt a későbbiekben (119. §) részletesen megmagyarázzuk, a lágy kvantumok emisszióját is figyelembe vevő összesített hatáskeresztmetszetben a divergenciák kiejtik egymást. Természetes azonban, hogy a divergens integrálok előzetes „levágását” az összeadandó hatáskeresztmetszetek mindegyikében egyformán kell elvégeznünk.

A 114. §-ban ezt a levágást úgy értük el, hogy a virtuális fotonnak véges tömeget adtunk. Ezért úgy kell megváltoztatnunk a 95. §-ban levezetett képleteket is, hogy nemzérus tömegű lágy „fotonok” emisszióját írják le.

Formális szemszögből az ilyen foton az spinű „vektor”-részecskékhez tartozik, amelyeknek szabad terét a 14. §-ban tárgyaltuk. Ezeket a részecskéket egy négyesvektor írja le, amely a másodkvantálási reprezentációban a következő alakú:

12.101. egyenlet - (117,1)

Ψ_{μ} = \sqrt{4 π} \sum_{k α} \frac{1}{\sqrt{2 ω}} (c_{k α} e_{μ}^{(α)} e^{- i k x} + c_{k α}^{+} e_{μ}^{{(α)}^{*}} e^{i k x}), α = 1, 2, 3

[ahol (14,14)-hez képest megváltoztattuk a jelöléseket, hogy azok megfeleljenek a foton esetének].

A (117,1) „fotonok” kölcsönhatását az elektronokkal ugyanolyan Lagrange-függvénnyel kell leírni, mint a valódi fotonok esetén:

12.102. egyenlet - (117,2)

- e j^{μ} Ψ_{μ}

(az potenciált -vel helyettesítettük). Ekkor a véges tömegű fotonok emisszióját leíró amplitúdók a szokásos gráfszabályokkal számíthatók ki, azzal a különbséggel, hogy

12.103. egyenlet - (117,3)

k^{2} = λ^{2},

és az emittált foton polarizációjára valóösszegezést három független (két transzverzális és egy longitudinális) polarizációra kell elvégeznünk, a valódi foton esetén viszont csak kettőre kell összegezni.

A polarizálatlan részecskék sűrűségmátrixát könnyen meghatározhatjuk a

12.104. egyenlet - (117,4)

k e = 0, e e^{*} = - 1

feltételek felhasználásával [vö. (14,12), (14,13)]. A keresett mátrixot

alakba írva, és a (117,4) feltételekkel az és együtthatókat meghatározva, azt kapjuk, hogy

12.105. egyenlet - (117,5)

ϱ_{μ ν} = - \frac{1}{3} (g_{μ ν} - \frac{k_{μ} k_{ν}}{λ^{2}}) .

Ugyanilyen alakú a vektorrészecskék propagátorának számlálója is:

A mértékinvariancia miatt azonban a valódi folyamatok amplitúdói nem függnek a fotonpropagátor longitudinális részétől , és ez a tulajdonság nem kapcsolódik a transzverzális rész konkrét alakjához. Így a zárójelben a második tag elhagyható, és ugyanolyan típusú kifejezést kapunk, mint a szokásos fotonok esetén:

(ezt használtuk a 114. §- és 116. §-ban).

Most vizsgáljuk meg a (95. §-ban megmagyarázott értelemben) lágy fotonok emisszióját .

A 95. §(95,5) és (95,6) képleteinek levezetése átvihető erre az esetre, azzal a módosítással, hogy az elektronpropagátorok nevezőjében szereplő (p±k)2 kifejtésekor egy k2=λ2 tag is megjelenik. Ekkor (95,6) helyett a következő kifejezést kapjuk:

dσ=dσrug⋅e2|(p′e/p′k+λ2∕2)–(pe/pk–λ2∕2)|2(d3k/4π2ω),

ahol dσrug ugyanannak a folyamatnak a hatáskeresztmetszete a lágy kvantum emissziója nélkül (ezt feltételesen nevezzük „rugalmas” folyamatnak).^[420] A továbbiakban a d3k szerinti integrálás során a |k|∼λ értékek lesznek lényegesek. Ekkor p′k∼pk≫λ2 , és így a nevezőkben -et elhagyhatjuk. A foton polarizációjára (117,5) segítségével kell összegezni (az átlagolás eredményét meg kell szorozni -mal). A fenti elhanyagolás után (117,5) második tagja nem ad járulékot a hatáskeresztmetszethez, és így^[421]

12.106. egyenlet - (117,6)

d σ = - d σ_{r u g} \cdot e^{2} {(\frac{p^{'}}{(p^{'} k)} - \frac{p}{(p k)})}^{2} \frac{d^{3} k}{4 π^{2} ω} .

Tehát visszakaptuk a (95,7) képletet, amelyben azonban most

12.107. egyenlet - (117,7)

ω = \sqrt{k^{2} + λ^{2}} .

A (117,6) képlet teljesen általános jellegű. Érvényes rugalmas és rugalmatlan szórásra, sőt akkor is, ha a kimenő részecskék különböznek a bemenőktől. A d3k szerinti további integrálás eredménye függ a és négyesvektoroktól, más szóval az alapfolyamat jellégétől.

Tekintsük a rugalmas szórás esetét, amikor

és határozzuk meg egy ωmax -nál kisebb frekvenciájú foton emissziójának teljes valószínűségét, ahol

12.108. egyenlet - (117,8)

λ ≪ ω_{m a x} ≪ m .

A d3k szerinti integrálást végezzük el először a nemrelativisztikus határesetben. Ha |p|=|p′|≪m , akkor

((p′/(p′k))–(p/(pk)))2≈((qk)2/m2ω4)–(q2/m2ω2)

( q=p′–p ). Ezt irányára integrálva a következő kifejezést kapjuk:

Ezután (117,6) alapján

dσ=dσrug⋅(e2q2/πm2)∫0ω=ωmax[1–(k2/3(k2+λ2))](k2d|k|/(k2+λ2)3∕2),

vagy az ωmax∕λ≫1 feltételezéssel elvégezve az integrálást,

12.109. egyenlet - (117,9)

d σ = d σ_{r u g} \cdot \frac{2 α}{3 π} \frac{q^{2}}{m^{2}} (ln \frac{2 ω_{m a x}}{λ} - \frac{5}{6}), ha q^{2} ≪ m^{2} .

A relativisztikus esetben az integrál kiszámításához használjuk fel a (127,4) képletet. Ennek segítségével a szögek szerinti integrál

I=∫(dΩk/(pk)(p′k))=∫01dx∫(dΩk/[(pk)x+(p′k)(1–x)]2),

vagy a p=(ε,p) -vel és p′=(ε′,p′) -vel való skalárszorzatokat felbontva,

Most a belső integrál könnyen kiszámítható gömbi koordinátákban, ha a poláris tengelyt a px+p′(1–x) vektor irányában vesszük fel. Ekkor

I=∫01(4πdx/(εω)2–[px+p′(1–x)]2k2)=∫01(4πdx/[m2+q2x(1–x)]k2+ε2λ2).

A két másik integrált [ahol (pk)2 és (p′k)2 van a nevezőben] megkaphatjuk ebből a q=0 helyettesítéssel. Észrevéve, hogy

a következő kifejezést kapjuk:

12.110. egyenlet - (117,10)

d σ = \frac{2 e^{2}}{π} \int_{0}^{1} d x \int_{0}^{ω_{m a x}} \frac{k^{2} d | k |}{\sqrt{k^{2} + λ^{2}}} \{\frac{m^{2} + \frac{1}{2} q^{2}}{[m^{2} + q^{2} x (1 - x)] k^{2} + 𝜀^{2} λ^{2}} - \frac{m^{2}}{m^{2} k^{2} + 𝜀^{2} λ^{2}}\} .

A d|k| szerinti integrálás a következő alakú integrálok kiszámítására vezethető vissza:

∫0ωmax(k2d|k|/(ak2+λ2)√(k2+λ2)) =(1/a)∫0ωmax(d|k|/√(k2+λ2))–(λ2/a)∫0ωmax(d|k|/(ak2+λ2)√(k2+λ2))≈ ≈(1/a)ln(2ωmax/λ)–(1/a)∫0∞(dz/(az2+1)√(z2+1)).

A második integrálban |k|→λz , az (ωmax∕λ) felső határt pedig -nel helyettesítettük, ami az integrál konvergenciája miatt megengedett.

A (117,10)-ben ezután fellépő szerinti integrálokat már nem lehet elemi függvények segítségével kifejezni. Az eredmény a következő alakra hozható:

12.111. egyenlet - (117,11)

d σ = α [K (\frac{| q |}{2 m}) ln \frac{2 ω_{m a x}}{λ} + K_{1}] d σ_{r u g},

ahol^[422]

12.112. egyenlet - (117,12)

K (ξ) = \frac{2}{π} [\frac{2 ξ^{2} + 1}{ξ \sqrt{ξ^{2} + 1}} ln (ξ + \sqrt{ξ^{2} + 1}) - 1],

12.113. egyenlet - (117,13)

K_{1} = \frac{2 𝜀}{π | p |} ln \frac{𝜀 + | p |}{m} - \frac{2 m^{2} + q^{2}}{π 𝜀^{2}} \int_{0}^{1} \frac{d x}{a \sqrt{1 - a}} ln \frac{1 + \sqrt{1 - a}}{\sqrt{a}},

Határozzuk meg a hatáskeresztmetszetet ultrarelativisztikus esetben. Feltételezzük, hogy nemcsak ε≫m , hanem |q|≫m is teljesül, vagyis a szórási szög nem túl kicsi. Ebben az esetben a (117,13) integráljában az az tartomány a lényeges, amelyre a≪1 ; a megfelelő elhanyagolások után

K1≈(q2/2πε2)∫01(lna/a) dx≈(1/2π)∫(ln(q2/ε2)+lnx+ln(1–x)/x(1–x)) dx.

Az integrált a∼1 -nél le kell vágni, azaz x∼m2∕q2 -nél alulról és 1–x∼m2∕q2 -nél felülről. Ekkor

K1≈(1/2π)[2ln(q2/ε2)ln(q2/m2)–ln2(q2/m2)]=(1/2π)[ln2(q2/m2)–4ln(ε/m)ln(q2/m2)].

Ez a képlet a logaritmusok négyzeteit tartalmazó pontossággal, ahogy mondani szokták, kétszeresen logaritmikus pontossággal igaz. Ugyanilyen pontossággal (117,11) első tagjában elegendő a

kifejezést helyettesíteni. Így a végeredmény:

12.114. egyenlet - (117,14)

d σ = \frac{2 α}{π} [ln \frac{q^{2}}{m^{2}} ln \frac{ω_{m a x}}{λ} - ln \frac{𝜀}{m} ln \frac{q^{2}}{m^{2}} + \frac{1}{4} {ln}^{2} \frac{q^{2}}{m^{2}}] d σ_{r u g}, q^{2} ≫ m^{2} .

^[420] A 95. §-ban a dσrug hatáskeresztmetszetet dσ0 -val jelöltük.

^[421] Első pillantásra kétség merülhet fel, hogy szabad-e -et az átlagolás előtt elhanyagolni, mivel (117,5) második tagjának nevezőjében áll. Könnyű azonban közvetlenül meggyőződni arról, hogy ez a tag az átlagolás után ∼λ4(1/λ2) járulékot ad, így elhagyható.

^[422] A K(ξ) függvénnyel már találkoztunk a 95. § feladataiban. Ez nem meglepő, mivel (117,11)-et logaritmikus pontossággal megkaphatjuk, ha a zérus tömegű fotonok emissziójának (95,8) hatáskeresztmetszetét szerint -tól ωmax -ig integráljuk. Ha helyett a változót vezetjük be, ahol ξ=sh(/2) , akkor K()=(2/π)(cth–1). (117,12a)